海南省海南中学2020届高三数学第五次月考试题 文(含解析)
海南省海南中学高三第五次月考数学(文)试题
海南省海南中学高三第五次月考数学（文）试题（第I 卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．其考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知集合{1,2,3,4}A =,{|2,}B x x n n A ==∈,则A B =I （ ） A ｛1,4｝B ，｛2,3｝C ，}{2,4D ，｛1,2}2. 设i 是虚数单位，若复数1iz i=+，则z =（ ） A. 1122i - B. 112i + C. 112i - D. 1122i +3. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则2z x y =-的最小值为A.3-B. 2-C.1-D.2 4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x 错误!＋y 错误!，且BP→＝2P 加油A →，则 ( ) A ．x ＝23加油，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23加油C ．x ＝14，y ＝错误!未定义书签。
D ．x ＝3加油4，y＝145. 设,m n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，465=⋅a a ，则数列{}2log n a 的前10项和为A.5B.6C.10D.127,已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋错误!未定义书签。
的最小值为( ) A ．4 B ．2 2 C ．8 D ．168．已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为（ ） A ．283π+ B ．86π+ C ．43π+ D ．83π+9.面积为332的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为 22，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则VS的值是（ ）A.2B.1C.3D.210,若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数,b 是从012，，三个数中任取的一个数,则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是A.56B.34 C. 23 D. 4511．在ABC △中，内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且0sin 2sin =+A b B a ，若2a c +=，则边b 的最小值为（ ）A ．4B ．33C ．32D ．312．已知函数()32f x x mx nx =++（,m n R ∈）()f x 在1x =处取得极大值则实数m 的取值范围为A.3m ≠-B.3m >-C. 3m <-D.3m ≤-（第Ⅱ卷）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13,211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的a 值是____________. 14.已知函数()()f x A sin x ωφ=⋅+，(0,0,A ωφ>><）的部分图象如图所示，则(0)f =______ ．15.已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为____________16.已知数列{}n a 中，11a =，36a =，且1(2)n n a a n n λ-=+≥．则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项_和为____________三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 6，BC = 4，AA 1 =5，过1DD 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题(wd无答案)
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题一、单选题(★) 1. 设复数 ，若 z 的实部与虚部相等，则实数 m 的值为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3(★) 2. （）A ．-1B ．C ．0D ．(★) 3. 设集合 ， ，则 （）A ．B ．C ．D ．(★★) 4. 已知函数 若 ，则 a 的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．2(★) 5. 统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：分组（万贯）合计合计73359551301953311则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（）A ．0.5B ．2C ．5D ．10(★) 6. 已知等差数列的前 n 项和为 ，若，则（）A ．7B ．10C ．63D ．18(★★) 7. 函数 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．0(★★) 8. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆 O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题(★★) 9. 已知正方形的边长为 ，向量 ， 满足 ， ，则（） A ． B ． C ． D ．(★★) 10. 设 和 是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A ．若，，，则B ．若，，，则C ．若，，，则D．若，，，则(★★★) 11. 函数的最小正周期为，则（）A．的值为4B．图象的一条对称轴为直线C．是偶函数D．函数在区间上的最大值为(★★★) 12. 设椭圆的右焦点为 F，直线与椭圆交于 A， B两点，则（）A．为定值B．的周长的取值范围是C．当时，为直角三角形D．当时，的面积为三、填空题(★) 13. 能够说明“ ，”是假命题的一个 x值为__________．(★★) 14. 为了给国外新冠肺炎疫情严重的地区提供援助，国内某机构计划派出由5人组成的专家指导小组，其中甲、乙、丙3人通晓英语，丁、戊2人通晓法语，现从中随机选出通晓英语、法语的专家各1名作为领队，则甲和丁至少有1人被选中的概率为__________．(★★) 15. 一个底面半径为 r，高为 h的圆柱内接于半径为 R的球 O中，若 h=R，则__________．四、双空题(★★★) 16. 设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的 x的取值范围是_________．五、解答题(★★★) 17. 设，，，给出以下四种排序：① M， N， T；② M， T，N；③ N， T， M；④ T， N， M．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列中的各项都为正数，，且__________依次成等差数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前 n项和为，求满足的最小正整数 n．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．(★★) 18. 设的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c．，分别为方程的两根．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若，求的面积．(★★) 19. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．（Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．(★★★) 20. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．(★★★) 21. 已知抛物线的焦点为 F，过 F的直线交抛物线 C于，两点．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）过点 A作抛物线准线的垂线，垂足为 E，过点 B作 EF的垂线，交抛物线于另一点 D，求面积的最小值．(★★★) 22. 已知，函数，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求 a的取值范围．。
海南省海南中学高三第五次抽考数学(理)试卷
海南省海南中学高三第五次抽考数学（理）试卷海南中学2021届高三第五次月考 理科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.） 注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，若复数1iz i=+，则z =（ ） A. 1122i - B. 112i + C. 112i - D.1122i + 2．已知集合1|222xA x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭， 1|ln 02B x x ⎧⎫⎛⎫=-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则()R A C B ⋂=（）A. φB. 1(1,]2- C. 1[,1)2D.(]1,1-3．设a ，b 两条直线，α，β表示两个平面，假如a α⊂，//αβ，那么“b β⊥”是“a b ⊥”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4．设等差数列{}n a 的首项为2-，若41224a a +=，则{}n a 的公差为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 85．假如0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A.11a b < B. 2ab b < C. 2ab a -> D. 11a b-<-6．下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sinx ＋4sinx (0<x<π) C ．y ＝4ex ＋e －xD ．y ＝log3x ＋logx3(0<x<1)7．．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A. 8B. 4C. 42D.438．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0ω>， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ） A. 2，0 B. 2， 4π C. 2， 3π- D. 2，6π9．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范畴是（）A. ()3,-+∞B. ()22,-+∞C. [)3,-+∞D. )22,⎡-+∞⎣ 10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等， D 为1AA 的中点， ,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当,M N 运动时，下列结论中不正确的是（ ）A.平面DMN ⊥平面11BCC BB.三棱锥1A DMN -的体积为定值C.DMN ∆可能为直角三角形D.平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范畴为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦11．图一是漂亮的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB. 2nC. 1n -D. 1n +12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使()22ln ln 0x y x ay --=成立，则实数a 的取值范畴为（ ）A. 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生依照要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量()()6,2,3,a b m =-=，且//a b ，则a b -=__________． 14．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球的体积为__________．15．已知,x y 满足约束条件40{2 0x y x x y k -+≥≤++≥，且3z x y =+的最小值为2，则常数k =__________．16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①关于圆22:1O x y +=的所有专门数函数的太极函数中，都不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数； ③直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆()()()222:210O x y R R -+-=>的太极函数；④若函数()()3f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2.k ∈- 所有正确的是__________．三、解答题：本大题共70分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤.[17.（本小题满分12分） 设数列{}n a 的通项n a ，点)(),,*N n nS n n∈（均在函数1+=x y 的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等比数列，且27,13211==b b b b ，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3asin C －ccos A.求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c. 19．（本小题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．20．（本小题满分12分）某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情形，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请依照下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出a ，b ，x ，y 的值．（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的理想宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．组别 分组频数 频率第1组 [50,60) 8 0.16第2组 [60,70)a▌第3组 [70,80) 20 0.40第4组 [80,90)▌0.08 第5组 (90,100] 2b合计▌▌21（本小题满分12分）己知函数()22ln a f x x a x x=+-()a R ∈. ⑴讨论函数()f x 的单调区间；ABP⑵设()224ln 2g x x bx =-+-，当1a =时，若对任意的[]12,1,x x e ∈都有()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范畴；(3)求证：()()111ln 11231nn n N n n *+<+++⋅⋅⋅++∈+. 请考生在第22、23两题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线C1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C2：22()2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. （Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； （Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原先的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。
海南高三高中数学月考试卷带答案解析
海南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，4，5，7}，B={1，4，7，8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（）A．{3，6}B．{4，7}C．{1，2，4，5，7，8}D．（1，2，3，5，6，8）2.复数z满足在复平面内所对应的点的坐标是（）A．（1，—3）B．（—1，3）C．（—3，1）D．（3，—1）=" " （）3.已知等比数列成等差数列，则S5A．45B．—45C．93D．—934.如果（）A．B．—C．D．—5.下列说法错误的是（）A．如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题q一定是真命题；B．命题“若”的否命题是：“若”；C．若命题p：；D．“”是“”的充分不必要条件6.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．—7B．—28C．7D．287.设l、m、n表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：①若；②若；③若；④若其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48.如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数图象上方的点构成的区域。
