解析几何易错分析

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分析错因_走出误区——高考解析几何解答题易错题归类剖析

ʏ江苏省无锡市第六高级中学陈敏ʏ江苏省无锡市青山高级中学张启兆解析几何是高中数学的重要内容,但有些同学由于对某些知识点理解不透彻,或考虑不周等原因,导致在解题过程中出现这样和那样的错误,下面对高考解析几何解答题的易错题型进行归类剖析,希望对同学们的复习备考能有所帮助㊂一、忽略直线斜率不存在的情形例1 已知F (2,0)为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点,且点P 2,55在椭圆上㊂(1)求椭圆的方程㊂(2)已知直线l 与椭圆交于M ,N 两点,且坐标原点O 到直线l 的距离为306,试问:øM O N 的大小是否为定值若是,求出该定值;若不是,请说明理由㊂错解:(1)由椭圆的定义得2a =(2-2)2+552+(2+2)2+552=25,解得a =5㊂因为c =2,所以b =1㊂故椭圆的方程为x 25+y 2=1㊂(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)㊂设直线l 的方程为y =k x +m ,由点到直线的距离公式得|m |k 2+1=306,则m 2=56(k 2+1)㊂联立y =k x +m ,x 2+5y 2=5,消去y 整理得(5k 2+1)x 2+10k m x +5m 2-5=0,Δ=100k 2m 2-20(m 2-1)(5k 2+1)=20(5k 2+1-m 2)>0,即m 2<5k 2+1㊂由韦达定理得x 1+x 2=-10k m5k 2+1,x 1x 2=5(m 2-1)5k 2+1,所以O M ң㊃O N ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )(k x 2+m )=(k 2+1)㊃x 1x 2+k m(x 1+x 2)+m2=5(k 2+1)(m 2-1)-10k 2m25k 2+1+m2=6m 2-5(k 2+1)5k 2+1=0,所以O M ңʅO N ң,即øM O N =π2㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中忽略直线斜率不存在的情形㊂正解:(2)当直线l 的斜率存在时,同错解㊂当直线l 的斜率不存在时,则直线l 的方程为x =ʃ306,结合对称性不妨设直线l 的方程为x =306,联立x =306,x25+y 2=1,解得x =306,y =306,或x =306,y =-306,即得点M306,306,N 306,-306,此时O M ң㊃O N ң=0,故øM O N =π2㊂综上所述,øM O N =π2㊂易错提醒:本题的易错点有两个:一是忽略对直线斜率不存在的情形的讨论;二是øM O N =π2不是显性的,比较隐晦,识别出来有困难,但我们可以从特殊情况,即直线l 的斜率不存在入手,求出对应的定值,再利用82 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.向量的数量积证明这个值与变量无关㊂二㊁盲目应用判别式例2 若圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:由于圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,所以联立方程组(x -a )2+y 2=4,y2=6x ,消去y 得方程x 2-(2a -6)x +a 2-4=0无解,所以Δ=(2a -6)2-4a 2-4<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ ㊂剖析:这属于知识性错误,产生错误的原因是没有理解判别式Δ只适用于直线与二次曲线的位置关系的判断,而不适用于两个二次曲线之间的位置关系的判断㊂正解:由于圆的半径为2,当圆与抛物线外切时,a =-2,于是当a <-2时,圆与抛物线没有公共点㊂当圆与抛物线内切时,联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2-(2a -6)x +a 2-4=0㊂①Δ=(2a -6)2-4a 2-4=0,解得a =136,代入方程①得3x 2+5x +2512=0,解得x =-56,是负根,显然圆与抛物线不能内切,所以当x ȡ0时,问题等价于圆心(a ,0)到抛物线的距离d 的最小值大于2,求a 的取值范围㊂设P (x ,y )为抛物线上一点,则d 2=(x -a )2+y 2=(x -a )2+6x =[x -(a -3)]2+6a -9㊂设f (x )=[x -(a -3)]2+6a -9(x ȡ0),当a -3>0,即a >3时,f (a -3)最小,所以d m i n =6a -9>2,解得a >136,又a >3,所以a >3;当a -3ɤ0,即a ɤ3时,f (0)最小,所以d m i n =a >2,此时2<a ɤ3㊂综上可得,a >2㊂故a 的取值范围为a <-2或a >2㊂易错提醒:二次曲线与二次曲线的交点问题不能完全类比直线与二次曲线位置关系的探讨,仅用判别式法是不够的,这是因为二次曲线是有范围限制的,并且一般情况下具有对称性,要结合起来一起讨论㊂由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系,图形未必能把细微处的走向描述清楚,必须与代数运算结合起来,即以数助形,数形结合㊂三㊁求取值范围时,未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数例3 已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1与椭圆x 24+y23=1的离心率互为倒数,且双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3㊂(1)求双曲线C 的方程;(2)直线y =2x +m 与双曲线C 交于A ,B 两点,点M 在双曲线C 上,且O M ң=2O Aң+λO B ң,求λ的取值范围㊂错解:(1)因为椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,所以a 2+b 2a =2,即a 2=b 23㊂因为双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3,所以b =3,所以a =1,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),联立方程y =2x +m ,3x 2-y 2=3,消去y 整理得x 2+4m x +m 2+3=0,则x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=m 2+3㊂因为O M ң=2O A ң+λO B ң,所以x 0=2x 1+λx 2,y 0=2y 1+λy 2㊂因为点M 在双曲线C 上,所以2x 1+λx 22-2y 1+λy 223=1,即4㊃x 21-y 213+λ2x 22-y 223+4λx 1x 2-43㊃λy 1y 2=1,所以4λx 1x 2-43λy 1y 2+λ2+3=4λx 1x 2-43λ(2x 1+m )(2x 2+m )+λ2+3=0,即λ2-4λ+3+8m 2λ=0,显然λʂ0,于是8m 2=-λ2-4λ+3λȡ0 (*),所以λ(λ2-92解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4λ+3)ɤ0,λʂ0,解得λ<0,或1<λ<3㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,0 ɣ1,3㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数对m 的限制,故最后求λ的取值范围时出现错误㊂正解:(2)前面同错解㊂考虑Δ=16m 2-4(m 2+3)>0⇒m 2>1,将(*)式改为8m 2=-λ2-4λ+3λ>8㊂当λ>0时,得λ2+4λ+3<0,解得-3<λ<-1,与λ>0矛盾;当λ<0时,得λ2+4λ+3>0,解得λ>-1,或λ<-3,所以λ<-3,或-1<λ<0㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,-3 ɣ-1,0㊂易错提醒:审题不仔细,马虎大意,忽视条件直线与双曲线有两个交点隐含着判别式Δ=16m 2-4m 2+3>0㊂四、恒成立意义不明导致定点问题错误例4 如图1,M 是圆A :x +32+y 2=16上的动点,点B 3,0,线段M B 的垂直平分线交半径A M 于点P ㊂图1(1)求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)N 为轨迹E 与y 轴负半轴的交点,不过点N 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹E 于S ,T 两点,直线N S ,N T 分别与x 轴交于C ,D 两点㊂若C ,D 的横坐标之积是2,试问:直线l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由㊂易错分析:本题易错点有三个:一是在用参数表示直线S N 的方程时计算错误;二是不会利用同构的方法直接写出点D 的横坐标;三是在得到直线系S T 的方程后,对直线恒过定点的意义不明,找错方程的常数解㊂正解:(1)由题意可知|A P |+|P M |=|A M |=4,所以|P A |+|P B |=4>23=|A B |,所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴为4的椭圆㊂所以2a =4,c =3,所以b =a 2-c 2=1,所以椭圆的方程为x 24+y 2=1,即点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知点N (0,-1),设直线S T 的方程为y =k x +m (m ʂ-1),设S (x 1,y 1),T (x 2,y 2),联立y =k x +m ,x 2+4y 2=4,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8k m x +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2,由Δ>0,得4k 2-m 2+1>0㊂所以直线S N 的方程为y +1=y 1+1x 1(x -0),令y =0,得x C =x 1y 1+1㊂同理x D =x 2y 2+1㊂因为x C x D =x 1y 1+1ˑx 2y 2+1=2,所以x 1x 2=2(y 1+y 2+y 1y 2+1)=2[k x 1+m +k x 2+m +(k x 1+m )(k x 2+m )+1]=2[k (x 1+x 2)(m +1)+k 2x 1x 2+(m +1)2],所以4m 2-41+4k 2=2k ˑ-8k m1+4k2(m +1)+ k 2ˑ4m 2-41+4k2+(m +1)2㊂因为m ʂ-1,所以m +1ʂ0,则4(m -1)=-16k 2m +8k 2(m -1)+2(1+4k 2)㊃(m +1),解得m =3,所以直线S T 的方程为y =k x +3㊂所以直线S T 过定点(0,3)㊂规律与方法:(1)若确定动直线l 过定点问题,可设动直线方程(斜率存在)为y =k x +t ,由题设条件将t 用k 表示为t =m k ,得到y =k (x +m ),即可说明动直线过定点(-m ,0)㊂(2)若确定动曲线C 过定点问题,可引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出对应的定点㊂(3)先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明㊂对于客观题,通过特殊值法探求定点能取得事半功倍的效果㊂(责任编辑王福华)3 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

