多边形的平面镶嵌
初中数学多边形与平面镶嵌
初中数学——多边形与平面镶嵌一、选择题。
1.只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形2.一个四边形截去一个角后内角个数是（）A.3个B.4个C.5个D.3个或4个或5个3.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）A.3B.4C.5D.64.如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2√3，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A.4√2B.4√3C.4D.65.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且相互平分6.如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为（）A.4B.5C.6D.87.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 78.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数为 ( )A. 19B. 10C. 11D. 129.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 810.如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，50ABG ∠=︒，则FAE ∠的度数是（ ）A.22︒B.32︒C.50︒D.130︒11.若一个五边形有三个内角都是直角，另两个内角的度数都等于α，则α等于( )A. 30B. 120C. 135D. 10812.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）A.9B.10C.11D.12二、填空题。
13.若将多边形边数增加1倍，则它的外角和是__________度.14.一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是 ．15.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．B ．用计算器计算：sin15°32' （精确到0.01）16.若一个多边形的每个外角都是 72° ，则这个多边形是 边形.三、解答题。
沪科版(2012)初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案
沪科版 19.4 综合与实践多边形的镶嵌教学设计教学目标1.了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.3.经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维.培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力.4.使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值.内容分析从数学的角度看，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺:通常把这类问题画做用多边形的平面镶嵌.平面图形的镶嵌内容安排在本章的最后，在此之前，学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识.通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义.教学重点难点教学重点探索正多边形能够镶嵌的条件．教学难点通过数学实验发现用正多边形进行镶嵌的规律.数学思考1．通过用一种正多边形进行镶嵌的实验，探究平面镶嵌的条件. 2．探究用哪两种不同的正多边形可以进行组合镶嵌.3．用三角形与四边形能否进行平面镶嵌．问题解决获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.教学过程一、情境引入赏镶嵌之美1．图形欣赏．多媒体出示一组图片，让学生观察欣赏，引导学生思考：这些图案都是由哪些基本的平面图形构成的？这些图形拼成一个平面有什么共同特征？说明：图案中的平面图形有的规则，有的不规则；有的用多边形拼成，有的用多种多边形拼成．各图形之间没有空隙，边也没有重叠.设计意图：一方面让学生直观感受各种图形，特别是蜂窝的图学生都比较熟悉，体现了自然中、游戏中都蕴含着美妙的数学知识，激发学生学习的兴趣，另一方面使学生体会镶嵌的直观形象，进而明确其含义.2．感知概念平面镶嵌的定义用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.二、动手操作合作学习1．提出问题．（1）怎样铺设可以不留空隙，也不相互重叠？（2）可以用哪些图形？（3）用前面所学的正多边形能否拼成一个平面图形？（4）哪些正多边形可以镶嵌成一个平面，哪些不能？设计意图：恰当设计问题，使学生的认识由感性上升到理性，培养学生的合情推理能力，领会镶嵌的原理，进一步培养学生的思维能力，发挥教师的引导者和合作者的作用.2．操作发现寻镶嵌之理让学生先用课前准备好的若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼图游戏．教师巡视，观察学生的活动，共同展示交流.思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌？设计意图：通过亲自动手操作，让学生体验镶嵌的过程，品尝成功的乐趣.3．思考交流让学生思考为什么有的正多边形能进行平面镶嵌，而有的正多边形不能进行平面镶嵌．用一种正多边形镶嵌需要满足什么条件呢？说明：正三角形、正方形、正六边形都可以，正五边形不可以（1）在由正三角形拼成的图案中，每个拼接点处有六个角，每个角都等于60°，六个角的和等于360，即6×60°＝360°，刚好形成一个周角，所以能进行平面镶嵌。