向D中随机投一点，则该点落入E （阴影部分）中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，正六边形ABCDEF 的两个项点，A 、D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ．C ．D ．10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量，则△ABC 周长的最小值为 （ ） A ．B ．C ．D ．11.在棱长为1的正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E ，使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°，则线段AE 的长为 （ ） A ． B ．C ．D ．12.定义，设 的取值范围是 （ ） A ．[-7，10] B ．[—6，10]C ．[-6，8]D ．[—7，8]二、填空题1.观察下列各式并填空：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7= ，4+5+6+7+8+9+10=49，…，由此可归纳出= 。
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题(解析版)
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题一、选择题1．设复数2z m i =++，若z 的实部与虚部相等，则实数m 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】B【解析】因为复数2z m i =++的实部与虚部相等，所以21+=m ，解得1m =-．故选：B. 2．sin1050︒=（ ）A ．-1B ．12- C ．0 D 【答案】B【解析】()()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-．故选:B 3．设集合(){}211A x x =-≤，(){}20B x x x =+≤，则AB =（ ）A ．[]1,1-B ．[]0,2C ．[]22-,D ．[]2,1-【答案】C【解析】∵(){}{}21102A x x x x =-≤=≤≤，(){}{}2020B x x x x x =+≤=-≤≤，∴[]2,2AB =-，故选：C ．4．已知函数()2e ,0,,0,x x f x ax x ⎧-≥=⎨<⎩若()()01f f =，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．2【答案】A 【解析】()()()()()20e 111ff f f a =-=-=-=，所以a 的值为1．故选：A.5．统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（ ） A ．0.5 B ．2C ．5D ．10【答案】B【解析】总频数为311，则中位数是所有数据从小到大第156个数据，156733548--=，中位数大约在区间[)1,3的中点处，所以中位数大约为2．故选：B6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316214S a a -+=，则9S =（ ）A ．7B ．10C ．63D ．18【答案】C【解析】等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ∴311323332S a d a d ⨯=+=+，615a a d =+，∴111133252814a d a a d a d +-++=+=，∴147a d +=，即57a =∴()199599632a a S a+⨯===．故选：C7．函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为（ ） A ．94-B ．2-C ．32-D ．0【答案】A【解析】由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞．所以，()()()()2224224log log 4log log 41log 4xf x x x x =⋅=-⋅+，()()()()22222221992log 1log log log 2log 244f x x x x x x ⎛⎫=-++=--=--≥- ⎪⎝⎭，故选：A ．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．355D ．477【答案】D【解析】设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则OC a =．因为AB BC CD ==，所以2CD OC =，所以33OD OC a ==．因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，所以点22a ⎫⎪⎭在双曲线上，代入双曲线方程得2299122a b -=，解得2297b a =．所以双曲线的离心率为229471177c b e a a==+=+=D ． 二、多选题9．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ，b 满足2AB a =，2AD a b =+，则（ ）A ．22b =B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．()4a b b +⊥【答案】AD【解析】由条件可b AD AB BD =-=，所以22b BD ==，A 正确；12a AB =，与BD 不垂直，B 错误；122a b AB BD ⋅=⋅=-，C 错误；4a b AB AD AC +=+=，根据正方形的性质有AC BD ⊥，所以()4a b b +⊥，D 正确．故答案为：AD .10．设α和β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，βn//，//m n ，则//αβB ．若m α⊥，n β⊂，//αβ，则m n ⊥C ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n【答案】BCD【解析】//m α，βn//，//m n ，并不能推出//αβ，这时α和β还可能相交，故A 错误；若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又n β⊂，则m n ⊥，B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n β⊥，则αβ⊥，C 正确；若m α⊥,//αβ，中m β⊥，又n β⊥，则//m n ，D 正确. 11．函数()()π6sin 0f x x ωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的最小正周期为π2，则（ ） A ．ω的值为4B ．()f x 图象的一条对称轴为直线π6x = C ．π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值为12【答案】BC【解析】对A ，因为ππ2T ω==，所以ω的值为2，A 错误； 对B ，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，()1f x =，所以π6x =是函数()f x 图象的一条对称轴，B 正确； 对C ，πππsin 2666f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 2cos 22x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，C 正确； 对D ，当ππ,412x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，ππ2,063x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的取值范围是2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D 错误． 故选：BC12．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（ ）A ．AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C ．当2m =时，ABF 为直角三角形 D ．当1m =时，ABF 【答案】ACD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=，∴=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，∴AB 的范围是()0,6，∴ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =与椭圆方程联立，可解得A ⎛ ⎝⎭，B ⎝⎭，又∵)F ，∴260222AF BF ⎛⎛⋅=+-+=⎭⎝⎭，∴ABF 为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A ，)B ，∴112ABFS=⨯=D 正确． 故选：ACD 三、填空题13．能够说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题的一个x 值为__________．【答案】3【解析】因为*3x =∈N ，而3223<，∴说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题．14．为了给国外新冠肺炎疫情严重的地区提供援助，国内某机构计划派出由5人组成的专家指导小组，其中甲、乙、丙3人通晓英语，丁、戊2人通晓法语，现从中随机选出通晓英语、法语的专家各1名作为领队，则甲和丁至少有1人被选中的概率为__________． 【答案】23【解析】从5人中选出通晓英语、法语的专家各1名的可能结果为（甲，丁），（甲，戊），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），共6种情况．甲和丁至少有1人被选中的有（甲，丁），（甲，戊），（乙，丁），（丙，丁），共4种情况． 甲和丁至少有1人被选中的概率为42==63P ． 15．一个底面半径为r ，高为h 的圆柱内接于半径为R 的球O 中，若h=R ，则rR=__________．【解析】做出该圆柱内接于球O 的轴截面如图所示，则OA R =，22h ROB ==，AB r =，在OAB 中，2222322R AB OA OB R R r ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭，所以32r R =．16．设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x x f <-成立的x 的取值范围是_________．【答案】3 ()ln 2,+∞【解析】∵()f x 是奇函数，∴()()223f f =--=，设()()2g x f x x =-，则()()22g f =-41=-，()()20g x f x ''=-<， ∴()g x 在R 上单调递减， 由()e2e1xxf <-得()e e 21x x f -<-，即()()2e xg g <，∴e 2x >，得ln 2x >， 四、解答题17．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；②M ，T ，N ；③N ，T ，M ；④T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且__________依次成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设,01,{1,1,n n n n na ab a a <≤=>数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（解答一）选②或③：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得423223a a a =-，又因为11a =，所以32223q q q =-，即22320q q +-=，解得12q =（负值舍去）．所以112n n a -=．（Ⅱ）由题意得112n n b -=，则1112121212n nn n S ---==-．由100n n S b >得 112110022n n n --->，即2101>n，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为7． （解答二）选①或④：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得24343a a a =-，又因为11a =，所以3243q q q =-，即2340q q --=，解得4q =（负值舍去）．所以14n n a -=．（Ⅱ）由题意得114n n b -=，则11141413414n n n n S ---==⨯-．由100n n S b >得 1141100344n n n --->⨯，即4301n >，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为5． 18．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．sin A ，cos C 分别为方程212530x x +-=的两根．（Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若2a =，求ABC 的面积． 【解析】（1）解方程212530x x +-=得113x =，234x =-．因为(),0,πA C ∈，所以1sin 3A =，3cos 4C =-，所以cos 3A ==，sin C == 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+13134346⎛⎫=⨯-+=-+⎪⎝⎭．（结果写成312也对）（2）由正弦定理sin sin c a C A =，所以2sin 41sin 3a Cc A⨯===， 所以1sin 2ABC S ac B =△11224⎛=⨯⨯-+=+ ⎝⎭．也对） 19．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为34，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为12．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢． （Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．【解析】（Ⅰ）设事件A 为“第四盘棋甲赢”，若第四盘棋甲赢，分两种情况： 若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，概率13394416P =⨯=， 若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，概率2111428P =⨯=， ∴()12911116816P A P P =+=+=； （Ⅱ）设事件B 为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况：若甲第三盘赢，概率33113144232P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 若甲第四盘赢，概率41111142216P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 若甲第五盘赢，概率51111142216P ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭， ∴()345311732161632P B P P P =++=++=． 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥平面11ABB A ，四边形11ABB A 为菱形．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）若160ABB ∠=︒，4AB =，二面角11C A B A --的余弦值为217，求三棱锥1C ABB -的体积．【解析】（Ⅰ）因为四边形11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥． 因为BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB BC ⊥． 又因为1A BBC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以1BB ，BC 所在的直线为x 轴和z 轴， 以过B 点垂直平面11BB C C 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．设()0BC h h =>，则()0,0,0B ，()14,0,0B ，()16,23,0A ，()0,0,C h ．所以()14,0,B C h =-，()112,23,0B A =．设平面11CA B 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n B C n B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,2230,x hz x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得341,3n h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 由条件知()0,0,BC h =为平面11AA B 的一个法向量．设二面角11C A B A --的平面角为θ，易知θ为锐角．则cos 7θ==，解得4h =．所以11111444sin 603323C A BB B A B V BC S -=⨯︒=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯． 21．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点．（Ⅰ）当14y =时，求2y 的值；（Ⅱ）过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为E ，过点B 作EF 的垂线，交抛物线于另一点D ，求ABD △面积的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意知()1,0F ，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=． 由根与系数的关系得124y y =-．当14y =时，21y =-．