拓展训练：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系在空间几何的研究中，平面和直线是最基本的几何元素之一。
它们之间的位置关系对理解空间几何的特性和性质起着至关重要的作用。
本文将探讨平面与直线的七种常见位置关系，并通过具体例子进行说明。
一、平面与直线相交于一点当一个平面与一条直线相交于一点时，我们称这两者的位置关系为相交于一点。
在这种情况下，平面可以被视为一个切平面，将直线切割成两段。
如图1所示，平面P与直线L相交于点A。
图1 平面与直线相交于一点二、平面与直线相交于多个点当一个平面与一条直线相交于多个点时，我们称这两者的位置关系为相交于多点。
这种情况下，平面将直线切割成多段，直线的起点和终点都在平面上。
如图2所示，平面P与直线L相交于点B、点C和点D。
图2 平面与直线相交于多个点三、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们称这两者的位置关系为直线在平面上。
换句话说，直线上的任意一点都落在平面上。
如图3所示，直线L完全位于平面P上。
图3 直线在平面上四、平面与直线相交当一个平面与一条直线有公共点，但该直线不完全位于平面上时，我们称这两者的位置关系为相交。
如图4所示，平面P与直线L相交于点E和点F，但直线L的一部分位于平面外。
图4 平面与直线相交五、直线平行于平面当一条直线与一个平面没有公共点，且直线与平面的方向相同或者相反时，我们称这两者的位置关系为平行。
如图5所示，直线L与平面P平行。
图5 直线平行于平面六、直线垂直于平面当一条直线与一个平面垂直且通过该平面的法线时，我们称这两者的位置关系为垂直。
如图6所示，直线L垂直于平面P。
图6 直线垂直于平面七、直线与平面重合当一条直线与一个平面重合，即二者完全重合时，我们称这两者的位置关系为重合。
如图7所示，直线L与平面P重合。
图7 直线与平面重合综上所述，空间几何中的平面与直线有七种常见的位置关系，分别为相交于一点、相交于多点、直线在平面上、相交、平行、垂直和重合。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
课题：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系教学目的：（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。
教学重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
教学难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
教具：多媒体、实物投影仪教学过程:一.情境设置，导入新课：问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？二.讲解新课：直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例1. 下列命题中正确的个数是①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.课后练习：注意符号语言。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线α∥β α∩β= L例2. 下列命题中正确的个数是（ B ）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线没有公共点.A ．0B ．1C ．2D ．3（选讲）例3： 已知平面α∥β，直线a α⊂，求证a ∥β.证明：假设a ∥β，则a 在β内或a 与β相交.∴a 与β有公共点.又a α⊂.∴a 与β有公共点，与面α∥面β矛盾.∴α∥β.练习：1．已知α，β，直线a ，b ，且α∥β，a α⊂，b β⊂，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系？答案：平行或异面2．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.答案：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.3．空间的三个平面的位置关系有几种情形？请画图表示所有情形.答案：5种 图略小结：略作业：课后2.1全品练习。
空间中直线与平面之间的位置关系教案
空间中直线与平面之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.三维目标1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系.2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.3.进一步培养学生的空间想象能力.重点难点正确判定直线与平面的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做直线在平面内？②什么叫做直线与平面相交?③什么叫做直线与平面平行?④直线在平面外包括哪几种情况?⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.⑤直线在平面内a⊂α直线与平面相交a∩α=A直线与平面平行a∥α应用示例思路1例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确； l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B变式训练请讨论下列问题：若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：如图4,∵a∥b,图4∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l,∴AB⊂α，即l⊂α.同理b、c确定一个平面β，l⊂β,∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面,∴α与β重合.故l与a、b、c共面.变式训练已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.∴P∈β，a⊂β，P∉a.又P∈α，a⊂α，P∉a,由推论1：过P、a有且只有一个平面,∴α、β重合.∴PQ⊂α.点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.思路2例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式训练若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.