y=sinx
正弦函数y=sinx图象
实验： 装满细沙的漏斗在做单摆
运动，同时匀速拉动木板，请 观察沙子落在木板上的轨迹
思考： 该曲线就是正弦函数的图
象，我们把它叫作正弦曲线， 那么你有办法画出该曲线的图 象吗？
问题：如何作出正弦函数y=sinx x[0,2]的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。 y 1
x
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
(2 ,1)
( 2 ,1)
,0) 3 ( ,0) 2
( 2 ,0)
2
x
( 2 ,0)
(
((,0((,()0,0)),0,,(003)2))(32,((-33122,(1)3(2,,)3-1(213,)21)(,(3-3)2,211),),--11)()
o1
o
2 5 7 4 3 5 11 26323663
23
6
-1
终边相同角的三角函数值相等
y=sinx
y=sinx xR
x[0,2] 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
终边相同角的三角函数值相等
y=sinx
y=sinx xR
x[0,2] 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx的图象在[2π，4π] ， [4π，6π]， [－4π，－2π]，[－2π，0] … 与 y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
的简图：
22
向左y平移 个单位长度 22
1
o
2
-1
3
2
高一数学正弦函数y=sinx性质
2
2
练习1、y 1 的定义域为（
）
sin x
A.R
B.{x | x kπ ，k Z）
C.[1，0）（0，1]
D.{x | x 0}
练习2、y 3sin（2x ）最小正
6 周期为（ ）
A.4π
B.2π
Cπ.
D.
2
练习3、下列函数为偶函数的是（ ）
A.y sin | x |
1；
x
π 2
2kπ
（k Z）时，ymin
1；
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
1 sin x 1
例2、设sinx=t-3，x∈R，求t的取值范围。
例3 求下列函数的最值，并求出相应 的x值。 （1） y=2sinx （2）y=sinx+2 （3）y=sin2x
T xx2xx23?
3
性质二：周期性
正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z , k 0)
T 2
y Asin（ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 的周期为T 2π
ω
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
y sin x的增区间：[ 2k， 2k ]
sin（等x式si2n（kπ4 ）2）sinsinx，4 能x 否R说，明k 0
是正弦函数y sin x的周期？为什么？
2
性质二：周期性
对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小的 正数就叫做它的最小正周期。
sin x的周期：...... 4、 2、2、4、6 ......
正弦函数y=sin的图象与性质
6
ysin1(x)的图象
36
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来2的倍
y2sin1y(x2s)i的n1(x图)的象图象
横坐标不变3 6 3 6
2
(1)向右平移
6
y
3
2
y=sin(x- ysin1(x) )① 36
1
o
7
13
2
26
-１
-2
y=sinx
-3
(画法)利 二"用 五点"画 法函y数 2sin1x()在
4
-
1
7
2
3
5
2
2
3
2
2
0
2
y1
3
2
2
y=sin x, x∈R
5
2
3
7
2
4
x
思考与交流:图中,起着关键作用的
点是哪些?找到它们有什么作用呢?
找 0到, 0 这 五 个2 ,关1 键点 ,就, 0 可 以 3画2 出, 1正 弦 2曲 ,线0 了!
如下表
x
0
2
3
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
y 1
作图：
1 2
y=sin1 x
2
O
2
3
1
y=sinx
4 x
y 1
y=sin
1 2
x
2
3
4
O
x
1
y=sin2x
y=sinx
振幅相同
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin1 x
y=sinx的图象
变式训练3
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π）
（2）y=sin(x－π）
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π。
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平 移
2、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
y=sin(x-0.5π)
-0.5π 0
0.5π π 1.5π 2π 2.5π X
-1
最大值 0.5
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域 [-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx
（2）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，周期T=2π。
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin(ωx)的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5x) 的图
像。
0.5 x
0 0.5π π 1.5π 2π
正弦函数y=sinx 的图象和性质
2
x
-1 -
3 2
,1
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
五点法
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
0
2
y=sin x 0
1
3
2
2
0
-1
0
y
．
1
． ． ． ． ． 3
四、练习
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3
2
1
． ． ．π
0
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
． ． 3
2
2π
x
y=sin 3x x∈[0,2π]
2
例2:讨论 y sin x 在下列区间上的单调性:
(1)
7
2
,
9
2
(2)
7
2
,
5
2
思考:正弦函数在
9
2
, 7
2
区间上的单调性?