（Ⅱ）设()00,D x y ，()20,4m m m A ⎛⎫⎪⎝≠⎭，则()1,E m -， 由（Ⅰ）知24y m =-，所以244,B m m⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为BD EF ⊥，0112EF m m k -==---，所以2BD k m=． 所以直线BD 的方程为2424y x m m m⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即28240x my m ---=． 联立方程组得228240,4,x my my x ⎧---=⎪⎨⎪=⎩消去x 得2216280y my m ---=， 所以202y y m +=，202168y y m=--． ()2222020202644432y y y y y y m m -=+-=++，所以20BD y y =-=试卷第11页，总12页 设点A 到BD 的距离为d，则22168m d ++==．所以332222111618816244ABD S BD d m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2m =±时等号成立，所以ABD △面积的最小值为16． 22．已知0a >，函数()()21ln f x a x x =--，()111ex g x x -=-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1x >时，()0g x >；（Ⅲ）若()()f x g x >在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()()212120ax f x ax x x x-'=-=>． 因为0a >，由()0f x '=，得x = 由()0f x '>，得x >()0f x '<，得x <． 所以()f x的单调递增区间为⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． （Ⅱ）证明：设()1e x x x ϕ-=-，则()1e 1x x ϕ-'=-． 当1x >时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增， 所以()()10x ϕϕ>=，即1e x x ->，所以11e 1x x-<， 所以当1x >时，()0g x >． （Ⅲ）当102a <<1>，由（Ⅰ）知，()10f f <=，而0g >，此时()()f x g x >在区间()1,+∞上不恒成立． 当12a ≥时，设()()()()1h x f x g x x =-≥．试卷第12页，总12页 当1x >时，()21221111112121e x h x ax x x x x x x x x -'=-+->-+->-+ 22210x x x -+=>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=， 即此时()()f x g x >恒成立．综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2020年海南省高考数学模拟试卷(5月份)
2020年海南省高考数学模拟试卷（5月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|214}A x x =<-<，2{|4120}B x x x =--，则()(R A B =⋃ ) A ．(2,1)--B ．(3,6)-C ．(3-，6]D ．(6,2)-2．（5分）已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1(zz+= ) A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 3．（5分）已知向量(0,2)a =，(23b =，)x ，且a 与b 的夹角为3π，则(x = ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-4．（5分）“lnm lnn <”是“22m n <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）若双曲线221(0)mx ny m +=>，则(mn= ) A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（5分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上．AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD =，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为( )A ．30B．C ．33D．7．（5分）已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为( )A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．（5分）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76(ab = )A ．67B ．1211C ．1825D ．1621二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：)kg 情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是( ) A ．他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100，110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少10．（5分）将函数()sin 331f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11(,1)18π对称；④它在519[,]39ππ上单调递增．其中正确的结论的编号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④11．（5分）若104a =，1025b =，则( ) A ．2a b +=B ．1b a -=C ．2812ab g >D ．6b a lg ->12．（5分）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[2π-，2)π，则( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 在[0，)π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数21()2,0()34,0xx x f x log x x ⎧-⎪=⎨⎪-+>⎩，则(f f （8）)= ．14．（5分）某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX = ．15．（5分）已知0a b >>，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD = ，1AHHC = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①cos23sin 20B B -+=②2cos 2b C a c =-③cos 13sin b B a A+=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{22}n n a +的前n 项和n S ．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD l ==，2PD =．()l 证明：AB PD ⊥．（2）求二面角A PB C --的余弦值．20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． 21．（12分）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-．记点G 的轨迹为曲线C ．（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE ． （2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点．试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数22()1x f x ax ax e =++-． （1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围．2020年海南省高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|214}A x x =<-<，2{|4120}B x x x =--，则()(R A B =⋃ ) A ．(2,1)--B ．(3,6)-C ．(3-，6]D ．(6,2)-【解答】解：因为{|31}A x x =-<<-，{|2B x x =-或6}x ，即{|26}R B x x =-<<，所以(3,6)RAB =-，故选：B ．2．（5分）已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1(zz+= ) A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 【解答】解：1z i =-，∴12(2)(1)131(1)(1)2z i i i iz i i i +----===++-， 故选：C ．3．（5分）已知向量(0,2)a =，(23b =，)x ，且a 与b 的夹角为3π，则(x = ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解答】解：向量(0,2)a =，(23b =，)x ，且a 与b 的夹角为3π，∴202212cos3a b x x π=+=+，即2x =2x =，故选：B ．4．（5分）“lnm lnn <”是“22m n <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <， 故前者是后者的充分不必要条件， 故选：A ．5．（5分）若双曲线221(0)mx ny m +=>的离心率为5，则(mn= ) A ．14B ．14-C ．4D ．4-【解答】解：由题意双曲线化为标准方程：221(0)11x y m m n-=>-，所以离心率2215b e a =+=，则22141b n a m-==，即4mn =-，故选：D ．6．（5分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上．AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且3AB CD ==，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为( )A ．30B ．1010C ．33D ．1210【解答】解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为，3，2，3，设外接球的半径为R ，则2(2)34310R =++=， 所以外接球的表面积为2410S R ππ==， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=， 所以10π=，所以1010S =， 故选：B ．7．（5分）已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为( )A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-【解答】解：根据题意，因为1()x x e f x e a -=+是定义在R 上的奇函数，所以f （1）(1)0f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，则12()111x x xe f x e e -==-++，易知()f x 在R 上为增函数． 又2(3)(9)f x f x -<-，必有239x x -<-，解得43x -<<，即不等式的解集为(4,3)-； 故选：C ．8．（5分）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76(ab = )A ．67B ．1211C ．1825D ．1621 【解答】解：因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，0k ≠． 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=， 所以7667a b =． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：)kg 情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是( ) A ．他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100，110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少【解答】解：体重在区间[90，100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A 正确；他们健身后，体重在区间[100，110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确；他们健身后，已经出现了体重在[80，90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C 错误；因为图2中没有体重在区间[110，120)内的比例，所以原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少，D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11(,1)18π对称；④它在519[,]39ππ上单调递增．其中正确的结论的编号是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④【解答】解：()sin312sin(3)13f x x x x π=+=-+，∴()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x πππ=+-+=++， 令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，∴59x π=不是()g x 的对称轴，①错误， 函数()g x 的周期为23π，故②正确； 令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故()g x 关于点11(,1)18π对称，③正确： 令232,262k x k k Z πππππ-++∈，得2223939k k xππππ-+， 取2k =，得101399xππ，取3k =，得161999xππ，故④错误． 故选：BC ．11．（5分）若104a =，1025b =，则( ) A ．2a b +=B ．1b a -=C ．2812ab g >D ．6b a lg ->【解答】解：由104a =，1025b =，得4a lg =，25b lg =， 则1002a b lg +==，2564b a lg lg -=>，242542482ab lg lg lg lg lg =>=， 故选：ACD ．12．（5分）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[2π-，2)π，则( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 在[0，)π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【解答】解：因为()f x 的定义域为[2π-，2)π， 所以()f x 是非奇非偶函数，又()1cos (cos sin )1sin f x x x x x x x '=+--=+，当[0x ∈，)π时，()0f x '>，则()f x 在[0，)π上单调递增． 显然(0)0f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[2π-，2)π上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[2π-，2)π上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[2π-，2)π上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数21()2,0()34,0xx x f x log x x ⎧-⎪=⎨⎪-+>⎩，则(f f （8）)= 5 ．【解答】解：因为f （8）24log 8431=-+=-+=-， 所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．故答案为：5．14．（5分）某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX = 47.5 ．【解答】解：由题意可知，~(1000,0.95)X B ，10000.95(10.95)47.5DX =⨯⨯-=． 故答案为：47.5．15．（5分）已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是 185． 【解答】解：因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++， 因为0a b >>，所以525b a a b +（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)5255a b+⨯+=， 故答案为：185． 16．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD = 16，1AH HC = ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ABA B 平面11CDC D ，BF ⊂平面11ABA B ，//BF ∴平面11CDD C ，则//BF CE ，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =． 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点．因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN AM NC MC ==． 所以135MN CC =，所以65MN HNFA AH==，故138AH HC =． 故答案为：16；38．