答案：D变式训练不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.答案：①变式训练若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a 平行(4)α内不存在与a平行的直线分析：∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.知能训练已知α∩β=l,a⊂α且a⊄β,b⊂β且b⊄α,又a∩b=P.求证：a与β相交,b与α相交.证明：如图10,∵a∩b=P,图10∴P∈a,P∈b.又b β,∴P∈β.∴a与β有公共点P,即a与β相交.同理可证,b与α相交.拓展提升过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,图11 图12 图13显然，平面PQ是符合要求的平面.(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.课堂小结本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.作业课本习题 A组7、8.。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
2.1.3—4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
3、直线与平面、平面与平面的位置关系【主要知识】（一）直线与平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:______________；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ______________；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: ___________；若按是否平行分类：①直线与平面平行②直线与平面不平行⎩⎨⎧直线在平面内直线与平面相交若按是否在平面内分类：①直线在平面内②直线不在平面内⎩⎨⎧直线与平面平行直线与平面相交（二）平面与平面的位置关系（1）平面与平面平行（2）两平面相交【习题讲解】1、直线与平面α不平行，则（ ）A 、与α相交B 、⊂αC 、与α相交或⊂αD 、以上结论都不对2、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A 、在平面内B 、相交C 、平行D 、以上皆有可能3、已知βα∥，直线α⊂a ，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中（ ）A 、不一定存在与a 平行的直线B 、只有两条与a 平行的直线C 、存在无数多条与a 平行的直线D 、存在唯一一条与a 平行的直线4、下列命题：①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α∥l ；②若直线a 在平面α外，则α∥a③若直线a ∥b ，直线α⊂b ，则α∥a④若直线a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数直线其中真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45、在空间中，下列命题：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②如果a ，b 是两条直线且a ∥b ，那么a 平行于过b 的任何一个平面③如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线与平面内的任何一条直线平行； ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个6、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ）A 、都平行B 、在两个平面内C 、都相交D 、至少和其中一个平面平行7、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A 、平行B 、异面C 、相交D 、平行或异面【巩固练习】1、在三棱锥的6条棱中，异面直线共有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对2、若两个平面内分别有一条直线，且这两条直线是异面直线，则这两个平面的公共点的个数是（ ）A 、有限个B 、无限个C 、一个也没有D 、一个也没有或无限个3、在以上四个命题中，正确的命题是（ ）①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC 的三个顶点在平面β的同一侧，到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行A 、③④B 、②③④C 、②④D 、①④4、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A 、α内的所有直线与m 异面B 、α内不存在与m 平行的直线C 、α内存在唯一一条直线与m 平行D 、α内的直线与m 都相交5、如果两平面平行，那么平行于其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系是__________。
2.1.3-4空间中 直线与平面、平面与平面之间的位置关系
a
①直线a和面α 相交 ：
如图： ②直线a和面α 平行 ：
.
A
a
a
如图：
尝
试
练
习
例1、判断下列命题的正确
（1）若直线l上有无数个点不在平面 内， （2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任 意一条直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行。（ ） （4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。（ ）)
【解析】①正确，②错误．如图1所示
l1∥m，l1∥β，
而l2∥m，l2⊂β.
③正确.如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中 直线A1C1与直线BD异面， A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥ 平面A1B1C1D1， 故③正确． ④错误，直线还可能与平面相 交，由此可知①③正确，故选C.
