二次函数yax2的图象
二次函数yax2k的图象和性质公开课ppt课件
y＝ax2+k 图象
a>0
k＞0 k＜0
a<0
k＞0 k＜0
开口 对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 1、今天我学会了顶点在y轴上的抛物
线
，它的开口方向由 所决
定，它的对称轴是 ，它得顶点
是。
•
决定了平移的方向，平移的规律
归纳为四个字是
。
• 2、请你模仿y=ax2的知识结构图总结 今天的函数y=ax2+k的知识结构图。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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已知抛物线y=3x2+1上有两点 （x1,y1）、（x2,y2）,且x1＜x2＜0,则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）。
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• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2, • y=x2＋1，y＝x2－1的图象．（要求：每组2、
4、6号完成）
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2, • y=-x2＋1，y＝-x2－1的图象． （要求：每组1、
3、5号完成）
初中数学课件 2二次函数y=ax2的图象
当x ≠ 0时,y<0.
活动三、应用迁移
例1.
（1）若抛物线y=(2-m)xm2-3有最低点,则m=---------------
（2）点A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)在抛物线
y=ax （a<0）上,则y ,y ,y 的大小关系是 2
x>0时,y随x增大而增大 x>0时,y随x增大而减小
做一做
(1)抛物线y=5x 的顶点坐标是(0,0) ,开口 向上 2 -------------------------对称轴是 y轴 ,在对称轴 右 侧,y随着x的增大而增 大；在对称轴左 侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=5x2在x轴 的_上___方(除顶点外). (2)抛物线 y 2 x2 当x<0时,y随着x的 增大而增大 ； 3 当x >0 ,y随着x的增大而减小； ------------------
作业：金榜行动 P4第1-10题，选做P5第6、8题
活动三、应用迁移
例3.已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2； （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图像； （2）根据图像，求出S=1cm2时，正方形的周长； （3）根据图像，求出C取何值时，S≥4cm2 .
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
∴x的值可取负数、零、正数
(2)为了计算和描点方便,x取整数.且以1为 间距取值,取有代表性的7对值
画函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
二次函数y=ax2的图象和性质2
若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而____减__小____；当 x＜0时，y随x的增大而__增__大____；
当x＝0时，y取最____大____值0.
返回 11
9．关于二次函数y＝36x2的叙述，错误的是( D ) A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值
4)，则该图象必经过点( A )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
返回 5
4．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
返回
6
5．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( A )
③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
14
题型 1 次函数y＝ax2的性质在求字母值中的应用
12．根据下列条件分别求a的取值范围： (1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
x 1＝1 y1＝1
,
x2＝－2， y2＝4.1
∴C(－2，4)．
20
∴S△OBC＝S△AOC－S△AOB＝
1 2
AO•|yC|－
1 2
AO•|yB|＝
1 2
×2×4－
1 2
×2×1＝3.
∵S△AOD＝
1 2
6.2.1二次函数课件y=ax2的图像和性质
... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
8 3
4 8
...
0.5
... ...
...
x
y=2x2
... ...
-2 -1.5
-1 -0.5
2
8 3 -6
8
4.5
8 3
2
0.5
-1
2 3
x
22 2 y x y=2x 3
... -3 ... -6
-2 -1.5
... ...
1.5
1 y x2 2
y 2x2
列表参考
2 y x2
y x2
1 y x2 2
y 2x2
y x2
2 y x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最 小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值 最大。
4、|a|越大抛物线的开口越小
y 2x2
2、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
8、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1)求a的值； (2)点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？ 思考: 9、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 10、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2） （1）求出这个函数关系式并画出函数图象。 （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的 坐标，并求出△MON的面积。
二次函数yax2c的图象和性质课件PPT
把抛物线y=２x2向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=２x2+5
(2)得到抛物线y=２x2－３.4
思考:抛物线y=2x2+5
的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
抛物线y=－
1 2
x2向下平移５个单位后，所得
抛物线为
y=－
1 2
x2－５ ，再向上平移７个单位
（2）抛物线y=ax2＋k对称轴是y轴，顶 点（0，-3），且经过（1，2），求抛 物线的解析式.
抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是：
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律：
向上平移
抛物线y=ax2 c个单位 抛物线 y=ax2+k
后，所得抛物线为
y=－
1 2
x2＋２
.
