解析几何易错分析
分析错因_走出误区——高考解析几何解答题易错题归类剖析
ʏ江苏省无锡市第六高级中学 陈 敏ʏ江苏省无锡市青山高级中学 张启兆解析几何是高中数学的重要内容,但有些同学由于对某些知识点理解不透彻,或考虑不周等原因,导致在解题过程中出现这样和那样的错误,下面对高考解析几何解答题的易错题型进行归类剖析,希望对同学们的复习备考能有所帮助㊂一、忽略直线斜率不存在的情形例1 已知F (2,0)为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点,且点P 2,55在椭圆上㊂(1)求椭圆的方程㊂(2)已知直线l 与椭圆交于M ,N 两点,且坐标原点O 到直线l 的距离为306,试问:øM O N 的大小是否为定值若是,求出该定值;若不是,请说明理由㊂错解:(1)由椭圆的定义得2a =(2-2)2+552+(2+2)2+552=25,解得a =5㊂因为c =2,所以b =1㊂故椭圆的方程为x 25+y 2=1㊂(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)㊂设直线l 的方程为y =k x +m ,由点到直线的距离公式得|m |k 2+1=306,则m 2=56(k 2+1)㊂联立y =k x +m ,x 2+5y 2=5,消去y 整理得(5k 2+1)x 2+10k m x +5m 2-5=0,Δ=100k 2m 2-20(m 2-1)(5k 2+1)=20(5k 2+1-m 2)>0,即m 2<5k 2+1㊂由韦达定理得x 1+x 2=-10k m5k 2+1,x 1x 2=5(m 2-1)5k 2+1,所以O M ң㊃O N ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )(k x 2+m )=(k 2+1)㊃x 1x 2+k m(x 1+x 2)+m2=5(k 2+1)(m 2-1)-10k 2m25k 2+1+m2=6m 2-5(k 2+1)5k 2+1=0,所以O M ңʅO N ң,即øM O N =π2㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中忽略直线斜率不存在的情形㊂正解:(2)当直线l 的斜率存在时,同错解㊂当直线l 的斜率不存在时,则直线l 的方程为x =ʃ306,结合对称性不妨设直线l 的方程为x =306,联立x =306,x25+y 2=1,解得x =306,y =306,或x =306,y =-306,即得点M306,306,N 306,-306,此时O M ң㊃O N ң=0,故øM O N =π2㊂综上所述,øM O N =π2㊂易错提醒:本题的易错点有两个:一是忽略对直线斜率不存在的情形的讨论;二是øM O N =π2不是显性的,比较隐晦,识别出来有困难,但我们可以从特殊情况,即直线l 的斜率不存在入手,求出对应的定值,再利用82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.向量的数量积证明这个值与变量无关㊂二㊁盲目应用判别式例2 若圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:由于圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,所以联立方程组(x -a )2+y 2=4,y2=6x ,消去y 得方程x 2-(2a -6)x +a 2-4=0无解,所以Δ=(2a -6)2-4a 2-4<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ ㊂剖析:这属于知识性错误,产生错误的原因是没有理解判别式Δ只适用于直线与二次曲线的位置关系的判断,而不适用于两个二次曲线之间的位置关系的判断㊂正解:由于圆的半径为2,当圆与抛物线外切时,a =-2,于是当a <-2时,圆与抛物线没有公共点㊂当圆与抛物线内切时,联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2-(2a -6)x +a 2-4=0㊂①Δ=(2a -6)2-4a 2-4=0,解得a =136,代入方程①得3x 2+5x +2512=0,解得x =-56,是负根,显然圆与抛物线不能内切,所以当x ȡ0时,问题等价于圆心(a ,0)到抛物线的距离d 的最小值大于2,求a 的取值范围㊂设P (x ,y )为抛物线上一点,则d 2=(x -a )2+y 2=(x -a )2+6x =[x -(a -3)]2+6a -9㊂设f (x )=[x -(a -3)]2+6a -9(x ȡ0),当a -3>0,即a >3时,f (a -3)最小,所以d m i n =6a -9>2,解得a >136,又a >3,所以a >3;当a -3ɤ0,即a ɤ3时,f (0)最小,所以d m i n =a >2,此时2<a ɤ3㊂综上可得,a >2㊂故a 的取值范围为a <-2或a >2㊂易错提醒:二次曲线与二次曲线的交点问题不能完全类比直线与二次曲线位置关系的探讨,仅用判别式法是不够的,这是因为二次曲线是有范围限制的,并且一般情况下具有对称性,要结合起来一起讨论㊂由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系,图形未必能把细微处的走向描述清楚,必须与代数运算结合起来,即以数助形,数形结合㊂三㊁求取值范围时,未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数例3 已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1与椭圆x 