深入浅出中考数学易错题系列提高解析几何题的正确率

深入浅出中考数学易错题系列提高解析几何题的正确率解析几何是中考数学中常出现的难点之一，很多同学在解析几何题上容易出现错误。

本文将从深入浅出的角度分析中考数学解析几何题的易错点，并提供一些方法来提高解析几何题的正确率。

一、平面几何知识的巩固在解析几何题中，平面几何是基础知识，掌握了平面几何的概念和性质，才能更好地理解解析几何题目的意思，并正确解题。

首先，同学们需要熟悉平面几何中的基本概念，如点、直线、线段、角等。

并掌握平面几何的一些基本性质，如平行线的性质、垂直线的性质等。

此外，同学们还应该掌握一些重要的定理，如三角形的重心定理、垂心定理等。

二、图形的几何特征的分析在解析几何题中，对于所给的图形，我们需要分析其几何特征，寻找规律，并据此进行解题。

例如，在解决三角形的问题时，我们可以通过观察三角形的边长、角度关系，以及三角形的位置关系等来解题。

在解决矩形、正方形等图形的问题时，我们需要分析其边长、对角线的关系，从而得出解答。

三、利用图形变换解题在解析几何题中，利用图形的平移、旋转、翻转等变换是提高解题效率的有效方法之一。

通过变换图形，我们能够找到一些隐藏的特征，从而简化解题步骤。

例如，在解决平行线问题时，我们可以通过平移图形，使得原问题转化为一个相似的问题，从而得出解答。

同样，在解决对称性问题时，我们可以通过翻转或旋转图形，找到相应的对称关系，并据此解题。

四、常见易错点的解决方法在解析几何题中，同学们常常会遇到一些常见的易错点，例如计算错误、画图错误、对题意理解不清等。

以下是一些常见易错点的解决方法。

1. 计算错误：在解析几何题中，计算错误是常见的问题之一。

为了避免计算错误，同学们应该注意计算过程的准确性，以及注意单位的转换。

2. 画图错误：有时候，同学们在解析几何题中画图不准确，导致后续解题步骤出错。

为了避免画图错误，同学们可以使用工具如尺子和量角器，或者借助电脑绘图工具来辅助完成图形的绘制。

3. 对题意理解不清：解析几何题通常需要仔细阅读并理解题目的意思，有时候同学们会对题目的要求和条件理解不清。

解析几何中的常见误区

走出误区Z OU CHUW UQU1.条件理解不到位，导致出错例1已知直线x a +yb=1(a ，b 是非零常数)与圆x 2+y 2=25有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A.52条B.60条C.66条D.72条错解因为圆上的整点共有12个，每两个点确定一条直线，共有C 212=66条直线.其中直线x a +yb =1不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线，故满足条件的直线共有66-6-8=52条,所以选A.分析直线x a +yb=1(a ，b 是非零常数)与圆x 2+y 2=25有公共点，包括两种情况：相交或相切，错解中把有公共点理解成直线和圆相交，显然是错的.正解前面相同，补充：相切且满足条件的直线有8条，所以正确答案是60条.答案B2．概念把握不准确，导致出错例2平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 点到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为.错解平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 点到y 轴的距离大1，所以平面上动点P 到定点F(1,0)的距离等于点P 到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义可知，点P 在以F (1,0)为焦点、直线x =-1为准线的抛物线上，故动点P 的轨迹方程为：y 2=4x.所以填y 2=4x.分析根据抛物线的定义得出的轨迹方程没有问题，但是，定点F (1,0)到y 轴的距离恰好为1,这样仅仅根据定义得出结论就不全面了.事实上x 轴的非正半轴上的点均满足题意.正解1在y 2=4x 的基础上补充y =0(x <0).所以应填:y 2=4x(x ≥0)或y=0(x<0).正解2设动点P 的坐标为(x,y),根据题意有，(x -1)2+y 2=||x +1.有备则制人，无备则制于人。

（汉桓宽）解⊙湖北大学附属中学赵祥燕走出误区ZOUCHU WU QU当x ≥0时,化简得:y 2=4x;当x<0时,化简得:y =0.故动点P 的轨迹方程为：y 2=4x (x ≥0)或y=0(x<0).3．仅凭经验主义，导致出错例3若圆x 2+y 2-4x +2=0的切线在x 轴和y轴上的截距的绝对值相等，则这样的切线有（）A.3条B.4条C.5条D.6条错解圆的标准方程为(x-2)2+y 2=2.因为原点在圆外，所以在圆的切线中，2条截距相等，2条截距互为相反数，2条截距为0，故有6条.选D.分析一般情况下，当原点在圆外，在圆的切线中，2条截距相等，2条截距互为相反数，2条截距为0.前4条是不会重合的，但截距为0的切线有可能与前面4条中的切线重合.正解圆的标准方程为(x-2)2+y 2=2，因为原点在圆外，所以在圆的切线中，2条截距相等，2条截距互为相反数.当截距相等时有一种情况恰好过原点，当截距互为相反数时有一种情况也恰好过原点，故有4条.答案B4．思维不严谨，导致出错例4已知双曲线x 236-y 264=1，点F 是双曲线的右焦点，过点F 的直线A B 交双曲线分别于A ，B 两点，若||A B =24，则这样的直线A B 有条.错解因为双曲线x 236-y264=1的“通径”长为2b 2a =643，||A B =24>643，故这样的直线有2条,故应填2.分析因为双曲线x 236-y264=1的“通径”长为2b 2a =643，||A B =24>643,但要注意交点A ，B 是在双曲线的同一支上，还是分别在左、右两支上.正解因为双曲线x 236-y264=1的“通径”长为2b 2a =643，||A B =24>643，当交点在双曲线x 236-y264=1的同一支上时，则有2条；当交点分别在双曲线的的左、右两支上时，因为||A B >2a =12，所以也有2条.故共有4条，应填4.5．推导不严密，导致出错例5若抛物线y 2=2px 上的点到直线x +y -1=0的最小距离为328，求实数p 的值.错解依题意知p<0，设直线x +y -a =0与抛物线y 2=2px 相切，则由ìíx+y-a =0，y 2=2px 消去x 并化简得，y 2+2py -2ap =0，由Δ=0得，a =-p2.∴抛物线的切线方程为：x+y+p2=0，该切线与直线x+y-1=0平行，依题意有，||||||p 2+12=328，∴p=-12或-72.故实数p 的值为-12或-72.分析整个思路是正确的，但计算两条平行线间的距离||||||p 2+12=328时，没有结合几何意义.事实上，直线x+y+p2=0应在平行线x+y-1=0的左下方，故两条平行线间的距离为p 2+12.故p 2+12=328，解得：p=-12.当然，最后检验实数p 的值也能发现问题.因此，要养成好的解题习惯.正解前面同错解，依题意有，直线x+y+p2=0应在平行线x+y-1=0的左下方，多言不可与远谋，多动不可与久处。

