【人教版教材】初二八年级数学下册《第十八章小结与复习》课件

三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
四、其他重要概念及性质
1.两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距 离叫做两条平行线之间的距离. 2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
O D C
E
∴四边形CEBO是矩形.
例4 过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，
PF⊥CD于F.求证：AP=EF
证明： 连接AC、PC，
A
D
∵正边形ABCD是正方形，
∴BD垂直且平分AC， ∴PA=PC. P· F
B ∵ PE⊥BC， PF⊥CD，∠BCD=90°， E ∴四边形PECF是矩形， ∴EF=PC， ∴AP=EF.
在△ABE和△CDF中

∠B＝∠D， ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
AB＝CD ， ∠EAB＝∠FCD，
∵AD=BC ，∴AF=EC．
方法总结 利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常 用方法.
针对训练
2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC 至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G. 求证：∠E=∠F. 分析：四边形ABCD 是平行四边形 AB∥CD， AB=CD B AE∥CF， AE=CF ∠E=∠F E G
对角线平分一组对角
四个角 对边平行 且四边相等 都是直角
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形 平行 四边形 1.定义：两组对边分别平行 3.两组对角分别相等 5.一组对边平行且相等 条件 2.两组对边分别相等 4.对角线互相平分
CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG． 证明：连接DE，FG， ∵BD、CE是△ABC的中线， A
∴DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE= 同理：FG∥BC，FG= BC，
2 1 BC， 2 1
E
F
O
D G
B
C
∴DE∥FG，DE=FG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴EF∥DG，EF=DG．
针对训练
5.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边
AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝ 4 90°， EF＝4.则GH的长为
分析：分别过F，G作垂线， 可证△HGN≌△EFM，于 .
是可得GH=EF=4.
N M
考点三 三角形的中位线
例6 △ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、
例2 如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， 分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
1 1 ∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD， 2 2
证法2：连接GB，
∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴ ∠ABC=∠AGF=90°. 由题意知AB=AG， ∴ ∠AGB=∠ABG，
∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB，
即∠HBG=∠HGB， ∴ HG=HB.
例5 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延 长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，
∵∠ODA=90°， ∴AD= OA2 -OD2 =4cm． 故选A．
方法总结 主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互 相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
针对训练
1.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交 于点O，AC=24cm，BD=38cm， AD=28cm，则△BOC的周长是（ B ） A．45cm C．62cm B．59cm D．90cm
∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD. 在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF. (2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°，∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝3，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝3－1 .
C
针对训练
4.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方 形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线 段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.
解：HG=HB. 证法1：连接AH， ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴ ∠B=∠G=90°. 由题意知AG=AB，又AH=AH， ∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）， ∴ HG=HB.
所以DM是△BCN的中位线，
1 1 DM= NC= (AC-AN)=3. 2 2
12 D
18
N 3 M
6
C
B
课堂小结
矩形
正 方 形
菱形
平行四边形 四边形
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
第十八章 形
要点梳理
平行四边
小结与复习
考点讲练 课堂小结 课后作业
一、几种特殊四边形的性质
项目 四边形 边 角 对角线 对称性
对边平行 且相等 对边平行 且相等
对边平行 且四边相等
对角相等 四个角 都是直角 对角相等
互相平分
中心对称图形 中心对称图形
பைடு நூலகம்互相平分且相等
轴对称图形
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条 中心对称图形
A
D C
AB∥CD BE=DF， AB=CD
H F
四边形AFCE是 平行四边形
考点二 特殊平行四边形的性质与判定
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， 1 ∴AC=BD，OA=OC= AC， 2 1 OB=OD= BD， 2 ∴OA=OC=OD，
方法总结 利用三角形的中点，构造中位线，然后利用中位线的性 质，得到线段的平行或倍数关系.
针对训练
6.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，
BD⊥AD于D，AB=12， AC=18. 则DM的长为 解析：延长BD交AC与N， 易证△ADB≌△ADN， A 3 .
得AN=AB=12，BD=ND.
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
菱形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
正方形
考点讲练
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm， BD=6cm，则AD的长为（ A ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC=
1 1 AC=5cm，OB=OD= BD=3cm， 2 2
∴四边形AODE是菱形；
针对训练
3.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD， BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵DE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. A B