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①cos23sin 20B B +=②2cos 2b C a c =-③3sin b a A=一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ① ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：选①2cos212sin B B =-，∴22sin 3sin 30B B -=，即(2sin 3)(sin 3)0B B =，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B ． 0B π<<，∴3B π=或23π， 又a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，b ∴不是三角形中最大的边， 即3B π=，由2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =， 故ABC ∆是等边三角形． 选②由正弦定理可得2sin cos 2sin sin B C A C =-，故2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-， 整理得2cos sin sin 0B C C -=．0C π<<，sin 0C ∴>，即1cos 2B =． 0B π<<，∴3B π=，又a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2220a c ac +-=，即a c =， 故ABC ∆是等边三角形． 选③ 由正弦定理得sinsin B A =sin 0A ≠，∴cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，0B π<<，∴5666B πππ-<-<， 即66B ππ-=，可得3B π=，由余弦定理即2222cos b a c ac B =+-，可得2220a c ac +-=，可得a c =， 故ABC ∆是等边三角形． 故答案为：①．18．（12分）设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{22}n n a +的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）111a b -=，113a b +=， 12(1)21n n a b n n ∴-=+-=-，132n n n a b -+=⨯．联立解得21(21)322n n a n -=-+⨯．（2）1122213222152n n n n n a n n --+=-+⨯+=-+⨯．∴数列{22}nn a +的前n 项和2(211)125525212nn n n n S n -+-=+⨯=+⨯--．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD l ==，2PD =．()l 证明：AB PD ⊥．（2）求二面角A PB C --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结BD ，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD l ==，2PD 112BD AD ∴=+222AD PD AP ∴+=，222BD PD PB +=， AD PD ∴⊥，BD PD ⊥，ADBD D =，PD ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB PD ∴⊥．（2）解：222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2A 0，0)，(0B 20)，22(22C -，0)，(0P ，02)， (2,0,2)PA =，(0PB =22)-，2(2PC =-2，2)， 设平面ABP 的法向量(n x =，y ，)z ，则220220n PA x z n PB y z ⎧==⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，1)， 设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则22022202m PB y z m PC y z ⎧==⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =，得(1m =-，1，1)， 设二面角A PB C --的平面角为θ， 则二面角A PB C --的余弦值为：||1cos ||||3m n m n θ==．20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． 【解答】解：（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元， 即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故生产成本恰好为18万元的概率为(10.02)0.030.0294-⨯=．（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5．(0)(10.02)(10.03)0.9506P ξ==-⨯-=， (2)0.02(10.03)0.0194P ξ==⨯-=， (3)(10.02)0.030.0294P ξ==-⨯=， (5)0.020.030.0006P ξ==⨯=．所以00.950620.019430.029450.00060.13E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+=（万元）．若选生产线②，设增加的生产成本为η，则η的可能取值为0.8，5，13．(0)(10.04)(10.01)0.9504P η==-⨯-=， (8)0.04(10.01)0.0396P η==⨯-=，(5)(10.04)0.010.0096P η==-⨯=， (13)0.040.010.0004P η==⨯=．所以00.950480.039650.0096130.00040.37E η=⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+=（万元）， 故应选生产线②．21．（12分）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-．记点G 的轨迹为曲线C ．（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE ． （2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点．试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：设(,)G x y ，2232244AG BGy y y k k x x x ===-+--， 即221(0)43x y y +=≠．将0)x y=代入22143x y +=，得D的坐标为，又E ， 则OD AE k k ==//OD AE ． （2）（方法一）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立y kx =与22143x y +=，得22(34)120k x +-=，120x x ∴+=，1221234x x k -=+． 易知A 的坐标为(2,0)-，则直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，则112(0,)2y P x +，同理可得222(0,)2y Q x +． 故以PQ 为直径的圆的方程为222()()22P QP Qy y y y x y +-+-=，令0y =，得212124(2)(2)P Q y y x y y x x -=-=++．222212121221212121212444443434(2)(2)2()44113y y k x x k x x k k k x x x x x x x x x x -----=====++++++++-，∴以PQ为直径的圆恒过定点(T ．（方法二）设1(M x ，1)y ，则1(N x -，1)y -， 则直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 则112(0,)2y P x +， 同理可得112(0,)2y Q x -． 假设存在0(T x ，0)符合题设，则0PT QT =，∴221021404y x x +=-， 1(M x ，1)y 在曲线C 上，∴22211121413434x y y x +=⇒=--，∴2030x x -=⇒=．故存在(T 符合题设．22．（12分）已知函数22()1x f x ax ax e =++-． （1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为2()()22x g x f x ax a e '==+-， 所以22()242(2)x x g x a e e a '=-=--，①当0a 时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减．②当0a >时，令()0g x '>，则122a x ln <：令()0g x '<，则122ax ln >，所以()g x 在1(,)22a ln -∞上单调递增，在1[,)22aln +∞上单调递减．综上所述，当0a 时，()g x 在R 上单调递减；当0a >时，()g x 在1(,)22a ln -∞上单调递增，在1[,)22aln +∞上单调递减．（2）2222()22(21)2(21)(),(0)021xxxe f x ax a e a x e x a f x '=+-=+-=+-=+．令()0f x '=，得2221xe a x =+．设22()21xe h x x =+，则228()(21)x xe h x x '=+．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221xe x >+．当2a 时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意．当2a >时，(0)2h a =<，所以22()21xe h x a x ==+有唯一实根0x ，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意． 综上，2a ，即a 的取值范围为(-∞，2]．。
海南省海南中学高三数学5月月考试题文
海南省海南中学高三数学5月月考试题文文科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.） 注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U=Z ，集合M=}{2,1，P=}{2,1,0,1,2--，则P U C M⋂=（ ）A ．}{0B ．}{1 C ．}{0,2,1-- D ．Φ 2. 已知复数z 满足()1234i z i +=-，则z =（ ）A. 55 B.1 C.5 D.53.已知向量a ，b 的夹角为060，且1a =，2b =，则2a b +=（ ）A ．3B ．5C ．22D ．234.已知11a =，131nn n a a a +=+，则数列{}n a 的通项为na =（ ）A ．121n - B ．21n -C ．132n - D.32n -5. 执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n =（ ）A. 3B.4C.5D.66.在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A． B． C． D．7.将函数()y f x =的图像向右平移2π单位得到函数cos 2y x =的图像，则将函()y f x =的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，则()g x =（ ）A ．sin 4x -B ．cos4xC ．sin xD ．cos x -8.设函数()()4sin 21f x x x=+-，则在下列区间中，函数()f x 不存在零点的是（ ）A ．[]4,2--B ．[]2,0- C ．[]0,2D ．[]2,49. 抛物线y ＝ax2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值为（ ）（A ）4 （B ）41 （C ）41-（D ）－410.已知3,22πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，满足()tan 2tan 0αββ+-=，则tan α的最小值是（ ）A．4 B．4- C．4-D．4 11.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=(a ﹥0,b ﹥0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得0)(22=⋅+P F OF OP ，其中O 为坐标原点，且122PF PF =，则该双曲线的离心率为()A.31C.212. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f成立,则实数a 的取值范围为A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13. 若双曲线22221x y a b -=(a ﹥0,b ﹥0)的离心率为，则其渐近线方程为 。
2020届海南华侨中学高三第五次月考数学试题(解析版)
2020届海南华侨中学高三第五次月考数学试题一、单选题 1．已知复数224(1)+=-iz i （i 为虚数单位），则z 的模||z 为（ ）A ．BC ．5D【答案】B【解析】化简得到2z i =-+，再计算z 得到答案. 【详解】224242(12)i iz i i i++===--+-，故z =故选B 【点睛】本题考查了复数模的计算，意在考查学生的计算能力.2．设集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}|2B x x A x A =∈∈,，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合B ,再确定元素个数. 【详解】因为{}1,0,1,2,3,4A =-,{}|2B x x A x A =∈∈,, 所以{}0,1,2B =, 所以集合B 中有3个元素, 故选:C. 【点睛】本题考查集合,属于简单题.3．在等比数列{}n a 中，若435,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．－1或－2 B ．1或－2C ．1或2D ．－2【解析】由等差中项的性质可得3452a a a =+,从而有220q q +-=,进而可得解. 【详解】因为在等比数列{}n a 中,435,,a a a 成等差数列,所以345332322a a a a a a q q ⇒=++⋅⋅=, 又0n a ≠,所以220q q +-=,解得1q =或2q =-, 故选:B. 【点睛】本题主要考查等差中项的性质运用,考查等比数列和计算能力,难度不大.4．设21log 3a =，432b =，2313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D【解析】根据指数,对数函数的单调性分别比较,,a b c 与0,1的大小关系即可. 【详解】221log log 103a =<=, 41322=2b =>2311133c <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,故01c <<,所以a c b <<, 故选:D. 【点睛】本题考查指数,对数式的大小比较,属于基础题.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B ．2C D ．2【答案】CAE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6．唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图1所示），它的盛酒部分可以近似地看做是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米），要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则R 的取值范围为（ ）3S ⎛3S ⎫3S SD ． 【答案】D【解析】根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出S 的表达式,再求出体积V ,解不等式即可.【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为h ,R , 则表面积222S R Rh ππ=+,故22SRh R ππ=-, 所以酒杯的容积323233224()332323S S V R R h R R R R R R ππππππ=+=+-=-+„,所以2523S R π„,又202SR π->,所以22523S R R ππ<„,R <, 故选:D. 【点睛】本题考查了组合体的体积和表面积的计算,难度不大.7．设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r ，由已知得cos ,1a b =r r ，即,0a b =r r ，//a b r r .而当//a b r r 时，,a b r r 还可能是π，此时a b a b ⋅=-r r r r ，故“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a br r ”的充分而不必要条件，故选A.【考点】充分必要条件、向量共线.8．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，VA AC ⊥，BA BC ⊥则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是（ ）【答案】D【解析】设AC 边的中点为D ,VC 边的中点为O ,则由题意可推出VA ⊥面ABC ,又因为BA BC ⊥,则点D 为ABC ∆的外接圆圆心,从而点O 为V ABC -的外接球球心,最后代入数据求解即可. 【详解】如图所示,设AC 边的中点为D ,因为BA BC ⊥,则点D 为ABC ∆的外接圆圆心, 因此三棱锥V ABC -的外接球球心在过点D 的垂线上, 因为面VAC ⊥面ABC ,面VAC I 面ABC AC =,VA AC ⊥, 所以VA ⊥面ABC ,设VC 边的中点为O ,则//VA OD ,即V ABC -的外接球球心在直线OD 上, 又VA AC ⊥,则VO AO =,则点O 即为V ABC -的外接球球心,因为2VA AC ==,所以V ABC -的外接球半径122R VO VC ===, 因此三棱锥V ABC -的外接球的表面积为248R ππ=, 故选:D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法,需要学生具备一定的空间思维与想象能力,属于中档题.