例3:不通过求值，利用正弦函数的单调性, 指出下列各式的正负
(1)sin(－ 新疆 王新敞 奎屯
正弦函数的性质
y 1
-6 -5 -4 -3 -2 - -1 0 2 3 4 5 6 x
fx = sinx
1.定义域是 ,.
2.值域 [1,1]
正弦函数y=sinx的图象与性质
§4.4 正弦函数的性质教学目标：1、进一步熟悉单位圆中的正弦线；2、理解正弦诱导公式的推导过程；3、掌握正弦诱导公式的运用；4、能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；5、理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；6、能熟练运用正弦函数的性质解题。
二、教学重、难点重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。
如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。
这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】 1．复习：（公式1）sin(360︒k +α) = sin α2．对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）[[[[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3． 公式2：设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知：sin(180︒+α) = -sin α4．公式3：如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得：sin(-α) = -sin α,5．公式4：由公式2和公式3可得：P’(P(x ,-y )sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,同理可得： sin(180︒-α) = sin α, 6．公式5：sin(360︒-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评例1：求下列函数值（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－150︒15’)； (3)sin(－47π) 解：（1）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝21(2) sin(－150︒15’)＝－sin150︒15’＝－sin(180︒－29︒45’) ＝－sin29︒45’＝－0.4962(3) sin(－47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4π＝22 例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：（略，见教材P24）2．学生练习教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
正弦函数y=sinx是最基本
,2k
3 ] 2
T 2
奇函数
x k
2
( k ,0)
结论：
由上可知：在函数
y sin x B 中，B 决定
上加下减
了函数的平衡位置。 方法归纳：
y sin x
函数图象向上（
B 0）
或向下（ B 0 ）平移 | B |个单位。
y sin x B
总结：
y sin x y sin x y sin x y sin x y A sin x y sin x y sin( x ) y sin x B
伸缩变换 平移变换
思考
y sin x
？
y A sin(x ) B
区间 减 周期 奇偶性 对称轴 对称中心
[2k
不同 不同
不同
不同
2
,2k
T 2
x k
3 ] 2
T
相同
x
(
T 4
相同
奇函数
2
( k ,0)
k 2 4 k
2 ,0)
x 2k ( 2k ,0)
结论：
由上可知：在函数 决定了函数的周期
x
y sin x y sin x 1
y sin x 1
o o
1 1
2
3 2
2
1 2
0
o
1 1
1 0
2
o
1
1
作图：
2
y
1
o
2
π
3 2
2π
正弦函数的性质
π
度 为
,k ∈ Z
周 期 的 一 半
变式:求函数 的单调区间. 变式 求函数 y=2sin(-x )的单调区间 的单调区间
解： y = 2 sin(− x) = −2 sin x Q
函数在 [ −
π
2
π
2
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 上单调递减 π π ∈
3π 2
π
思考:令 思考 令t=-x,则y=2sint 则
Q
函数在 [
+2kπ, π
+2kπ],k∈Z上单调递增 π ∈