抛物线y=ax2＋k与y=－５x2 的形状大小，开口方向都相同， 且其顶点坐标是（０，３），则 其表达式为y=－５x2＋３ ，它是由 抛物线y=－５x2上向 平移３ 个单位得到的．
抛物线y=ax2＋k与y=３x2的 形状相同，且其顶点坐标是
（０，１），则其表达式 为 y=３x2＋１ 或y=－３x2＋１ ，
１、在直角坐标系中，二次函数y=3x2+2 的图象x A
y 0x
B
y 0x
C
y 0x
D
2、函数y=3x2+5与y=3x2的图象
的不同之处是( C )
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点和抛物线的位置D.形状
3、按下列要求求出抛物线的解析式：
（1） 抛物线y=ax2＋k形状与y=-2x2+3 的图象形状相同，但开口方向不同，顶 点坐标是（0，1）,求抛物线的解析式。
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(三)
4.二次函数y=(m-3)x2的图象开口向下,则m 的取值范围为 m<3 .
解析:当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,所 以m-3<0,即m<3.故填m<3.
2.二次函数
y
3 7
x2 的图象的顶点坐标是
(0,0)
,
对称轴是 y轴 ,开口向 上 ,
当x= 0 时,y有最 小 值,为 0 .
解析:根据二次函数y=ax2的性质
可得二次函数 y ax2 的图象的顶点坐标是
(0,0),对称轴是y轴,开口向上,当x=0时,y有最
小值,为0.
3.函数y=-6x2的图象的顶点坐标是 (0,0) , 对称轴是 y轴 ,开口向 下 , 当x= 0 时,y有最 大 值,为 0 .
检测反馈
1.抛物线y 2x2,y=-2x2,y= 1 x2的相同点是（ B）
2
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
解析:抛物线 y 2x2,y= 1 x2 开口向上,对称轴
2
是y轴,有最低点,x>0时,y随x的增大而增大;抛 物线y=-2x2开口向下,对称轴是y轴,有最高 点,x<0时,y随x的增大而增大.所以这三条抛物 线的相同点是对称轴是y轴.对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
[知识拓展]
1.画函数图象时,一般来说选点越多,图象越精 确,但也要具体问题具体分析.
2.抛物线是向两个方向无限延伸的.
3.由于二次函数y=ax2的图象是一条抛物线, 故也称抛物线y=ax2.
二次函数yax2的图象和性质
A(x,y)
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
1.5 2.25
2
... ... ...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
函数图象画法
描点法
注意： 注意：列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 取值要均匀和对称。 y= x
二次函数y= 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标: 3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应.
y(纵轴) P (a,b)
第二象限
b
第一象限
a
第三象限
o
x(横轴)
第四象限
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 二次函数 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线
这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称，y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
≠
0时，y<0. 时
1、已知抛物线y=ax2经过点 （-2，-8）。 、已知抛物线 经过点A（ ， ）。 （1）求此抛物线的函数解析式； ）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 ）判断点 （ ， ）是否在此抛物线上。 的点的坐标。 （3）求出此抛物线上纵坐标为 的点的坐标。 ）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 解（1）把（-2，-8）代入 ） ， ）代入y=ax2,得 得 -8=a(-2)2,解出 -2,所求函数解析式为 解出a= 所求函数解析式为 解出 y= -2x2. （2）因为 4 ≠ 2( 1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） ） 所以点 （ ） 不在此抛物线上。 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, ） 得 x=± 3 所以纵坐标为-6的点有两个 的点有两个， 所以纵坐标为 的点有两个，它们分别是
二次函数yax2的图象与性质2
开口 增减性
最值
向上
向下
a 越大，开口越小
在对称轴的左边，曲线自 左向右下降，y随着x的增 大而减小；在对称轴的右 边，曲线自左向右上升， y随着x的增大而增大
当x=0时，最小值为0
在对称轴的左边，曲线自左向 右上升，y随着x的增大而增大； 在对称轴的右边，曲线自左向 右下降，y随着x的增大而减小
当x=0时，最大值为0
2
B.y 2x2 D.y 1 x2
3
小结
6.已知函数y (m 1)x m 1是关于x的二次函数 （1）求m的值 （2）求抛物线的顶点坐标，并判断当x为何值时，
y随x的增大而增大
小结
y ax2 对称轴
a >0
a <0
关于y轴对称
顶点坐标
（0,0）
位置 在x轴上方（除顶点外） 在x轴上方（除顶点外）
抛物线上的点都在X轴的 _下___方，它的顶点是图象的最 _高____点 2. 二次函数 y 2x 2 的图象开口向_上___，顶点坐标是_(0__,0_) ，对称轴是_y_轴__，
在对称轴的左侧，y随x的增大而 减___小_ ; 在对称轴的右侧， y随x的增大而 _增__大_ ; 当x= __0__时，y取最__小__值，其最_小___值是_0___
1. 二次函数的一般形式是 y___a_x_2 __bx c (a、b、c是常数，a 0)
2. 二次函数的特殊形式有：
①当b=0时ax2 bx
③当b=0,c=0时， y ax2
3. 一次函数的图象是 _一__条__直__线
反比例函数的图象是 _双__曲__线__
3. 将抛物线 y 1 x2 沿X轴对折，得到这条抛物线所对应的
二次函数y=ax2的图象和性质课件
...