人教版数学-备课资料解析几何易错点大剖析

解析几何易错点大剖析在解析几何的测试题中，为了考察同学们的思维能力和认知水平，往往在题目中设置一些“陷阱”。

这些陷阱极具迷惑性，如果不加以小心，便会跌入其中，不能自拔。

为了使同学们不再被其误导，故将常见的几种陷阱列举出来，希望引起大家的注意。

一、概念模糊而误入陷阱例、已知抛物线的方程为)0a (ax 2y 2<=，则它的焦点坐标为 A. )0,2a (-B. )2a ,0(-C. )a81,0( D. )a81,0(-错解：由抛物线方程为2ax 2y =，知抛物线的对称轴为y 轴，a 2p 2-=，所以a p -=，2a 2p -=，所以它的焦点坐标为（0，2a-），所以应选B 。

错因剖析：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程为px 2y 2=、px 2y 2-=、py 2x 2=、py 2x 2-=，其中若一次项的变量是x （或y ），则对称轴为x 轴（或y 轴），一次项系数的正负决定其开口方向。

正解：原方程可化为py x 22=的标准形式，其焦点坐标为（0，2p ）。

求出a p 41=，从而可得焦点坐标为（0，a81）。

解题策略：对于考试中的概念性问题，紧紧抓住概念的本质是解题的关键。

抓住关键词，吃透其外延、内涵，平时做适当的练习，在应用中去理解体会。

二、忽视判别式的应用条件而误入陷阱例、直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值是A 、1或-1B 、C 、-1或D 、1±或错解：直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩有惟一解，消去y 得22(1)220k x kx -+-=，此方程应有两个相等的实根，由0∆=，即2248(1)0k k +-=，解之可得k=，故选B ；错因剖析：忽略了根的判别式只能对一元二次方程适用。

一元一次方程不存在根的判别式。

对于方程22(1)220k x kx -+-=，当k=1±时，它是x 的一元一次方程不是二次方程，此时不能用根的判别式来判断实根的个数。

高中数学：解析几何中几个常见错误剖析

解几中几个常见错误剖析解析几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。

本文试图对解析几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。

一、忽视斜率不存在导致错误例1 已知过点（－4，0）作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 点，弦AB 长为8，则直线l 的方程为_______________________________________错解设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0，由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 剖析上述解法未考虑直线l 斜率不存在情形，从而导致错误。

事实上，直线l 斜率不存在时，弦AB 长也为8。

正解（1）直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =－4，符合题意。

（2）直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0，由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 综上所述直线l 的方程为：x =－4或512200x y ++=评注使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。

二、忽视方程自身限制导致错误例2 直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.错解设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 剖析直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解（1）当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x （2）当直线不过(0,0)时，设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0.综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x .三、忽视题目隐含条件导致错误例3 已知在ABC ∆中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A 的轨迹方程错解以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，故顶点A 的轨迹方程为22197x y -= 剖析上述解法忽视了A 、B 、C 为三角形的三个顶点，即A 、B 、C 三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，又由A 、B 、C 三点不能共线知点A 不能落在x 轴上，所以顶点A 的轨迹方程为221(0)97x y y -=≠ 评注解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是11，求这个椭圆的方程。

解析几何易做易错题

高考解析几何易做易错题选一、选择题： 1. 若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D43X Y ±=解答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。

2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 4，则双曲线的离心率为A 2B 23解答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。

5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。

6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01k≤≤ B 304k ≤≤C 314k-<≤D 10k -<≤解答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。

7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（）A 21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。

解析几何容易出错的问题

1．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF e PF =，则e 的值为：A ．3 B ．2 C ．2 D ．3（） 2．若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。

3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解答：D 易错原因：短轴长误认为是b4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L，则双曲线的离心率为A 2 B 2解答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。

5．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的定义而疏忽了射线。

6．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、b 变化时，e 21+e 22最小值是（）A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。