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌（教案练习）
沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌教学设计课题19.4多边形的镶嵌单元第19章= 学科数学年级八年级下学习目标【知识与技能】了解镶嵌的数学思想及其应用．【过程与方法】经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；【情感态度与价值观】通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．重点镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．难点怎样进行镶嵌．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。
师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？认真观察，积极思考并回答问题，通过生活场景到新课，讲授新课师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。
平面镶嵌也叫密铺。
师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及任意多边形进行平面镶嵌，探究一：师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案?（1）正三角形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正三角形能平面镶嵌（2）正方形能平面镶嵌吗？认真思考以及描述定义，在老师的引导下认真思考，积极探索平面镶嵌的有关内容学生拿手中正三边形进行实验并得出结论学生拿手中正方形进行实验并得出结论引出课题（板书）明确镶嵌含义通过分类讨论培养学生的逻辑思维能力学生通过拿手中的多边形进行实验探究得出结论，能够给学生加深印象，掌握知识点师：请问在拼接点处角度之和为多少？正方形能平面镶嵌（3）正五边形能平面镶嵌吗？正五边形不能平面镶嵌（4）正六边形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正六边形能平面镶嵌师：思考为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？师：由以上可得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角学生拿手中正五边形进行实验并得出结论学生拿手中正六边形进行实验并得出结论都是360°的约数.所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．探究二：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？活动1：师：用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！你知道正三角形及正方形各需要多少吗？解：设在一个拼接点周围有m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，则有m·60°+n·90°=360°2m+3n=12∵m,n 为正整数∴解为m=3.n=2需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。
平面镶嵌的认识与操作
平面镶嵌的认识与操作在设计领域中，平面镶嵌是一项常见且重要的技术，它能够将不同的元素有机地结合在一起，形成独特而具有美感的图案。
本文将介绍平面镶嵌的基本概念和操作技巧，并探讨其在设计中的应用。
一、平面镶嵌的基本概念平面镶嵌是一种通过将不同的图形拼接在一起来创造出复杂而连续的图案的技巧。
在平面镶嵌中，每个图形都被称为“镶嵌单元”，它们可以是多边形、线条、弧形等。
通过合理地组织和安排这些镶嵌单元，我们可以创造出丰富多样的图案。
平面镶嵌根据图形之间的连接方式可以分为三类：共享边、重叠和交叉。
共享边是指两个相邻的镶嵌单元共享一个边，形成紧密的连接；重叠是指两个镶嵌单元部分或完全重叠，营造出立体感；交叉是指两个镶嵌单元相互交叉，并在重叠部分形成新的图形。
二、平面镶嵌的操作技巧1. 规划布局：在进行平面镶嵌之前，我们首先需要规划好整体的布局。
根据设计需求，确定图案的大小、形状和组成元素，并考虑元素之间的比例和对称性。
2. 选择合适的镶嵌单元：根据设计主题和风格选择合适的镶嵌单元。
可以使用传统的几何形状，也可以尝试一些创新的图形，以增加图案的独特性和创意性。
3. 精确测量和切割：在制作镶嵌单元时，需要进行精确的测量和切割。
使用尺子、铅笔和切割工具等工具，确保每个镶嵌单元的大小和形状都准确无误。
4. 确定连接方式：在进行平面镶嵌时，需要决定不同镶嵌单元之间的连接方式。
可以使用胶水、缝纫、焊接等方法，根据材料的特性和实际需求选择适合的连接方式。
5. 调整和优化：在镶嵌的过程中，可能会出现一些不完美的地方，比如长度不一致、角度不准确等。
这时候需要对图案进行仔细的调整和优化，以确保每个镶嵌单元的完美配合和整体的美观。
三、平面镶嵌在设计中的应用平面镶嵌在设计领域中有着广泛的应用，无论是室内设计、产品设计还是图形设计，都可以通过平面镶嵌来增加美感和创意性。
1. 室内设计：在室内装饰中，平面镶嵌可以用于墙面、地板、天花板等部位的装饰。
平面镶嵌(教案)
此外，关于学生小组讨论环节，我发现部分同学在分享成果时表达不够清晰，这可能影响了他们对知识点的掌握。针对这个问题，我将在接下来的教学中加强对学生表达能力的培养，鼓励他们多发言、多交流，提高自己的逻辑思维和口头表达能力。
