高一年级数学上册(人教版)《教材全解全析》

第一章高一数学（上）

第一章集合与简易逻辑 本章内容概述

【考纲要求】

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相关关系；掌握充要条件的意义. （3）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 【考点剖析】

“集合与简易逻辑”是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础.它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具.

集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的柱石之一.高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上.

本单元的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想都很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.

总之，集合与简易逻辑是高考中考查基础、考查能力与考查进一步学习的潜力的很好的命题材料. 【知识结构图】

§1.1集合 预备知识 初中数学基础知识

实数分类

课本知识导学运用

课本知识诠解 重要提示

１.集合的相关概念

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

２.元素与集合的关系

集合的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合常用大写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合Ａ，记作a ∈Ａ；如果a 不是集合Ａ的元素，就说a 不属于集合Ａ，记作a

Ａ（或a

Ａ）.可见，集合中的元素与集合间是从属关系.给出一个集合A 和一个元

素a ，a 要么是Ａ的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一.

３.集合的分类

按集合元素的个数，集合可分为有限集、无限集和空集.

有理数 无理数

分数 无理数

含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用符号表示.

４.集合的表示方法

集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.

重要提示

1.集合是现代数学中不加定义的基本概念，它的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．集合中的元素可以是人、物、数点、式子、图形等．

2.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.列举法常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.其中表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用删节号.

3.｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝有时也可写成｛x∈Ａ：Ｐ（x）｝或｛x∈Ａ；Ｐ（x）｝.

4.图示法的使用对象具

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这样的表示方法叫列举法.其特点是：①元素一般是有限个；②元素不重复，不遗漏，不计顺序地列举出来；③元素间用“，”隔开.

(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.一般格式为｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝，其中，x是集合的代表元素，Ａ是x的取值范围，Ｐ（x）是确定x应满足的条件.｛x∈A|Ｐ（x）｝即表示使命题Ｐ（x）为真的A中诸元素之集.例如，｛x∈R|x≤5｝，若从前后关系来看，集合Ａ已很明确，则可使用｛x|Ｐ（x）｝来表示，例如｛x|x≤5｝.

为了形象地表示集合，常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合，这种方法叫图示法(也称韦恩图法).

5.常用的数集及其记法

全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+.

全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q；

全体实数的集合通常简称实数集,记作R.

基础例题点拨

【例题1】下列各题中,分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集：

(1)组成中国国旗图案的颜色；

(2)世界上最高的山峰；

(3)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)组成的一切自然数；

(4)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l＞0)的所有的点P.

【解析】(1)｛红，黄｝，有限集；

(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；

有一定的局限性,但在处理有关抽象集合问题时,却有着独特作用.

（1）自然数集与非负整数集是相同的,即自然数集包括数0；

（2）Q、Z、R中排除0的集分别可表示为Q*、Z*、R*.

随笔：

一拖二

拖1用适当方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.

(1)不超过10的非负偶数的集合.

答案:｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;

(2)大于10的所有自然数组成的集合.

答案:｛x∈N|x＞10｝，无限集；

(3)方程x２-4=0的解集.

答案:｛-2,2｝,有限集;

(4)方程(x-1)２(x-2)=0的解集.

答案:｛1,2｝,有限集.

(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213,231，312，321｝，有限集；

(4)｛p|PO=l｝（Ｏ是定点,l是定长），无限集.

(2)｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集.

【思路点拨】对于有限集并且集合中的元素比较少时，一般采用列举法表示，并且不必考虑元素之间的顺序；对于有限集中元素比较多，以及无限集，通常采用描述法表示.