专题训练十 概率中的放回、不放回问题
高考概率 放回与不放回专题
（Ⅱ）记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和数学期望.
试卷第 1 页，总 1 页
参考答案
1．B 解：依题意知， 的所有可能值为 2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
2
2
1
2
5
．
3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮
C32
1
2 3
2 3
2
2 3
8 27
，故选择
A.
4． p 16 试题分析：首先列出取出的两球的数字之和大于 11 的所有结果和取出的两个数 49
字之和为 4 的倍数的所有结果.二者中各 12 的数也是 4 的倍，故应排除.再求出所有可能结
果，即可得所求概率.
试题解析：取出的两球的数字之和大于 11 的所有结果为：7+7，7+6，6+7，7+5，5+7，6+6；
5分
27
或者：记随机变量 表示连续取球四次，取得白球的次数.
易知
~B
4,
1 3
2分
则
P
2
1
P
0
P
1
1 C40
1 3
0
2 3
4
C41
1 3
1
2 3
3
11 27
5分
（2）易知：随机变量 X 的取值分别为 2，3，4，5
6分
PX
2
C22 C62
1， 15
PX
3
C21C41 C62
1 4
2 15
PX
4
C21C42 C63
小专题(八)概率中的“放回”与“不放回”问题
小专题(八) 概率中的“放回”与“不放回”问题【例】 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球； ①求两次取出的小球的标号的和等于4的概率；②求第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的概率；(2)随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸出一个小球，求两次取出的小球的标号的和等于4的概率是多少？请直接写出结果．【思路点拨】 (1)①先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，然后根据概率的概念计算即可；②由①可知有16种等可能的结果数，其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，进而可求出其概率；(2)根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】【方法归纳】 在解决有关摸取(球、卡片或扑克牌)的概率问题时，一定要注意条件中有没有放回．若没放回，在画树状图或列表时一定注意考虑两次摸到(球、卡片或扑克牌)的数字不能重复．类型1 “放回”问题1．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是( )A ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球2．如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b)在第三象限的概率是( )A.49B.13C.12D.233．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，试求出牌面数字是偶数的概率；(2)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．4．(武汉中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球，直接写出摸出小球标号是3的概率；(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，计算下列结果： ①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．类型2 “不放回”问题5．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为( ) A.118 B.19 C.215 D.1156．如图，有6张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是( )A.45B.56C.715D.8157．(潜江中考)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀．从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是____________．8．(宁波中考)一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为12.(1)布袋里红球有多少个？(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．参考答案【例】 (1)①画树状图如图所示：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，所以两次摸出的小球标号的和等于4的概率为316.②其中第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的有8种，所以其概率为816＝12.(2)列表如下：1 2 3 4 1 —— (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) —— (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) —— (4，3) 4(1，4)(2，4)(3，4)——所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等于4的情况数是2，所以其概率为212＝16.1．A 2.A3．(1)从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种，∴P(牌面是偶数)＝24＝12.(2)根据题意，画树状图如图所示：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好是4的倍数的共有4种，∴P(4的倍数)＝416＝14.。
教材回归概率中的”放回“与”不放回“问题课件
问题课件
目录
• 教材回归概率中“放回”与“不放 回”的基本概念
• “放回”与“不放回”在教材回归 概率中的应用
• “放回”与“不放回”问题的解题 技巧
• “放回”与“不放回”问题案例解 析
教材回归概率中“放回”与“ 01 不放回”的基本概念
“放回”的定义与特点
特点
由于样本被取出后不再放回，所以每 次抽取的概率会随着抽取次数的增加 而减小。这是因为样本的减少会影响 到下一次的抽取结果。
“放回”与“不放回”的对比分析
对比
在“放回”的情况下，每次抽取都是独立的，概率相同；而在“不放回”的情况下，每次抽取的概率会逐渐减小。
分析
理解“放回”与“不放回”的区别对于解决概率问题至关重要。在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合 适的抽样方式。例如，在彩票抽奖中，通常采用“放回”的方式以保证公平性；而在遗传学研究中，为了模拟自 然选择的过程，通常采用“不放回”的方式。
“放回”与“不放回”问题解题技巧的比较分析
差异点
最主要的差异在于每次抽取后是否将样本或物品放回原样本池。在“放回”问题中，每个 样本或物品都有相同的概率被抽中；而在“不放回”问题中，已抽中的样本或物品将不再 出现在后续的抽取中。
适用场景
在实际应用中，“放回”问题适用于需要保留原始样本池不变的情况，而“不放回”问题 适用于需要消耗或消耗掉部分样本的情况。
“放回”与“不放回”在教材 回归概率中的应用
02
“放回”在教材回归概率中的应用
“放回”是指在进行概率实验时，每次抽取样本后，样本仍 然放回原样本集中，再次进行抽取。这种情况下，每次抽取 的概率是相同的，因此，放回抽样可以用于计算样本的频率 和比例等统计量。
专题(七) 概率与放回、不放回问题
7 ∴P(至少有一人摸出黄球)＝ 16
3．(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球． (1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球． ①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率； ②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率； (2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球 中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果.