二、多选题9．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（ ）A ．函数的最小正周期为23π π⎛⎫C ．其图象关于直线4πx =-对称 D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到 【答案】AC【解析】利用三角函数的图像及性质一一判断选项正误即可. 【详解】2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其最小正周期23T π=,故选项A 正确; 当4x π=时,32sin()12sin 1144y πππ=++=+=,其关于,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称,故选项B 错误; 当4πx =-时,334442x ππππ+=-+=,故选项C 正确; 2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到函数12sin 134y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,故选项D 错误;故选:AC 【点睛】本题考查三角函数图像､性质的应用,难度不大.10．已知函数21()21x x f x +=-，()2g x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 为奇函数B ．()()f x g x 为偶函数C ．()()f x g x +为奇函数D ．()()f x g x +为非奇非偶函数【答案】BC【解析】先判断函数(),()f x g x 的奇偶性,再利用函数奇偶性的性质判断选项正误. 【详解】21()21x xf x +=-,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ,21(21)212()()21(21)212x x x xx x x xf x f x ----++⋅+-====---⋅-, 故函数()f x 为奇函数, 又()2g x x =为奇函数,根据函数奇偶性的性质可知:()()f x g x 为偶函数,()()f x g x +为奇函数, 故选:BC. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质应用,难度不大.11．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED '∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面AGF '⊥平面BCDEC ．三棱锥A EFD '-的体积有最大值D ．旋转过程中二面角A DE C '--的平面角始终为A GF '∠ 【答案】ABCD【解析】由斜线的射影定理可判断A 正确;由面面垂直的判定定理,可判断B 正确;由三棱锥的体积公式,可判断C 正确;由二面角的平面角定义可判断D 正确. 【详解】A D A E ''=Q ,ABC ∆是正三角形, ,A G DE GF DE '⊥⊥， DE ⊥平面A GF '，因为DE ⊂平面BCED ，所以平面AGF '⊥平面BCEDA '∴在平面ABC 上的射影在线段AF 上,故A 正确;由A 知, DE ⊥平面A GF ',DE ⊂平面BCED∴恒有平面AGF '⊥平面BCED ,故B 正确;三棱锥A FED ¢-的底面积是定值,体积由高即A '到底面的距离决定,平面A DE 'I 平面CDE DE =,且,A G DE GF DE '⊥⊥,则二面角A DE C '--的平面角为A GF '∠,故D 正确; 故选:ABCD. 【点睛】本题考查了线面､面面垂直的判定定理及性质定理的运用,考查了二面角的平面角的概念,需要学生具备一定的空间想象能力.12．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 【答案】AD【解析】运用指数函数的单调性,即可判断A;由二次函数的单调性,即可判断B;通过函数2()2x h x x ax =+-,求出导数判断单调性,即可判断C;通过函数2()2x h x x ax =++,求出导数判断单调性,即可判断D. 【详解】对于A,由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增,即有0m >,则A 正确; 对于B,由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减,在(2a-,)+∞递增,则0n >不恒成立,则B 错误;对于C,若m n =,可得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即为1122()()()()g x f x g x f x -=-, 设2()2x h x x ax =+-,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=+-,当a →-∞,()h x '小于0,()h x 单调递减,则C 错误;对于D,若m n =-,可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--,即为1122()()()()f x g x f x g x +==+而()22ln 2x h x x a '=++,对于任意的a ,()h x '不恒大于0或小于0, 即()h x 在定义域上有增有减,则D 正确. 故选:AD. 【点睛】本题考查函数的单调性及运用,运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.三、填空题13．已知两个单位向量,a b v v 满足||3||a b b +=rr r ，则,a b v v 的夹角为__________．【答案】3π 【解析】将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得. 【详解】因为a r ,b r 是单位向量,所以||||1a b ==r r,因为||3||a b b +=rr r,所以22()3||a b b +=r r r , 所以22223||a b a b b ++⋅=r rr r r ,所以222||||2||||cos ,3||a b a b a b b ++<>=rr rrrr r , 因为||||1a b ==rr,所以3111cos ,2112a b --<>==⨯⨯rr , 又,[0,]a b π<>∈rr ,所以,3a b π<>=rr .故答案为:3π 【点睛】本题考查了向量的数量积和向量夹角公式,属于基础题. 14．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则_______．【解析】根据等比数列的性质得到再由等差数列的中项的性质得到：.【详解】根据等比数列的性质得到：，∴(舍去)，由等差数列的中项的性质得到：，∴.故答案为：8. 【点睛】对于等差等比数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足条件①BM DM ⊥，②DM PC ⊥，③BM PC ⊥中的______时，平面MBD ⊥平面PCD （只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.【答案】②（或③）【解析】推出BD PC ⊥,则要得到平面MBD ⊥平面PCD ,即要得到PC ⊥平面MBD ,故只需PC 垂直平面MBD 内的一条与BD 相交的直线即可. 【详解】PA ⊥Q 底面ABCD ,PA BD ∴⊥,Q 底面各边都相等,AC BD ∴⊥,PA AC A =Q I ,BD ∴⊥平面PAC ,BD PC ∴⊥,∴当DM PC ⊥(或)BM PC ⊥时,即有PC ⊥平面MBD ,而PC ⊂平面PCD ,∴平面MBD ⊥平面PCD . 故答案为:②(或③).本题考查线面､面面垂直的判定与性质应用,需要学生具备一定的空间想象能力与逻辑思维能力.16．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当(0,2)x ∈时，2()2f x x x =-，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______，若16()()log g x f x x =-，则()g x 有______个零点.【答案】383【解析】由题可得1()(2)2f x f x =-,故52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫⎪⎝⎭,再将()g x 的零点问题转换为函数()f x 与16()log h x x =的图象交点问题求解. 【详解】因为(2)2()f x f x -=,所以1()(2)2f x f x =-, 又当(0,2)x ∈时,2()2f x x x =-,所以52f ⎛⎫=⎪⎝⎭1511113212222248f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 画出16(),()log f xh x x =的图象如下图所示:161611(3)(3)log 3,(5)(5)log 5,24f g f g =>==<= 因此两函数图象有3个交点,即()g x 有3个零点, 故答案为:38;3.【点睛】本题考查函数性质的应用,考查数形结合法解决函数零点问题,属于中档题.四、解答题 17．如图，直三棱柱中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =,点M 是11A B 的中点.（1）求证：1B C //平面1AC M ； （2）求三棱锥11A AMC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；（2）16. 【解析】（1）连接1A C 交1AC 与N ，则N 为1A C 的中点，利用三角形中位线定理可得1//MN B C ，再由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等积变换可得11A AMC V -11A A C M V -=，再利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（1）连接1A C 交1AC 与N ，则N 为1A C 的中点， 又M Q 为11A B 的中点，1//MN B C ∴，又因为MN ⊂平面1AC M ，1B C ⊄平面1AC M ， 1//B C ∴平面1AC M ；（2）因为，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =，且点M 是11A B 的中点 所以11A AMC V -11A A C M V -=11113A C M S AA ∆=⨯11111132A C B S AA ∆=⨯⨯ 11111123226=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.18．已知数列{}n a ，n S 为其前n 项和，22n S n n =+.（1）求{}n a 的通项公式： （2）若21n n n b a a +=，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）n a n =；（2）32342(1)(2)n n n +-++ 【解析】(1)根据22n S n n =+,由1n n n a S S -=-即可求出{}n a 的通项公式:(2)利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】(1)当1n =时,11222S a ==,即11a =,由22n S n n =+得212(1)1(1)n S n n n -=-+->,两式相减得:22(1)n a n n =>, 即(1)n a n n =>, 又1n =时上式也成立, 故n a n =; (2)由(1)知,1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,则1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦32342(1)(2)n n n +=-++. 【点睛】本题考查由数列的求和公式求通项公式,考查裂项相消法求和,难度不大.在由数列的求和公式求通项公式时,需注意n 的取值范围.19．2019年，海南等8省公布了高考改革综合方案将采取“312++”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； （2）试根据茎叶图分析甲同学的物理和历史哪一学科成绩更稳定.（不需计算） （3）甲同学发现，其物理考试成绩y （分）与班级平均分x （分）具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.（计算$a，ˆb 时精确到0.01）x （分）57 61 65 72 74 77 84 y （分）76828285879093参考数据：71490ii x==∑，71595i i y ==∑，72134840i i x ==∑，72150767i i y ==∑，7141964i ii x y==∑，()()71314i i i x x y y =--=∑.参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y n x ybx x xn x ====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，ˆˆay b x =-⋅ 【答案】（1）14；（2）物理；（3）73 【解析】(1)直接利用枚举法与古典概型概率计算公式求解;(2)由茎叶图可知物理成绩的方差s 2物理<历史成绩的方差s 2历史,故物理成绩更稳定; (3)由表格数据先求,x y ,再利用公式求出回归方程,进而得解. 【详解】(1)记物理､历史分别为1A ,2A ,思想政治､地理､化学､生物分别为1B ,2B ,3B ,4B , 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ,{}113,,A B B ,{}114,,A B B ,{}123,,A B B ,{}124,,A B B ,{}134,,A B B ,{}212,,A B B ,{}213,,A B B ,{}214,,A B B ,{}223,,A B B ,{}224,,A B B ,{}234,,A B B ,共12种,他选到物理､地理两门功课的满情形有{}112,,A B B {}123,,A B B {}124,,A B B ,共3种, ∴甲同学选到物理､地理两门功课的概率为31124P ==; (2)由茎叶图可知物理成绩数据更集中, 故物理成绩的方差2s <物理历史成绩的方差2s 物理,故物理成绩更稳定;(3)57616572747784707x ++++++==,85y =,∴717222174196477085314ˆ0.58348407705407i ii ii x y x y bx x==-⋅⋅-⨯⨯===≈-⨯-⋅∑∑,$ˆ850.587044.40ay b x =-⋅=-⨯≈, ∴y 关于x 的回归方程为0.5844.40y x =+, 当50x =时,0.585044.4073y =⨯+≈. 【点睛】本题考查古典概型,考查茎叶图以及回归方程,属于中档题.在解决古典概型问题时,常利用枚举法进行答题.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，5,21AC AD ==求AB 的长；【答案】（1）3C π=；（2197；【解析】（1）首先根据正弦定理边角互化，得到2sin cos 2sin sin C A B A =-，由()sin sin B A C =+，代入化简，最后得到1cos 2C =求角C ；（2）首先在ACD ∆中，根据余弦定理求CD ，然后在ABC ∆中再利用余弦定理求边AB . 【详解】（1）2cos 2c A b a =-Q ，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin sin C A A C A =+（）-∴，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos in ,sin 0A C s A A =≠∴，1cos 2C ∴=， (),3C C ππ∈=Q 0，∴，（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅ 221255CD CD =+-∴ 2540CD CD -+=，1CD =∴或4CD =，当1CD =时，2BC =ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1254252219=+-⨯⨯⨯=19AB =∴，当4CD =时，8BC =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅12564258492=+-⨯⨯⨯= 7AB =∴19AB =∴或7AB =.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.21．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，2AB =，6CD =，3AD =，E 为CD 上一点，且4DE =，过E 作//EF AD 交BC 于F ，现将CEF ∆沿EF 折到PEF ∆，使60PED ∠=︒，如图2.（1）求证：PE ⊥平面ADP（2）在线段PF 上是否存在一点M ，使DM 与平面ADP 所成的角为30°？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析【解析】(1)解法一:由EF PE ⊥,EF DE ⊥,推出EF ⊥平面PDE ,即有AD ⊥平面PDE ,故AD PE ⊥,结合PE PD ⊥即可推出PE ⊥平面APD ;解法二:建立空间直角坐标系,利用向量推出结论;(2)由(1)知AD ⊥平面PDE ,故以DA 所在的直线为x 轴,以DE 所在的直线为y 轴,在平面DPE 内过D 作DE 的垂线,以垂线所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,设M 是线段PF 上一点,则存在01λ≤≤,使PM PF λ=u u u u r u u u r,再利用向量,结合线面角公式列式求解即可. 【详解】 (1)解法一:∵4DE =,2PE =,60PED ∠=︒,由余弦定理得22212232DE PE PD DE PE PD +-=⋅⋅⋅⇒=, ∵22216PD PE DE +==,∴PE PD ⊥, 又直角梯形ABCD 中,//EF AD , ∴EF PE ⊥,EF DE ⊥,PE DE E =I , 则EF ⊥平面PDE ,又∵//EF AD ,∴AD ⊥平面PDE ,∴AD PE ⊥,又因为直线AD ,PD 在平面APD 内,且相交于D ,∴PE ⊥平面APD . 