要点二 平面与平面的位置关系 空间中的两个平面有且只有两种位置 关系：两平面平行和两平面相交．
1 ．画两个平行平面时，要注意把表示平面的平 行四边形画成对应边平行，如图．
2．画两个相交平面时，要注意画出交线， 被遮挡住的部分用虚线或者不画．
例4 α、β是两个不重合的平面，下面说法中正确 的是( ) A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C.若直线a与平面α和平面β都成相等的角，那么α∥β D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
A′
D A B′ C B
C′
小结：
空间中直线与平面之间的位置关系有几种？
直线与平面 的位置关系 直线在 平面内 直线与平 有无数个公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 公共点个数 图形语言 符号语 言
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、导入课题教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例4（投影）师生共同完成例4例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P51 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
人教课标版高中数学必修2拓展训练：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1．过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作【 】
A ．1个
B ．1个或无数个
C ．0个或无数个
D ．0个，1个或无数个
2．已知m n ,为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l 【 】
A ．与m n ,都相交
B ．与m n ,中至少一条相交
C ．与m n ,都不相交
D ．至多与m n ,中的一条相交
3．若两个平面互相平行， a ,b 分别是在这两个平面内的两条直线，则a ,b 的位置关系是 ．
4．如图，空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD
的中点，F ，
G 分别是边BC ，CD 上的点，且3
2==CD CG CB CF ，求证：直线EF ，GH ，AC 交于一点．
参考答案
1.D
2. B
3.平行或异面
4.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH//1
2BD.又
3
2
=
=
CD
CG
CB
CF
，
∴FG//2
3
BD.∴EH∥FG，且EH＜FG.∴FE与GH相交.设交点为O，又O 在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内.同理，O在平面ABC内.从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.∴直线EF，GH，AC交于一点．。
必修2.2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
§必修2.2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1．了解直线与平面之间的三种位置关系． 2．了解平面与平面之间的两种位置关系．3．会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系．1．直线和平面的位置关系位置 关系 直线a 在平面α内 直线a 在平面α外直线a 与平面α相交 直线a 与平面α平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点无公共点 符号 表示 a ⊂αa ∩αa ∥α图形 表示2．两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β 0个两平面相交α∩β有无数个 (在一条直线上)题型一 直线与平面的位置关系例1 下列命题中，正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平例题讲解知识梳理学习内容教学目标行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①正确，②错误．如图甲所示，l1∥m，l1∥β，而l2∥m，l2⊂β.③正确．如图乙所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确．④错误，直线还可能与平面相交，由此可知，①③正确，故选C.答案：C点评：解决此类问题，首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义，然后再按照逐一否定的方法，确定直线与平面的位置关系．巩固对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线题型二平面与平面的位置关系例2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图(1)，(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．分析：在图甲中，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．在图乙中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明：在图甲中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD 的公共点，故AM所在直线为两平面的交线．在图乙中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M是平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又因为B也是两平面的公共点，所以BM所在直线即为两平面的交线．点评：由公理3知两平面交线的存在性与唯一性，要确定两平面的交线只需确定两个平面的两个公共点即可．巩固α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β题型三 数学语言的相互转换例3 若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系．解析：用符号语言表示为：若a 与b 异面，a ⊂α，则b ∥α或b ∩α＝A .如图所示．点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面．巩 固 分别按下列条件画出直观图．(1)a ∩b ＝P ，a ∥平面α，b ∩平面α＝A ；(2)平面α∩平面β＝l ，a ∩平面β＝A ，a ∥平面α；(3)α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，按直线a ，b 的不同位置关系来画图．解析：(1)根据题设及平面图形直观图的画法，得直观图(如图甲)． (2)根据题设及平面图形直观图的画法，得直观图(如图乙)．(3)如图丙，直线a ，b的位置关系是平行、相交或异面．丙A 组综合题库1．