平面镶嵌（教案）
一、教学内容
《平面镶嵌》为本章节教学内容，选取教材中关于平面几何的部分，主要包括以下内容：
1.平面镶嵌的基本概念与性质：镶嵌的定义，平面镶嵌的条件，平面镶嵌的分类。
2.平面镶嵌的判定方法：规则多边形的平面镶嵌，不规则多边形的平面镶嵌。
3.平面镶嵌的应用：生活中的平面镶嵌现象，艺术作品中的平面镶嵌设计。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平面镶嵌的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平面镶嵌的理解。我希望大家能够掌握这白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平面镶嵌在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.增强学生的创新意识：鼓励学生运用所学知识，创作独特的平面镶嵌作品，激发创新精神和审美情趣。
人教版数学八年级上册数学活动——平面镶嵌(第三课时)课件
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
5
【典例】如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺而成的一个平行四边 形，这个图案中等腰梯形的内角各是多少度？
分析：根据密铺(平面镶嵌)的条件，同一顶点处的各角之和等于360°.由于所 有等腰梯形的形状、大小是完全相同的，所以从图中可以看出，三个同样的钝角拼 在了一起，所以每个钝角是120°，锐角是60°.
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
16
思维训练
14．【核心素养题】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图
案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少
一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1、2、3个图案(如下图)所
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
数学活动——平面镶嵌(第三课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
数学·八年级 (上)·配人教
3
知识点1 平面镶嵌问题 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用 多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．
第十一章 三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
4
知识点2 平面镶嵌的条件 (1)拼接在同一个顶点处的各个角的和恰好等于360°； (2)相邻的多边形有公共边． 注意：(1)能够进行平面镶嵌的同一种正多边形只有：正三角形、正方形和正六 边形； (2)能够进行平面镶嵌的两种正多边形组合有：正三角形与正方形，正三角形与 正六边形，正方形与正八边形等．
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19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 沪科版数学八年级下册教案
《19.4 综合与实践多边形的镶嵌》公开课教学设计教学目标：1.了解平面图形镶嵌的含义和条件，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计；2、通过探索平面图形的镶嵌，会用一种三角形、四边形、或正六边形进行镶嵌，并能够运用这几种图形进行简单的设计；3、经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维，培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力；运用几种图形进行平面镶嵌设计，进一步提升自身的审美意识与创新意识。
4、使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值。
5.通过实践体会数形结合的思想，提升自身的思维能力与逻辑推理能力，逐步由形象思维向抽象思维发展。
6.在实践中发现新问题，激发潜能，创造性的解决问题。
教学重点：经历平面镶嵌的探究过程，理解平面镶嵌的条件。
教学难点：通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律——用一种形状、大小完全相同的三角形，形状、大小完全相同的四边形进行平面镶嵌。
教学辅助设备：一体机希沃授课助手几何画板教学方法：多媒体教学法、实验法、讨论法、小组合作探究、展示交流法教学准备：吸铁石若干个课前准备：先让学生预习本节课的内容，然后对于整节课的活动流程有一个初步的了解。
教学过程：活动内容教师活动学生活动设计意图一、创设情境引入课题（5分钟）导入语：拉近与学生之间的距离师：“春秋多佳日，登高赋新诗。
”在这春意盎然、百花盛开的美好时节，我很荣幸能有这次机会来到美丽如画的适之中学东山校区，和生机勃勃的你们共同度过这愉快的40分钟。
同学们，你可知道百花盛开的万花丛中谁最忙吗？师：……毫无疑问当属我们的勤劳的小蜜蜂了。
那同学们知道蜂房截面的形状吗？师：对！你们看这些蜂房之间密密麻麻地排列在一起时有什么规律吗？比如每两个蜂房之间有缝隙吗？有重叠交叉吗？师：瞧！就连我们自然界的小精灵都知道巧妙地利用我们数学几何知识来搭建它们的温馨而又漂亮的新房。
数学活动-平面镶嵌
三、实际应用，知识拓展
