7向量法-电路定律的相量形式
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7电路定律的相量形式
1. 电阻元件 VCR 的相量形式
设图8.13(a)中流过电阻的电流为
则电阻电压为:
其相量形式:
图8.13(a)
以上式子说明:
(1)电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律:,图8.13(b)为电阻的相量模型图。
图 8.13( b )
(2)电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律:U R = RI
(3)电阻的电压和电流同相位,即:ψu = ψi
电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14(a)和(b)所示。
图 8.14(a)(b)
电阻的瞬时功率为:
即瞬时功率以2ω交变,且始终大于零,如图8.14(a)所示,表明电阻始终吸收功率。
2. 电感元件 VCR 的相量形式
设图 8.15(a)中流过电感的电流为
则
对应的相量形式分别为:
图 8.15 ( a )( b )
以上式子说明:
(1)电感的电压相量和电流相量满足关系:,其中X L=ωL =2πfL ,称为感抗,单位为Ω(欧姆),图8.16(b)为电感的相量模型图。
(2)电感电压和电流的有效值满足关系:,表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。
(3)电感电压超前电流相位,即:
电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16(a)和(b)所示。
注意:
(1)感抗表示限制电流的能力;
(2)感抗和频率成正比如图8.16(c)所示,当;电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16(a)和(b)所示。
图 8.16 (a)(b)(c)电感的瞬时功率为:
即电感的瞬时功率以 2ω交变,有正有负,如图8.16(a)所示。电感在一个周期内吸收
的平均功率为零。
3. 电容元件 VCR 的相量形式
图 8.17 ( a )( b )
设图8.17(a)中电容的电压为:
则对应的相量形式分别为:
以上式子说明:
(1)电容的电压相量和电流相量满足关系:
其中X C =1/ωC ,称为容抗,单位为Ω(欧姆),图8.17(b)为电容的相量模型图。
(2)电容电压和电流的有效值满足关系:,表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。
(3)电容电压滞后电流相位,即:
电容电压和电流的波形图及相量图如图8.18(a)和(b)所示。
注意: 容抗和频率成反比如图8.18(c)所示,当,说明电容有隔断直流的作用,而高频时电容相当于短路。
图 8.18 ( a )( b )( c )电容的瞬时功率为:
即电容的瞬时功率以 2ω交变,有正有负,如图8.18(a)所示。电感在一个周期内吸收的平均功率为零。
4. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此,在正弦稳态电路中,KCL 和KVL可用相应的相量形式表示。
对电路中任一结点,根据KCL有,由于
得 KCL 的相量形式为:
同理对电路中任一回路,根据 KVL 有,
对应的相量形式为:
上式表明:流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL ;而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL 。
例8-7 图(a)所示电路中电流表的读数为:A1=8A ,A2=6A ,试求:
(1)若,则电流表 A0的读数为多少?
(2)若为何参数,电流表 A0的读数最大?I0max = ?
(3)若为何参数,电流表 A0的读数最小?I0min = ?
(4)若为何参数,可以使电流表A0=A1读数最小,此时表A2=?
例 8 — 7 图(a)(b)
解:(1)设元件两端的电压相量为参考相量,根据元件电压和电流相量的关系画相量图如图(b)所示,则:
(2)因为是电阻,所以当也是电阻时,总电流的有效值为两个分支路电流有效值之和,达到最大值:
(3)因为是电感元件,所以当是电容元件时,总电流的有效值为两个分支路电流有效值之差,达到最小值:
(4)是电感元件,所以当是电容元件时,满足
例8-8 电路如图(a)所示,已知电源电压,求电源电流i(t)
例 8 — 8 图(a)(b)
解:电压源电压的相量为:
计算得感抗和容抗值为:
电路的相量模型如图(b)所示。根据 KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得:
所以
例8-11 图(a)所示电路I1=I2=5A,U=50V,总电压与总电流同相位,求I、R、X C、X L。
例 8 — 11 图(a)(b)解:,根据元件电压和电流之间的相量关系得:
所以
因为:
令上面等式两边实部等于实部,虚部等于虚部得:
也可以通过画图(b)所示的相量图计算。