初中一元二次函数详解

初中一元二次函数详解

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.

2.二次函数2ax y =的性质

(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.

(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：

①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0

3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.

4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a

b a

c k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a 决定抛物线的开口方向：

当0>a 时，开口向上；当0

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .

③定点是抛物线的最值点[最大值(0a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用

(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.

(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a

b x 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0

b 时,对称轴在y 轴右侧.

(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：

① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0

b . 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2. 其中①左右移动可得到③，再上下移动可得到④。口诀“左加右减，上加下减”

图像特征如下：

9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

10.抛物线与Y 轴的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)

(2)抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程

02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；

③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.

11．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程c bx ax ++=20就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．

(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交

点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x

的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．

(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个

不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程

02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则

一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根

12.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

附：将二次函数的一般式c bx ax y ++=2化为顶点式()k h x a y +-=2

的方法：(可用配方法和公式法)

典型例题精讲：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？