2 (2) 3
小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：
①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄 球(汉中)和一个黑球(安康)，这四个球除颜色不同外，其余完全相同； ②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下 其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一 球，父亲记录下它的颜色； ③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则前面
专题(七)
概率与放回、不放回问题
1．(2014·昆明)九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动．在
一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1，
2，3.随机摸出一个小球记下标号后，放回摇匀，再从中随机摸出 一个小球记下标号．
Hale Waihona Puke (1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示两次摸出小
球上的标号的所有结果； (2)规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率． 解：(1)画树状图：
(2)可能出现的结果共有 9 种，两次摸出标号相同的有(1，1)(2， 3 1 2)(3，3)3 种，∴P(中奖)＝ ＝ 9 3
2．(2014· 陕西)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、
西安、汉中、安康四个城市．由于时间仓促，他们只能去其中一个城市， 到底去哪个城市三个人意见不统一．在这种情况下，小英父亲建议，用
专题(十三) 概率中的放回与不放回问题
(3)现规定：摸到红球得 5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分(每次
摸后放回)，乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第
二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得
分数之和不低于10分的概率．
2 1 解：(1)设口袋中黄球的个数为 x 个，根据题意得 ＝ ， 2＋1＋x 2 解得 x＝1，∴口袋中黄球的个数为 1 个 (2)画树状图略．∵共有 12 种等可能的结果， 2 1 两次摸出都是红球的有 2 种情况，∴P(两次摸出都是红球)＝12＝6
2．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”“秀”“中”“国” 的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅 拌均匀再摸球． (1)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方 法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“中国”的概 率P1； (2)乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球 ，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“中国”的概率为 P2，指出P1，P2的大小关系．(请直接写出结论，不必证明)
解：(1)列举所有可能：
甲 乙 和
0 1 1
1 2 2
2 0 1 2 3 0 2 1 3
1 (2)游戏不公平．理由：由表可知 P(甲胜)＝3， 2 1 2 P(乙胜)＝3，∵3＜3，∴游戏是不公平的
4．一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色 外其余都相同)， 其中有红球 2 个 ，蓝球 1 个， 黄球若干个， 现从中任 1 意摸出一个球是红球的概率为 . 2 (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请 用“画树状图法”或“列表法” ，求两次摸出都是红球的概率；
九年级数学易错专题：概率与放回、不放回问题
九年级数学易错专题：概率与放回、不放回问题——体会异同、避免出错1.有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，画出了如下图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A.随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球B.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球C.随机摸出1个球后放回，再随机摸出3个球D.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出3个球2.（天门中考）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6.随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.3.在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸球方法分别是：小明：随机摸出一个小球记下标号，然后放回，再随机摸出一个小球，记下标号；小强：随机摸出一个小球记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号. （1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.4.（通辽中考）一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于12.（1）口袋中有2个红球；（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率.5.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”“雅”“丹”“棱”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为多少？（2）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记下汉字，求乙取出的两个球上的汉字恰能组成“大雅”或“丹棱”的概率.九年级数学易错专题：概率与放回、不放回问题答案：1.A2.7163.解：（1）画树状图如下：（2）小明：P （两次摸球的标号之和等于5）＝416＝14；小强：P （两次摸球的标号之和等于5）＝412＝13.4.解：列表如下：总共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的结果有8种，则P （两次摸到的球中一个是红球和一个是白球）＝812＝23. 5.解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为14；（2）画树状图如下：红1 红2 白1 白2红1——（红1，红2） （红1，白1） （红1，白2）红2（红2，红1）——（红2，白1） （红2，白2）白1（白1，红1） （白1，红2）——（白1，白2） 白2（白2，红1） （白2，红2） （白2，白1）——总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能组成“大雅”或“丹棱”的结果有4种，所以P（恰能组成“大雅”或“丹棱”）＝416＝14.。
概率与放回、不放回问题
概率与放回、不放回问题1.有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，画出了如下图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A.随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球B.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球C.随机摸出1个球后放回，再随机摸出3个球D.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出3个球2.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6.随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.3.在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸球方法分别是：小明：随机摸出一个小球记下标号，然后放回，再随机摸出一个小球，记下标号；小强：随机摸出一个小球记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号. （1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.4.一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于1 2.（1）口袋中有2个红球；（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率.5.