24+y23=1的离心率互为倒数,且双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3㊂(1)求双曲线C 的方程;(2)直线y =2x +m 与双曲线C 交于A ,B 两点,点M 在双曲线C 上,且O M ң=2O Aң+λO B ң,求λ的取值范围㊂错解:(1)因为椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,所以a 2+b 2a =2,即a 2=b 23㊂因为双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3,所以b =3,所以a =1,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),联立方程y =2x +m ,3x 2-y 2=3,消去y 整理得x 2+4m x +m 2+3=0,则x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=m 2+3㊂因为O M ң=2O A ң+λO B ң,所以x 0=2x 1+λx 2,y 0=2y 1+λy 2㊂因为点M 在双曲线C 上,所以2x 1+λx 22-2y 1+λy 223=1,即4㊃x 21-y 213+λ2x 22-y 223+4λx 1x 2-43㊃λy 1y 2=1,所以4λx 1x 2-43λy 1y 2+λ2+3=4λx 1x 2-43λ(2x 1+m )(2x 2+m )+λ2+3=0,即λ2-4λ+3+8m 2λ=0,显然λʂ0,于是8m 2=-λ2-4λ+3λȡ0 (*),所以λ(λ2-92解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4λ+3)ɤ0,λʂ0,解得λ<0,或1<λ<3㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,0 ɣ1,3㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数对m 的限制,故最后求λ的取值范围时出现错误㊂正解:(2)前面同错解㊂考虑Δ=16m 2-4(m 2+3)>0⇒m 2>1,将(*)式改为8m 2=-λ2-4λ+3λ>8㊂当λ>0时,得λ2+4λ+3<0,解得-3<λ<-1,与λ>0矛盾;当λ<0时,得λ2+4λ+3>0,解得λ>-1,或λ<-3,所以λ<-3,或-1<λ<0㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,-3 ɣ-1,0㊂易错提醒:审题不仔细,马虎大意,忽视条件 直线与双曲线有两个交点 隐含着判别式Δ=16m 2-4m 2+3>0㊂四、恒成立意义不明导致定点问题错误例4 如图1,M 是圆A :x +32+y 2=16上的动点,点B 3,0,线段M B 的垂直平分线交半径A M 于点P ㊂图1(1)求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)N 为轨迹E 与y 轴负半轴的交点,不过点N 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹E 于S ,T 两点,直线N S ,N T 分别与x 轴交于C ,D 两点㊂若C ,D 的横坐标之积是2,试问:直线l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由㊂易错分析:本题易错点有三个:一是在用参数表示直线S N 的方程时计算错误;二是不会利用 同构 的方法直接写出点D 的横坐标;三是在得到直线系S T 的方程后,对直线恒过定点的意义不明,找错方程的常数解㊂正解:(1)由题意可知|A P |+|P M |=|A M |=4,所以|P A |+|P B |=4>23=|A B |,所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴为4的椭圆㊂所以2a =4,c =3,所以b =a 2-c 2=1,所以椭圆的方程为x 24+y 2=1,即点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知点N (0,-1),设直线S T 的方程为y =k x +m (m ʂ-1),设S (x 1,y 1),T (x 2,y 2),联立y =k x +m ,x 2+4y 2=4,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8k m x +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2,由Δ>0,得4k 2-m 2+1>0㊂所以直线S N 的方程为y +1=y 1+1x 1(x -0),令y =0,得x C =x 1y 1+1㊂同理x D =x 2y 2+1㊂因为x C x D =x 1y 1+1ˑx 2y 2+1=2,所以x 1x 2=2(y 1+y 2+y 1y 2+1)=2[k x 1+m +k x 2+m +(k x 1+m )(k x 2+m )+1]=2[k (x 1+x 2)(m +1)+k 2x 1x 2+(m +1)2],所以4m 2-41+4k 2=2k ˑ-8k m1+4k2(m +1)+ k 2ˑ4m 2-41+4k2+(m +1)2㊂因为m ʂ-1,所以m +1ʂ0,则4(m -1)=-16k 2m +8k 2(m -1)+2(1+4k 2)㊃(m +1),解得m =3,所以直线S T 的方程为y =k x +3㊂所以直线S T 过定点(0,3)㊂规律与方法:(1)若确定动直线l 过定点问题,可设动直线方程(斜率存在)为y =k x +t ,由题设条件将t 用k 表示为t =m k ,得到y =k (x +m ),即可说明动直线过定点(-m ,0)㊂(2)若确定动曲线C 过定点问题,可引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出对应的定点㊂(3)先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明㊂对于客观题,通过特殊值法探求定点能取得事半功倍的效果㊂(责任编辑 王福华)3 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
