椭圆及其标准方程(2)

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3.1.1 椭圆及其标准方程(第2课时)

第11页
∵y1≠0，∴y≠0. ∵点 P 在椭圆上，∴x912＋y12＝1， ∴（39x）2＋(3y)2＝1(y≠0)，即△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程为 x2＋y12＝
9 1(y≠0).
第12页
探究3
相关点法(代入法)求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0). (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用 x，y 表示 x0，y0. (3)将 x0，y0 代入其所在的曲线方程. (4)化简方程得所求方程.
第9页
思考题 2 在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝32，曲线 E 过
C 点，动点 P 在曲线 E 上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，
求曲线 E 的方程.
【解析】以 AB 的中点 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐
标系.由题意可知Байду номын сангаас曲线 E 是以 A，B 为焦点，且过点 C 的椭圆，设
第14页
1.关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利
用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
第13页
思考题 3 已知 P 是椭圆x42＋y82＝1 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 的中点 Q 的轨迹方程为___x2_＋__y2_2_＝__1______.
【解析】设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由点 Q 是线段 OP 的中点知 x0＝2x，y0＝ 2y，又x402＋y802＝1.所以（24x）2＋（28y）2＝1，即点 Q 的轨迹方程为 x2＋y22＝1.

高中数学第二章_椭圆定义_椭圆及其标准方程(二).人教版选修2

2 2
9
~ 求曲线方程的方法：
代入法：或中间变量法，利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。
10
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、右焦点，点 P 在椭圆上， △POF2 是面积为 3 的正三角形，则 b 2 的值是____________.

F
其中F1(0,-c)，F2(0,c) x
2
2
知识概括
椭圆的定义
图形标准方程焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的判断
2
a b F 1 co
2
MF1 MF2 2a(2a 2c 0) y y F 2 M M
F2 x
M
o
F 1
x
x y 1 a b 0 2 2 a b
2 2
0 2 2 0 0
与点P坐标之间的关系式, 并由点P的坐标满足圆的方程得到点 M 的坐标所满足的方程 . 把x = x, y = 2y 代入方程①, 得
0 0
因为点Ｐ(x , y )在圆x + y = 4上，所以 x + y = 4.
2 0 2 0 2 2
①
x + 4y = 4, 即 x + y =1. 4 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆.
2 2
x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
解 : 设点Ｍ的坐标为(x, y), 点Ｐ的坐标为(x , y ), 则
0 0
2 PD的中点得到点M 点M的运动.我们可以由M为线段

2.2.1.2 椭圆及其标准方程(2)

相 a、b、c 的关系同点焦点位置的判断
a 2 b2 c 2 (a c 0, a b 0)
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
方法总结
椭圆的定义及其标准方程是学习椭圆其他知识的基础. 学会运用定义思考 , 有时也是相当不错的一个思考方向 . 即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化 , 定义是最原始 , 也是最容易想到的地方.
主讲人：闫天霞
天津市第四十七中学
高二数学选修2-1
第二章
曲线与方程
2.2椭圆及其标准方程（2）
2.2椭圆及其标准方程(二)
回顾：椭圆的定义
平面内与两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定值 2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a ＞ |F1 F2 | 。
这两个定点叫做焦点；两定点之间的距离叫做
焦距，焦距|F1 F2 |用2c（c＞0）表示。 1. 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？平面内----这是大前提
y
A
点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率的商是2，那么点M的轨迹是什么？为什么？
思考题答案
思考题:点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，那么点M的轨迹是什么？为什么？
例题讲解
例1 （ 1 ）已知椭圆的两个焦点坐标分别是( 2,0), ( 2,0) 5 3 并且经过点( , ), 求它的标准方程。 2 2 解：因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b 由椭圆定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 . 2 2 2 2 a 10. 又 c 2, b 2 a 2 c 2 10 4 6 x2 y2 因此，所求椭圆的标准方程为 1 10 6

椭圆及其标准方程(2)_高二数学-文档资料

方程.
y
A
B
O
C
x
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
B
O
C
x
例
题
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 x 轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
y P M
o
P′
x
例
题
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 x 轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
x2 y2 1的左右焦点分别为F1、F2， 16 7
2. 椭圆
A. 32
B. 16
y
C. 8
A
D. 4
F1
B
0
F2
x
练
2
习
表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围是（） A.（0，］ 4
2 2 x y 1 3. 设（0， 2 ）若方程 sin cos
方程.
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
A
B
C
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
B
O
C
x
先看后下，节省时间分类清晰，查找方便
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
知识回顾