填空：（1）正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AB相交的面有__________个．（2）直线在平面外，则直线与平面的关系是什么__________．（3）直线与平面有公共点，则直线与平面的关系是__________．（4）直线与平面没有公共点，则直线与平面的关系是__________．（5）当直线与平面相交时，平面上是否存在与该直线平行的直线？__________．2．a∥α，b⊂α，那么a，b的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行或异面D．平行或异面3．一条直线与两个平行面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是() A．平行B．直线在平面内C．相交D．平行或直线在平面内4．若直线a平行于直线b，则过a且与b平行的平面有________个．5．用符号表示语句：“直线l经过平面α内一定点P，但l在平面α外”并画图形．B组1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交2．直线a在平面γ外，则()A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点3．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面4．直线与平面平行是指()A．直线与平面内的无数条直线都无公共点B．直线上两点到平面的距离相等C．直线与平面无公共点D．直线不在平面内5．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则() A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一条边平行于αC．△ABC中至少有两条边平行于αD．△ABC中只可能有一条边与α相交6．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系为()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面或相交C组1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥β，b∥β⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥β，a∥α⇒α∥β；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是()A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤2．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．证明：原题可化为已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾．假设a⊂α，就与B∈a，B∉α矛盾．∴假设不成立．∴直线a和平面α相交．3．如图1是一个正方体(如图2)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题：(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．(1)解析：MN与PQ是异面直线，如图，在正方体中，PQ∥NC，∠MNC为MN与PQ所成角．∵MN＝NC＝MC，∴∠MNC＝60°.(2)解析：设正方体的棱长为a，则正方体的体积V＝a3.而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP⊥面MPQ.∴V NPQM＝13×12MP·MQ·NP＝16a3，即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1 : 6.1．直线与直线的位置关系有三种，直线与平面的位置关系有三种，平面与平面的位置关系有两种，在判断其位置关系时，要善于采取逐一判断的方法，以免漏掉一种情形．2．要充分借助长方体、正方体和现实生活中实物模型的辅助作用，研究、解决相关问题．。
空间几何的平面与直线的位置关系
空间几何的平面与直线的位置关系在空间几何中，平面与直线是两种基本的几何要素，它们之间具有多种不同的位置关系。
本文将探讨平面与直线的几种常见的位置关系。
平面与直线的位置关系主要包括以下几种：平行、相交、重合和相交于一点。
下面将分别对其进行介绍。
1. 平行关系当一个直线与一个平面的所有点都不相交时，我们称该直线与该平面平行。
平行关系可以进一步分为两种情况：平面与直线平行和平面与平面平行。
1.1 平面与直线平行当一个直线与一个平面平行时，我们可以通过观察它们的方程来判断。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的方程为lx + my + nz + k = 0。
如果直线的法向量（l，m，n）与平面的法向量（A，B，C）相同或成比例，且k ≠ D，则可以判断该直线与该平面平行。
1.2 平面与平面平行当两个平面的法向量成比例，且它们的截距常数不相等时，我们可以判断这两个平面平行。
2. 相交关系当一条直线与一个平面的交点存在时，我们称该直线与该平面相交。
2.1 直线交平面于一点当一条直线与一个平面仅有一个交点时，我们称该直线与该平面相交于一点。
2.2 直线穿过平面当一条直线与一个平面有无限个交点时，我们称该直线穿过平面。
这种情况下，直线与平面的交点集合构成一条光滑的曲线，称为直线在平面上的投影曲线。
3. 重合关系当一个平面与另一个平面重合时，它们的所有点都完全一样。
也就是说，两个平面之间不存在任何差异。
总结起来，平面与直线的位置关系主要有平行、相交、重合和相交于一点四种情况。
我们可以通过观察它们的方程或者判断它们的交点个数来确定它们的位置关系。
在实际应用中，平面与直线的位置关系有着广泛的应用。
例如，在工程测量中，我们需要确定给定平面上某一直线的投影点；在建筑设计中，我们需要判断某条直线是否平行于某个平面，从而确定建筑物的布局等。
综上所述，平面与直线的位置关系是空间几何中的重要内容。
通过判断平面与直线的位置关系，我们可以深入理解空间几何的性质，为实际问题的解决提供有效的方法。
空间直线与平面之间的位置关系,直线与平面,平面与平面的关系及其判定