深入浅出中考数学易错题系列提高解析几何题的正确率
深入浅出中考数学易错题系列提高解析几何题的正确率解析几何是中考数学中常出现的难点之一，很多同学在解析几何题上容易出现错误。
本文将从深入浅出的角度分析中考数学解析几何题的易错点，并提供一些方法来提高解析几何题的正确率。
一、平面几何知识的巩固在解析几何题中，平面几何是基础知识，掌握了平面几何的概念和性质，才能更好地理解解析几何题目的意思，并正确解题。
首先，同学们需要熟悉平面几何中的基本概念，如点、直线、线段、角等。
并掌握平面几何的一些基本性质，如平行线的性质、垂直线的性质等。
此外，同学们还应该掌握一些重要的定理，如三角形的重心定理、垂心定理等。
二、图形的几何特征的分析在解析几何题中，对于所给的图形，我们需要分析其几何特征，寻找规律，并据此进行解题。
例如，在解决三角形的问题时，我们可以通过观察三角形的边长、角度关系，以及三角形的位置关系等来解题。
在解决矩形、正方形等图形的问题时，我们需要分析其边长、对角线的关系，从而得出解答。
三、利用图形变换解题在解析几何题中，利用图形的平移、旋转、翻转等变换是提高解题效率的有效方法之一。
通过变换图形，我们能够找到一些隐藏的特征，从而简化解题步骤。
例如，在解决平行线问题时，我们可以通过平移图形，使得原问题转化为一个相似的问题，从而得出解答。
同样，在解决对称性问题时，我们可以通过翻转或旋转图形，找到相应的对称关系，并据此解题。
四、常见易错点的解决方法在解析几何题中，同学们常常会遇到一些常见的易错点，例如计算错误、画图错误、对题意理解不清等。
以下是一些常见易错点的解决方法。
1. 计算错误：在解析几何题中，计算错误是常见的问题之一。
为了避免计算错误，同学们应该注意计算过程的准确性，以及注意单位的转换。
2. 画图错误：有时候，同学们在解析几何题中画图不准确，导致后续解题步骤出错。
为了避免画图错误，同学们可以使用工具如尺子和量角器，或者借助电脑绘图工具来辅助完成图形的绘制。
3. 对题意理解不清：解析几何题通常需要仔细阅读并理解题目的意思，有时候同学们会对题目的要求和条件理解不清。
解析几何中的常见误区
走出误区Z OU CHUW UQU1.条件理解不到位，导致出错例1已知直线x a +yb=1(a ，b 是非零常数)与圆x 2+y 2=25有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A.52条B.60条C.66条D.72条错解因为圆上的整点共有12个，每两个点确定一条直线，共有C 212=66条直线.其中直线x a +yb =1不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线，故满足条件的直线共有66-6-8=52条,所以选A.分析直线x a +yb=1(a ，b 是非零常数)与圆x 2+y 2=25有公共点，包括两种情况：相交或相切，错解中把有公共点理解成直线和圆相交，显然是错的.正解前面相同，补充：相切且满足条件的直线有8条，所以正确答案是60条.答案B2．概念把握不准确，导致出错例2平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 点到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为.错解平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 点到y 轴的距离大1，所以平面上动点P 到定点F(1,0)的距离等于点P 到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义可知，点P 在以F (1,0)为焦点、直线x =-1为准线的抛物线上，故动点P 的轨迹方程为：y 2=4x.所以填y 2=4x.分析根据抛物线的定义得出的轨迹方程没有问题，但是，定点F (1,0)到y 轴的距离恰好为1,这样仅仅根据定义得出结论就不全面了.事实上x 轴的非正半轴上的点均满足题意.正解1在y 2=4x 的基础上补充y =0(x <0).所以应填:y 2=4x(x ≥0)或y=0(x<0).正解2设动点P 的坐标为(x,y),根据题意有，(x -1)2+y 2=||x +1.有备则制人，无备则制于人。