7．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

解析几何八大典型易错点的纠正与剖析

ʏ广东省惠州仲恺中学陈伟流解析几何是高中数学几何与代数主线中的重要内容,其内容涵盖点㊁直线㊁曲线等多种基本概念,涉及对斜率㊁长度㊁面积等多种几何量的求解,在直线与直线㊁直线与曲线㊁曲线与曲线的位置关系情境中考查同学们对基本方法㊁基本思想的有效掌握及灵活应用㊂但在实际学习中,不少同学却在基本概念㊁方法技能㊁解题思维等方面出现理解偏差㊁考虑不周㊁思维定式等不良现象,远未达到深度理解并有效掌握的本质性要求㊂为此,笔者以解析几何中八大典型易错点为例,在错解纠正剖析的基础上,进一步点拨相关题型的求解方法,旨在促进同学们对基本概念㊁方法技能及解题思维能有更本质㊁更全面的认知理解,从而促进高考备考中的提质增效㊂一㊁斜率与倾斜角关系辨识不清例1 设某直线的斜率为k ,且k ɪ-3,33,则该直线的倾斜角α的取值范围是( )㊂A .π3,5π6B .π6,2π3C .0,π3 ɣ5π6,πD .0,π6 ɣ2π3,π 错解:由k ɪ-3,33,结合t a n 2π3=-3,t a nπ6=33,得π6<α<2π3㊂剖析:没有正确认识直线的斜率与倾斜角的关系,认为y =t a n α在(0,π)上是递增函数,出现思维定式的误判㊂正解:如图1,函数y =t a n α在0,π2上图1递增,在π2,π上递增㊂结合t a n 2π3=-3<t a n α<33=t a nπ6,得αɪ0,π6ɣ2π3,π㊂故选D ㊂点拨:对于直线斜率与倾斜角的关系判断或范围求解问题,要用函数思想㊁数形结合思想等进行指导解题,确保思维的严密性㊂二㊁平行关系判断中忽略充分性验证例2 已知直线x +2a y -1=0与直线(a -2)x -a y +2=0平行,则a =( )㊂A .-23 B .-23或0C .0或32 D .32错解:由两直线平行得-a =2a (a -2),解得a =0或a =32㊂故选C ㊂剖析:应用两直线的平行关系进行必要性判断,最后忽略了充分性验证,产生增根㊂正解:由两直线平行得-a =2a (a -2),2ʂ-(a -2),解得a =0或a =32,a ʂ0,所以a =32㊂故选D ㊂点拨:对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1ʊl 2⇔A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2ʂA 2C 1;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0,由此可知平行关系判断中需进行A 1C 2ʂA 2C 1的充分性验证,避免两直线重复产生增根,垂直关系中则无需验证㊂三㊁忽略直线方程的适用范围,产生漏解例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截23 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月距之和为0的直线方程㊂错解:设直线方程为x a +y -a=1,因为直线过点(2,4),所以2a +4-a =1,解得a =-2,代入直线方程得x -y +2=0㊂剖析:截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形,错解中没有考虑截距为0的情形,导致漏解㊂正解:当直线的截距均为0时,直线过原点,易得其方程为y =2x ;当直线的截距均不为0时,同错解得直线方程为x -y +2=0㊂综上可得,所求的直线方程为2x -y =0或x -y +2=0㊂点拨:在截距相等(反)㊁截距绝对值相等或截距成倍数的情境中应用截距式方程,应考虑截距为0及不为0的特殊与一般的情形㊂同样的,两点式方程也不适用于斜率为0和斜率不存在的情形,所以应用直线方程时应充分考虑方程的适用范畴,避免因思维不严密而出现漏解㊂四㊁忽略圆方程成立的必要条件例4 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C :(x -3m )2+(y -4m )2=25(m +4)2相切,则点A 在圆C 的(填外部内部上面 ),实数m 的取值范围是㊂错解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程可得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,解得m <-1912㊂剖析:忽略圆的半径需大于0的必要条件,产生思维漏洞㊂正解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,且25(m +4)2>0,解得m <-1912且m ʂ-4,故实数m 的取值范围是(-ɕ,-4)ɣ-4,-1912㊂点拨:对于圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2中的r >0及一般方程x 2+y 2+D x +E y +F =0中的D x +E y +F >0的必要条件是解题过程中容易忽略的点㊂五㊁轨迹方程求解中忽略几何图形存在的必要条件例5 在әA B C中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,c ,b 依次成等差数列,且a >c >b ,|A B |=2,求顶点C 的轨迹方程㊂图2错解:由a ,c ,b 依次成等差数列得a +b =2c =4,即|C A |+|C B |=4>|A B |,故顶点C 的轨迹为椭圆,如图2,以A B 的中点为原点建立平面直角坐标系,则易求得椭圆方程为x 24+y23=1㊂剖析:求解中忽略了边长的大小关系及A ,B ,C 三点不共线的前提条件㊂正解:因为a >b ,所以|C B |>|C A |,故轨迹只能取椭圆在y 轴左侧的部分,且A ,B ,C 三点不共线,需挖去椭圆的左顶点(-2,0),故顶点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(-2<x <0)㊂点拨:在求解动点轨迹方程时,除了要注意圆锥曲线成立的前提条件,还需注意动点在某些特殊位置是否与题意的几何条件产生矛盾,从而明晰变量的取值范围,培养思维的严密性㊂六㊁对直线与圆锥曲线的位置关系理解有偏差例6 已知过点(0,3)的直线与双曲线x 22-y 2=1有唯一公共点,则这样的直线有条㊂错解:设所求直线方程为y =k x +3,联立x 22-y 2=1,y =k x +3,消去y 整理得(1-2k 2)x 2-12k x -20=0,由Δ=(-12k )2+80(1-2k 2)=0得k =ʃ5,故满足题意的直线有2条㊂剖析:错解中混淆了直线与双曲线相切和有一个公共点的逻辑关系㊂正解:当直线与双曲线的渐近线平行时,33解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月其方程为y =ʃ22x +3,分别与双曲线的一支有一个公共点,符合题意;当直线与渐近线不平行时,设其方程为y =k x +3k ʂʃ22,同错解得k =ʃ5,故满足题意的直线有4条㊂点拨:在判断直线与圆锥曲线的关系位置中,若直线与封闭曲线(圆及椭圆)相切,则二者只有一个公共点;若直线与双曲线只有一个交点,则直线与曲线相切或平行于双曲线的一条渐近线㊂七㊁忽略根的判别式的适用范围例7 已知圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2+(6-2a )x +a 2-4=0,可知方程无实数解,故Δ=(6-2a )2-4(a 2-4)<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ㊂剖析:根的判别式只适用于直线与曲线的位置关系的判断,并不适用于曲线与曲线的位置关系的判断,错解忽略了根的判别式的适用范围㊂正解:易知圆的圆心为(a ,0),半径为2,抛物线的顶点为(0,0)㊂当圆与抛物线内切时,a =2;当圆与抛物线外切时,a =-2㊂要使两者无交点,则需a >2或a <-2,故a 的取值范围为(-ɕ,-2)ɣ(2,+ɕ)㊂点拨:在判断两个曲线的位置关系时,可通过几何图形的临界状态(曲线相切),以形助数找到参数的临界值,再对图形进行动态分析,从而进一步明确参数的取值范围㊂八㊁运算路径㊁方法不恰当,导致运算受阻或产生困难例8 已知椭圆C :x 23+y 2=1,过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,直线A E 与直线x =3交于点M ㊂试判断直线B M 与直线D E 的位置关系,并说明理由㊂错解:设直线A B 的方程为y =k (x -1)(k ʂ1),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线A E 的方程为y -1=y 1-1x 1-2(x -2)㊂令x =3,得M 3,x 1+y 1-3x 1-2,则k B M =x 1+y 1-3x 1-x 2-y 23-x 2㊂联立y =k (x -1),x 2+3y 2=3,消去y 整理得(1+3k )x 2-6k 2x +3k 2-3=0,则x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k2㊂所以k B M=y 1+x 1-3x 1-2-y 23-x 2=k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)(3-x 2)(x 1-2)=2k (x 1+x 2)-k x 1x 2+x 1-3(k +1)-x 1x 2+2(x 1+x 2)+x 1-6=12k 31+3k 2-3k 3-3k1+3k2+x 1-3(k +1)-3k 2-31+3k 2+12k21+3k2+x 1-6=x 1-3x 1-3=1=k D E ,所以B M ʊD E ㊂剖析:在错解中忽略了直线斜率存在的前提条件,同时没有遵循先特殊后一般的求解逻辑,一旦后续求解出现卡壳就会使解题停滞不前,继续引发解题失败㊂正解:当直线A B 的斜率不存在时,可知A 1,63 ,B 1,-63,故直线A E 的方程为y -1=1-63(x -2),得M 3,2-63,所以k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂当直线A B 的斜率存在时,同错解得k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂综上可得,直线B M 与直线D E 平行㊂点拨:在解析几何的定值㊁定点㊁位置关系判断等问题的求解中,可优先通过直线斜率不存在(或斜率为0)等特殊条件对问题进行必要性的结论探索,再通过一般性证明结论的完整性,以减少运算方向的不明确性和阻碍性,提升运算效益㊂(责任编辑王福华)43 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年11月。

2024年高考数学几何历年真题错误常见类型分析

2024年高考数学几何历年真题错误常见类型分析高考数学几何部分一直是考生们最为重视的内容之一，也是很多考生容易出错的地方。

本文将对2024年高考数学几何部分历年真题中常见的错误类型进行分析，帮助考生们更好地理解和掌握这些知识点，提高应对数学几何题的能力。

一、平面几何题型的错误类型分析1. 图形判断错误：这种类型的错误主要表现为对图形的判断出现错误，例如判定两条直线平行或垂直时弄混方向，或者判断角平分线时出现错误。

