一元二次函数总结

一元二次函数的图象

一、定义：

一般地，如果y =ax2• bx - c（a,b,c是常数，a = 0），那么y叫做x的一元二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y= ax2+ bx + c （a z 0）的图象（其中a,b,c 均为常数）

1. 当a> 0时

函数图象开口向上；

对称轴为x =- 2a/b，有最小值且为（4ac—b2 ）/ 4a；

当x €（-x，- 2a/ b]时递减；当x € [ - 2a/ b,十^）时递增；

2.当a v 0时

函数图象开口向下；

对称轴为x =- 2a/b，有最大值且为（4ac—b2 ）/ 4a；

当x €（-x，- 2a/ b]时递增；当x € [ - 2a/ b,十^）时递减;

2. △= b2 —4ac

当厶〉。时，函数图象与x轴有两个交点；

当4=0时，函数图象与x轴只有一个交点; 当Av O时，函数图象与x轴没有交点。(如下图所示)

归纳：一般地，抛物线y 二ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a 0时，抛物

线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a 0时, 抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，

a 越大，抛物线的开口越大。

⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置

1 1

例2：画出二次函数y = ——(x ・1)2，y = ——(x-1)2的图象，考虑他们的开口方向、

2 2

y = _x

y x y = -2x

2

y「1（ x—i）1 2

y —扣i)2

1

可以看出，抛物线y n-j d」）2的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴垂直的直

线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y = -1（x-1）2的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。

1

例3：画出函数y=-^（x・1）2一1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛

物线y = -l x2经过怎样的变换可以得到抛物线y =-l（x・1）2 -1 ？

2 2

1

抛物线y （x，1）2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1, -1 ）。

1 2

y「尹1）2-1。

归纳：一般地，抛物线y=a（x-h）2与y = ax2形状相同，位置不同。把抛物线y =ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。

抛物线y二a（x - h）2 k有如下特点：

（1）当a 0时，抛物线的开口向上；当a ：：：0时，抛物线的开口向下；

（2）对称轴是直线x=h ；

把抛物线y=-^x2向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线2

y=ax 2 bx c=a(x 与 4a ^

2a 4a

因此，抛物线ydgc 的对称轴是，顶点坐标是

b 4a

c - b 2、

(

， : )•

2a 4a

⑵c

的大小决定抛物线y 二ax 2 ・bx ，c 与y 轴交点的位置•

当x = 0时，y =c ，二抛物线y 二ax 2

• bx • c 与y 轴有且只有一个交点(0 , c

):

① c = 0，抛物线经过原点；

② c 0

,与y 轴交于正半轴;

③

c 0

,与y 轴交于负半轴•

以上三点中，当结论和条件互换时仍成立•如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

归纳：一般地，可以用配方法求抛物线 y = ax 2 bx • c (a = 0)的顶点与对称轴

(3)顶点坐标是(h , k )

b：：0 •

a

(2)a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧

|X 1-X2|= f「4aC , 与y 轴交点为(0,C)

b2-4ac>0 , ax2+bx+c=0有两个不相等的实根

b2-4ac<0，ax2+bx+c=0 无实根

b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根

二.四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件

1. 若x v y v m( m为x轴上的一点)，则需满足：

「△> 0

卜-2a/b v m

L f(m) > 0

2. 若m v x v y ( m为x轴上的一点)，则需满足：

「△> 0

卜-2a/b>m

L f(m) > 0

3. 若x v m v y ( m为x轴上的一点)，则需满足：

4. 若x,y €( m,n )( m,n为x轴上的一点)，则需满足：

「△> 0

卜m v - 2a/b v n

L f(m) > 0,f(n) > 0

5. 若m v x v n v y v p ( m,n,p为x轴上的一点)，则需满足：

厂f(m) > 0

卜f(n) v 0

L f(p) > 0

6. 若只有一根在(m,n)之间(m，n为x轴上的一点)，则需满足：

「△= 0

匚m v - 2a/b v n

或f(m) • f(n )v 0

厂f(m)二0

或

L m v - 2a/b v( n+ m )/2

厂f(n)二0

或

L( n+ m )/2v —2a/b v n

五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:

① y=ax2；② y=ax2+k ；③ y=a(x—hf ；④ y = a(x — hj+k ；⑤y = ax2bx c.

图像特征如下：

六、二次函数图像的变换规律：

抛物线y=a(x-h) 2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。

y=ax2(a>0)的图像沿x轴翻折y=-ax2(a>0)

------- ---------- J.

的图像

当h v0时，向左平移错误！未找到引用源。个单位长度,

当h>0时，向右平移错误！未找到引用源。个单位长度

y=a (x-h ) 2的图像

当k >0时，向上平移错误！未找到引用源。个单位长度