承接上次课：空间直线与平面之间的位置关系：平面与平面之间的位置关系：⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]例题1、 .例题2、 已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面： ①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ； ③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α； ④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α. 其中正确的命题是（ A ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤例3、下列命题中正确的个数是（ B ）⑴若直线L 上有无数个点不在平面α内，则L ∥α F(2)若直线L 与平面α平行，则L 与平面α 内的任意一条直线都平行 F(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平 F （在平面内） (4)若直线L 与平面α平行，则L 与平面α内任意一条直线都没有公共点 （A ）0 (B) 1 (C) 2 (D)3例4、已知直线a 在平面α外，则 （ D ）（A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点（C ）（D ）直线a 与平面α至多有一个公共点a A α⋂=例5..以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ A ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 例6.已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ D ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个例7.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ C ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ⊂α例8.已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ C ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 例9.下列说法正确的是 ( B )A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M 例10.平面的公共点多于2个，则 （ C ） A.可能只有3个公共点B.可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上C.一定有无数个公共点D.除选项A ，B ，C 外还有其他可能例11、ABC ∆在平面α外，AB P α= ，BC Q α= ，AC R α= ，求证：P 、Q 、R 三点共线.βα,βα,βα,βα,例12、空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.例题1、判定定理法：例题2、反证法：直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.线线平行⇒线面平行两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反证法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.判定平面与平面平行通常有5种方法：⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).例题1、已知正方体ABCD-1111A B C D ,求证：平面11AB D //平面1C BD 。
02空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
第三课时空间中直线与平面、平面与平面的位置关系一、知识点回顾与梳理1、直线和平面的位置关系α=A说明：直线与平面的位置关系的分类有两种分类情形：（1）按公共点的个数分类可分类为：直线和平面平行与直线和平面不平行，而直线和平面不平行又分为直线和平面相交（有且只有一个公共点）与直线在平面内（有无数个公共点）；（2）按是否在平面内进行分类又可分为：直线在平面内与直线不在平面内，而直线不在平面内又可分为：直线和平面相交与直线和平面平行。
2、两个平面的位置关系两个不重合的平面的位置关系有以下两种：β=a二、典型例题分析与方法总结问题：线面、面面位置关系的判断例1、对于任意的直线l和平面α，在平面α内必有直线m，使m和l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面aα，则b与α的位置变式1：已知,a b表示两条不同的直线，α表示平面，若a//b，//关系是（）A ．b αB ．//b αC ．b α⊂D ．//b α或b α⊂变式2：已知直线,l m ，平面α，若//l m ，且l 与α相交，则m 与α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．//m α C ．m α⊂ D ．m α⊄例2、三个平面,,αβγ，如果//αβ，,a b γαγβ==，且直线,//c c b β⊂。
（1）判断c 与α的位置关系，并说明理由； （2）判断c 与a 的位置关系，并说明理由。
例3、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．以上都不是例4、求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交。
方法总结：证明直线与平面相交的一般方法有：（1）否定直线在平面内，否定直线和平面平行； （2）证明直线在平面外且和平面只有一个公共点。
空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系在三维空间中，直线和平面是两个基本的几何概念。
它们之间的位置关系包括直线在平面上、直线与平面平行以及直线与平面相交等情况。
本文将就这些不同的情况逐一进行讨论，以便更好地理解直线和平面之间的位置关系。
一、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面内时，我们称该直线在该平面上。
直线在平面上的特点是直线上的任意两点都在该平面上。
可以通过给定直线上两个点和该直线的方向向量来确定一条直线。
对于给定平面，可以通过平面上一点和该平面的法向量来确定一个平面。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则该直线在此平面上。
二、直线与平面平行当一条直线的方向向量与平面的法向量平行时，我们称该直线与该平面平行。
直线与平面平行的特点是直线上的所有点到平面的距离都相等。
可以通过给定直线上一点和该直线的方向向量来确定一条直线。
对于给定平面，可以通过平面上一点和该平面的法向量来确定一个平面。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则该直线与此平面平行。
三、直线与平面相交当一条直线与一个平面的交点不止一个时，我们称该直线与该平面相交。
可以通过给定直线上一点和该直线的方向向量来确定一条直线。
对于给定平面，可以通过平面上一点和该平面的法向量来确定一个平面。
直线与平面相交的特点是它们有一个交点，并且交点同时在直线上也在平面上。
总结起来，在空间中，直线和平面之间的位置关系可以归结为三种情况：直线在平面上、直线与平面平行以及直线与平面相交。
判断直线和平面之间的位置关系需要根据给定的方向向量和法向量，通过比较它们的关系来确定。
这些几何概念和位置关系在数学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学、物理学等领域。
通过以上的讨论，我们可以更好地理解空间中直线与平面的位置关系。
不同的位置关系带给我们不同的几何特征，这也为我们解决实际问题提供了方便。
因此，在进行几何分析和计算时，我们需要准确理解直线和平面之间的位置关系，以确保分析和计算的准确性。
空间中直线与平面及平面与平面之间的位置关系
b
(2)求证：两条平行线中的一条直线与已知 平面相交，则另一条直线也与该平面相交.