函数图象画法
描点法 列表
y2 x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
1.列表： 2.描点：
3.连线：
画出函数y=2x2、
的图象：
…8 20 2
8…
…
2
1
2
0
1
2
2
…
x×x
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
只是开口 大小不同
顶点都是原点(0,0)
y 1 x2 2
y 2x2 y 2 x2 3
5、已知函数 y m 1 xm22m2 m 2 x
是二次函数，且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化 规律
3、视察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是
（A ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
y
D 对任意实数x，都有y＞0
o
x
4、已知y=（k+2）xk2+k-4
是二次函数，
且当x>0时，y随X增大而增大，则k= 2 ；
（3）在对称轴的左侧，抛物线从左到右降 落；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
... 4 2.25 1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -44
二次函数yax2k的图像和性质
a<0 向下
(0 ,k) y轴
(0 ,k) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
在同一直角坐标系中，
画出函数
y
1 2
x2与
y
1 2
x2
1的
图
象。
列表
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
1 2
x2
…
…
y
1 2
x2
1
…
…
列表
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
1 2
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，函数取得最 大 值，这个值等于 k 。
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、 顶点坐标、最大值或最小值各是什么及增 减性如何？。
（1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1 (4) y= −2x2+3
在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和
26.1.2二次函数yax2的图像和性质
用一根长为30厘米的绳子围成一个长方形， 如果设矩形的一边AB长为x厘米，那么矩形的 哪些量随x的值的变化而变化？
二次函数的定义:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变
量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一 次项系数和常数项.
9
连接各点，就得到y = x2 的图
象．
6
y=x2
3
－3
3
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
45 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2 x 2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ·
·· ·
8
4y.5 x2 2
8
0.5y 20x2
0.5
2
4.5
8
···
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
26113二次函数yax2k图象
y y 2x2
o
x
y 1 x2 2
复习
1、二次函数 y ax2的图象及、性质：
(4)当a<0时，抛物线 开口向 ，顶点是 最 点，在对称轴 的左侧，y随x的增大 而 ，在对称轴 的左侧，y随x的增大 而 ，a值越大， 开口越 .
y y 2x2
o
x
y 1 x2 2
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
复习
1、二次函数 y ax2的图象及性质：
(1)图象是
；
y y 2x2
(2)顶点为
，
对称轴为
；
o
x
y 1 x2 2
复习
1、二次函数 y ax2的图象及、性质：
(3)当a>0时，抛物线 开口向 ，顶点是 最 点，在对称轴 的左侧，y随x的增大 而 ，在对称轴 的左侧，y随x的增大 而 ，a值越大， 开口越 ；
(1)当k>0时，向上平移 y
k 个单位；
(2)当k<0时，向下平移
k 个单位；
o
y ax2 k (k 0) y ax2
y ax2 k
(k 0)
x
巩固
2、二次函数 y x2 2是由二次函 数 y x2向 平移 个单位得到的。
3、二次函数 y 3x2 2 是由二次函
数
向上平移5个单位得到的。
3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=0时，y取最大值为c。
巩固 4、说出下列函数图象的性质：
(1) y 1 x2 2 (2) y 2x2 3 2
开口方向、对称轴、顶点、增减性。
范例
例1、求符合下列条件的抛物线 y ax2 1的函数关系式：
1.2二次函数yax2的图象和性质课件
2、抛物线y= x2的开口向
，顶点坐标为
，
对称轴为
，当x=-2时，y=
；当y=3时，x=
,
当x≤0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 .
