【精品+经典】第20章 四边形复习资料
沪科第二十章四边形复习
A
H
D
E
G
B
F
C
初中数学资源网
（2008 聊城） 如图， 矩形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点， 过 O 点的直线 EF 与 AB，CD 的延长线分别交于 E，F ． （1）求证： △BOE ≌△DOF ； （2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结 论． F A D
性质：
D A O B C
1）对边平行，四条边都相等 。
2）对角相等。
3）两条对角线互相垂直平分 ，
每条对角线平分一组对角。 4）轴对称和中心对称。
Hale Waihona Puke 判定方法：1）四条边都相等的四边形。 2）是平行四边形，并且有一组邻边相等。 3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。
A O
D
性质：
1）对边平行，四条边都相等 。 2）四个角都是直角。
三、几种特殊四边形的性质 边 平行 四边形 对边平行 且相等 角 对 角 线
对称性
分一组对角 两条对角线互相垂 对边平行， 正方形 四条边 四个角 直平分且相等，每 条对角线平分一组 都是直角 对角 都相等 两底平行，同一底上的 等腰梯形 两腰相等 两个角相等
对角相等 两条对角线互相 中心对称 平分 对边平行 四个角 两条对角线互相平 轴对称 矩 形 且相等 都是直角 分且相等 中心对称 两条对角线互相垂直 轴对称 菱 形 对边平行， 四 条边都 对角相等 平分，每条对角线平 中心对称
菱 形
平行且相等;
（1）四条边都相等； （2 ）有一组邻边相等的平行四边形；
(3 ) 两条对角线互相垂直的平行四边形。
正方形
（1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形；
沪科版八年级数学下第20章单元复习
D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
第七页，共21页。
7. 正方形与平行四边形共同具有的特征为（ ）C
A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.每条对角线平分一组对角
8.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )
A.等腰三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.等腰梯形
9. 菱形ABCD的周长为20cm，∠ABC＝120°,则对角线
第20章 《四边形》
第一页，共21页。
整体把握概念和性质
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
矩形
菱 形
正方形
第二页，共21页。
你能设计出本章四边形和特殊四边形之间的 包容关系图吗？
四边形
平行四边形
矩形
正 方
菱形
形
第三页，共21页。
你能根据特殊四边形的判定方法完成下表吗？ 有三个角是( 直角 )
矩形
求证: EF 1(BCAB)
2
A
E
F
B
M
C
第九页，共21页。
2.已知：如图，等腰梯形ABCD中，AB =CD， AD//BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上， AE=GF=GC。 （1 ）求证：四边形AEFG是平行四边行. （2）当∠FGC＝2∠EFB时，
求证：四边形AEFG是矩形
A
D
E
G
C E
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件
_______，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.
解：添加的条件_A__C_＝___B_D__ ① 若四边形EFGH为矩形，需添加条件___A__C_⊥__B_D_
《四边形》全章复习与巩固(基础) 知识讲解
《四边形》全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.4. 了解平面向量的概念，能求两个向量的加法和减法运算.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形内角和定理、外角定理n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 要点二、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行线的性质1.平行线间的距离都相等2.等底等高的平行四边形面积相等要点三、特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；（2）同一底边上的两个角相等；（3）两条对角线相等；（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）． 面积：2高（上底＋下底）＝梯形 S 等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形．（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现．三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.要点五、平面向量平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用,,a b c ……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作|AB |或｜a ｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.平面向量的加法：向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设,AB a BC b ==，则a b +＝AB BC +＝AC .向量加法的平行四边形法则：如果,a b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和,a b 相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a 与b 的和向量.向量的加法满足交换律a b b a +=+，满足结合律()()a b c a b c ++=++.零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量. a ＝0⇔｜a ｜＝0.00a a a +=+=.平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.要点诠释：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：+++++=，但这时必须“首尾相连”．AB BC CD PQ QR AR【典型例题】类型一、多边形1、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【思路点拨】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A；【解析】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n－2）＝360，解得：n＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n－2）．类型二、平行四边形2、如图，在ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】（2016春•江阴市期中）如图，在口ABCD中，AE=CF，M、N分别是BE、DF 的中点，试说明四边形MFNE是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF，∴M、N分别是BE、DF的中点，∴EM=BE=DF=NF，而EM∥NF，∴四边形MFNE是平行四边形．类型三、特殊的平行四边形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AND和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________2cm．【答案】5.1提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，222DC FC DF+=，解得x＝85，BF＝DE＝3.4，则DEF1=DE AB2S⨯△＝12×3.4×3＝5.14、（2016•东平县一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【思路点拨】（1）先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD；（2）由邻边相等可判断四边形BGFD是菱形；（3）设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【答案与解析】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：由（1）知四边形BGFD是平行四边形，又∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．