证明：由题意a // b, 设a P
假设b与平面不相交,
则b // 或b
a
a
(3)直线a与平面平行
a
(4)平面与相交
例2.下列命题中正确的个数为( B )
(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直 线与平面内的任意一条直线平行. (2)如果三个平面有公共点，那么这三个平面不 一定有公共直线. (3) 过平面外一点有且只有一条直线与平面平行. (4)一条直线上有两点到一个平面的距离相等， 则这条直线平行于这个平面
A.0 B.1 C.2 D.3
例3.(1)已知一条直线与一平面平行，求证： 经过这个平面内的一点与这条直线平行的 直线必在这个平面内.
(1)证明：（用反证法）
假设b A ，A b， b与相交
a ∥，A A a
则过点A和a存在一个平面 ，即A ，a ,
空间中直线与平面及平面与 平面之间的位置关系
吴兴高级中学数学组
【学习要求】
1.了解直线与平面的位置关系，并学会用符 号和图形来表示它们. 2.了解平面与平面的位置关系，并学会用 符号和图形表示它们. 3.通过具体实例(如教室)或实物模型(如长方 体)来感受直线与平面、平面与平面的位置 关系，进一步体会空间与平面的差异性及 转化关系.
有一条公 共直线
∥ a
a
2.画法：
(1)两个平行平面的画法
图1
图2
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
(2)拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它 们之间的位置关系有几种？ 提示：从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有 平行和相交两种．
二、归纳总结·核心必记 1．直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面外
直线在平面内 直线与平面 直线与平面
相交
平行
公共点 符号表示
_无__数__个 _a_⊂__α___
平面 α 内的无数条直线．其中说法正确的个数为
()
A．0
B．1 个
C．2 个
D.3 个
[解析] 对于①，直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 或 a 与 α 相交，∴a 和 α 不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线 a∥b，b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共 点，但 a 可能在平面 α 内，∴a 不一定平行于 α，∴②说法错 误．
提示：电线杆所在直线与地面相交，电线所在直线与地面 平行．
(2)直线与平面有哪些位置关系？ 名师指津：直线与平面的位置关系有平行、相交和直线在 平面内三种位置关系．
(3)画直线和平面的位置关系时有什么要求？ 名师指津：①画直线 l 在平面 α 内：如图 a 所示． 要求：表示直线 l 的线段只能在表示平面 α 的平行四边形 内，而不能有部分在这个平行四边形外． ②画直线 l 与平面 α 相交：如图 b 所示． 要求：表示直线 l 的线段必须有部分在表示平面 α 的平行 四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有 较强的立体感．
③画直线 l 与平面 α 平行：如图 c 所示． 要求：最直观的画法是表示直线 l 的线段在表示平面 α 的 平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
[典例精析]
下列说法：
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
【自主解答】 ①错．a 与 b 也可能异面． ②错．a 与 b 也可能平行． ③对．∵α∥β，∴α 与 β 无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a 与 b 无公共点． ④对．由已知及③知：a 与 b 无公共点， 那么 a∥b 或 a 与 b 异面． ⑤错．a 与 β 也可能平行． 【答案】 ③④
1．仔细分析题目条件，将符号语言或自然语言转化为图形语 言，通过图形借 1 如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？ 【提示】 如果两个平面有一个公共点，那么由公理 3 可知：这两个平面 相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面
相互平行． 探究 2 若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平
面之间有什么位置关系？ 【提示】 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平
【精彩点拨】 解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征， 结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断．
【自主解答】 如图，在长方体 ABCDA′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′却在过 BB′的平面 AB′内， 故选项 A 不正确； AA′∥平面 B′C，BC⊂平面 B′C，但 AA′不平行于 BC， 故选项 B 不正确；
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
教材整理 1 直线与平面的位置关系
位置关系 直线 a 在平面 α 内 直线 a 与平面 α 相交 直线 a 与平面 α 平行
公共点 _有__无__数__个__公共点 有__且__只__有__一__个__公共点
_没__有__公共点
符号表示
_a_⊂__α_
已知下列说法： ①两平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b； ②若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ③若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 一定不相交； ④若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 平行或异面； ⑤若两个平面 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 【精彩点拨】 由平面间的位置关系逐一判断．