这类错误的原因主要是考生对图形的性质理解不够深入或者观察不细致。

解决方法：要对每个图形的性质进行深入理解，多做题、多画图，注重观察，不要随意下结论。

2. 同一图形的不同表达错误：同一个几何图形可以有不同表达方式，当考生没有注意到这些不同表达方式时，容易在计算过程中出现错误。

解决方法：在解答题目时，多角度地观察题目中给出的几何图形，并且学会转化不同的图形表达方式。

3. 判定条件不满足错误：在判断两条线段相等或两个三角形全等的时候，考生需要注意每个条件的具体含义。

有时候考生可能会忽略某个判定条件，导致判断结果出错。

解决方法：仔细审题，理解和注意题目中给出的判定条件的含义，并逐个进行检查。

二、立体几何题型的错误类型分析1. 空间图形理解错误：立体几何是在空间中进行，需要考生具备一定的空间想象力。

有些考生在解答空间立体图形题目时，容易将二维图形的思维方式带入，导致错误。

解决方法：多做立体几何的题目，培养空间想象力；可以在纸上画出空间图形，有助于更好地理解和解答题目。

2. 体积、表面积计算错误：计算体积和表面积是立体几何的重要内容，但是有些考生在计算过程中容易出错，如计算公式的使用错误、边长或高度的计算不准确等。

解决方法：熟练掌握体积和表面积的计算公式，并在计算过程中注意细节，准确计算。

3. 空间角度判断错误：在解决立体几何题时，对于空间角度的判断是重要的，但有些考生可能在角度比较和转化的过程中出现错误。

解析几何试题致错的原因剖析

解析几何试题致错的原因剖析一、概念理解不透彻致错例1 已知()111,P x y 是圆():,0=C f x y 上的一个定点，()222,P x y 是圆():,0=C f x y 外的一个定点，则方程()()()1122,,,0++=f x y f x y f x y 所表示的曲线是A. 直线B.圆C. 椭圆D. 双曲线错解 A 。

剖析曲线的方程的概念的理解不透彻，概念不清，不知所云.因为()111,P x y 是圆():,0=C f x y 上的一个定点，所以()11,0=f x y ，同理()22,f x y 是一个不为零的常数。

正解为B 。

变式1 下列四个命题中，假命题是A. 经过定点()00,P x y 的直线不一定都可以用方程()00-=-y y k x x 表示；B. 经过两个不同的定点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121--=--y y x x k x x y y 表示；C. 与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程1+=x ya b表示； D. 经过定点()0,Q b 的直线都可以表示为=+y kx b 。

答案 D 。

二、忽视直线倾斜角的范围致错例2 直线sin 10α-+=x y 的倾斜角的取值范围是A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,πC. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭错解由题意知[]sin 1,1α=∈-k ，所以倾斜角的取值范围是,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

剖析忽视直线的倾斜角定义的范围，或者由斜率的范围结合正切函数图象求倾斜角的范围出现错误。

由题意知[]sin 1,1α=∈-k ，结合正切函数图象，当[]0,1∈k 时，直线的倾斜角0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当[)1,0∈-k 时，直线的倾斜角3,4παπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。

故倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，正确答案为D.变式2 直线cos 20θ+=x 的倾斜角的取值范围是。

解析几何常见错误分析

解析⼏何常见错误分析2019-08-28解圆锥曲线题，⼀是要寻找“突破⼝”，⼀般⽤向量、圆、⾓、⽐例等进⾏转化，转化的⽅向是交点的横、纵坐标，进⽽联系韦达定理和判别式加以解决.⼆是要注意计算，做到细致准确，避免出错. 三是要了解以下七个⽅⾯的错误类型及成因，避免发⽣错误.⼀、对直线的倾斜⾓与斜率关系认识不清例1 平⾯上有相异两点[A（0，1）]及[B（cosθ，][sin2θ）]，求经过[A，B]两点的直线的倾斜⾓的范围.错解设直线的斜率为[k]，倾斜⾓为[θ].分析对倾斜⾓的范围[[0，π）]以及[θ]与[k]的关系认识不清.事实上，[k>0]，[θ∈（0，π2）]；[k⼆、忽视直线的斜率不存在的情况例2 试求过点[P（2，3）]的圆[（x-1）2+y2=1]的切线⽅程.错解设切线⽅程为[y-3=k（x-2）]，即[kx-y+3-2k=0]，⼜[l]与圆相切，[ |k+3-2k|1+k2=1?k=43].则切线⽅程为[4x-3y+1=0].分析没有考虑斜率不存在的情况.正解事实上，当斜率不存在时，[x=2]也为圆的⼀条切线，故切线⽅程为[4x-3y+1=0]和[x=2].三、误解截距的概念例3 已知直线过点[P（1，5）]，且在两坐标轴上的截距相等，求此直线⽅程.错解因为直线在两坐标轴上截得的截距相等，所以[l]的斜率为±1，则[l]为[y-5=±（x-1）].即[x-y+4=0]或[x+y-6=0].分析误以为截距是[l]在坐标轴上截得的距离，并且忽视了截距为0的情况.正解事实上，[l]在两坐标轴的截距相等，[k]应为-1；另外，[l]过原点时，截距也相等.[l]的⽅程为[x+y-6=0]或[5x-y=0].四、忽视圆锥曲线定义中的条件例4 已知[C1：][（x+3）2+y2=1]和[C2：][（x-3）2][+y2=9]，动圆[M]同时与圆[C1]及圆[C2]相外切，试求动圆圆⼼[M]的轨迹⽅程.错解设动圆[M]与[C1]及[C2]分别相切于[A]和[B].则[|MC1|-|AC1|=|MA|]，[|MC2|-|BC2|=|MB|].⼜[|MA|=|MB|]，[|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|]，即[|MC2|-|MC1|]=[|BC2|-|AC1|=2].由双曲线定义知，[a=1]，[c=3]，[b2=8].则[M]的轨迹⽅程为[x2-y28=1].分析对双曲线的定义理解不清.[|MC2|-|MC1|]中少了外层绝对值.正解由[|MC2|-|MC1|=2]知，[M]的轨迹为双曲线[x2-y28=1]的左⽀，⽅程为[x2-y28=1（x五、不善于利⽤圆锥曲线性质建⽴不等关系例5 已知椭圆[x2a2+y2b2=1 （a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1（-c，0），F2（c，0）]，若椭圆上存在点[P]（异于长轴端点），使得[ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2]，求该椭圆离⼼率的取值范围.错解已知[e=ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2]，由正弦定理得，[PF1PF2=sin∠PF2F1sin∠PF1F2]，所以[e=PF1PF2=2a-PF2PF2]=[2aPF2-1]，由椭圆的⼏何性质知，[PF2a+c]，[ 2aPF2-1a-ca+c]，即[ea-ca+c=1-e1+e].则[e2-1].分析⼀是忽略“点[P]异于长轴端点”，从⽽得出[PF2a+c]；⼆是忽略椭圆的离⼼率[e∈（0，1）].另外，在解题中，不会利⽤正弦定理进⾏边⾓转化，不会⽤[PF2正解事实上将[PF2][a-ca+c]，从⽽[e>a-ca+c=1-e1+e?e>2-1].⼜[e∈（0，1）]，[ 2-1六、忽视限制条件求错轨迹和轨迹⽅程例6 过点[P（0，-2）]的直线[l]交抛物线[y2=4x]于[A，B]两点，求以[OA，OB]为邻边的平⾏四边形[OAMB]的顶点[M]的轨迹⽅程.错解设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[M（x0，y0）]，直线的⽅程为[y=kx-2]，联⽴[y=kx-2，y2=4x，?k2x2-4（k+1）x+4=0]（[?]）.则[x1+x2=4（k+1）k2]，[x1x2=4k2]，[y1+y2=k（x1+x2）-4=4k].[x1+x2=x0=4（k+1）k2]，[y1+y2=y0=4k].消去[k]，得[（y0+2）2=4（x0+1）].故[M]的轨迹⽅程为[（y+2）2=4（x+1）].分析忽视了[k≠0]，以及[Δ>0]，从⽽导致解题过程不严谨，并且扩⼤了轨迹的范围.正解设[l]：[y=kx-2 （k≠0）].对[（*）]式，由[Δ>0]，得[16（k+1）2-16k2>0]，[k>-12].代⼊[y0=4k]，得[y00].故[M]的轨迹⽅程为[（y+2）2=4（x+1）][（y0）].七、不能破解“突破⼝”例7 [F1，F2]分别为椭圆[x24+y2=1]的左、右焦点.（1）若点[P]为椭圆上的⼀个动点，求[PF1?PF2]的最⼤值和最⼩值；（2）设过定点[M（0，2）]的直线[l]与椭圆交于不同的两点[A，B]，且[∠AOB]为锐⾓（[O]为坐标原点），求直线[l]的斜率的取值范围.分析⼀是不知如何突破[PF1?PF2]，转化的⽅向为何；⼆是不知如何突破“[∠AOB]为锐⾓”；三是忽视[l]与椭圆交于两点[A，B]，须[Δ>0].解（1）易知[a=2，b=1，c=3， ][F1（-3，0），F2（3，0）].设[P（x，y），]则[PF1?PF2=（-3-x，-y）?][（3-x，][-y）][=14（3x2-8）].因为[x∈[-2，2]]，故[x=0]时，[PF1?PF2]有最⼩值-2.当[x=±2]时，即点[P]为长轴端点时，[PF1?PF2]的最⼤值为1.（2）显然直线[x=0]不满⾜题意，可设直线[l： y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）].联⽴[y=kx+2，x24+y2=1，]消去[y]，得[（k2+14）x2+4kx+3=0].[x1+x2=-4kk2+14]，[x1?x2=3k2+14]，[由Δ=4k2-3>0?k32].⼜[∠AOB]为锐⾓，[ OA?OB>0].则[x1x2+y1y2>0?][k2综上可得[-2注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