【总结升华】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD是菱形．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF∴AB＝BC∴四边形ABCD是菱形.5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE∴△AHE≌△ECF （ASA）∴AE＝EF【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．类型四、梯形6、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，BC＝12，求∠B的度数．【答案与解析】解：过点A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AD＝EC，AE＝CD．∵AB＝CD＝7，AD＝5，BC＝12，∴BE＝BC－CE＝12－5＝7，AE＝CD＝AB＝7．∴△ABE为等边三角形．故∠B＝60°．【总结升华】梯形问题中所用的辅助线比较多，但其实质是将梯形问题化归为三角形、平行四边形问题来处理，具体做法要根据题目的条件和结论来确定.7、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC 上的点F 处．(1)求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积．【思路点拨】(1)要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8－EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．(2)直接根据梯形面积公式求解．【答案与解析】解：(1)设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，226810AC =+=．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3(2)由(1)得：AE ＝8－3＝5． ∴ ()(58)63922ABCE AE BC AB S ++⨯===梯形． 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．类型五、平面向量7、如图，点E 、F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，且EB ＝DF ．（1）填空：BC BA +=________；BA AF +=________；BC AF -=________．（2）求作：BC AF +.【答案与解析】（1）BC BA BD +=；BA AF BF +=；∵BC AD =，∴BC AF FD -=.（2）∵BC AD =，∴BC AF AD AF +=+，即根据平行四边形法则求和向量.图形如下所示：所求AO 为和向量.【总结升华】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握．。
第20章四边形知识点总结与例题分析
《四边形》知识点整理（1）平移梯形一腰 即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。
图1图2图3BC图4图5P（2）平移梯形的一条对角线即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题（3）作高线：过上底的两个端点作梯形的高线，将梯形分成两个直角梯形和一个矩形 （4）延长两腰：延长梯形两腰交于一点，构成两个三角形（5）全等变换：连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形。
3、正方形：判定方法（不要记，只须理解） 1：对角线相等的菱形是正方形。
2：对角线互相垂直的矩形是正方形，.对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
3：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
7：有一个角为直角的菱形是正方形。
8：既是菱形又是矩形的四边形是正方形 20、（2007•安徽）如图1，在四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD ，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点P 是对角线BD 上的一点，PQ∥BA 交AD 于点Q ，PS∥BC 交DC 于点S ，四边形PQRS 是平行四边形．（1）当点P 与点B 重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定。
专题：证明题；开放型。
分析：（1）可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR=∠DCR，进而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证△ABR≌△CRD；（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CD A，从而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD 故∠CDA=60度．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°解答：证明：（1）∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD．∵BC=CD，∴∠BCR=∠DCR．∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR=∠BAR．∴∠BAR=∠DCR．又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD．（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA，因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60°．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21、（2005•四川）己知：如图，E、F分别是▱ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定。
沪科版数学讲义 第20章 四边形
【沪科版】八年级下册数学讲义第20章四边形知识脉络：一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二定理：中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 公式： 1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高）2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线）四 常识：※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n -.2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴. ※5．梯形中常见的辅助线：n边形的的性质：（1）n 边形的内角和等于180)2(⋅-n ． （2）任意多边形的外角和等于360 （3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于nn 180).2(-四边形：平行四边形矩形菱形正方形图1FEDCBA 图2FE D CBA 四边形的内角和等于360°, 外角和等于360°1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角． 平行四边形的性质:(1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分．(5)中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
数学中考一轮复习专题20四边形课件
典型例题
知识点1：多边形
【例2】（5分）（202X•新疆12/23）四边形的外角和等于
°．
【解答】解：∵四边形的内角和为(4-2) ·180°=360°， 而每一组内角和相邻的外角是一组邻补角， ∴四边形的外角和等于4×180°-360°=360°． 故答案：360．
知识点1：多边形
典型例题
【例3】（3分）（202X•河北10/26）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD
知识点1：多边形
典型例题
【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x， 过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC， ∵∠FED＝120°，FE＝ED， ∴∠EFD＝∠FDE， ∴∠EDF= 1（180°﹣∠FED）＝30°，