（汉桓宽）解⊙湖北大学附属中学赵祥燕走出误区ZOUCHU WU QU当x ≥0时,化简得:y 2=4x;当x<0时,化简得:y =0.故动点P 的轨迹方程为：y 2=4x (x ≥0)或y=0(x<0).3．仅凭经验主义，导致出错例3若圆x 2+y 2-4x +2=0的切线在x 轴和y轴上的截距的绝对值相等，则这样的切线有（）A.3条B.4条C.5条D.6条错解圆的标准方程为(x-2)2+y 2=2.因为原点在圆外，所以在圆的切线中，2条截距相等，2条截距互为相反数，2条截距为0，故有6条.选D.分析一般情况下，当原点在圆外，在圆的切线中，2条截距相等，2条截距互为相反数，2条截距为0.前4条是不会重合的，但截距为0的切线有可能与前面4条中的切线重合.正解圆的标准方程为(x-2)2+y 2=2，因为原点在圆外，所以在圆的切线中，2条截距相等，2条截距互为相反数.当截距相等时有一种情况恰好过原点，当截距互为相反数时有一种情况也恰好过原点，故有4条.答案B4．思维不严谨，导致出错例4已知双曲线x 236-y 264=1，点F 是双曲线的右焦点，过点F 的直线A B 交双曲线分别于A ，B 两点，若||A B =24，则这样的直线A B 有条.错解因为双曲线x 236-y264=1的“通径”长为2b 2a =643，||A B =24>643，故这样的直线有2条,故应填2.分析因为双曲线x 236-y264=1的“通径”长为2b 2a =643，||A B =24>643,但要注意交点A ，B 是在双曲线的同一支上，还是分别在左、右两支上.正解因为双曲线x 236-y264=1的“通径”长为2b 2a =643，||A B =24>643，当交点在双曲线x 236-y264=1的同一支上时，则有2条；当交点分别在双曲线的的左、右两支上时，因为||A B >2a =12，所以也有2条.故共有4条，应填4.5．推导不严密，导致出错例5若抛物线y 2=2px 上的点到直线x +y -1=0的最小距离为328，求实数p 的值.错解依题意知p<0，设直线x +y -a =0与抛物线y 2=2px 相切，则由ìíx+y-a =0，y 2=2px 消去x 并化简得，y 2+2py -2ap =0，由Δ=0得，a =-p2.∴抛物线的切线方程为：x+y+p2=0，该切线与直线x+y-1=0平行，依题意有，||||||p 2+12=328，∴p=-12或-72.故实数p 的值为-12或-72.分析整个思路是正确的，但计算两条平行线间的距离||||||p 2+12=328时，没有结合几何意义.事实上，直线x+y+p2=0应在平行线x+y-1=0的左下方，故两条平行线间的距离为p 2+12.故p 2+12=328，解得：p=-12.当然，最后检验实数p 的值也能发现问题.因此，要养成好的解题习惯.正解前面同错解，依题意有，直线x+y+p2=0应在平行线x+y-1=0的左下方，多言不可与远谋，多动不可与久处。
人教版数学-备课资料解析几何易错点大剖析
解析几何易错点大剖析在解析几何的测试题中，为了考察同学们的思维能力和认知水平，往往在题目中设置一些“陷阱”。
这些陷阱极具迷惑性，如果不加以小心，便会跌入其中，不能自拔。
为了使同学们不再被其误导，故将常见的几种陷阱列举出来，希望引起大家的注意。
一、概念模糊而误入陷阱例、已知抛物线的方程为)0a (ax 2y 2<=，则它的焦点坐标为 A. )0,2a (-B. )2a ,0(-C. )a81,0( D. )a81,0(-错解：由抛物线方程为2ax 2y =，知抛物线的对称轴为y 轴，a 2p 2-=，所以a p -=，2a 2p -=，所以它的焦点坐标为（0，2a-），所以应选B 。
错因剖析：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程为px 2y 2=、px 2y 2-=、py 2x 2=、py 2x 2-=，其中若一次项的变量是x （或y ），则对称轴为x 轴（或y 轴），一次项系数的正负决定其开口方向。
正解：原方程可化为py x 22=的标准形式，其焦点坐标为（0，2p ）。
求出a p 41=，从而可得焦点坐标为（0，a81）。
解题策略：对于考试中的概念性问题，紧紧抓住概念的本质是解题的关键。
抓住关键词，吃透其外延、内涵，平时做适当的练习，在应用中去理解体会。
二、 忽视判别式的应用条件而误入陷阱例、直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值是A 、1或-1B 、C 、-1或D 、1±或错解：直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩有惟一解，消去y 得22(1)220k x kx -+-=，此方程应有两个相等的实根，由0∆=，即2248(1)0k k +-=，解之可得k=，故选B ；错因剖析：忽略了根的判别式只能对一元二次方程适用。
一元一次方程不存在根的判别式。
对于方程22(1)220k x kx -+-=，当k=1±时，它是x 的一元一次方程不是二次方程，此时不能用根的判别式来判断实根的个数。
高中数学：解析几何中几个常见错误剖析
解几中几个常见错误剖析解析几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。
本文试图对解析几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。
一、忽视斜率不存在导致错误例1 已知过点（－4，0）作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 点， 弦AB 长为8，则直线l 的方程为_______________________________________错解 设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0，由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 剖析 上述解法未考虑直线l 斜率不存在情形，从而导致错误。
事实上，直线l 斜率不存在时，弦AB 长也为8。
正解 （1）直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =－4，符合题意。
（2）直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0， 由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 综上所述 直线l 的方程为：x =－4或512200x y ++=评注 使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。