探究
我们已经会画 y 1 x 2 的图象， 能不能从它
得出二次函数
y
1
2 x2 的图象呢？
2
在
y
1 2
x2
的图象上任取一
点 P(a, 1 a2 )它关于x轴的对
例2 画二次函数 y 1 x2 的图象． 4
解 列表
描点、连线
画出图象在y轴右边的
部分．利用对称性，
画出图象在y轴左边的
部分,这样就得到了
y
1 4
x2
图象．
练习 在同一直角坐标系中画出二次函数y＝-0.3x2及
y＝-8x2的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
相同点：两函数图象顶点都是原点且是图象的最高点， 开口都向下，都是轴对称图形，对称轴是y轴，在y轴的左 侧函数值随自变量取值的增大而增大，在y轴的右侧函数值 随自变量取值的增大而减小，x＝0时，函数y取最大值0．
抛物线关于y轴对称．
抛物线关于y轴对称．
函 增减性 数
性 质 最值
x<0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而增大． x>0时，y随x的增大而减小．
x＝0时，函数y取最小值0. x＝0时，函数y取最大值0.
达标检测：
1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（ ） A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴 B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称 C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反 D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上
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二次函数y=ax2的图象
教学设计示例1
课题:二次函数的图象
教学目标:
1、会用描点法画出二次函数的图象;
2、根据图象观察、分析出二次函数的性质;
3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识
4、渗透由非凡到一般的辩证唯物主义观点;
5、渗透数形结合的数学思想方法,培养观察能力和分析问题的能力;
6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.
教学重点:根据图象,观察、分析出二次函数的性质
教学难点:渗透数形结合的数学思想方法
教学用具:直尺、微机
教学方法:谈话、探究式
教学过程:
1、列表、描点画出函数与的图象,引入新课
例:画出函数与的图象
解:列两个表
x
4
3
1 0 1
2
3
4 8
2
2
8 x 2
1
1
2
8
2
2
8
分别描点画图
2、根据图象发现问题,由学生探索出新知识.
提问:你能从图象中发现抛物线是哪些性质?这两个函数图象有何异同?
这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出, 时所对应的y值分别相等,如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论:互为相反数的两个数的平方数相等,因此,这两个函数的图象都是关于y轴对称
从图中可以看出,x可取x轴上的任意一点,而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点.这一点可以从解析式中得到很好的解释, 可取
任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索,它们是互相对应的,反映了数形结合的思想.
从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数,这两个函数的图象都是直线,而抛物线是曲线,有一个拐弯,函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧,从左向右呈下坡趋势,即y随x的增大而减小;在y轴的右侧,从左向右,呈上坡趋势,即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.
这两个图象除以上相同之处外,还有不同的地方.如: 离y轴近, 离y轴远.从列表中可以看出:如过点,而过点也就是说,当x=2时, 的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.
3、画出函数的图象
与中的a都是正数,当a0时,抛物线的开口向上,当a<0时,抛物线的开口向下,a的绝对值越大,图象越靠近y 轴.
6、小结:这一节课,从始至中都是结合图象观察、归纳
总结出二次函数的性质,体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具,希望大家能自觉地应用.
7、作业:习题组1、2B组1、2
教学设计示例2
课题:二次函数的图象
第一课时
一、素质教育目标
知识教学点
1.使学生知道二次函数的意义;
2.使学生会用描点法画出二次函数的图像,并结合的图像,初步理解抛物线及其有关概念。
能力练习点
1.进一步培养学生用描点法画函数图像的能力;
2.向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。
德育渗透点
通过对几个非凡的二次函数的讲解,向学生进行一般与非凡的辩证唯物主义教育。
美育渗透点
通过本节课的教学,渗透二次函数图像的对称美,曲线的平滑美。
二、学法引导
教师采用引导发现法,观察法,讲解法
本节的主要内容是理解二次函数的定义,知道二次函数解析式中字母的意思,在画的图像时,要知道图形是抛物线,是轴对称图形、列表时,自变量x的值的选取,应以0为中心,对称地选取两对互为相反数,最好x取整数值。
三、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:二次函数的意义及二次函数的图像的画法。
因为它们是研究二次函数的重要基础。
2.教学难点:正确画出二次函数的图像。
因为它的图像是一条曲线,画起来较复杂,而且学生在画图之前,尚不清楚二次函数的图像的具体外形和变化趋势,所以不易把握。
3.教学疑点: ; 的图像的反性质。
4.解决办法:关于二次函数的定义,关键要注重:自变量的最高次数定义,二次项系数 ; 的图像和性质,不可死记硬背,要结合图像理解和把握二次函数的几个主要特征,如开口方向,顶点坐标,对称轴,最大值最小值等。
四、教学步骤
教学过程
首先,我们来看两个实验问题:
1.圆的半径是R,它的面积为S,你能否写出S与R之间的函数关系式?