（1）能够铺满地面的正多边形是（ B ） A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十边形 （2）不能够铺满地面的正多边形是（ C ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 （3）某中学新科技馆铺设地面,已有正三角形形状的地 砖,现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖,与正三 角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌,则该学校不应该购买 的地砖形状是( C ) A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
教材分析：
二、目标设置
认知目标: 1、了解平面镶嵌的意义； 2、理解正多边形平面镶嵌的条件。 能力目标: 1、能运用常见的几种正多边形进行简单的平面镶嵌设计； 2、经历探索正多边形平面镶嵌条件的过程，训练学生的合 情推理能力。 情感目标： 1、通过合作探究培养学生团结协作的精神； 2、通过拼图设计和图片欣赏增强学生创新意识和审美意识。
教法与学法分析：
二、教法设计 根据本节课教学内容、教学目标以及学生的认 知特点，我采用小组合作探究法，整个活动分为五 个层次。 活 动 激 趣 观 察 结 果 提 出 问 题 合 作 探 究 得 出 经 验
教法与学法分析：
三、学法指导 建构主义认为，知识在被个体接受前，不能 把它作为预先决定的东西教给学生，只能靠他们 自己的建构来完成。因此在教学中我会利用学生 的好奇心设疑，解疑，组织生动、有效的教学活 动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自 主探索与合作交流中理解和掌握本节课的内容。
能镶嵌
600×4+ 1200=3600 600×2+1200×2=3600
能镶嵌
900×2+1200<3600 方案三： 900×3 + 1200>3600 不能镶嵌 正方形和正 1200×2+ 900<3600 六边形 1200×2 + 900×2 >3600 两种正多边形平面镶嵌的条件： 一个顶点处的各内角之和是360°
人教版八年级数学上册数学活动——平面镶嵌(用多边形覆盖平面)课件
能镶嵌.
在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边 形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以进行平面 镶嵌？
用 n 表示正多边形的边数.
（2）用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
任意用一些形状、大小相同的三角形能否进行
平面镶嵌？四边形呢？
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时通过探索平面图形的镶嵌，让学生 知道任意形状的三角形、四边形或正六边形可 以镶嵌设计，提高了学生对三角形以及多边形 内角和与外角和等知识的综合运用能力与实际 操作中的动手能力.
镶（嵌2）.用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
课后作业
角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则 n 的值是（
）
A.3A
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6 个正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
解：如图所示：
综合应用 5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，
平面镶嵌的条件
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。
在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。
平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。
凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。
在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。
在计算过程中，凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。
这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。
这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。
平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。
这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。
如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。
在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。
通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。
这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。
在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。
即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。