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”“雅”“丹”“棱”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为多少？（2）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记下汉字，求乙取出的两个球上的汉字恰能组成“大雅”或“丹棱”的概率.答案： 1. A 2.7163.解：（1）画树状图如下：（2）小明：P （两次摸球的标号之和等于5）＝416＝14；小强：P （两次摸球的标号之和等于5）＝412＝13.4.解：列表如下：总共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的结果有8种，则P （两次摸到的球中一个是红球和一个是白球）＝812＝23.5.解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为14；（2）画树状图如下：总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能组成“大雅”或“丹棱”的结果有4种，所以P （恰能组成“大雅”或“丹棱”）＝416＝14.红1 红2 白1 白2 红1——（红1，红2）（红1，白1） （红1，白2）红2 （红2，红1） ——（红2，白1） （红2，白2）白1 （白1，红1） （白1，红2） —— （白1，白2） 白2（白2，红1） （白2，红2）（白2，白1）——。
06 专题 概率与放回、不放回问题
专题概率与放回、不放回问题
1．(2013 ·鄂州)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能
组成“灵秀”或“鄂州”的概率P1；
(2)乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组
成“灵秀”或“鄂州”的概率为P2，指出P1、P2的大小关系(请直接写出结论，不比证明)．2．(2013·遵义)一个不透明布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球
2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为1
2
．
(1)求口袋中黄球的个数；
(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次
摸出都是红球的概率；
(3)现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分(每次摸后放回)，乙同学在一次摸球游
戏中，第一次随机摸到一个红球第二次次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学摸球所得分数之和不低于10分的概率．
3．在一个口袋中有n个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，从袋中随机地取出一个球．
(1)若取出的是红球的概率是3
5
，求n的值；
(2)在(1)的条件下，把这n个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…，n—1，随机地取出一个小
球后不放回，再随机取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率．。
2023年人教版九年级上册数学第二十五章概率初步 类比归纳专题概率中的放回与不放回问题
路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时
间相同，则小刚从家出发去学校恰好遇到两次红灯
的概率是
3 8
．
-4-
【类比归纳专题】 概率中的放回与不放回问题
4．[2022·淮安中考]一只不透明的袋子中装有3个大
小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字
1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下
-11-
【类比归纳专题】 概率中的放回与不放回问题
【类比归纳专题】 概率中的放回与不放回问题
类型1 放回问题 1．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把 它们分别标上数字－1，－2，3，5．从中随机抽取 一张卡片，记下数字，然后放回并洗匀，再随机抽
取一张，则两次抽取的卡片上数字之积为负数的概
率是( B )
类型2 不放回问题
5．将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片(卡片
的形状、大小、质地都相同)放在盒子中，搅匀后
从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好
组成“强国”的概率为( C )
A．116 B．112
C．16 D．18
-7-
【类比归纳专题】 概率中的放回与不放回问题
6．甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取
-9-
【类比归纳专题】 概率中的放回与不放回问题
(2)如果同时随机翻两张牌，请用画树状图或列表 的方法求所获奖品总值不低于10元的概率．
-10-
【类比归纳专题】 概率中的放回与不放回问题
解：(2)画树状图如下：
由图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值 不低于10元的有8种， 则所获奖品总值不低于10元的概率为182 ＝ 23．
A．14
B．12
2024年北师大版九年级上册数学第三章概率的进一步认识专项突破8概率中的“放回”和“不放回”问题
概率是 ；
1
2
3
4
5
5. 【新考向·传统文化2023鞍山】 二十四节气是中国古代一种用
来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五
大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代
表作名录.小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游
球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸
出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率.
1
2
3
4
5
解：画树状图如图所示.
由树状图可得，一共有16种等可能的结果，其中两数之
积是偶数的结果有7种，∴摸出的这两个小球上标有的
数字之积是偶数的概率为
1
2
.
3
4
5
类型2
概率中的“不放回”问题
4. [2023天门] 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等
北师 九年级上册
第三章
专项突破8
概率的进一步认识
概率中的“放回”和“不放
回”问题
专项突破
类型1
概率中的“放回”问题
1. [2023重庆B卷] 有四张完全一样正面分别写有汉字
“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗
匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，
洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字
戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写
有“A. 惊蛰”“B. 夏至”“C. 白露”“D. 霜降”四个节气，
两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲
述所抽卡片上的节气的由来与习俗.
2025年河北省中考数学提分专项训练(+有放回与无放回的概率问题)课件
【解】游戏不公平，理由如下：列举所有可能如下表：
小亮 小明
A B C D
A
(B, A) (C, A) (D, A)
B (A, B)
(C, B) (D, B)
C (A, C) (B, C)
(D, C)
D
(A, D) (B, D) (C, D)
由表可知共有12种等可能结果，摸出的两张牌面图形既是轴
对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A, C)，(C, A)，
∴ P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）
=
2 12
=
1 6
≠
1，∴
2
游戏不公平.修改规则：若抽到的两张牌面
图形都是中心对称图形，则小明获胜，若抽到的两张牌面图
形都是轴对称图形，则小亮获胜.（合理即可）
返回
3.五一假期，芳芳和丽丽两家一起开 车去秦岭野生动物园玩，到了秦岭野 生动物园停车场，发现停车场还有四 个停车位空闲（如图所示），停车场规定每辆汽车停放时只 能占用一个车位. （1）若芳芳家的车先停，则芳芳家的车停在1号车位的概率 为_14_；
1
（1）小明抽到去“直隶总督署”志愿服务的概率是_4_.
（2）小明和小亮是同班同学，求他们抽到去同一景区志愿
服务的概率（请用画树形图或列表的方法写出分析过程）. 【解】由题意列表如下：
小亮 小明
A
A (A, A)
B (A, B)
C (A, C)
D (A, D)
B
(B, A)
(B, B)
(B, C)
两个小球上的汉字恰能组成“金榜”或“题名”的概率为 4
12
=
13.
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2.如图，有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面