二、忽视方程自身限制导致错误例2 直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.错解 设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 剖析 直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解 （1）当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x （2）当直线不过(0,0)时，设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0.综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x .三、忽视题目隐含条件导致错误例3 已知在ABC ∆中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A 的轨迹方程错解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，故顶点A 的轨迹方程为22197x y -= 剖析 上述解法忽视了A 、B 、C 为三角形的三个顶点，即A 、B 、C 三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，又由A 、B 、C 三点不能共线知点A 不能落在x 轴上， 所以顶点A 的轨迹方程为221(0)97x y y -=≠ 评注 解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是11，求这个椭圆的方程。
解析几何易做易错题
高考解析几何易做易错题选一、选择题： 1. 若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D43X Y ±=解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 4，则双曲线的离心率为A 2B 23解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01k≤≤ B 304k ≤≤C 314k-<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A 21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
解析几何容易出错的问题
1．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF e PF =，则e 的值为：A ．3 B ．2 C ．2 D ．3（ ） 2．若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L，则双曲线的离心率为A 2 B 2解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的定义而疏忽了射线。
6．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ）A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。
7．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
解析几何八大典型易错点的纠正与剖析
ʏ广东省惠州仲恺中学 陈伟流解析几何是高中数学几何与代数主线中的重要内容,其内容涵盖点㊁直线㊁曲线等多种基本概念,涉及对斜率㊁长度㊁面积等多种几何量的求解,在直线与直线㊁直线与曲线㊁曲线与曲线的位置关系情境中考查同学们对基本方法㊁基本思想的有效掌握及灵活应用㊂但在实际学习中,不少同学却在基本概念㊁方法技能㊁解题思维等方面出现理解偏差㊁考虑不周㊁思维定式等不良现象,远未达到深度理解并有效掌握的本质性要求㊂为此,笔者以解析几何中八大典型易错点为例,在错解纠正剖析的基础上,进一步点拨相关题型的求解方法,旨在促进同学们对基本概念㊁方法技能及解题思维能有更本质㊁更全面的认知理解,从而促进高考备考中的提质增效㊂一㊁斜率与倾斜角关系辨识不清例1 设某直线的斜率为k ,且k ɪ-3,33,则该直线的倾斜角α的取值范围是( )㊂A .π3,5π6B .π6,2π3C .0,π3 ɣ5π6,πD .0,π6 ɣ2π3,π 错解:由k ɪ-3,33,结合t a n 2π3=-3,t a nπ6=33,得π6<α<2π3㊂剖析:没有正确认识直线的斜率与倾斜角的关系,认为y =t a n α在(0,π)上是递增函数,出现思维定式的误判㊂正解:如图1,函数y =t a n α在0,π2上图1递增,在π2,π上递增㊂结合t a n 2π3=-3<t a n α<33=t a nπ6,得αɪ0,π6ɣ2π3,π㊂故选D ㊂点拨:对于直线斜率与倾斜角的关系判断或范围求解问题,要用函数思想㊁数形结合思想等进行指导解题,确保思维的严密性㊂二㊁平行关系判断中忽略充分性验证例2 已知直线x +2a y -1=0与直线(a -2)x -a y +2=0平行,则a =( )㊂A .-23 B .