在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。
除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。
在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。
这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
在实际应用中，平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。
常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。
这些算法分别针对不同的问题和约束条件，采用不同的方法和策略进行求解。
课题学习镶嵌素材平面镶嵌中的数学问题
数学中的美——平面镶嵌在现实生活中，无论是室内地面的装修，还是室外地面的铺设，都涉及到了平面镶嵌的有关内容。
细心的同学可以发现，它们有的是用一种多边形铺设的，有的是用两种多边形铺设的。
而且都是正多边形。
在利用正多边形镶嵌的时候，存在着很多的数学窍门的。
根据数学中镶嵌的定义，用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，形成无缝隙，不重合的全部覆盖，就是平面的镶嵌。
在平面镶嵌中存在着怎样的规律呢？(1) 如果用一种正多边形进行镶嵌，那么这个正多边形能够镶嵌成平面图案的前提是它的内角在拼接点能够拼成一个周角。
设在一个顶点处有k 个正n 边形，应该满足公式k nn 180)2(-=360. ∴kn-2k-2n=0 即：n=2+24-k ，因为k,n 都为正整数，且k,n 均大于3。
它的整数解只有三组 k 1=3 k 2=4 k 3=6n 1=6 n 2=4 n 3=3即只有三种镶嵌用同一种正多边形镶嵌的时候，一个正多边形的顶点也可以落在另一个正多边形的边上。
如图：在现实生活中比如盖房子砌的砖，还有装修房子的地板，都是利用的这种方法的镶嵌。
(2) 用两种正多边形镶嵌。
用两种正多边形是否能铺满平面，关键要注意两方面：一是要看能否找到所取每个正多边形的一个内角的和恰好为一个周角；二是要看几个相临顶点都要被这两种正多边形组合成周角。
同时满足这两种条件，才是平面镶嵌。
例如，正三角形与正方形。
设在一个顶点周围有m 个正三角形的角，n 个正方形的角，那么这些角的和要满足方程：m •60˙+n ·90°=360°.即2m+3n=12。
这个方程的正整数解为m=3.n=2.即存在这样的镶嵌，在它的每一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形，如下图（1）例2：用正五边形和正十边形组合能否铺满平面？设在一个顶点周围有m个正五边形的角，n个正十边形的角，那么这些角的和要满足方程：m·108+n·144=360。
正多边形镶嵌平面问题
正 三 角形 与正 六 边 形 有 以下 两种 镶 嵌 方 式
都不小于 ３ 则÷ 一— ， 不小于÷ ， ｍ≤ 得
Ｕ
６所 以每一 组 解 中 未 知数 的个 数 只 能是 ３４ ５６ ． ，， ，． 下 面 我 们 采 取 “ 举 法 ” 解 这 个 方 程 ： 答 中 一 枚 来 解 定会 出 现 六个 “ ” 四个 “ ” ３； ３ 与一 个 “ ” 三 个 “ ” 情 形 ６； ３的 有 （ ， ， ， ， ） 两 个 “ ” （ ， ， ， ） （ ， ， ， ２ ； 个 ３３３４４ ； ３ ：３ ３ ６ ６ ，３ ３ ４ ｌ ） 一
［ 责任编 校
王
蓓］
（ 上接 第 ６ ３页 ）
分析 ：根据 题 意 两 边 平 方 的解 法不 足 取 ， 从 配 方 若
角 度 考虑 ， 想椭 圆定 义 即可 求 解 ． 联
解 ：原 方 程 配 方 得
变 ① 有 唯一 公 共 点 时 ， 元 公 共 点 时 ， ｋ的取 值 ② 求
，Ｐｑ ” 使÷ ～ ＋÷ 一÷ ＋÷ 一 ＋…一１假 ２， ， ． ，
设 ” ．ｓ ． 等 ｍ 个 正 整 数 满 足 此 方 程 ， 方 程 的 …． ‰ ． 则 解 为 （ ， ｚ …． ） 又 由 于一 个 顶 点 处 至 少 要 有 三 个 ． ． ． ． 角拼 在 一 起 ， 否则 必 有 超 过 或 等 于 １ ０的 角 ， 以 ｍ≥ ３ ８。 所 ；
图黑 色 部 分 ．
・ ６ ３ ・
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ８年第 ５期 正 三 角 形 ， 四边 形 与 正 六 边 形 正
正 四 边形 ， 六 边 形 与正 十 二 边 形 ： 正
2020年春沪科版八年级数学下册课件19.4综合与实践 多边形的镶嵌
A.3
B.4
C.5
D.6
3.如果只用一种正多边形作平面镶嵌, 而且在每一个正
多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形, 则该正多边
形的边数为
（A）
A.3
B.4
C.5
D.6
课堂小测
4.下列图形中, 单独选用一种图形不能进行
平面镶嵌的是
（D）
A.正三角形
B.正六边形
C.正方形
D.正五边形
课堂小测
5.小芳家房屋装修时, 她选中了一种漂亮的正八
探究总结： 用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合： 正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等.
课堂小测
1.下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是 （ D ） A.三角形 B.正方形 C.任意四边形 D.正八边形
2.用正方形一种图形进行平面镶嵌时, 在它的一个顶点
周围的正方形的个数是
（B ）
2.用一种形状、大小完全相同的任意三角形, 任意四边形也能进行平面镶嵌.