不通过求值，比较大小： 例3 不通过求值，比较大小： (1) sin 20 , sin170 (3) sin(− 23π ) 5 解(2) Q ,
0
0
(2) sin( −
)
π
18
), sin( −
π
10
)
π π π π Q 又 y=sinx 在[− , ]上是增函数 − <− <− < 2 2 2 10 18 2 π π sin( − ) < sin(− ) 方法归纳： 方法归纳：利用
再看正弦函数,由诱导公式 一) 再看正弦函数 由诱导公式(一 由诱导公式
sin( x + 2kπ ) = sin x, k ∈ Z
即自变量x的值每增加或减少 即自变量 的值每增加或减少 值重复出现(函数值不变 函数值不变)! 值重复出现 函数值不变
的整数倍,正弦函数的 2π 的整数倍 正弦函数的
一般地,对于函数 如果存在一个非零常数 一般地 对于函数f(x),如果存在一个非零常数 使得定义域 对于函数 如果存在一个非零常数T,使得定义域 内的每一个 值都满足: 每一个x值都满足 内的每一个 值都满足
y=sinx的导数的推导
y=sinx的导数的推导
求解sinx的导数是高等数学中重要的求导问题，一般通过定义域求导法求解。
下面我们就来详细介绍一下。
首先，定义域求导法是一种利用定义域求解函数导数的方法。
它的基本原理是，当函数的定义域是单调的时候，函数的导数可以用定义域的导数来表示，可以简化函数的求导过程，简化原函数的求导，提高求导效率。
其次，我们要求解sinx的导数，首先要知道sinx的定义域。
sinx的定义域为：sinx是一个周期函数，它的定义域为：x∈[-π,π]。
接下来，我们就可以利用定义域求导法来求解sinx的导数。
我们知道，sinx的定义域是单调的，因此用定义域的导数来表示sinx的导数。
于是，sinx的导数可以表示为：
sinx'=cosx这就是sinx的导数的推导过程。
从上面可以看出，定义域求导法是一种非常有效的求导方法，可以有效地简化函数求导过程，提高求导效率。
总之，定义域求导法是求解函数导数的一种有效的方法，通过定义域求导法可以求解sinx的导数，sinx'=cosx。
函数y等于sinx的定义域
函数y等于sinx的定义域
函数y=sinx是一种很普遍的函数，但它的定义域并不是广泛理解的定义域。
定义域是指函数可以接受的参数的集合。
定义y=sinx，这里的sinx函数只能接受在-2π到
2π之间的参数，因此它的定义域就是-2π到2π之间的实数。
这个取值范围很窄，只是一
个闭区间，因此它的定义域比较明确，比较容易理解。
sinx函数的定义域是一个固定的区间，就是-2π到2π的区间。
作为一个函数y=sinx，它
的定义域是更加明确的，只有在这个区间范围内可以取值，超出这个范围就不能取值了。
从函数y=sinx的定义域可以推导出它的实际范围，即-1<sinx<1，且定义区间是-2π到2π。
因此，最大值为1，最小值为-1，区间的范围是从-2π到2π。
定义域是函数的一个重要的概念，它是描述函数范围的一个重要指标。
函数y=sinx的定
义域就是不变的，就是从-2π到2π的区间，理解这个定义域的意义，可以让我们更好的
理解函数y=sinx，也可以让我们更好的利用它来进行数学分析操作。
y=sinx是偶函数
y=sinx是偶函数正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
在单位圆中，正弦函数可以用一个点在单位圆上的纵坐标来表示，这个点离圆心的距离即为sinx的值。
首先我们来证明正弦函数是一个奇函数。
对于任意的角度x，我们有sin(-x) = -sin(x)。
证明如下：我们知道，一个角度对应一个单位圆上的点，而一个角度对应一个以圆心为原点的极坐标系中的点。
假设角度x对应的点为(x1, y1)，那么角度-x对应的点为(-x1, -y1)。
根据单位圆的定义，我们知道x1的范围是[-1, 1]，而y1的范围也是[-1, 1]。
因此，我们有-sin(x) = -y1 = -(-y1) = y1 = sin(-x)。
所以，sinx是一个奇函数。
接下来，我们来讨论一下正弦函数的性质。
正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。
也就是说，当x增大2π的倍数时，sinx的值将重复。
具体来说，当x变为x + 2πn时（n为整数），sinx的值不变。
正弦函数在0到π/2的区间上是递增的，在π/2到π的区间上是递减的。
也就是说，当x增大时，sinx的值也会增大，而当x减小时，sinx的值会减小。
正弦函数的图像是一个连续的波形，波峰和波谷交替出现。
它的最大值是1，最小值是-1、当x = 0时，sinx = 0；当x = π/2时，sinx = 1；当x = π时，sinx = 0；当x = 3π/2时，sinx = -1、对于其他的x值，我们可以通过画图或使用计算器来得到sinx的近似值。
正弦函数在三角恒等式中起到重要的作用。
其中，最常用的莫过于正弦定理和余弦定理。