-23或0C .0或32 D .32错解:由两直线平行得-a =2a (a -2),解得a =0或a =32㊂故选C ㊂剖析:应用两直线的平行关系进行必要性判断,最后忽略了充分性验证,产生增根㊂正解:由两直线平行得-a =2a (a -2),2ʂ-(a -2),解得a =0或a =32,a ʂ0,所以a =32㊂故选D ㊂点拨:对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1ʊl 2⇔A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2ʂA 2C 1;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0,由此可知平行关系判断中需进行A 1C 2ʂA 2C 1的充分性验证,避免两直线重复产生增根,垂直关系中则无需验证㊂三㊁忽略直线方程的适用范围,产生漏解例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月距之和为0的直线方程㊂错解:设直线方程为x a +y -a=1,因为直线过点(2,4),所以2a +4-a =1,解得a =-2,代入直线方程得x -y +2=0㊂剖析:截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形,错解中没有考虑截距为0的情形,导致漏解㊂正解:当直线的截距均为0时,直线过原点,易得其方程为y =2x ;当直线的截距均不为0时,同错解得直线方程为x -y +2=0㊂综上可得,所求的直线方程为2x -y =0或x -y +2=0㊂点拨:在截距相等(反)㊁截距绝对值相等或截距成倍数的情境中应用截距式方程,应考虑截距为0及不为0的特殊与一般的情形㊂同样的,两点式方程也不适用于斜率为0和斜率不存在的情形,所以应用直线方程时应充分考虑方程的适用范畴,避免因思维不严密而出现漏解㊂四㊁忽略圆方程成立的必要条件例4 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C :(x -3m )2+(y -4m )2=25(m +4)2相切,则点A 在圆C 的(填 外部 内部 上面 ),实数m 的取值范围是㊂错解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程可得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,解得m <-1912㊂剖析:忽略圆的半径需大于0的必要条件,产生思维漏洞㊂正解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,且25(m +4)2>0,解得m <-1912且m ʂ-4,故实数m 的取值范围是(-ɕ,-4)ɣ-4,-1912㊂点拨:对于圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2中的r >0及一般方程x 2+y 2+D x +E y +F =0中的D x +E y +F >0的必要条件是解题过程中容易忽略的点㊂五㊁轨迹方程求解中忽略几何图形存在的必要条件例5 在әA B C中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,c ,b 依次成等差数列,且a >c >b ,|A B |=2,求顶点C 的轨迹方程㊂图2错解:由a ,c ,b 依次成等差数列得a +b =2c =4,即|C A |+|C B |=4>|A B |,故顶点C 的轨迹为椭圆,如图2,以A B 的中点为原点建立平面直角坐标系,则易求得椭圆方程为x 24+y23=1㊂剖析:求解中忽略了边长的大小关系及A ,B ,C 三点不共线的前提条件㊂正解:因为a >b ,所以|C B |>|C A |,故轨迹只能取椭圆在y 轴左侧的部分,且A ,B ,C 三点不共线,需挖去椭圆的左顶点(-2,0),故顶点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(-2<x <0)㊂点拨:在求解动点轨迹方程时,除了要注意圆锥曲线成立的前提条件,还需注意动点在某些特殊位置是否与题意的几何条件产生矛盾,从而明晰变量的取值范围,培养思维的严密性㊂六㊁对直线与圆锥曲线的位置关系理解有偏差例6 已知过点(0,3)的直线与双曲线x 22-y 2=1有唯一公共点,则这样的直线有条㊂错解:设所求直线方程为y =k x +3,联立x 22-y 2=1,y =k x +3,消去y 整理得(1-2k 2)x 2-12k x -20=0,由Δ=(-12k )2+80(1-2k 2)=0得k =ʃ5,故满足题意的直线有2条㊂剖析:错解中混淆了直线与双曲线相切和有一个公共点的逻辑关系㊂正解:当直线与双曲线的渐近线平行时,33解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月其方程为y =ʃ22x +3,分别与双曲线的一支有一个公共点,符合题意;当直线与渐近线不平行时,设其方程为y =k x +3k ʂʃ22,同错解得k =ʃ5,故满足题意的直线有4条㊂点拨:在判断直线与圆锥曲线的关系位置中,若直线与封闭曲线(圆及椭圆)相切,则二者只有一个公共点;若直线与双曲线只有一个交点,则直线与曲线相切或平行于双曲线的一条渐近线㊂七㊁忽略根的判别式的适用范围例7 已知圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2+(6-2a )x +a 2-4=0,可知方程无实数解,故Δ=(6-2a )2-4(a 2-4)<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ㊂剖析:根的判别式只适用于直线与曲线的位置关系的判断,并不适用于曲线与曲线的位置关系的判断,错解忽略了根的判别式的适用范围㊂正解:易知圆的圆心为(a ,0),半径为2,抛物线的顶点为(0,0)㊂当圆与抛物线内切时,a =2;当圆与抛物线外切时,a =-2㊂要使两者无交点,则需a >2或a <-2,故a 的取值范围为(-ɕ,-2)ɣ(2,+ɕ)㊂点拨:在判断两个曲线的位置关系时,可通过几何图形的临界状态(曲线相切),以形助数找到参数的临界值,再对图形进行动态分析,从而进一步明确参数的取值范围㊂八㊁运算路径㊁方法不恰当,导致运算受阻或产生困难例8 已知椭圆C :x 23+y 2=1,过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,直线A E 与直线x =3交于点M ㊂试判断直线B M 与直线D E 的位置关系,并说明理由㊂错解:设直线A B 的方程为y =k (x -1)(k ʂ1),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线A E 的方程为y -1=y 1-1x 1-2(x -2)㊂令x =3,得M 3,x 1+y 1-3x 1-2,则k B M =x 1+y 1-3x 1-x 2-y 23-x 2㊂联立y =k (x -1),x 2+3y 2=3,消去y 整理得(1+3k )x 2-6k 2x +3k 2-3=0,则x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k2㊂所以k B M=y 1+x 1-3x 1-2-y 23-x 2=k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)(3-x 2)(x 1-2)=2k (x 1+x 2)-k x 1x 2+x 1-3(k +1)-x 1x 2+2(x 1+x 2)+x 1-6=12k 31+3k 2-3k 3-3k1+3k2+x 1-3(k +1)-3k 2-31+3k 2+12k21+3k2+x 1-6=x 1-3x 1-3=1=k D E ,所以B M ʊD E ㊂剖析:在错解中忽略了直线斜率存在的前提条件,同时没有遵循先特殊后一般的求解逻辑,一旦后续求解出现卡壳就会使解题停滞不前,继续引发解题失败㊂正解:当直线A B 的斜率不存在时,可知A 1,63 ,B 1,-63,故直线A E 的方程为y -1=1-63(x -2),得M 3,2-63,所以k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂当直线A B 的斜率存在时,同错解得k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂综上可得,直线B M 与直线D E 平行㊂点拨:在解析几何的定值㊁定点㊁位置关系判断等问题的求解中,可优先通过直线斜率不存在(或斜率为0)等特殊条件对问题进行必要性的结论探索,再通过一般性证明结论的完整性,以减少运算方向的不明确性和阻碍性,提升运算效益㊂(责任编辑 王福华)43 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月。
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解析几何单元易错题练习一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:(一)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+bxa y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M（x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ace =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 6. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=(三)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是ca x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.4.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.6. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B yC ++=相切的条件是22222A a B b c -=.(五)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。
需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例（1）范围：x ≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程2p x =-； （6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：221122112:;2:222:;2:22pp y px PF x y px PF x pp x py PF y x py PF y ==+=-=-+==+=-=-+（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。
设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x1，y1），B （x2，y2），AB 的倾斜角为α，则有①|AB|=x 1+x 2+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。