解法二:以为EF PE ⊥,EF DE ⊥,且PE DE E =I , 则EF ⊥平面PDE ,所以平面DEF ⊥平面PDE ,以DA 所在的直线为x 轴,以DE 所在的直线为y 轴,在平面DPE 内过D 作DE 的垂线,以垂线所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则(0,0,0)D ,(3,0,0)A ,(3P ,(0,4,0)E ,∴(3,0,0)DA =u u u r,(3DP =u u u r ,(0,3EP =-u u u r ,∴0DA EP ⋅=u u u r u u u r ,0DP EP ⋅=u u u r u u u r,∴DA EP ⊥u u u r u u u r ,DP EP ⊥u u u r u u u r∴DA EP ⊥,DP EP ⊥,∵DA ,DP 是平面ADP 内的相交直线, ∴PE ⊥平面APD .(2)由(1)知AD ⊥平面PDE ,∴平面ADE ⊥平面PDE ,以DA 所在的直线为x 轴,以DE 所在的直线为y 轴,在平面DPE 内过D 作DE 的垂线,以垂线所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则(0,0,0)D ,(3P ,(0,4,0)E ,3,4,02F ⎛⎫⎪⎝⎭, 则(0,3EP =-u u u r ,3,1,32PF ⎛=- ⎝u u u r ,∵PE ⊥平面ADP ,∴平面ADP 的一个法向量为(0,3n EP ==-r u u u r,设M 是线段PF 上一点,则存在01λ≤≤,使PM PF λ=u u u u r u u u r,∴(33,1,32DM DP PM λ⎛=+-+ ⎝u u u u r u u u r u u u u r 3,3,332λλλ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,2cos ,2548n DM n DM n DM λ⋅==⨯+r u u u u rr u u u u r r u u u u r , 如果直线DM 与平面ADC 所成的角为30°,那么cos ,sin 30n DM ︒=r u u u u r,2122548λ=±+,解得21613λ=,此方程在[]0,1内无解, 所以在线段PF 上不存在一点M ,使DM 与平在ADP 所成的角为30°. 【点睛】本题考查线面垂直的判定及应用,考查空间向量在线面角上的应用,需要学生具备一定的空间思维及想象能力,属于中档题.22．已知函数2()ln (21)(1)f x x ax a x a =+-+++. （1）若12a =，分析()f x 的单调性.（2）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：2222222212n n n k n nn n n n++++⋅⋅⋯⋅⋅⋯⋅>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数.【答案】（1）单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析 【解析】(1)直接对函数求导,利用导数研究其单调性即可; (2)对()f x 求导后,再根据a 的取值进行分情况讨论即可;(3)题目可变形为证明不等式22222222121ln ln ln ln 2n n n k n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>恒成立,又由(1)可得1ln (1)1(1)2x x x ⎡⎤>---⎢⎥⎣⎦在(1,)+∞恒成立,则令21k x n =+,即有2224221ln 122k k k k n n nn n ⎛⎫+>-≥- ⎪⎝⎭,据此即可推出结论.【详解】(1)12a =,213()ln 222f x x x x =+-+,2(1)()x f x x-'=,(0,)x ∈+∞,故()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞,无减区间.(2)1()2(21)f x ax a x '=+-+22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x-++--==. ∵1x >,∴10x ->,故:①当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在(1,)+∞上单调递减,而(1)0f =,∴()0f x <,不符合题意;②当12a ≥时,即112a≤,()f x 在(1,)+∞上单调递增, 而()(1)0f x f >=,∴符合题意;③当102a <<时,11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0f x '<,()f x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,而(1)0f =,∴此时()0f x <,不符合题意;第 21 页 共 21 页 综上所述,a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (3)证明:要证明2222222212n n n k n n n n n n++++⋅⋅⋯⋅⋅⋯⋅>, 等价于证明22222222121ln ln ln ln 2n n n k n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>, 由(1)可得1ln (1)1(1)2x x x ⎡⎤>---⎢⎥⎣⎦在(1,)+∞恒成立, 令21k x n =+,1,2,3,,k n =⋅⋅⋅,则221k n≤, ∴2224221ln 122k k k k n n nn n ⎛⎫+>-≥- ⎪⎝⎭, ∴2222222212ln ln ln ln n n n k n n n n n n++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22121122n n n n ++⋅⋅⋅+>-⨯= ∴22222222121ln ln ln ln 2n n n k n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>成立, ∴()()()()22222123nn n n n n n +⋅+⋅+⋅⋯⋅+>成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,解决恒成立问题以及不等式证明问题,难度较大.。
海南高三高中数学月考试卷带答案解析
海南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =A．[1,2）B．[1,2]C．（ 2,3]D．[2,3]2.设集合则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3.复数的共轭复数是A．B．C．D．4.双曲线的实轴长是A．2B．2C．4D．45.已知函数=Asin(ωx+ф)(A>0,ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2,2),与x轴在原点右侧的第一个交点为N(5,0),则函数的解析式为A．2sin(x+)B．2sin(x-)C．2sin(x+)D．2sin(x+)6.实数x,y满足的取值范围为A．B．C．D．7.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是A．B．4C．D．58.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A．B．1C．D．9.曲线在点,处的切线方程为A．B．C．D．10.设是周期为2的奇函数，当时，，则=A ．B ．C ．D ．11.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ） A ．01B ．43C ．07D ．4912.已知函数若有则的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题1.在正三角形中，是上的点，，则 。
2.若变量x ，y 满足约束条件，则的最小值是_________．3.已知，且，则的值为__________4.以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为三、解答题1.在△中，角、、的对边分别为，满足，且.（1）求的值； （2）若，求△的面积.2.已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=。
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若函数在处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式。
3.(1) 求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．(2)求与圆外切于（2，4）点且半径为的圆的方程.4.设f(x)=2x 3+ax+bx+1 的导数为,若函数的图象关于直线 对称，且.](Ⅰ)求实数,的值;(5分)(Ⅱ)求函数的极值5.已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.6.如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。
【100所名校】2020届海南省海南中学高三第五次月考数学试题(解析版)
2020届海南省海南中学高三第五次月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合A ={1,2,3,4},B ={x|x =2n,n ∈A},则A ∩B = A ． ｛1,4｝ B ． ｛2,3｝ C ． {2,4} D ． ｛1,2} 2．设i 是虚数单位，若复数z=i1+i ，则z̅=A ． 12−12i B ． 1+12i C ． 1−12i D ． 12+12i3．设变量x ，y 满足约束条件{y ≥0,x −y +1≥0,x +y −3≤0, ，则z =2x −y 的最小值为A ． −3B ． −2C ． −1D ． 24．如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP xOA yOB =+，且2BP PA =,则A ． 23x =, 13y = B ． 13x =, 23y = C ． 14x =, 34y = D ． 34x =, 14y =5．设m,n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m ⊂α， a//β，那么“n ⊥β”是“m ⊥n ”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 5⋅a 6=4，则数列{log 2a n }的前10项和为A ． 5B ． 6C ． 10D ． 127．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为A ． 4B ． 2√2C ． 8D ． 168．已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为A ． 8+2π3B ． 8+π6C ． 4+π3D ． 8+π3 9．面积为3√32的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为2√2，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则V S的值是A ． 2B ． 1C ． √3D ． √210．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数,b 是从0，1，2三个数中任取的一个数,则关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率是A ． 56B ． 34C ． 23D ． 4511．在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且asin2B +bsinA =0，若a +c =2，则边b 的最小值为A ． 4B ． 3√3C ． 2√3D ． √312．已知函数f (x )=x 3+mx 2+nx （m,n ∈R ）f (x )在x =1处取得极大值，则实数m 的取值范围为A ． m ≠−3B ． m >−3C ． m <−3D ． m ≤−3二、填空题 13．f(x)={12x +1,x ≤0−(x −1)2,x >0，则使f(a)=−1成立的a 值是____________.14．已知函数f(x)=A ⋅sin(ωx +ϕ)，(A >0,ω>0,|ϕ|<）的部分图象如图所示，则f(0)=______．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号15．已知三棱锥P −ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且AB =√5,BC =√7,AC =2，则此三棱锥的外接球的体积为____________16．已知数列{a n }中，a 1=1，a 3=6，且a n =a n−1+λn(n ≥2)．则数列{1a n }的前n 项_和为____________三、解答题17．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 6，BC = 4，AA 1 =5，过DD 1的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
海南省海口市福清中学2020年高三数学文月考试题含解析
海南省海口市福清中学2020年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （3分）设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求．解答：∵z=1+i，则复数+z2=，∴复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．2. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的函数是（）A. B.C. D.参考答案：B试题分析：首先选项C中函数的周期为4，故排除C；将分别代入A，B，D，得函数值分别为，而函数在对称轴处取最值，故选B．考点：三角函数的周期性、对称性．3. 集合M={x||x﹣3|＜4}，N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}，则M∩N（）A．{0} B．{2} C．? D．{x|2≤x≤7}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】解绝对值不等式求出集合M，解二次不等式求出集合N，利用交集是定义求出M∩N即可．【解答】解：因为|x﹣3|＜4，所以﹣1＜x＜7，所以M={x|﹣1＜x＜7}；因为x2+x﹣2＜0，所以﹣2＜x＜1，所以N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}={﹣1，0}；则M∩N={x|﹣1＜x＜7}∩{﹣1，0}={0}．故选A．4. 设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式a sin x+b cos x+c>0都成立的充要条件是(A) a，b同时为0，且c>0 (B) =c(C) <c (D) >c参考答案：C解：a sin x+b cos x+c=sin(x+φ)+c∈[－+c，+c]．故选C．5. 已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（）A．B．C．D．参考答案：D6. 平面上有两个定点和动点，，则动点的轨迹为（）.（A）椭圆 (B)圆（C）双曲线 (D) 抛物线参考答案：B7. 设，则A．0 B．1 C．D．3参考答案：B8. 已知向量，，若与垂直，则的值为（）（A）（B）（C）（D）1参考答案：C9. 已知函数（，），记集合，，若，则实数的取值范围为（）A．[－4,4] B．[－2,2] C．[－2,0] D．[0,4]参考答案：B10. 已知与之间的一组数据，，则与的回归直线必过点A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__▲ __；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__▲ _.参考答案：，（1），画图可知时，取最小值. （2）设圆上点，直线上点，则，画出此折线，可知在时，取最小值，12. 在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据，在如图所示的程序框图中，是这8个数据中的平均数，则输出的的值为_______参考答案：1513. 正切曲线在点处的切线方程是.参考答案：14. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是▲_．参考答案：【知识点】基本不等式．E6【答案解析】解析：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣?﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：【思路点拨】原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．15. 已知函数f（x）=（x＞1），当且仅当x= 时，f（x）取到最小值为．参考答案：2;2.【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函数f（x）==x﹣1+=2，当且仅当x=2时取等号．故答案分别为：2；2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．16. 某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．参考答案：【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.17. 某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30nmile，CD=250nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=．参考答案：．【分析】求出AD，可得∠DAC=90°，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC==50nmile，60min后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile∵=∴sin∠ACB=，∴cos∠ACD=cos（135°﹣∠ACB）=，∴AD==350，∴cos∠DAC==0，∴∠DAC=90°，∴CD′==100，∴∠AD′C=60°，∴sinθ=sin（75°﹣60°）=，故答案为．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