2.1.3空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系(1)
3如 果 两 条 平 行 直 线 中 的一 条 与 一 个 平 面 平 行, 那
么 另一 条也 与 这个 平面平 行
4若直线l与平面平 行,则l与平面内的任意一条直
线都没有公共点
练 习1.已 知直 线l // 平 面 , m // 平 面 ,则 直线l与m直 线的
位置关系可能有
练 习 2: 已 知 直 线不 在 平 面 α内 , 则 平 面 α内 至 少 有 一 条直 线 与 l A.异面 B.相交 C.平行 D.不确定
2已 知 平 面 // 平 面 ,直 线l与 平 面相 交,
则 直 线l与 平 面的 位 置 关 系 是
练 习3.A是 平 面外 一 点, B是 直 线l外 一 点,则
1过 点A与平 行 的 直 线 有 条 2过 点A与平 行 的 平 面 有 个 3过 点B与 直 线l平 行 的 平 面 有 个
练 习4.与 两 个 相 交 平 面 的 交 线平 行 的 直 线 和 这 两 个 平 面 的 位 置 关系 是 A.都 平 行 B.都 相 交 C .在 两 个 平 面 内 D.至 少 和 其 中 一 个 平 面 平行
二.平面和平面的位置关系：
两个平面平行－没有公共点 两个平面相交－有一条公共直线
例2.以下命题： （1）平行于同一条直线的两个平面平行； （2）平行于同一个平面的两条直线平行 （3）平行于同一个平面的两个平面平行；
(4）一个平面上不共线三点到另一平面的 距离相等，则这两个平面平行；
其中正确命题的序号是_____________。
2.1.3 空间中直线与平面 平面与平面的位置关系
一.直线和平面的位置关系有三种：
直线在平面内
直线和平面相交 直线在平面外
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 课件
于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
• [破疑点] 一般地，直线l在平面α内时，应把直线l画在表示 平面α 的平行四边形内，如图a；直线l与平面α相交时，应画 成直线l与平面α只有一个公共点，如图b；直线l与平面α平行 时，应画成直线l与表示平面α的平行四边形的其一边平行且 在表示平面的平行四边形外，如图c.
AA′∥平面BB′C′C， • ③[答案]×B A′D′∥平面BB′C′C，但
AA′与A′D′相交
•
规律总结：直线与平面位置关系的判断：
• (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，
这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型
(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
• (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，
• [错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透 彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑 了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上， 当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或 a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在 了．
• [正解] C
当堂检测
• 1．圆柱的两个底面的位置关系是( ) • A．相交 B．平行 • C．平行或异面 D．相交或异面 • [答案] B • [解析] 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
• ●误区警示
• 易错点 对于空间中的线面和面面位置关 系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真 分析，才能避免判断失误．
•
设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b
都平行的平面( )
• A．有且只有一个
B．恰有两个
• C．没有或只有一个
高中数学平面与空间点、直线、面之间的位置关系-(教师版)
平面与空间点、直线、面之间的位置关系1 平面无限延展，无边界.判断一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD (×)；两个平面可相交于一点(×).原因均是平面是无限延展的.2三个基本事实与三个推论①基本事实1不共线的三点确定一个平面.PS“确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.判断三点确定一个平面 (×)；原因是三点未必共线.用途:用于确定平面.②基本事实2如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.用途:常用于证明直线在平面内.③基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.推论2:两条相交直线确定一个平面.推论3:两条平行直线确定一个平面.3 图形语言，文字语言，符号语言的转化PS点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.2 空间点，直线，面之间的位置关系①线线的位置关系(1) 空间直线的位置关系{共面:异面:a∩ b=A,a//ba与b异面(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表述:a // b,b / / c⟹ a / / c(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(4) 异面直线:(i)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；(ii) 图形语言符号语言P∉αA∈αa∈αA∉α}⟹PA与a异面②线面的位置关系(1) 直线与平面的位置关系{l⊂α 在面内l∩α=A 相交l//α 平行(2) 图形语言例若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是答案m//M或者m⊂M.