正弦定理是用来计算一个三角形的边长和角度之间的关系的，而余弦定理则是用来计算一个三角形的边长和角度之间的关系的。
这两个定理在解决实际问题时非常有用，例如测量远距离物体的高度。
正弦函数是数学和物理中一个非常重要的函数，它有着广泛的应用。
在数学中，它常用于处理周期性问题，例如电学中的交流电信号分析；在物理中，它常用于描述振动、波动和周期性运动等现象。
正弦函数y=sinx的图像和性质
0
1
0
－1
0
2．根据y=sinx的轴对称性、中心对称性，只需列出 周期的表，全表即可列出．
学生活动二
1．列表画出图像．
2．调用课件《列表描点作图》画出图像．
学生活动三
根据学生画出的图像研究y=sinx的性质．
函数名称
y=sinx
函数图像
定义域
值域
最值ห้องสมุดไป่ตู้
x=ymax＝
x=ymin＝
单调性
正负区间
零点
学生活动四
1．求出下列函数的最值及其相应的x的值
（1） ；（2）
2．求出下列函数的单调区间．
（1） ；（2）
3．解下列不等式．
（1） ；（2）
4．解下列方程．
（1） ；（2） ．
教学过程
学生活动一
调用课件：《利用正弦线作正弦函数的图像》．讨论在画出y=sinx在一个周期[0，2π]内的图像怎样选点？
教师小结：
1．根据图像y=sinx的有界性，变化趋势，x至少选0， ，π， ，2π．如果为画的准确可以选十三个点．列表如下：
五点表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
十三点表
x
0
π
2π
正弦函数y=sinx的图像和性质教案1
教学目标
1．理解用描点法画出一个周期内的y=sinx图像选点的方法．
2．掌握“十三”点法和五点法作出y=sinx图像的方法．
3．由图像发现y=sinx的性质．
设计思想
１．调用课件《列表描点作图》．利用课件和学生共同讨论画出一周期内的y=sinx图像选点的方法．
y=sinx是一个有界函数
《探索正弦函数的有界性》一、介绍y=sinx是什么函数；y=sinx是一个周期性函数，它的图像如同一条波浪线，其实它是正弦函数的一种特殊形式。
它的定义域为所有实数，而值域则为[-1,1]。
它的函数图像满足正弦函数的性质，即它的图像每隔π/2，也就是90°，就会有一个极值，比如当x=0时，y=0；当x=π/2时，y=1；当x=π时，y=-1；当x=3π/2时，y=1；以此类推。
此外，y=sinx函数的导数也是一个正弦函数，即y'=cosx，而它的导数的图像每隔π，也就是180°，就会有一个极值，比如当x=0时，y'=1；当x=π时，y'=-1；当x=2π时，y'=1；以此类推。
举例来说，当x=π/4时，y=sin(π/4)=1/√2；当x=π/2时，y=sin(π/2)=1；当x=3π/4时，y=sin(3π/4)=√2/2；当x=π时，y=sin(π)=-1；当x=5π/4时，y=sin(5π/4)=-√2/2；当x=3π/2时，y=sin(3π/2)=-1。
总而言之，y=sinx是一个周期性函数，它的定义域为所有实数，而值域则为[-1,1]，它的图像每隔π/2，就会有一个极值，而它的导数的图像每隔π，就会有一个极值。
二、证明y=sinx是一个有界函数；证明y=sinx是一个有界函数，是数学中一个重要的问题。
为此，我们需要深入分析函数的定义域和值域，以及它们之间的关系。
首先，我们看一下y=sinx的定义域，它的定义域是x∈R，即所有实数。
因此，y=sinx的定义域是无限的，它可以接受任意实数作为输入，只要输入的值在定义域内，函数就能够正常运行。
接下来，我们来看一下y=sinx的值域，它的值域是[-1,1]。
由于sin(x)的值在-1和1之间，因此y=sinx的值域也在-1和1之间，因此y=sinx是一个有界函数。
为了进一步证明y=sinx是一个有界函数，我们可以通过几个例子来进行说明。
y=sinx的倍角公式
y=sinx的倍角公式
sinx=sin2xcosx+cos2xsinx。
倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。
就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。
在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。
三倍角公式
把形如sin（3x）和cos（3x）等三角函数用对应单倍角三角函数表示的恒等式。
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
y=sinx的概率密度函数
y=sinx的概率密度函数
我们要找出函数y = sin(x) 的概率密度函数。
首先，我们需要了解什么是概率密度函数。
概率密度函数（PDF）描述了一个随机变量在各个值上的概率分布。
对于连续随机变量，概率密度函数（PDF）是分布函数在各个点的导数。
假设X 是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)。
那么，对于任何实数x，f(x) 的定义是：
