高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2类比推理学案2无答案新人教A版选修2_220170829213

类比推理
学习目标：1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，
2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
学习重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 学习难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程： 一、课前准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想21n -（）与2(1)n +的大小关系？ 答： .
②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？ 答： . 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
答： . 3.有什么能使结论正确的推理形式呢？思考下面的推理：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2011是奇数，所以 . 4. 上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？是什么推理？ 答： .
二、讲授新课： （一）新知
1.演绎推理的定义：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理.
2.演绎推理的特征:由一般到特殊的推理.
3.演绎推理规则：
（1）三段论推理包括：①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理对特殊情况做出判断. （2）三段论可以表示为
（二）典型例题：
【例1】用三段论的形式写出下列演绎推理
（1） 菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直； （2） 若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角； （3） 0.332是有理数；
（4） sin ()y x x R =∈是周期函数.
【解析】
动动手：设k 为实数，求证：方程2(1)0x kx k ++-=一定有实根. 【证明】因为方程2(1)0x kx k ++-=的判别式
224(1)(1)0k k k ∆=--=-≥， 所以方程一定有实数根.
上面的证明过程中， 大前提是： 小前提是： 结论是：
【例2】已知a 、b 、m 均为正实数，b a <，求证：b b m a a m
+<+.
【证明】
动动手：指出下列运算的大前提、小前提和结论： 已知lg 2m =，求lg 0.8的值.
【解析】（1）lg lg (0)n
a n a a =>， （ ） 3
lg8lg 2=，
（ ）
所以lg83lg2=.
（ ） （2）lg
lg lg (0,0)b b a a b a
=->>， （ ） 8lg0.8lg
10
=，
（ ） 所以lg0.8lg8lg103lg 2131m =-=-=-
（ ）
三、总结提升
1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程. 演绎推理具有如下特点：
（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；
（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具；
（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条例清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化. 2.合情推理与演绎推理的区别
1.“所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数（S ）是3的倍数（P ）.”上述推理是 （ ）
A.小前提错
B.结论错
C.正确的
D.大前提错
2.“ 四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提（ ）
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形 3.“因对数函数log a y x =是增函数（大前提），而x y 3
1log =是对数函数（小前提），
所以x y 3
1log =是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提都错导致结论错 4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，
又因为a 与b 互为相反数且 . 所以8b =.
（2）因为 ，
又因为 71828.2=e 是无限不循环小数， 所以e 是无理数.
5.将下列推理恢复成完全的三段论
（1）因为ABC ∆三边长依次为5，12，13，所以ABC ∆为直角三角形；
（2）函数12++=x x y 的图象是一条抛物线. 【解析】
6.用三段论证明通项公式为d n a a n )1(1-+=（1a 、d 为常数）的数列{}n a 是等差数列. 【证明】
五、学后反思
演绎推理
教学过程： 一、课前准备：
1. 练习： ①答：2(1)21n n +>-
②答：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则. 2. 讨论：答：合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明. 3.① 铜能够导电 ；
② 天王星以椭圆形轨道绕太阳运行 ；
③ 奇数都不能被2整除，2011是奇数，所以 2011不能被2整除 . 4.答：不一样，是演绎推理. 二、讲授新课： （二）典型例题： 【例1】 【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直 （大前提）
正方形是菱形 （小前提） 所以，正方形的对角线相互垂直 （结论）
（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）
1∠和2∠不相等 （小前提） 所以，21∠∠和不是对顶角 （结论）
（3）所有的循环小数是有理数 （大前提）
0.332是循环小数 （小前提） 所以，0.332是有理数 （结论） （4）三角函数是周期函数 （大前提）
sin ()y x x R =∈是三角函数 （小前提）
所以，sin ()y x x R =∈是周期函数 （结论）
动动手：
大前提是：一元二次方程的判别式不小于零，则方程有实根.
小前提是：2(1)0x kx k ++-=的判别式224(1)(1)0k k k ∆=--=-≥. 结论是：方程2(1)0x kx k ++-=有实根. 【例2】 【证明】（1）不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立， (大前提) b a <，0m >， （小前提） 所以 bm am <. （结 论） （2）不等式两边加上同一个正数，不等式仍成立， (大前提) bm am <，ab ab = （小前提） 所以bm ab am ab +<+
即 ()()b a m a b m +<+ （结 论） （3）不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立， (大前提) ()()b a m a b m +<+，()0a a m +> （小前提） ()()b a m a b m a m a m
++<
++，即 b b m a a m +<+ （结 论）
动动手：
【解析】（1）lg lg (0)n a n a a =>， （ 大前提 ） 3
lg8lg 2=， （小前提 ） 所以lg83lg2=.
（ 结论 ） （2）lg lg lg (0,0)b b a a b a
=->>，
（ 大前提 ） 8lg0.8lg
10
=，
（小前提 ） 所以lg0.8lg8lg103lg 2131m =-=-=-
（ 结论 ）
四、反馈练习
1. C
2. B
3. A
4.（1）8a =-. （2） 无限不循环小数为无理数 ，
5.【解析】（1）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形（大前提）；
ABC ∆的三边长依次为5，12，13，而2
2212513+=（小前提）； ABC ∆是直角三角形（结论）.
（2）二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线（大前提）； 函数12
++=x x y 是二次函数（小前提）；
函数12++=x x y 的图象是一条抛物线（结论）.
6.【证明】一个数列从第二项起，后一项与前一项的差是同一个常数，这个数列是等差数列. （大前提） 因为111(1)[(2)]n n a a a n d a n d d --=+--+-=是常数， （小前提） 所以通项公式为d n a a n )1(1-+=（1a 、d 为常数）的数列{}n a 是等差数列.（结论）。