③面面的位置关系(1) 平面与平面的位置关系{ α //β 平行α∩β=a 斜交α⊥β 垂直(2) 图形语言【题型一】平面的确定【典题1】设P表示一个点，a ,b表示两条直线，α ,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()．① P∈a ,P∈α⇒a⊂α ② a∩b=P ,b⊂β⇒a⊂β③ a∥b ,a⊂α ,P∈b ,P∈α⇒b⊂α ④ α∩β=b ,P∈α ,P∈β⇒P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④【解析】对于①当a∩α=P时，P∈a ,P∈α，但a⊄α，①错；对于②a∩β=P时，②错；对于③如图，∵a //b ,P∈b ,∴P∉a ,∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β ,但β经过直线a与点P ,∴β与α重合，∴b⊂α ,故③正确；对于④P∈α ,P∈β⇒点P是平面α、β的公共点，α∩β=b⇒线b是平面α、β的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选D.【点拨】①熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；②判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；③确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.【典题2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．【解析】在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示．【点拨】其实就是过三直线A1D1，EF，CD中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点M、N，则直线MN为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线MN有无数条.【题型二】三点共线、三线共点、四点共面【典题1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P ,Q ,R分别在棱AB ,BB1 ,CC1上，且DP，QR 相交于点O，求证O ,B ,C 三点共线.【证明】∵ P∈直线AB ,D∈直线CD， ∴P∈平面ABCD. D∈平面ABCD.∴直线DP 平面ABCD.又∵O∈直线DP，∴O∈平面ABCD. 同理可证，O∈平面BCC1B1.∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直线BC，∴O∈直线BC.∴O ,B ,C三点共线.【点拨】①本题利用了基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.②证明三点A、B、C共线，一般思路是证明点A在直线BC上.【典题2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证:(1) E、C、D1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点．【证明】(1) 连接EF,CD1,A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF//A1B.又A1B//D1C ,∴EF//CD1，∴直线EF与直线CD1共面，即E、C、D1、F四点共面．(2) ∵EF//CD1 ,EF<CD1 ,∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE ,CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，∴P∈直线DA ∴CE、D1F、DA三线共点．【点拨】①证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)；②证明三线a,b,c共点P，一般思路是(1) 先设两直线a,b相交于点P,再证明点P∈c.(2) 证明a与b相交于点P，c与b相交于点M，再证明两交点P、M重合；③证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.巩固练习1(★★)一块蛋糕切三道最多可以切块？【答案】82(★)下列命题正确的是()Ａ.经过三点确定一个平面Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ.四边形确定一个平面Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【答案】D【解析】对于A,若三点共线时就错了；对于B，若点在直线上，是不能确定一个平面的；对于C，空间四边形就不属于平面图形，注意四边形在立体几何里分为平面四边形和空间四边形了。
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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1．过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作【 】
A ．1个
B ．1个或无数个
C ．0个或无数个
D ．0个，1个或无数个
2．已知m n ,为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l 【 】
A ．与m n ,都相交
B ．与m n ,中至少一条相交
C ．与m n ,都不相交
D ．至多与m n ,中的一条相交
3．若两个平面互相平行， a ,b 分别是在这两个平面内的两条直线，则a ,b 的位
置关系是 ．
4．如图，空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD
的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且
3
2==CD CG CB CF ，求证：直线EF ，GH ，AC 交于一点．
参考答案1.D 2. B 3.平行或异面
4.∵ E、H分别是AB、AD的中点，∴ EH//1
2BD.又
3
2
=
=
CD
CG
CB
CF
，
∴ FG//2
3
BD.∴EH∥FG，且EH＜FG.∴ FE与GH相交.设交点为O，又O在GH 上，GH在平面ADC内，∴ O在平面ADC内.同理，O在平面ABC内.从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.∴ 直线EF，GH，AC交于一点．。