抽象函数学案

抽象函数学案 一、“赋值”求解对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。

【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．12- D ．12解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ，从而1)1(2=f ，所以21)1(=f ，选D 。

【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。

（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。

解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。

令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。

（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =，令x x x -==21，得)()(22x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-，所以，)(x f y =为偶函数。

二、“穿脱”求解加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即为“脱”。

对于有些抽象函数，可根绝函数值相等或者函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。

【例3】已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且满足对于任意的正实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f +=⋅，且.1)2(=f（1）求)8(f 的值；（2）解不等式.3)2()(+->x f x f解：（1）3)8(2)4(1)2(=⇒=⇒=f f f（2）)]2(8[)()8()2()(3)2()(->⇔+->⇔+->x f x f f x f x f x f x f由函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，则)2(8->x x 即716<x ， 依题设，有⎩⎨⎧>->020x x ，∴2>x ，从而不等式的解集为)716,2(。

三、“模型”求解模型化策略，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法。

对于选择、填空题，可用模型函数解决；对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。

如正比例函数()(0)f x kx k =≠可抽象为()()()f x y f x f y +=+。

因此，我们可得知如下结论：（1）抽象函数()()()f x y f x f y +=+可由一个特殊函数正比例函数()(0)f x kx k =≠抽象而成的；（2）抽象函数()()()t xy t x t y =可由一个特殊函数幂函数()t x x α=抽象而成的；（3）抽象函数()()()g x y g x g y +=可由一个特殊函数指数函数()(0,1)x g x a a a =>≠抽象而成的；（4）抽象函数()()()h xy h x h y =+可由一个特殊函数对数函数()log (0,1)a h x x a a =>≠抽象而成的。

【例4】已知函数)(x f 对于任意的正实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f +=⋅，若0)2(<f ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0)1(=fB ． )4()3(f f <C ．0)21()2(=+f fD ．0)51()4(=+f f 解：满足)()()(y f x f y x f +=⋅对一切正实数x 、y 都成立的函数模型是对数函数x y a log =。

由0)2(<f ，可知10<<a ，从而可知)(x f y =是减函数，所以)4()3(f f >，应选B 。

【例5】设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。

（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-3≤x ≤3时，)(x f 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。

分析：对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，可猜想抽象函数f(x)生成的原形函数：f(x)=kx ，由x>0时，f(x)<0。

知k<0，所以问题（1）、（2）的答案可大胆猜想如下：（1）函数f(x)是奇函数，（2）函数f(x)在R 上是减函数。

尽管这只是对问题的猜想不是严格的证明，但带着结论去探求解答，思考线索明朗了，更加有的放矢了。

解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x ，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x 1，x=x 2则f(x 2－x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2)－f(x 1)，因为x ＞0时，f(x)＜0，故f(x 2－x 1)＜0，即f(x 2)－f(x 1)＜0。

∴f(x 2)＜f(x 1)、f(x)在区间[－3，3]上单调递减∴x=－3时，f(x)有最大值f(－3)=－f(3)=－f(2+1)=－[f(2)+f(1)]=－[f(1)+f(1)+f(1)]=6。

x=3时，f(x)有最小值为f3)= －6。

特别提示：这时需要强调的是，对于解答题，虽然我们知道题设条件中的相应的函数模型，但此时我们像处理选择题或填空题那样，直接写出函数模型。

例如，对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，而直接设f(x)=kx ，这是没有任何理论依据的。

当然在思考问题的过程中，我们可联想正比例函数的有关性质，合理赋值。

四.性质策略有的抽象函数是将性质用符号语言表示出来，做题时要能马上联想到是考查什么性质，单调性，奇偶性等，如考查函数的对称性,有可能就是满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2a b x +=对称，又如函数的周期性，定义：“函数()f x 满足()()f x f T x =+(0)T >，则()f x 是周期为T 的周期函数”。

①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =； ③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a = 【例6】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数则：A.(25)(11)(80)f f f -<<B.(80)(11)(25)f f f <<-C.(11)(80)(25)f f f <<-D.(25)(80)(11)f f f -<<五、“数形”求解一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。

【例7】若函数f(x)为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f(2)=0，则0)()(<--xx f x f的解集为（ ）A ．（-2，0）⋃（0，2）B ．（-∞，-2）⋃（0，2）C ．（-∞，-2）⋃（2，+∞）D ．（-2，0）⋃（2，+∞）分析：因为f(x)是定义域上的奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称。

根据题设条件可以作出函数f(x)在R 上的大致图象，由0)()(<--x x f x f 0)(<⇔xx f 得：x 与f(x)异号。

由图像可得解集为（-2，0）⋃（0，2），选择（A ）。

六、“换元”求解对于抽象函数，可以通过换元化抽象为具体，转化为具体函数可求解，同时要注意新元的取值范围。

【例8】 已知函数f(x)的值域]94,83[，试求)(21)(x f x f y -+=的值域。

解：由94)(83≤≤x f ，得41)(2191≤-≤x f ，于是21)(2131≤-≤x f ，令t x f =-)(21，),1(21)(),2131(2t x f t -=≤≤，所以1)1(21)(21)(2+--=-+=t x f x f y ， 因]21,31[1∉=t ，则当t=1时，y 不能取得最大值1，所以只能在函数图象的对称轴的左侧取得最值。

由对称轴t=1及抛物线开口向下，函数在]21,31[上是增函数，则31=t 时，y 取最小值97，当21=t 时，y 取最大值87故所求值域为[97，87]。

【巩固练习】1．给出四个函数，分别满足①()()()f x y f x f y +=+；②()()()g x y g x g y +=； ③()()()h xy h x h y =+；④()()()t xy t x t y =正确的匹配方案是（ ） （A ）①—丁②—乙③—丙④—甲 （B ）①—乙②—丙③—甲④—丁 （C ）①—丙②—甲③—乙④—丁 （D ）①—丁②—甲③—乙④—丙上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x ，y ∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则[a,b]上 ( )A 有最小值f (a)B 有最大值f (b)C 有最小值f (b)D 有最大值f (2b a +) 3． 设函数()f x 的定义域为Ｒ，且对,,x y R ∈恒有()()(),f xy f x f y =+若()83,f f ==则（ ）丁Ａ．12-Ｂ．１ Ｃ．12 Ｄ．144．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<-B ．)2()23()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()23()2(-<-<f f f 5．定义在区间[-2,2]上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，且()f x 在[0,2]上为增函数。

若(2)(31)0f m f m --->恒成立，则实数m 的取值范围是___________________.6．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x > 时，()01f x <<．（1）试举出一个满足条件的函数()f x ；（2）试求()0f 的值；（3）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（4）若,21)1(=f 解不等式.81)12(<-x f7．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.8.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a ∙=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s .9．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．。