新知探究
探究 5
用两种正多边形镶嵌, 哪些图形可以进行镶嵌呢? ①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌
每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形
新知探究
用两种正多边形镶嵌, 哪些图形可以进行镶嵌呢?
②尝试用正三角形和正六边形镶嵌
有两种情况： 每个顶点周围有四个正三角形和一个正六边形 每个顶点周围有两个正三角形和两个正六边形
新知探究
探究 6
用两种正多边形镶嵌, 哪些图形可以进行镶嵌呢? ③尝试用正方形和正八边形镶嵌
每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
课堂小结
多边形能进行平面镶嵌的条件：
1.形状、大小完全相同的一种或几种平面图形; 拼接在同一点的各 个角的度数和是360°. 2.无空隙、不重叠铺成一片. 相邻的多边形有公共边.
人教版中考数学导学案-多边形与平面图形的镶嵌
多邊形與平面圖形的鑲嵌◆課前熱身1.一個多邊形的內角和與它的外角和相等，則這個多邊形的邊數是2．若正六邊形的外接圓半徑為4，則此正六邊形的邊長為．3.若一個正n邊形的一個外角為36°，則n等於（）A、4B、6C、8D、104．若正多邊形的中心角為200，那麼它的邊數是__________．5．從多邊形一個頂點可作17條對角線，則這個多邊形內角和為度．【參考答案】1.4 2.4 3.D 4.18 5.3240◆考點聚焦知識點多邊形多邊形的內角和和外角和平面圖形的鑲嵌大綱要求1.瞭解多邊形的內角和與外角和公式和正多邊形的概念2.瞭解平面圖形的鑲嵌，掌握簡單的鑲嵌設計考查重點和常考題型求多邊形的邊數、內角和、外角和及正多邊形的角、邊長及半徑、邊心距，以正五邊形、正六邊形為常見，多見於填空題和選擇題，◆備考兵法多邊形的內角和隨邊數的增加而增加,但多邊形的外角和隨邊數的增加沒有變化，外角和恒為360 º．◆考點連結1. 四邊形有關知識⑴n邊形的內角和為．外角和為．⑵如果一個多邊形的邊數增加一條，那麼這個多邊形的內角和增加，外角和增加．⑶n邊形過每一個頂點的對角線有條，n邊形的對角線有條．2. 平面圖形的鑲嵌⑴當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個____________時，就拼成一個平面圖形.⑵只用一種正多邊形鋪滿地面，請你寫出這樣的一種正多邊形____________．◆典例精析例1（浙江寧波）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，則∠AED的度數是（）A．110°B．108°C．105°D．100°【分析】知識點：多邊形的內角和（n －2）×180°，外角的和是360°。
【答案】D例2（山東煙臺）現有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等．同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（ ）A ．2種B ．3種C ．4種D ．5種【分析】知識點：兩個正多邊形的內角中各取一個內角的和是360°。
多边形平面镶嵌的条件
多边形平面镶嵌的条件多边形平面镶嵌，听起来好像是个很复杂的数学问题，但其实咱们可以把它说得简单明了，像吃饭一样轻松。
简单来说，多边形镶嵌就是把一个平面填满，没留一丝缝隙，像拼图一样。
想象一下，一个个五颜六色的多边形，像拼了个百宝箱，满满当当，真是让人眼花缭乱。
不过，想要成功镶嵌，这可不是随便拼拼就可以的，咱们得有一些条件。
1. 多边形的种类首先，咱们得看看有哪些多边形。
这里面最常见的就是三角形、四边形、五边形这些小家伙。
想要在平面上镶嵌，最常用的就是三角形和四边形。
三角形就像是小老弟，最稳当，搭配起来一点儿都不费劲。
它们的角度加起来正好是180度，谁都能理解，简直就是个听话的好学生。
而四边形呢，就稍微复杂一点了。
你说正方形，那简直就是镶嵌的王者，像个大块头，哪儿都能搭。
可是，如果是一些奇形怪状的四边形，事情就不那么简单了。
就像你喝水的时候，没把杯子放稳，难免会洒一地。
可是只要注意搭配，照样能填满平面。