2
∵正六边形ABCDEF的每个角为120°． ∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°． 同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°， ∴四边形AFDC为矩形，
202X年中考数学一轮复习
20 四边形
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
①探索并了解多边形内角和与外角和
公式；②通过探索平面图形的镶嵌，
多边
常以选择题、填空题的情势考查多边
1
知道任意一个三角形、四边形或正六
形
形内角和、外角和以及平面镶嵌．
边形可以镶嵌平面，并能运用这几种
图形进行简单的镶嵌设计．
常以选择题、填空题、证明题的情势
典型例题
知识点2：平行四边形
【例6】（2分）（202X•青海18/25）如图，在□ABCD中，对角线BD＝8 cm，
AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离
为
．
初二《四边形》复习资料
一、学习目标：1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形的性质．2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的相关计算问题及简单的证明题．3. 在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．4. 综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．二、重点、难点：重点：平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定方法．难点：综合运用平行四边形的性质和判定方法进行有关的论证和计算．三、考点分析：考查重点：（1）平行四边形的概念及面积的求法；（2）平行四边形的性质和判定；（3）理解平行四边形是中心对称图形，•过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分；（4）在平行四边形中运用全等三角形的知识解题．知识梳理1. 平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．注意：平行四边形中的对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角。
而三角形的对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角。
2. 平行四边形的性质（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．3. 平行四边形的判定方法（1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）用平行四边形的判定定理识别：判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形．判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．4. 三角形中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．典型例题知识点一：平行四边形的性质的应用例1.已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的性质应用。
四边形复习要点及练习
四边形复习要点及练习一、知识要点平行四边形1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．2．平行四边形的判定、性质主要分边、角、对角线三个方面①边：两组对边分别平行；两组对边分别相等；—组对边平行且相等．②角：两组对角分别相等；邻角互补．③对角线：对角线互相平分．以上条件均可判断某一四边形为平行四边形，反之亦成立，即平行四边形具有①两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等．②两组对角分别相等；邻角互补．③对角线互相平分．特殊的平行四边形1．矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．2．矩形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②矩形的四个内角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分；④矩形是中心对称图形，又是轴对称图形；3．矩形的判别方法：①有一个角是直角的平行四边形；②有三个角是直角的四边形；③对角线相等的平行四边形．4．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．5．菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；④菱形是中心对称图形，又是轴对称图形；⑤菱形的面积＝底×高＝两条对角线乘积的一半．6．菱形的判别方法：①有一组邻边相等的平行四边形；②四条边都相等的四边形；③对角线互相垂直的平行四边形．7．正方形的概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．8．正方形的性质：①具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；②正方形的四个角都是直角，四条边都相等；③正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④正方形是中心对称图形，又是轴对称图形；⑤正方形的面积＝边长的平方＝两对角线乘积的一半．9．正方形的判别方法：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；②有一组邻边相等的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线互相垂直的矩形；⑤对角线相等的菱形．二、结构框图八年级数学试题（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空：（每小题2分，共24分）1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。
2020春八年级数学下册 第20章平行四边形的判定单元复习习题课件 华东师大版
2.矩形的性质 (1)矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是 轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线； (2)矩形的四个角都是直角； (3)矩形的对角线相等且互相平分.由此条性质可以得到直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.菱形性质 菱形是特殊的平行四边形，除具备一般平行四边形的性质外， 还具有以下性质： (1)菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是 轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线； (2)菱形的四条边都相等； (3)菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一 组对角.
三、相关四边形的判定 1.平行四边形的判定 平行四边形的判定方法较多(共有五个)，因此证明时要先分析 条件，观察待证四边形中最容易得到的一个判定元素，然后分 析与这个元素搭配的判定方法中的另一个元素是什么.平行四边 形的判定定理的选择：
2.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线相等的平行四边形是矩形； (3)有三个角是直角的四边形是矩形； (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
2.两条平行线间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫 做两条平行线间的距离.两条平行线间的距离是一个定值，不随 垂线段位置的改变而改变，两条平行线间的距离处处相等. 3.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的定义既是性质也是判定. 4.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
第20章 单元复习课
一、四边形的相关定义 1.平行四边形的定义 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分 别平行”.
四边形的边角按位置关系可分为两类： 对边(没有公共端点的两条边) 邻边(有一个公共端点的两条边) 对角(没有公共边的两个角) 邻角(有一条公共边的两个角) 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段.