海南省海南中学高三数学第五次月考试题理解析版
海南中学 2018 届高三第五次月考理科数学选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，满分60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.1. 设是虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】∵复数∴∴应选 A2.2. 已知会合，，则=（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】先求出会合，，而后求出，最后求【详解】则则应选【点睛】此题主要考察了会合的混淆运算，指数不等式以及对数不等式的化简求值，属于基础题3.3. 设，两条直线，，表示两个平面，假如，，那么“”是“”的A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足又不用要条件【答案】 A【分析】【剖析】由，，，利用线面垂直的性质定理可得，反之不行立【详解】假如，，，则必有，充足性成立假如，，，不可以保证，也有可能，必需性不行立故“”是“”的充足不用要条件应选【点睛】此题主要考察了必需条件，充足条件与充要条件的判断，掌握线面垂直的性质定理是解题的重点，属于基础题。
4.4. 设等差数列的首项为，若，则的公差为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】设等差数列的公差为，则，解得，应选 B.5.5. 假如, 那么以下不等式成立的是A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：利用作差法比较实数大小即得解.详解：- （）=，由于，因此因此. 故答案为： D.点睛：（1）此题主要考察实数大小的比较，意在考察学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般假如知道实数是正数，能够利用作商法，不然常用作差法 .6.以下函数中，最小值为 4 的是 ________．①y＝ x＋；②y＝ sinx ＋（0<x<π）；③y＝ 4e x＋e－x；④y＝ log 3x＋ log x3（0<x<1）．【答案】③.【分析】试题剖析：① y＝ x＋无最小值；② y＝ sinx ＋号成立，但这是不行能的；③y＝4e x＋ e－x 0<x<1 时 y＝ log 3x＋log x3<0 无最小值．考点：基本不等式，当且仅当即等当且仅当即时等号成立；④当7.7. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A.8B.4C. D.【答案】 C【分析】由三视图可知：该几何体的直观图如下图，由三视图特点可知，平面,平面,, 面积最小的为侧面，∴应选： C.8.8. 函数（，，）的部分图象如下图，则的值分别为（）A.2 ，0B.2，C.2，D.2，【答案】 D【分析】【剖析】由题意联合函数的图象，求出周期，依据周期公式求出，求出，依据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，则应选【点睛】此题主要考察的是的图像的运用，在解答此类题目时必定要发掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果9.9. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】由时，恒成立得对随意恒成立，即当时，获得最大值，的取值范围是，应选 D.【易错点晴】此题主要考察利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.利用基本不等式求最值时，必定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，第一要判断参数能否为正；二定是，其次要看和或积能否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后必定要考证等号可否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号可否同时成立） .10.10.如图，正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点，分别是线段和线段上的动点（含端点），且知足. 当运动时，以下结论中不正确的选项是（）A. 平面平面B.三棱锥的体积为定值C.可能为直角三角形D.平面与平面所成的锐二面角范围为【答案】 C【分析】如图，当分别在上运动时，若知足，则线段必过正方形的中心，而平面平面平面正确；当分别在上运动时，的面积不变，到平面的距离不变的棱锥的体积不变，即三棱维的体积为定值，正确；若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时的长大于不行能为直角三角形，错误；当分别为中点时，平面与平面所成的角为，当与重合，与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为等于平面与平面所成的锐二面角范围为，正确，应选 C.11.11. 图一是漂亮的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到 . 图二是第 1 代“勾股树”，重复图二的作法，获得图三为第 2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”全部正方形的面积的和为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】最大的正方形面积为1，当 n=1 时，由勾股定理知正方形面积的和为2，挨次类推，可得全部正方形面积的和为，选 D.12.12. 对随意的正数，都存在两个不一样的正数，使成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由得，设，则，设，，因此在上单一递加，在上单一递减，且，，故当时，存在两个不一样的实数，使成立，即对随意的实数，都存在两个不一样的实数，使得成立。
海南省海南中学2021届高三第五次月考数学试题及答案
海南中学2021届高三第五次月考数学试题卷第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，复数iiz 212-+=，则=z ( ) A.3B.2C.1D.02.在空间中垂直同一直线的l 的两条直线a 与b 位置关系是（ ) A ．平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能3.已知点3(1)A ，，1(4)B -，，则与向量AB 的方向相同的单位向量是（ ） A ．（－.35.，45） B ．（－45，35） C ．（35，－45） D ．（45，－35）4.我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使得不等式3231>n S 成立的正整数n 的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos 0b A c -<”，是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.如图，底面为矩形的四棱锥，侧棱⊥PA 底面ABCD ，4,3===AB BC PA .设该四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则rR的值（ ） A. √413B. 3√41C. √41D. √4127.设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，对任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（ ） A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(2,0)(0,2)-C ．(,4)(0,4)-∞-⋃D ．(,2)(2,)-∞-+∞8.已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，当1x >时，()0f x >；对任意的,(0,)x y ∈+∞，()()()f x f y f x y +=⋅成立.若数列{}n a 满足1(1)a f =，且*1()(21)()n n f a f a n N +=+∈，则2020a 的值为（ ）A. 11009-aB. 11010-aC. 122019-D.122020-二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.下列四个命题中正确的是（ ）A ．21()2x xf x -⎛⎫=⎪⎝⎭在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是单调递增函数 B ．若函数2()2f x ax bx =++的图像与x 轴没有交点，则280b a -< C ．若幂函数()αx x f =的图象过点()2,2P ，则21=α D ．函数1y x =+与函数2(1)y x =+表示同一个函数10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，下列结论正确的有（ ）A.直线AD 与平面11ABC D 所成的角为4π B ．点C 到平面11ABC D 的距离为2C.两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4π D ．三棱锥1D DAB -中三个侧面与底面均为直角三角形11．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 是以π2为最小正周期的周期函数B ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值1C ．当且仅当52()4x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值2- D ．当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x < 12.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()f x 的最小正周期为3 D ．()f x 在区间()0,2020上零点的个数为1346第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.()71log 233log lg 25lg 478+++-的值等于_________．14.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11,,AB BC B C 的中点.①P 点在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -体积不变；②Q 点在直线EF 上运动时，直线GQ 始终与平面11AAC C 平行；③平面1B BD ⊥平面1ACD ；④三棱锥D EFG -的体积为83. 其中真命题的编号是_______________.（写出所有正确命题的编号）15.已知向量a ，b 满足3a =，1b =，若存在不同的实数()1212,0λλλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+，且()()()01,2i i b i c a c -⋅-==，则12c c -的取值范围是__________16.已知函数()x x e x f 2ln =，()22x g x x m=-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点()321321,,x x x x x x <<，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设全集是R ，集合{}2230A x x x =-->，{}123B x a x a =-<<+．（1）若1a =，求()RA B ；（2）问题：已知______，求实数a 的取值范围．从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都．．．．．．作答按第一个计分）．．．．．．．．．①A B B =； ②A B R =； ③A B φ=.18.（本小题满分12分）在矩形ABCD 中，将ABC ∆沿其对角线AC 折起来得到四面体ACD B 1，且平面1AB D ⊥平面ACD .（1）证明：CD B 11平面平面⊥C AB ；（2）若1AB =，2BC =，求折起后三棱锥1B ACD -的表面积、体积.19．（本小题满分12分）已知2()cos cos 222x x xf x =+. （1）若()1f α=，求cos(2)3πα+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且满足(2)cos cos b a C c A -=，求()f B 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且431,,1S S S +成等差数列，521,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：12311112.nS S S S ++++<21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//DC AB ，1,2PA AD DC AB ====，E 为棱PB 上一点.（1）若E 为棱PB 的中点，求证：PAD //CE 平面直线； （2）若E 为棱PB 上存在异于P 、B 的一点，且二面角E AC P --的余弦值为3，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点(1,0)处的切线方程为0y =.（1）求,a b 的值；（2）证明：当1≥x 时，2()(1)f x x ≥-；（3）若当1≥x 时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.海南中学2021届高三第五次月考数学参考答案满分150 分，考试时间120 分钟.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.2714. ①②③ 15. (222⎡⎣， 16. ()11002⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设全集是R ，集合{}2230A x x x =-->，{}123B x a x a =-<<+．（1）若1a =，求()RA B ；（2）问题：已知______，求实数a 的取值范围．从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都．．．．．．作答按第一个计分）．．．．．．．．．①AB B =； ②A B R =； ③A B φ=.解析：（1）解不等式2230x x -->得{1A x x =<-或}3x >，所以{}13RA x x -≤=≤．若1a =，则{}05B x x =<<.所以()RA B ={}03x x <≤．………………………………………………………5分（2）选①：A B B =，则B A ⊆．当B =∅时，则有123a a -≥+，即23a ≤-； 当B ≠∅时，则有123231a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12313a a a -<+⎧⎨-≥⎩，此时两不等式组均无解．综上所述，实数a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．……………………………………10分选②：A B R =，由于{}123B x a x a =-<<+，则有11233a a -<-⎧⎨+>⎩，解得2a >．故实数a 的取值范围是()2,+∞．…………………………………………………10分选③：AB =∅，由于{}123B x a x a =-<<+，所以当B =∅时，则有123a a -≥+，即23a ≤-； 当B ≠∅时，则有12311233a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得203a -<≤．综上所述，所求实数a 的取值范围是(],0-∞．…………………………………10分18.（本小题满分12分）在矩形ABCD 中，将ABC ∆沿其对角线AC 折起来得到四面体ACD B 1，且平面1AB D ⊥平面ACD .（1）证明：CD B 11平面平面⊥C AB ；（2）若1AB =，2BC =，求折起后三棱锥1B ACD -的表面积、体积.解析：（1）平面1AB D ⊥平面ACD ，平面1AB D平面ACD AD =，⊂CD 平面ACD ，CD AD ⊥，…………………………………………………………………………2分D AB 1平面⊥∴CD又1AB ⊂平面1AB D ，1AB CD ∴⊥.…………………………………………………4分11AB B C ⊥，⊂CD C B ,1平面1B CD ，且1B CCD C =，1AB ∴⊥平面1B CD . 11AB C AB ⊂平面，∴CD B 11平面平面⊥C AB ………………………………………………………6分 （2）由（1）知：CD ⊥平面1AB D ，又1B D ⊂平面1AB D ，1CD B D ∴⊥.所以C AB 1∆，1CDB ∆，D AB 1∆，ACD ∆都是直角三角形. 在1Rt CDB 中，1CD AB ==，12B C BC ==，1B D ∴==322121312131212121S S S S ACDD AB CDB C AB 1111+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=∆∆∆∆-表面积ACD B S ……………………………10分111111326B ACD A B CD V V --==⨯⨯=.…………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知2()cos cos 222x x xf x =+. （1）若()1f α=，求cos(2)3πα+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且满足(2)cos cos b a C c A -=，求()f B 的取值范围.