1.1 三角形镶嵌三角形镶嵌特别受欢迎，为什么呢？因为它们可以拼出任何形状，不管是直角的、锐角的，还是钝角的，通通都能搞定。
想象一下，你在沙滩上用沙子堆小山，三角形就是那种最基础的沙子，堆出个金字塔来绰绰有余。
而且三角形拼在一起，角度一凑，整齐得让人想拍手叫好。
1.2 四边形镶嵌至于四边形镶嵌，就像你在做手工艺品。
正方形的拼接，简直是“绳锯木断”，稳得不行。
但有些形状比较奇特的四边形，比如梯形、平行四边形，就得小心了。
这时候你得有点小心眼，想办法让它们“老实”地待在一起，不然会出现缝隙，搞得整片镶嵌变得乌烟瘴气，真是让人哭笑不得。
2. 角度的要求说完了多边形，接下来得聊聊角度的问题。
镶嵌的条件可不仅仅是形状，角度也是关键。
想要成功镶嵌，各个多边形的角度得一凑，才能和谐共处。
就像你跟朋友一起玩游戏，大家得有一个共同的目标，才能合作得顺利。
2.1 内角相加以三角形为例，它的内角和总是180度。
这就意味着，如果你把三个三角形拼在一起，组成一个大三角形，它的角度加起来就得是180度。
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多边形的平面镶嵌
郝易 18号一、1.概念：
从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。
2.正n边形的镶嵌：
可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180÷n度。
若（n-2）*180÷n能整除360，那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。
由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边
形可以进行镶嵌。
二、三角形的平面镶嵌
因为三边形四个角和为
180度。
所以只要把
不同的角往一个点
凑，这样两个就可以进行
平面镶嵌。
三、四边形的平面镶嵌
因为四边形四个角和为
360度。
所以只要把
不同的角往一个点
凑，就可以进行
平面镶嵌。
四、五边形的平面镶嵌
设在一个顶点处，有n个角。
若n > = 4 ，4 * 108 > 360 ，不能平面镶嵌。
若n < 4 ，3 * 108 < 360 ，不能平面镶嵌。
由此得出：五边形不能平面镶嵌。
五、六边形的平面镶嵌
正六边形一个角的度数为120度。
120\360，
所以正六边形可以平面镶嵌，如图：
对边相等的六边形也可以平面镶嵌：
六、两种正多边形的平面镶嵌
①正三角形和正方形
设需要用正三角形m个，正方形n个
60m+90n=360
2m+3n=12
m=(12-3n)/2
m=3
n =2
②正三角形和正六边形
设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360
m+2n=6
m=6-2n
n =2,1
m=2,4
③正方形和正八边形
设需要用正方形m个，正八边形n个
90m+135n=360
2m+3n=8
m=(8-3n)/2
n =2
m =1
4、3和12
两种正多边形的平面镶嵌公式：
xm+yn=360
如果m、n没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。
如果有，则可以平面镶嵌，m，n分别表示每种正多边形的个数，x，y分别表示每种正多边形的一个内角的度数。
七、三种正多边形的平面镶嵌
①正三角形、正方形和正六边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正六边形60n+90m+120i=360
2n+3m+4i=12
n=(12-3m-4i)/2
n= 1
m = 2
i = 1
②正三角形、正方形和正十二边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正十二边形60n+90m+150i=360
2n+3m+5i=12
n =(12-3m-5i)/2
n =2
m=1
i=1
③正方形、正六边形和正十二边形
设有n个正方形，m个正六边形，i个正十二边形90n+120m+150i=360
3n+4m+5i=12
n = (12-5i-4m)/3
n =1
m=1
i=1。