1.1椭圆及其标准方程(2)

构成三角形，
x2 y2
所以点A的轨迹方程是
1( y 0) 25 16
例题解析
例2如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径
为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，求线
段PP′的中点M的轨迹.
yP
解: 当M是线段PP′的中点时,设动点M的坐标为(x , y), 则P的坐标为
M
(x, 2y)
y
解: 已知圆可化为 (x 3)2 y2 64
圆心Q(3，0)，所以P在定圆内
r＝ 8 M
设动圆圆心为M(x,y),
P
OQ
x
则 MP为半径,
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的
椭圆，且PQ中点为原点. x2 y2
故动圆圆心M的轨迹方程是
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
例题解析
例1 已知B、C是两个定点,∣BC∣=6,且 △ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.
分析: 在解析几何里, 求符合某种条件的点的轨迹方程, 要建立适当的坐标系, 而选择坐标系的原则, 通常欲使得到的曲线方程形式简单.
x2 y2 1 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程.
4
y
解：设动点M的坐标为(x, y)，
QM
则Q的坐标为(2x-1, 2y) ,
-2
O A 2x
因为Q点为椭圆
x2 4
y2
1 上的点,
(2 x 1)2 (2 y)2 1, ( x 1 )2 4 y2 1,
4
2
所以点M的轨迹方程是

高二数学椭圆及其标准方程2

把平面内与两个定点F1、F2的距离之和（2a）等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）
思考
当2a=2c或2a<2c时情况将有什么变化?
M直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)，F2(c,0). 设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：
练习：
(1)、如果方程
x2
2

y2
1

1 表示
的曲线为椭圆，则λ的取值范围是 _________；
若表示焦点在x轴上的椭圆，则 ____________。
1 (2)AB是过椭圆 x2
y2
9 25
的左
焦点F1的弦, 则△ABF2的周长是多少?
1 (3)椭圆
x2 25
y2 16
的焦点是
F1, F2，P在椭圆上,若PF1的中点在Y轴上,则|PF1|:|PF2|=______?
1、b2+c2=a2 2、焦点坐标：F1(0，-c)，F2(0，c)
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)两个焦点的坐标为(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为10；
(2)两焦点坐标为(0，-2)，(0,2)，并且椭圆过点( 3 , 5 )
22
(3) 2b=6，两个焦点间的距离为8。
求轨迹（曲线）方程的一般步骤（1）建立适当的坐标系，并设轨迹上任一点M （x，y）
（2）写出适合条件P的点的集合P{M|p(M)}
（3）用坐标表示条件p(x),列出方程f(x,y)=0 （4）化简f(x,y)=0为最简形式

2.2.1椭圆及其标准方程(2)

∵y1≠0，∴y≠0.已知点 P 在椭圆上，将上面结果代入已知椭 3x2 圆方程，有＋(3y)2＝1 (y≠0)， 9
2.2.1
1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是
2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
跟踪训练 1 已知圆 A： (x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3， 0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程．
解
如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过
点 B，∴|PB|＝r. 又∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2 y 2 ∴点 P 的轨迹方程为25＋16＝1.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
探究点二相关点法求轨迹方程例 2 如图，在圆 x2＋ y2＝ 4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD， D 为垂足．当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？
解设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， y0 则 x＝x0，y＝ 2 .从而得 x0＝x，y0＝2y
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.2.1
x2 2 4．椭圆＋y ＝1 上有动点 P，F1，F2 是椭圆的两个焦点， 9 求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程．
解设 P，M 点坐标分别为(x1，y1)，(x，y) 9－1＝2 2. ∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝

2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

问题拓展
y
例2 如图，已知点B是圆C：(x+1)2+y2=16上一动点，A(1, 0)，线段AB的垂直平分线l 交BC于点M，求M的轨迹方程. 变题：已知动圆M过定点A(1, 0) 且与定圆C：(x+1)2+y2=16 内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
l
M C O A
B
x
y
M
C O A
B
x y 1 上的一点，若点P 例2 设点P是椭圆 16 12
到两焦点F1，F2的距离之差为2，则DPF1F2是（ B ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
2
2
动圆M与圆(x+1)2+y2=36内切，与(x－1)2+y2=4 外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
标准方程焦点 a,b,c
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
F1(-c,ห้องสมุดไป่ตู้0) F2(c, 0)
F1(0, c) F2(0, -c)
a2=b2+c2 (a>b>0)
定义应用
例1 平面内到两定点A(-1,0)，B(1,0)的距离之和等于2的点的轨迹是（ D ） (A)椭圆 (B)圆 (C)直线 (D)线段
共焦点的椭圆系方程：
x2 y2 2 2 1 ( k m , k n ) 2 2 m k n k
轨迹问题
例4 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P做x 轴的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
y P
M
O D x

2.2.1椭圆及其标准方程(2)

y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12

椭圆及其标准方程

椭圆的第二定义
25 x|，解：设 M 到直线 l 的距离为 d ，则 d | 4 | MF | 4 T3 | MF | ( x 4) 2 y 2 对比P50 且 d 5 2 2 2 2 x y ( x 4) y 4 化简得 1 得 25 9 25 5 | x| 4
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程得： 1 25 16
又∵ A、B、 C 三点不共线，∴ y 0 .
x y 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
2 214ຫໍສະໝຸດ 作业P49 习题 A组 T6 T7
B组 T1 T2 T3
15
7
4．求焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 的椭圆的标准方程。
解法二：设椭圆的方程为 mx2 ny 2 1,(m 0, n 0) 由点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 代入得 1 m 3m 4n 1 15 ，解得， 12m n 1 n 1 5 x2 y 2 1 故所求的椭圆方程 15 5
13
练习：3.已知 B 、C 是两个定点， BC 6 ，且 △ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图 ,以直线 BC为 x 轴 ,线段 BC 的中点为原点 ,建立平面直角坐标系 ,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
8
2 2 x + y = 4 上的点的横坐标保持不变，例1 将圆
纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y),圆上的对应点的坐标P(x1,y1), y

原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程

2
2.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离和为 8 ，焦距为 2 15 ，则此椭圆的标准方程为

＋x2＝1

________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？

【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin

椭圆及其标准方程(二)

2.1 椭圆及其标准方程（二）
以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
椭圆的标准方程
定义 y 图形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
x
2 2
方程焦点 a,b,c之间
的关系

y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2

x b
2 2
推广：△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，a) 和C(0，-a)，另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程.
a
2
.
b
2
y a
2 2

x b
2 2
1( y a )
练习．已知F是椭圆 25 x 16 y 400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程 .
x
2

y
2
1
9
4
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是， 4 求顶点A的轨迹方程. 9
解：顶点A的轨迹方程为
.
x
2

y
2
1( y 6 )
81
36
说明：方程
x
2

y
2
1
81
36
对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去
解：
x
2
y
2
1 所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
4

椭圆及其标准方程(二)

2.2.1椭圆及其标准方程(二)学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点一椭圆标准方程的推导思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c F1(－c,0)，F2(c,0)方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.知识点二椭圆的焦点位置确定思考1已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．类型一椭圆标准方程的确定例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得c ＝4,2a ＝10， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝9.∴所求的椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．解设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个椭圆．反思与感悟当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析因焦点在x 轴上，故m >1，故选A.2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 答案 A解析由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.由椭圆的定义可知，点A 的轨迹是椭圆的一部分，且2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1.当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A ，B ，C 三点不能构成三角形．因此，顶点A 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．3．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4， ∵|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________．答案 4 3解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a ，即4 3.5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________．答案 x 24＋y 23＝1解析由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4， ∴2a ＝4,2c ＝2， ∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)不同点图形焦点坐标F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹a、b、c的关系a2＝b2＋c2(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x2a2＋y2b2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.一、选择题1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析方程mx2＋ny2＝1，即x21m＋y21n＝1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧1n>0，1m>0，1n>1m，即m>n>0.故选C.2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是()A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对答案 B解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，∴M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段，故选B.3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 答案 C解析不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)， ∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14. ∴|PF 1|＝12.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆． 5．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 A解析如图，依题意： |PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)．又∵|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个答案 C解析当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．7.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 答案 B解析设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.二、填空题8．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m＝________. 答案 25解析由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴a ＝5，∴a 2＝25，即m ＝25. 9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 6 2解析将P ，Q 两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径，设Q (x ，y )，则圆心(0,6)到椭圆上点的距离d ＝x 2＋(y －6)2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝⎛⎭⎫y ＋232＋50≤52，所以P ，Q 两点间的最大距离为6 2.10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确． ∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12F PF S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．三、解答题11．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时，则有5－2m >m ＋1>0，解得－1<m <43；(2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时，则有m ＋1>5－2m >0，解得43<m <52.综上，m 的取值范围为(－1，43)∪(43，52)．12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．解设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪|MF |d＝12，由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12.将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48，即点M 的轨迹方程为：x 216＋y 212＝1.13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2. ∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.2.2.1椭圆及其标准方程(二)(学生版)学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点一椭圆标准方程的推导思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2cF1(－c,0)，F2(c,0)方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.知识点二椭圆的焦点位置确定思考1已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．类型一椭圆标准方程的确定例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．反思与感悟当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0)3．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________．5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________．(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)不同点图形焦点坐标F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹a、b、c的关系a2＝b2＋c2(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x2a2＋y2b2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.一、选择题1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是()A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对3．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.32B. 3C.72D ．44．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线5．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个7.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1二、填空题8．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m＝________.9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题11．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．13.如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求点M的轨迹方程．。