解析：（1）21cos ()cos cos 2222x x x xf x x +=+=+)111cos sin 2262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭………………………………………2分 由()1sin 162f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故2211cos 2cos 212sin 1236622πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………6分（2）由(2)cos cos b a C c A -=，可得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -= 即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=2sin cos sin B C B =,由0B π<<，则sin 0B ≠所以1cos 2C =，由0C π<<，所以3C π=……………………………………………8分 ABC ∆为锐角，则0202B A ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ ,即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<< 1()sin 62f B B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则2363B πππ<+<………………………………………10分sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以113sin 22622B π⎛⎫+<++≤ ⎪⎝⎭ 所以()f B 的取值范围是1322⎛⎤+⎥ ⎝⎦，………………………………………………12分20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且431,,1S S S +成等差数列，521,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：12311112.nS S S S ++++< 解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧≠=++=0125122413d a a a S S S ……………2分解得2,11==d a . …………………………………………………………4分 所以12-=n a n . ………………………………………………………… 6分（2）由（1）知2,11==d a ，故2n S n =.……………………………… 8分1231111n S S S S ∴+++22221312111n+++= <()n n 113212111-+⨯+⨯+…………………………………………… 10分⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n 11131212111 n 12-=<2故21111321<++++nS S S S . …………………………………………… 12分21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//DC AB ，1,2PA AD DC AB ====，E 为棱PB 上一点.（1）若E 为棱PB 的中点，求证：PAD //CE 平面直线；（2）若E 为棱PB 上存在异于P 、B 的一点，且二面角E AC P --的余弦值为3，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值.解析：（1）证明：取PA 的中点F ，连AF 、FDE 为PB 的中点AB21EF ,//=∴且AB EF AB21C ,//=∴D AB CD 且 所以四边形CDFE 为平行四边形……………………………………………………2分 ∴//CE DF又PAD CE ⊄平面，PAD DF ⊂平面，故PAD //CE 平面直线……………………………………………………………4分 （2）以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在射线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz-，如图所示，则()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0A P B C .设(),,E x y z ，则()(),,1,0,2,1PE x y z PB →→=-=-. ∵E 在棱PB 上，∵可设PE PB λ→→=（01λ<<）.故()(),,10,2,1x y z λ-=-，解得021x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即()0,2,1E λλ-.………………………………………………………………………………6分设平面PAC 的法向量为()111,,u x y z →=，()()0,0,1,1,1,0AP AC →→==，∵ ·0·0u AP u AC ⎧=⎨=⎩，即()()()()111111,,0,0,10,,1,1,00x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z x y =⎧⎨+=⎩. 取11x =，则()1,1,0u →=-.……………………………………………………………8分 设平面EAC 的法向量()222,,v x y z →=，()()0,2,1,1,1,0AE AC λλ→→=-=，∵ ·0·0v AE v AC ⎧=⎨=⎩，即()()()()222222,,0,2,10,,1,1,00x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()22222100y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩. 取21,x =则22221,(0)11y z λλλλ=-=>--，故21,1,1v λλ→⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.因为二面角E AC P --所以33,cos =><v u ，即3u vu v→→→→⋅==⋅，即112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλ. 又10<<λ，解得12λ=. ∵10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ,10,1,2AE →⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………………………………………………………10分因为z 轴⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m →=.设AE与平面ABCD所成角为α，则1sinEm AEm Aα→→→→⋅===⋅故AE与平面ABCD所成角的正弦值为55.………………………………………12分22.（本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x ax x b x=+-，曲线()y f x=过点2(,1)e e e-+，且在点(1,0)处的切线方程为0y=.（1）求,a b的值；（2）证明：当1≥x时，2()(1)f x x≥-；（3）若当1≥x时，2()(1)f x m x≥-恒成立，求实数m的取值范围.解析：（1）由题意可知，()()2ln1f x ax x b x=+-的定义域为()+∞,0，且()2lnf x ax x ax b'=++.()10f a b='+=，()()()222111f e ae b e a e e e e=+-=-+=-+，1,1a b∴==-．…………………………………………………………………………4分（2）()2ln1f x x x x=-+，设()22ln g x x x x x=+-()1x ≥，则()2ln 1g x x x x =-+'.由()''2ln 10g x x =+>知()g x '在[)1,+∞上单调递增， ∵当1≥x 时，()()10g x g ''≥=，()g x 在[)1,+∞上单调递增，故当1≥x 时，()()10g x g ≥=．∵()()21f x x ≥-．………………………………………………………………………8分 （3）设()()22ln 11h x x x x m x =---+()1x ≥，则()20()(1)f x m x h x ≥-⇔>.()()2ln 211h x x x x m x =+---'.由（2）中知()()22ln 111x x x x x x ≥-+-=-，ln 1x x x ≥-.∵()()()()()3121321h x x m x m x ≥---=--'. ①当320m -≥即32m ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1,+∞单调递增. ∵当1≥x 时，()()10h x h ≥=成立．②当320m -<即32m >时，()()()2ln 121h x x x m x +-'=-，()''2ln 32h x x m =+-.令()0''0h x =，得2321m x e-=>.由于()x h ''在[]0,1x 上单调递增，所以当()01,x x ∈时，()0''<x h 恒成立，故()h x '在[]0,1x 上单调递减. 因此，当[]0,1x x ∈时，有()()10h x h ''<=.所以()h x 在[]0,1x 上单调递减.所以当[]0,1x x ∈时，有()()10h x h <=. 因此，()0>x h 不成立．综上所述：实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,．…………………………………………12分。
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2020届海南中学高三第五次月考文科数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知集合,,则（）A. ｛1,4｝B. ｛2,3｝C.D. ｛1,2}【答案】C【解析】【分析】把中元素代入中计算求出的值，确定出,，找出与,的交集即可．【详解】把分别代入得：，即∵，∴，故选：C．【点睛】本题题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设是虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵复数∴∴故选A3.设变量，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最小值.本题选择B选项.4.如图，在△中，为线段上的一点，，且,则( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝，故选A.5.设是两条直线，，表示两个平面，如果，，那么“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可.【详解】如果，，那么由则可得到即可得到；反之由，，，不能得到，故，如果，，那么“”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题.6.已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质可得：，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【详解】由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，∴数列的前10项和，故选：C．【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )A. 4B. 2C. 8D. 16【答案】B【解析】试题分析：由，有，则，故选：B．考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．8.已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【详解】由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，故选：D．【点睛】本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．9.面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六边形所在平面的距离为，记球的体积为，球的表面积为，则的值是（）A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】由题意可设正六边形的边长为，则其面积，则，所以，由于底面中心到顶点的距离，所以球的半径为，所以，故，应选B。
10.若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则关于的一元二次方程有实根的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，根据题意先做出方程没有实根的充要条件，列举出试验发生的所有事件，看出符合条件的事件，根据古典概型公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个古典概型，设事件为“有实根”当时，方程有实根的充要条件为，即，基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件包含9个基本事件∴事件发生的概率为故选B.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题.11.在中，内角所对应的边分别为，且，若，则边的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据由正弦定理可得，由余弦定理可得，利用基本不等式求出，求出边的最小值．【详解】根据由正弦定理可得．由余弦定理可得．．即．，故边的最小值为，故选D．【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，解三角形，属于中档题．12.已知函数（）在处取得极大值，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求导，令，，，得，或，令，可得数的取值范围.【详解】，由f′（1）=0得，得到…①∵，∴，得，或，由，解得…②）由①②得故选C.【点睛】本题考查了导数与函数的最值、单调性，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.，则使成立的值是____________.【答案】-4或2【解析】【分析】当0时，；当时，．由此求出使成立的值．【详解】，当0时，解得当时，，解得故答案为-4或2.【点睛】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14.已知函数，）的部分图象如图所示，则______．【答案】1【解析】【分析】由函数的部分图象得出、与的值，即可写出的解析式，进而得到. 【详解】由函数的部分图象知，，又又；∴即答案为1.【点睛】本题考查了由，的部分图象确定解析式，属基础题．15.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为____________【答案】【解析】分析：先将三棱锥补成长方体，再根据长方体外接球直径等于长方体对角线长，计算球体积. 详解：因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为，因为三棱锥的外接球与长方体外接球相同，所以外接球直径等于，因此三棱锥的外接球的体积等于点睛：若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．16.已知数列中，，，且．则数列的前n项_和为____________【答案】【解析】【分析】，，且．可得解得．可得．利用“累加求和”方法即可得出最后用裂项求和法可得数列的前n项_和．【详解】由题意，可得解得则，可得则，则数列的前n项_和为即答案为.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、裂项相消法求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 6，BC = 4，AA1 =5，过的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（Ⅰ ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
【答案】（1）见解析（2）1：3【解析】【分析】取中点,连则为所画正方形，（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．【详解】解取中点,连则为所画正方形，由为正方形，又平面把该长方体分成的两部分体积的比值为30：90=1：3【点睛】本题考查了棱柱的截面的画法及体积计算，属于基础题．18.已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列。
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列前2020项的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列列的公差为，（），运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得，进而得到所求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法可求数列前2020项的和..【详解】解等差数列的公差为，（）的通项公式为：（Ⅱ）的2020项的和为：【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和法，属于中档题．19.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值．，，利用余弦定理可得，即，则利用基本不等式三角形的性质可求求的取值范围【详解】解（Ⅰ）锐角又，即：即：又的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．20.如图，三棱锥中，△ABC是正三角形，DA=DC．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）已知，求点C到平面ABD的距离。
【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连，证明平面即可得到；（Ⅱ）利用等体积法可求点C到平面ABD的距离.【详解】证：（Ⅰ）取中点，连为正，中，平面（Ⅱ）正中，中中，由证：平面,又为中点设到平面的距离为，【点睛】本题以三棱锥为载体，考查线面垂直的性质，考查点面距离，综合性强．。