解析几何题求解错误例析

√尼十１
一２求得
，
忆抛物线的标准方程为Ｙ一２ｐｘ、一一２ｐｘ、ｚ一２ｐｙ、ｚ一一２ｐｙ．一次项系数的正、负决定了其开口
朝向及对称轴的正、负．在看到与抛物线相关的题目
ｋ一５／１２，因此切线方程为５ｘ一１２ｙ一８ —０．
彝
应当综合考虑．
妻辜妻
曲线的渐近线时，也只有１个公共点．因此在解题时，
例１过点Ｍ（４，１）作圆（ｚ一２）。＋（．ｙ＋２）一４
的切线，此时切线方程为．
３缺乏对问题的直观认识
Ｂ（一口／２，Ｏ）；
２）＋（１＋２）（＋２）一４，简化可得２ｚ＋３一２ —０．剖析在求解选择或填空题时，借助一些定理简化运算是合理的解题策略．但是很多学生在记忆定理
或者结论时，通常会忽略定理的前提条件．上述定理
（ｚ０一口）（－ａ）＋（ｏ－ｂ）（ — ｂ）一ｒ。．
错解１由上述定理得切线方程为（４ —２）（ｚ一
例３已知抛物线的方程为Ｙ一２ａｘ（口＜ｏ），此时焦点坐标为（
Ｃ
）．
１只注重结论与公式，未关注条件
在解题过程中，很多学生运用概念或者定理来解决问题时往往只关注公式的结论，并没有关注条件，从而导致解题出现失误．