这个问题由学生举手回答,可找层次较低的学生完成,培养他们的参与意识和自信心。
然后把答案写在黑板上留
用。
2.已知一个矩形场地的周长是60,一边长为l,请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。
这个问题其实就是中的例1,可由学生得出结论,若学生给出的是 ,再继续提问:你能否把函数关系式中的括号去掉?然后把所得的结论写在黑板上。
提问:比较与这两个函数,都是用自变量的几次式来表示的?
用这个问题,引出二次函数,在学生回答之后,教师加以总结,板书:
一般地,假如 ,那么,y叫做x的二次函数。
提问:1.上述概念中的a为什么不能是0?
2.对于二次函数中的b和c可否为0?若b和c其一为0或均为0,上述函数的式子可以改写成怎样?你认为它们还是不是二次函数?
3.由问题1和2,你能否总结:一个函数是否是二次函数,关键看什么?
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解,也同时给出了二次函数的三个特例: ; ; ,使学生深刻理解:看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0.
4.二次函数的解析式,与我们所学过的什么知识相类似?
通过这个问题,使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可,为以后的教学
做好铺垫.
练习一:P108中1、2 口答,注重第1题要让学生说明不是二次函数的原因
提问:根据我们所学知道,一次函数的图像是条直线,那么二次函数的图像又是什么样的呢?
这个问题主要是为了引起学生的爱好,不必回答,教师也不用给出答案.
我们研究任何问题都最好由最简单的入手,根据刚才对二次函数的介绍,你认为最简单的二次函数是什么?
这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究 .另一方面也使同学熟悉到研
究问题要由简到繁的基本方法.
所以第三个问题是,由我们学习的画函数的图像方法与步骤,我们应怎样画二次函数的图像呢?
可由学生先回答画函数图像的三个步骤:列表;描点;连线.然后分步骤来研究这个图像的方法.
列表:①自变量x的取值范围是什么?
②要画这个图,你认为x取整数还是取其他数较好?
③看 ,它是一个数的平方形式,它的结论与x的值有什么关系?
学生可能有多种答法,引导学生回答:当x取互为相反数时, 的值相同.
④若选7个点画图,你预备怎样选?
通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点,而且也使
学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧.
描点:①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长?
②怎样画就可以了呢?
答:x轴的正、负半轴画的一样长,y的正半轴画的较长,负半轴画的较短就可以.
通过这两个问题可培养学生的作图技巧.
连线:①观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?
②我们应怎样连接这7个点?
让学生先连一次试试,然后教师演示。
关于原点四周的变化趋势,最好能用动画演示,增强学生的直观熟悉,或看书也可以.
注重:我们所画的只是近似图像.
接下来,让学生观察这个函数图像提问:
1.函数的图像有什么特点?
答:是轴对称图形.
2.你是怎样判定函数的图像有上述特征的?
这个问题,按不同的层次,有三种得出方法:观察图;看列表;直接根据解析式,看学生层次定讲解的深度.
学生回答完上面的问题之后就可指出:函数的图像是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线。
实际上,二次函数的图像都是抛物线
在此处,可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的,不要深讲。
再结合图像指出:抛物线是开口向上的,y轴是它的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,即点。
关于抛物线的顶点,可按不同层次的学生进行不同层次的解释:
从图像上直观得到:抛物线的顶点是图像的最低点:从解析式上看,当时, 取得最小值0,就是抛物线的顶点坐标。
总结、扩展
教师提问,学生思考回答:
1.你能否说清二次函数的意义?
注重总结:函数解析式关于自变量是整式;自变量的最高次数是2。
2.二次函数的图像是什么外形的?它的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么?
五、布置作业
百度文库- 让每个人平等地提升自我
11 教材P114 1、2、3 六、板书设计。