f(x) = ∫(-∞to x) f(x) dx
并且，∫(-∞to ∞) f(x) dx = 1
在这个问题中，我们要求的是y = sin(x) 的概率密度函数。
这意味着我们需要先求出y = sin(x) 的分布函数，然后对分布函数求导来得到概率密度函数。
通过计算，我们得到y = sin(x) 的概率密度函数为：0.5*cos(x)
所以，y = sin(x) 的概率密度函数是：0.5*cos(x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
）
6
） B．y＝sin（2x＋ 6 ） ） Ｄ．y＝tan（x＋
6
Ｃ．y＝sin（ 2 ＋
6Байду номын сангаас
）
(1)y=2sinx 的奇偶性是什么？y= -3cosx 的奇偶性是什么? (2)y=5+sinx 的奇偶性是什么?y=5+2cosx 的奇偶性是什么？ (3)y=sin(x+ 3 )的奇偶性是什么？ (4)y=cos(x+ 3 )的奇偶性是什么？ (5)若 y=sin(x+ )是奇函数，则 = (6)若 y=sin(x+ )是偶函数，则 = (7) 若 y=cos(x+ )偶函数，则 = (8) 若 y=cos(x+ )奇函数，则 = (9)若 y=Asin( x+ )是奇函数，则 = (10)若 y=Asin( x+ )是偶函数，则 =
6
)的单调递减区间 值和最小值。
2 .求函数 y 2 sin 2 x 周期，单调区间，最大
3若将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 则可以得到哪一个函数 的图象 ? 7 12 周期。 。 小值。
6
个单位，
4 . y A sin( x )( A 0 , 0 ) 在同一周期内， 当x
π 0
3
3 2
2π
3
-3
0
y
1
7 12
5 6
12 3
x
y= sinx
向左平移 3个单位
纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 2 横坐标不变 纵坐标变为原来的3倍
y= sin(x+ 3 )
y= sin(2x+ 3)
y= 3sin(2x+ 3 )
练习：
1 .求函数 y 2 sin( 2 x
4
1
函数解析式为 （ A．
y 2 sin( x 3
） B．
y 1 2
1 2 x 3
6
) 1
sin( 3 x
6
) 1
C
y
1 2
sin( 3 x
6
) 1
D．
y
sin(
6
) 1
6．下列函数中同时具有①最小正周期是π ；②图象关于
点（ 6 , 0）对称这两个性质的是（ A. y＝cos（2x＋
12
时， y 取最大值 2，当 x
时， y 取最
小值 2， 则（ 1）求此函数的表达式及 （ 2）并求此函数单调区间 （3）并求函数的最大、最
练习．已知函数 y A sin( x ) +K（A>0）在同一周期内，
x
9
3
时取得最大值
2
， x 9 时取得最小值 2 ，则该
练习 8 要得到 y=cos(x+
3
)的图象， 需把 y=sinx
的图形怎样平移得到？
练习 9 把
y 3 cos( x
6
)
先向做平移 个单位，再纵
坐标不变，横坐标伸长到原来地倍后得到 y=cos2x 的图形，求 ， 的值。
小结: 1.今天我们复习了怎样由正弦曲线逐步变化 得到函数y= Asin(ωx+φ)的图象. 2.正弦函数的性质
y= sin（x+ φ ）
y= sin（x+φ）
纵 坐标不变，横坐标 1 y= 缩短或伸长 ω倍
sin（ωx+φ）
6.作出函数 y=3sin(2x+ ) x∈R的简图，并求出函数的周 3 期，振幅，最大与最小值
x
2x+ 3 3sin(2x+ 3)
12
3
7 12
5 6
2
0 0
f ( x 2 ) sin( x 2 ) sin x f ( x) 最小正周期为2
6、周期性
y=sinx y=sinx y=sinx
横坐标不变，纵坐标 伸长或缩短A倍 纵 坐标不变，横坐标 1 缩短或伸长 ω倍 所有点向左或向右 平移
y=Asinx y= sinωx
φ 个单位
函数 Y = Asin(ωx+φ)的图象和性质
正弦函数y=sinx
-4 -3 -2 -
(xR)的图象
o
2
3
4
5
x
正弦函数 Y= Sin x 的性质
-3 -2 -
o
2
3
4
1、定义域
2、值域
xR y 1 ,1
3、单调性
4、最值
5、奇偶性
在x 2k ,2k 上是增函数； ( k∈Z) 2 2 3 在x 2k ,2k 上是减函数； 2 2 当x 2k 时，ymax 1 ( k∈Z) 2 当x 2k 时，ymin 1 2 f ( x) sin( x) sin x f ( x)奇函数
练习 7 设函数 f ( x ) 3 sin( 2 x ) 1 ( 0 ), y f ( x ) 图像的 一个对称中心是（
6
,
1） 。
（1）求
及对称轴方程。
（2）求 y f ( x ) 的最值及取最值时 x 的集合 （3）求函数 y f ( x ) 的单调增区间；