解析几何(教师版)高考数学一轮复习易错点分类汇总

解析几何易错导图易错详讲易错点1直线平行与重合区别【例1】已知直线210x ay +-=与直线(2)20a x ay --+=平行，则a 的值是（）A ．23-B ．23-或0C ．0或32D ．32【答案】D【解析】由题设可得1()2(2)a a a ⨯-=⨯-，∴32a =或0a =，当0a =时两直线重合，故应舍去，故选：D.【易错总结】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②2112210A A l B B l +⇔=⊥；【举一反三】1．若直线260ax y +-=与2(1)10x a y a +-+-=平行，则a =（）A ．1-或0B ．0或1C ．1或2D ．1-或2【答案】D【解析】因为两直线平行，所以226111a a a -=≠--，即220a a --=且2340a a +-≠，解得1a =-或2a =，故选：D2．（2020·江西省奉新县第一中学）已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12//l l ，则实数a 的值为（）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±【答案】B【解析】因为12//l l ，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B3．（2020·首都师范大学附属中学）已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（）A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或5【答案】C【解析】直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行.因此，0k =或5.故选:C.易错点2斜率与倾斜角勿忘范围【例2】（2020·邯郸市永年区第一中学）设某直线的斜率为k ，且3k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．50,,36πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D ．20,,63πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D【解析】直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k 33），tan α＜33所以20,,63ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ .【举一反三】1．（2020·天津和平·耀华中学）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（）A ．[2,3]-B ．[2,0)(0,3]-⋃C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对【答案】C【解析】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥k BC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥BC k k ≥或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．2（2020·湖北省天门中学）直线cos 20x α+=的倾斜角范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,26ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ【答案】B【解析】由题意，设直线的倾斜角为θ直线cos 20x α+=的斜率为33[]33k =-，即tan 33θ-≤≤，又由[0,)θπ∈，所以50,,66πθππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B.3．（2020·天津市武清区天和城实验中）直线cos 0x y b α++=（a 、b R ∈）的倾斜角范围是（）A ．[]0,πB ．3,,4224ππππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】由题意，直线方程可化为：cos y x b α=--∴直线的斜率为cos α-∴cos [1,1]α∈-设直线cos 0x y b α++=的倾斜角为βtan [1,1]β∴∈-][3044πβππ⎡⎫∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，，故选：D易错点3圆锥曲线的定义【例3】（1）（2020·全国高二单元测试）到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（）A ．椭圆B ．两条射线C ．双曲线D ．线段（2）（2020·浙江温州中学）双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．9C ．1或9D ．7【答案】（1）B （2）B【解析】（1）1∵到两定点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F 1F 2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B ．（2）双曲线221412x y -=的2,4a b c ====，点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=，点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=，由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==，即有2549PF =+=.故选：B.【举一反三】1．（2019·海口市第四中学）设1(4,0)F -，()24,0F 为定点，动点M 满足1210MF MF +=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．双曲线D ．线段【答案】A【解析】根据椭圆的定义知，M 到两定点1F ，2F 的距离之和为10＞12F F ＝8，动点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆．故选：A ．2．（2020·南京师范大学附属实验学校）（多选）已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则（）A ．当0mn >时，方程表示椭圆B ．当0mn <时，方程表示双曲线C ．当0m =，n ＞0时，方程表示两条直线D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BCD【解析】A ：取1m n ==，此时表示圆，故A 错误；B ：当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，故B 正确；C ：当0m =，y n=±，方程表示两条直线，故C 正确；D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D 正确；故选：B C D.易错点4直线与曲线相交【例4-1】（2018·广东湛江·高二期末（理））已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠【答案】D【解析】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x y m +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D.【例4-2】（2019·广东佛山）过点()2,1-引直线与抛物线2y x =只有一个公共点，这样的直线共有（）条．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】（1）当过点(2)1-，的直线斜率不存在时，显然2x =与抛物线2y x =有且只有一个交点，（2）当直线过点(2)1-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为()12y k x +=-，代入到抛物线方程2y x =，消y 得：2210x kx k -++=，则()24210k k ∆=-+=，解得：4k =±(2)1-，的切线有2条，综上可得：过点(2)1-，与抛物线2y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条.故选：C.【举一反三】1．（2020·金华市曙光学校）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点【答案】D【解析】因为2y kx =+过定点()0,2，且椭圆22194x y +=的上顶点也为()0,2，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.2．（2020·江西南昌二中高三其他模拟（文））已知双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，过点(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（）A ．22(,0)(0,22-B ．5(5-，0)(0⋃，55C ．22(,,)22-∞-+∞ D ．(,,)55-∞-+∞ 【答案】A【解析】由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，62=，解得2m =，双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222y y t =-，12224y y t t =--+221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-，又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >，所以直线l 的斜率22112k t =<，又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是(,0)(0,22- ，故选：A ．3．（2019·海口市第四中学）过点()3,2M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个交点，这样的直线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】B【解析】经验证点()3,2M 在抛物线开口内部，结合函数图像，可知过点()3,2M 与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M 平行与x 轴的直线，即2y =.故选：B.避错强化1．（2020·湖北宜昌）若直线1:260l ax y ++=与直线()22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为（）A ．2a =-或1a =B ．2a =C ．2a =或1a =-D ．1a =-【答案】D【解析】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =-故选：D 2．（2020·上海杨浦·复旦附中）“1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直，可得：11()0m m ⨯+-=，即21m =，解的1m =±，所以1m =是直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直的充分不必要条件.故选：A.3．（2020·安徽六安一中）已知两条直线1l ：()1210a x y -++=，2l ：10x ay ++=平行，则1l 与2l 的距离为（）A．B ．2C．4D．2【答案】C【解析】因为12l l //，所以()1210a a --⨯=，所以2a =或1a =-，当2a =时，12,l l 均为210x y ++=，此时两直线重合不符合条件，当1a =-时，1:2210l x y -++=即11:02l x y --=，2:10l x y -+=，此时符合，所以12,l l324=，故选：C.4．（2020·重庆北碚·西南大学附中高三月考）设m R ∈，则“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直，则()()()11210m m m m -+-+=，解得1m =±，所以由1m =-能推出直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直；反之不能推出；因此“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的充分不必要条件.故选：A.5．（2019·巢湖市第四中学）直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：()2320a x ay a -++=.若12//l l ，则a 的值为（）A ．0或5B ．0C ．5D ．非上述答案【答案】A【解析】当0a =时，1l ：60x +=，2l ：0x =，满足12//l l ；当0a ≠且20a -≠时，16232a a a a=≠-，解得5a =，综上，0a =或5.故选：A.6．（2020·上海徐汇·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3⎛⎫⎪⎝⎭C ．3⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=，设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k ∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D.7．（2020·河北衡水中学高三一模（理））已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= 坐标，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥；当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= ，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选：C.8．（2020·涡阳县育萃高级中学）已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =______．【答案】1-【解析】因为直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，所以110a a ⋅-⋅=，解得1a =±当1a =时直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=重合，应舍去当1a =-时满足题意故答案为：1-9．（2020·辽源市第五中学校）已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，若12l l //，则a =___________．【答案】3【解析】∵12l l //，有(2)3a a -=，∴(1)(3)0a a +-=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，1:20l x y -+=，2:3(2)0l x y --+=，即1l 、2l 为同一条直线；当3a =时，1:320l x y ++=，2:3180l x y ++=，即12l l //；∴3a =，故答案为：311．（2020·上海浦东新·华师大二附中）直线xcos y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【解析】由题知k ＝－33cos θ，故k ∈33,33⎡-⎢⎣⎦，结合正切函数的图象，当k ∈30,3⎡⎢⎣⎦时，直线倾斜角α∈0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当k ∈3,03⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭时，直线倾斜角α∈5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故直线的倾斜角的范围是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.12．（2020·江西南昌二中）若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有_____条.【答案】3【解析】（1）当过点(01)-，的直线斜率不存在时，显然0x =与抛物线22y x =有且只有一个交点，（2）①当过点(01)-，且直线抛物线22y x =的对称轴平行，即斜率为0时，显然1y =-与抛物线22y x =有且只有一个交点，②当直线过点(01)-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为1y kx =-，代入到抛物线方程22y x =，消y 得：222(1)10k x k x -++=，由已知有0k ≠，则224(1)40k k ∆=+-=，解得：12k =-，即直线线方程为112y x =--，综上可得：过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条故答案为：3。

解析几何易错题集

解析几何一、选择题：1. （如中）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。

2. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A 855B 455C 833D 433 解答：D易错原因：短轴长误认为是b3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +-> 4．（如中）设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为3C ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或23 C 2 D 233解答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。

5．（如中）已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。

6．（如中）若曲线24y x =-(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤D 10k -<≤解答：C易错原因：将曲线y =224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。

专题8：高考数学易错题分析(解析几何)

专题8：高考数学易错题分析（解析几何）一、典型例题分析【易错点1】求解函数值域或单调区间易忽视x 、y 的取值范围。

例1、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x 、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。

解析：由于()22214y x ++=得(x+2)2=1-42y ≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2-16x-12=28283()33x -++,因此当x=-1时x 2+y 2有最小值1, 当x=-38时，x 2+y2有最大值328。

故x 2+y 2的取值范围是[1,328]【评析引申】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件()22214y x ++=对x 、y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知31x -≤≤-，22y -≤≤。

此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。

【易错点2】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。

如用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０。

例2、已知双曲线224x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。

解析：联立方程组()2214y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()22221240kxk x k -+--=（1）当210k -=时，即1k =±，方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点。