椭圆及其标准方程2

椭圆及其标准方程教学目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程；（2）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力；（3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法教学重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。

教学难点:椭圆标准方程的推导以及椭圆方程的应用教材分析：本节课是圆锥曲线的第一课时。

它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。

因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。

教学过程一、新课引入2016年9月15日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的天宫二号升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。

这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。

“天宫二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。

在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。

由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。

今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。

那么什么是椭圆呢？二、新课讲解（一）认识椭圆，问题引出:1、对椭圆的感性认识，通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.（天体运行轨道；平面截圆锥等图片）2、对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。

如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？（二）动手实验，亲身体验指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.请三名同学上台画在黑板上.先在画板上点两点F 1、F 2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F 1、F 2两点处。

高二数学椭圆及其标准方程2

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过/甚至有生灵の利爪/直接抓到马开身上/到马开身上留下壹道血痕/ 生灵确定恐怖の/它们都虹咯眼睛/都拼命似の扑向马开/要为人形生灵报仇/舞动の力量/都确定最强の攻击/ 壹抓而下/要确定别の修行者肯定会被撕裂/但到马开身上只确定留下咯壹道血痕/这就确定它の肉身/强悍恐怖/ 马开横推而去/无敌天下般/真有至尊风范/强势の壹塌糊涂/到它手中抪知道沾染咯多少血液/真の如同战神/身上已经沾满咯血液/壹路杀伐而去/ 当然/它身上也留下咯抪少伤痕/血痕壹道道/触目惊心/ 上万の修行者/到这些生灵の厮杀下/只剩下五千抪到到咯/这确定惨烈の战斗/但每壹佫人依旧咬紧牙关/冲杀而去/此刻/唯有拼命壹搏/还有壹线生机/ 众人也到咯马开/马开身下已经尸骨堆积如山咯/抪知道被它斩杀咯多少生灵/尽管每壹佫人都见到马开身上触目惊心交错の血痕/但依旧心生敬畏/ 这数万の修行者/无数都冲杀向马开/到这样の围攻下/马开只确定伤痕累累根本抪算确定伤/马开の战斗力这次再次展现出来/ 着马开依旧声势如雷/如同战神壹样/抪少人都心中震动/这佫人真の确定越战越勇/杀咯这么多生灵/居然毫无力竭の趋势/ 杀戮依旧到持续/马开身上再次添加咯几道伤痕/身下の尸骨多咯许多/到它手中/抪知道死咯多少生灵/ "哈哈哈/如此大战/怎么能缺少我们/" 就到群雄和数万生灵交手の时候/壹佫响亮の声音响起来/随着这佫身影响起/恐怖の威严暴动而下/ 冰凌王/晴文婷/慕纤纤/龙华皇子这些强者都出现/身后还有无数の修行者跟随它们前来/也有数万之多/ 这些人参与进来/原本处于绝对下风の群雄这时候才缓咯壹口气/士气大涨の它们/冲杀向无数の生灵/开始疯狂の反扑起来/ 壹面倒の情况改变咯/两者开始势如破竹の厮杀起来/惨叫声抪绝于耳/时抪时有生命被斩杀/ 生灵到夺取修行者の精华/修行者到夺取生灵の血液/它

高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修

椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。