(华师大版)八年级下学期数学第20章知识点汇总
（华师大版）八年级下学期数学第20章知识点
汇总
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20.1平行四边形的判定
平行四边形的判定知识点1、四边形的内角和定理：四边形内角和等于360°; 2、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°; 3、多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°; 4、n边形对角线条数公式：
n(n-3)2(n≥3);
>>>>初二数学平行四边形的判定知识点
20.2矩形的判定
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
>>>>八年级数学知识点：矩形的判定知识点
20.3菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)四边形都相等的四边形是菱形。
>>>>初二数学知识点：菱形的判定知识点
20.4正方形的判定
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
>>>>八年级下册数学知识点：正方形的判定知识点
20.5等腰梯形的判定
1.两腰相等的梯形是等腰梯形
2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
>>>>初二年级数学知识点：等腰梯形的判定知识点
八年级下学期数学第20章知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!。
第20章 平行四边形平行四边形的特征(1)
第20章平行四边形平行四边形的特征(1) 第20 平行四边形201 平行四边形1、平行四边形的特征(1)教学目标1．认识平行四边形是中心对称图形。
2．理解平行四边形其边、角之间的位置关系和数量关系。
3．理解并掌握平行四边形的特征。
4．能灵活运用平行四边形的特征并进行简单的推理证明。
教学重点与难点重点：平行四边形的特征与性质的探索过程。
难点：发展学生的合情推理能力。
教学准备图钉、方格纸、剪刀、直尺、三角板等。
教学过程一、提问。
1．平行四边形是同学们常见的平面图形，你见过那些物体具有平行四边形的形状?2．你能从如图所示的图形中找出平行四边形吗?二、新授。
1．按本第30页的“探索”画图。
2．剪下平行四边形，沿平行四边形的各边再在一张纸上画一个平行四边形，各顶点记为A、B、、D。
通过连结对角线得交点，用一枚图钉穿过点，把其中一个平行四边形绕点。
旋转，观察旋转180°后的图形与原的图形是否重合。
重复旋转几次，看看是否得到同样的结果。
问题1：平行四边形是否是中心对称图形?问题2：请说出平行四边形边、角之间的位置关系和数量关系。
(出题的目的在于激发学生的积极性，培养学生的数学思维能力。
)3．小组讨论，探索结果。
平行四边形的对边相等，对角相等。
(整个过程注意引导学生观察、思考、发现问题。
有的学生可能发现对角线互相平分，要及时鼓励和肯定，表扬学习积极性较强的学生。
)三、应用举例。
1．例1 如图，在平行四边形ABD中，已知∠A=40°，求其他各个内角的度数。
(该题可以将∠A=40°改为∠B=140°，培养学生的发散思维能力。
)2．拓展延伸。
如图，在平行四边形ABD中，已知∠BA=20°，求各内角的度数。
3．例2 如图，在平行四边形ABD中，已知AB=8，周长等于24，求其余三条边的长。
四、巩固练习。
本第38页习题12．1的第1题。
五、堂小结。
这节你有什么收获?学到了什么?还有什么疑问吗?六、布置作业。
四边形复习要点
四边形复习要点一、知识点回顾：平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）和梯形，中心对称1、四边形性质：内角和__________、外角和____________；n边形的外角和_________，对角线的总条数___________。
判定两个重要推论：（1）_________________________________（2）_______________________ 会用尺规作图的方法n等分一条线段3、三角形的中位线：性质定理____________________________________________________ 梯形中位线：性质定理____________________________________________________4、中点四边形：它的形状由对角线决定，当两条对角线___________时，中点四边形是_______FEDCBA当两条对角线___________时，中点四边形是_______ 5、辅助线添加经验：（1）有直角三角形时斜边中线，垂线（2）有中点，构造中位线（3）连对角线（4）过定点作已知直线的平行线。
（5）梯形的几种重要辅助线，画图表示二、典型例题训练一15分钟完成以下填空、选择，复习必会知识点1、以不在同一条直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ C ）． （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个2、平行四边形一边的长是１０ｃｍ，则这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ D ）． （A ）４ｃｍ和６ｃｍ （B ）６ｃｍ和８ｃｍ （C ）８ｃｍ和１０ｃｍ （D ）１０ｃｍ和１２ｃｍ3、如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，OE ⊥BC 于E ，AC ＝5，AD ＝4，则OE 的长等于( A ).(A)1.5 (B)1 （4、如果一个菱形的周长16cm 、高是2cm ，那么这个菱形两邻角的度数比为（ D ）． （A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1:4 （D ）1:55、如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上的点，F 是BC 延长线上的点，且CE ＝CF ，若70BEC ∠=︒，则EFD ∠=_25_____度.6、一个梯形的上底上长为1cm ，下底长为4cm ，两条对角线的长分别为3,4cm cm ，则这个梯形的高等于__12/5____cm .7、等腰梯形的上底长为3cm ，腰长4cm ，其中锐角等于60︒，则这个梯形的下底长为____cm ，高为____cm ，面积等于____2cm . （7, 23 ， 103 ）训练二：方法探究例1、如图，已知平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，(1)若AE ＝3㎝，AF ＝4㎝，AD ＝8㎝求：CD 的长。