解析几何常见错误分析

走出误区ZOUCHUWU QU数学投稿E-m ail :gzs s x2006@⊙水果湖高中张德尚⊙武汉市东湖中学朱华静解圆锥曲线题，一是要寻找“突破口”，一般用向量、圆、角、比例等进行转化，转化的方向是交点的横、纵坐标，进而联系韦达定理和判别式加以解决.二是要注意计算，做到细致准确，避免出错.三是要了解以下七个方面的错误类型及成因，避免发生错误.一、对直线的倾斜角与斜率关系认识不清例1平面上有相异两点A (0,1)及B(cos θ,sin 2θ)，求经过A,B 两点的直线的倾斜角的范围.错解设直线的斜率为k ，倾斜角为θ.则k =sin 2θ-1cosθ=-cos θ，∴|k|=|-cos θ|1.∴-1k 1，即-1tan θ1，∴θ∈[-π4,π4].分析对倾斜角的范围[0,π)以及θ与k 的关系认识不清.事实上，k>0，θ∈(0,π2)；k<0时，θ∈(π2,π).正解∵-1tan θ1,∴θ∈(0,π4][3π4,π).二、忽视直线的斜率不存在的情况例2试求过点P (2,3)的圆(x -1)2+y 2=1的切线方程.错解设切线方程为y -3=k(x -2)，即k x -y +3-2k =0，又l 与圆相切，∴|k+3-2k|1+k2=1k=43.则切线方程为4x -3y +1=0.分析没有考虑斜率不存在的情况.正解事实上，当斜率不存在时，x =也为圆的一条切线，故切线方程为4x -3y +1=0和x =2.三、误解截距的概念例3已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程.错解因为直线在两坐标轴上截得的截距相等，所以l 的斜率为±1，则l 为y -5=±(x -1).即x -y +4=0或x +y -6=0.分析误以为截距是l 在坐标轴上截得的距离，并且忽视了截距为0的情况.正解事实上，l 在两坐标轴的截距相等，k 应为-1；另外，l 过原点时，截距也相等.∴l 的方程为x +y -6=0或5x -y =0.四、忽视圆锥曲线定义中的条件例4已知⊙C 1：(x +3)2+y 2=1和⊙C 2：(x -3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.错解设动圆M 与⊙C 1及⊙C 2分别相切于A和B .则|MC 1|-|A C 1|=|MA |，|M C 2|-|BC 2|=|MB|.又|MA |=|MB|，∴|M C 1|-|A C 1|=|M C 2|-|BC 2|，即|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|A C 1|=2.由双曲线定义知，a =1，c =3，∴b 2=8.则M 的轨迹方程为x 2-y 28=1.分析对双曲线的定义理解不清.|MC 2|-|MC 1|理论生物老化之父——奥布里德格雷走出误区ZOU CHU WUQU中少了外层绝对值.正解由|M C 2|-|MC 1|=2知，M 的轨迹为双曲线x 2-y 28=1的左支，∴方程为x 2-y 28=1(x <0).五、不善于利用圆锥曲线性质建立不等关系例5已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0)，若椭圆上存在点P （异于长轴端点），使得c a =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2，求该椭圆离心率的取值范围.错解已知e =ca =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2，由正弦定理得，PF 1P F 2=sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2，所以e =P F 1P F 2=2a -P F 2P F 2=2a P F 2-1，由椭圆的几何性质知，PF 2a +c ，∴2aP F 2-1a -ca +c，即e a -c a +c =1-e1+e.则e 2-1.分析一是忽略“点P 异于长轴端点”，从而得出P F 2a +c ；二是忽略椭圆的离心率e ∈(0,1).另外，在解题中，不会利用正弦定理进行边角转化，不会用P F 2<a +c 建立不等式.正解事实上将P F 2<a +c 代入2aP F 2-1>a -c a +c ，从而e >a -c a +c =1-e 1+e e >2- 1.又e ∈(0,1)，∴2-1<e <1.六、忽视限制条件求错轨迹和轨迹方程例6过点P (0,-2)的直线l 交抛物线y 2=4x 于A ,B 两点，求以O A,O B 为邻边的平行四边形O A MB 的顶点M 的轨迹方程.错解设A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，直线的方程为y =k x -2，联立ìíy =k x -2,y 2=4x ,k 2x 2-4(k +1)x +4=0（）.则x 1+x 2=4(k +1)k 2，x 1x 2=4k2，y 1+y 2=k(x 1+x2)-4=4k .∴x 1+x 2=x 0=4(k+1)k2，y 1+y 2=y 0=4k .消去k ，得(y 0+2)2=4(x 0+1).故M 的轨迹方程为(y +2)2=4(x +1).分析忽视了k ≠0，以及Δ>0，从而导致解题过程不严谨，并且扩大了轨迹的范围.正解设l ：y =k x -2(k ≠0).对(*)式，由Δ>0，得16(k +1)2-16k 2>0，∴k>-12.代入y 0=4k，得y 0<-8或y 0>0.故M 的轨迹方程为(y +2)2=4(x +1)(y <-8或y >0).七、不能破解“突破口”例7F 1,F 2分别为椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点.（1）若点P 为椭圆上的一个动点，求P F 1PF 2的最大值和最小值；（2）设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ,B ，且∠AO B 为锐角（O 为坐标原点），求直线l 的斜率的取值范围.分析一是不知如何突破P F 1P F 2，转化的方向为何；二是不知如何突破“∠A O B 为锐角”；三是忽视l 与椭圆交于两点A ,B ，须Δ>0.解（1）易知a =2,b =1,c =3,∴F 1(-3,0),F 2(3,0).设P (x ,y ),则P F 1P F 2=(-3-x ,-y )(3-x ,-y )=14(3x 2-8).因为x ∈[-2,2]，故x =0时，P F 1P F 2有最小值-2.当x =±2时，即点P 为长轴端点时，P F 1P F 2的最大值为1.（2）显然直线x =0不满足题意，可设直线l:y =k x +2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立ìíy =k x +2,x24+y 2=1,消去y ，得(k 2+14)x 2+4k x +3=0.∴x 1+x 2=-4k k 2+14，x 1x 2=3k 2+14，由Δ=4k 2-3>0k <-32或k>32.又∠A O B 为锐角，∴O A O B >0.则x 1x 2+y 1y 2>0k 2<4.∴-2<k<2.综上可得-2<k<-32或32<k <2.绿色革命之父——鲍劳格。

解析几何中的易错点

解析几何中的易错点1. 设直线的方程时，没有考虑斜率不存在的情况致错。

2. 化简曲线方程时，扩大或缩小了变量的范围致错。

例：定义2a b ka *=--，则方程0x x *=有唯一解时，实数k 的取值范围是 [1,2] ⋃[-2,-1] 。

解析：由题意可知：22221(0)kx y y kx y x y y x =+⇒==+=⇔-=≥有唯一解有唯一的交点。

是双曲线的在轴上方的部分。

所以要用数形结合。

易错原因：扩大或缩小了变量的范围3. 求各类取值范围的时候注意区间是开还是闭。

4. 有关圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）的方程，没有指明焦点位置的，要分类讨论。

5. 已知椭圆的含参数的方程的，要注意椭圆的方程，分母为正，且不相等。

例：方程221-53x y k k+=--，若表示椭圆，则实数k 取值范围是(3,4)(4,5)⋃；若表示双曲线，则实数k 的取值范围是 k>5或k<3 .易错原因：（1）未注意到方程是非标准型，（2）未注意分母不相等。

6. 解决直线与曲线的问题如果联立方程有两个易错点：（1）若曲线是双曲线和抛物线要注意讨论二次项的系数为0 的情况；（2）若用韦达定理，之前一定要考虑∆>0.7. 有关圆锥曲线的定义一定要注意细节的考虑。

椭圆：到两个定点的距离之和为定值，定值是不是大于两个定点间的距离？大于轨迹才是椭圆，等于则轨迹就是线段。

例：121290-30,3+=a+(>0),F PF PF a a设定点F （，）、（），动点P 满足则点P 的轨迹是线段或椭圆易错原因：对椭圆定义的细节不注意。

129+=a+PF PF a6≥12FF = 双曲线：（1）差为定值还是差的绝对值为定值？差为定值就是双曲线的一支，差的绝对值为定值就是双曲线的两支。

（2）定值也要和定点间的距离进行比较。

(3)对于双曲线,焦点在x 轴和焦点在y 轴上时渐进线的方程不同。

例：已知12(8,3),(2,3)F F -为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当=3=5a a 和时，动点P 的轨迹为 a=3时是双曲线的靠近2F 的一支，a=5 时是x 轴上以 2F 为端点的向右的射线。