沪科版八年级数学下第20章单元复习
定
B
5. 矩形和菱形都具有的特征是（
）
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
6.在四边形ABCD中，OB是对角线的交点，能判定该
四边形是正方形的条件是（
）
A、AC=BD，AB=CD，AB∥CD B、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
7. 正方形与平行四边形共同具有的特征为（C
整体把握概念和性质
矩形
两组对边平行 平行四边形
菱
ห้องสมุดไป่ตู้
任意四边形
形
正方形
你能设计出本章四边形和特殊四边形 之间的包容关系图吗？
四边形
平行四边形
矩形
正 方
菱形
形
你能根据特殊四边形的判定方法完成下表吗？
有三个角是( 直)角
矩
形
两组对边分别（ 平行 形） 有一个角是(直角 ) 形
一组邻边
两组对边分别（相等 ）平 对角线 ( 相等 )
② 将△DCE绕点D顺时针旋转 90°得到 △DAE′ ，判断四边形BGDE′是什么 特殊四边形？并说明理由.
例练携手，巩固所学
例2：如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD交于点 O， E是 延长 线BD上的点，且△ACE是等边三角形．
求证：四边形 ABCD是菱形.
例练携手，巩固所学
60°
②当∠BAC等于
时，平行四边形ADFE
不存在；
解:③③当当△AABBC=分AC别时满，足平什行么四条边件形时AD，FE平时行菱四形边.形是
当菱形AB、=A正C且方∠形B.AC＝150°D时， F
平行四边形ADFE是正方形.
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第20章 四边形
一、多边形的内角和、外角和、对角线
n 边形内角和为2180)n -︒ （，任意n 边形的外角和为360º，对角线条数为32
()n n -。
二、正多边形
各边都相等，各个内角都相等的多边形叫做正多边形。
结论：正多边形每一个内角为2180360180)=n n n
-︒︒︒- （，每一个外角为360n ︒。
三、四边形与特殊四边形的关系
四、特殊四边形的性质和判定
1、性质
2、判定
几个推论：
（1）平行四边形的性质推论
A、夹在两条平行线间的平行线段相等；
B、平行线间的距离处处相等（2）矩形的性质推论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
五、三角形、梯形的中位线
1、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
（2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（3）逆定理1：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
证明格式：∵在 ABC中，D为AB中点，DE∥BC
∴E为AC中点，1
DE BC
2
2、梯形的中位线
（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
（2）定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
因此，梯形面积等于中位线与高的积。
六、中心对称图形
1、两点中心对称
定义：平面上有两点A、A＇，连接AA＇，取AA＇的中点O，那么就说点A和点A＇关于点O中心对称（简称点A和点A＇关于点O对称）。
其中一点叫做另一点关于点O的对应点（也叫做对称点），点O叫做点A与A＇的对称中心。
如图：
2、中心对称图形
定义1：在平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
定义二：如果一个图形上任意一点A关于某定点O的对应点A＇仍在这个图形上，那么这个图形叫做中心对称图形，点O叫做它的对称中心。
常见的中心对称图形有：线段、平行四边形（包括棱形、矩形、正
方形）、圆、正2n 边形（n 为大于2的整数）等。
3、两个图形中心对称
定义1：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心。
定义2：在平面上，如果图形F 上任意一点关于点O 的对称点组成了图形F ＇，那么就称这两个图形关于点O 中心对称。
点O 叫做对称中心。
4、中心对称图形的性质
（1） 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
（2）中心对称图形，对应线段相等且平行（或在同一直线上）
（3）如果两个图形关于某点中心对称，那么对应点连线都经过对称中 心，且被对称中心平分。
（4）关于中心对称的两个图形是全等形
5、作已知图形关于某点的中心对称图形
步骤：（1）连接决定已知图形形状、大小的点与对称中心，并延长至2倍，得到已知图形上的点的对应点。
（2）按已知图形的连接方式将求作的点依次连接。
即得所求图形。
例如：
已知：∆ABC 和点O ；求作：A B C '''∆，使A B C '''∆和∆ABC 关于点O 对称。