刚体的角动量与转动惯量
转动惯量与角动量的关系
转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量是物体在转动过程中的两个重要物理量，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨转动惯量与角动量的定义、计算方法以及它们之间的关系，帮助读者更好地理解这两个概念。
一、转动惯量的定义和计算方法转动惯量是描述物体对于转动而言惯性的物理量，记作I。
根据定义，转动惯量等于物体质量分布与转轴距离的乘积的积分。
当物体质量分布均匀时，转动惯量可以简化为质量乘以距转轴的平方的积分。
计算转动惯量的方法取决于物体的形状和质量分布。
对于简单的几何形状，如球体、圆柱体、长方体等，可以使用相应的公式进行计算。
例如，对于球体，其转动惯量为2/5乘以质量乘以半径的平方；对于圆柱体，则是1/2乘以质量乘以半径的平方。
对于复杂的物体，可以利用积分的方法进行求解。
二、角动量的定义和计算方法角动量是描述物体旋转状态的物理量，通常用字母L表示。
对于质点的角动量，其定义为速度与距离的乘积。
对于刚体的角动量，其定义为转动惯量与角速度的乘积。
计算角动量的方法也取决于物体的形状和转动情况。
对于质点的角动量，可以用质点的质量乘以速度与距离的乘积来计算；对于刚体的角动量，可以用刚体的转动惯量乘以角速度来计算。
三、根据定义和计算方法，我们可以看出转动惯量和角动量之间存在着密切的关系。
当物体转动惯量增大时，其角动量也相应增大；当物体转动惯量减小时，其角动量也相应减小。
这是因为角动量正比于转动惯量的乘积。
当转动惯量增大时，即物体对于转动具有更大的惯性，需要更大的角速度才能达到相同的角动量。
相反，当转动惯量减小时，物体对于转动的惯性减小，角速度也会相应减小，从而达到相同的角动量。
综上所述，转动惯量和角动量之间的关系是密切相连的。
它们之间的变化是相互影响的，通过改变物体的转动惯量，可以改变其角动量的大小。
这一关系在理解和分析转动过程中的物理现象和实验中具有重要的意义。
结语通过对转动惯量与角动量的定义、计算方法以及它们之间关系的讨论，我们对这两个概念有了更深入的了解。
刚体的角动量_转动动能_转动惯量
1. 刚体的角动量
L
图为以角速度绕定轴oz转动 的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第i个
质点的质量为 mi
z
Li
ri
Liz
O
Ri mi
当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为
ri
它相对于o点的位矢为Ri
刚体的角动量
则 m对i o点的角动量为：
Li
Ri
mivi
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在 离轴距离为rG的圆环上。
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
质量dm= 2rdr 。可得
J
r2dm
R
0
2r
3dr
R4
2
1 mR2 2
转动惯量的计算
回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
J miri2 mrG2
i
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量
速 度m为i
vi 则该质点的动能为：
刚体做定轴转动时12，各mi质vi2点的角速度相同。
设质点 mi 离轴的垂直距离为 ri ，则它的线速度 vi ri
因此整个刚体的动能
EK
1 2mi
vi2
1 2
miri2 2
刚体的转动动能
式中 是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
式写为
EK
1 2
J 2
，所J 以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因
此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
§7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量
2 a 2 h / t 自由落体公式：
r
I+I0
T m
T
mg
联系方程： a / r 2h / (rt 2 )
解得：
2 gt I mr 2 ( 1) I 0 2h
例3 已知：弧形闸门 例3 ， R，m， rc 2 3 R o(z) 2 Io 7 9 mR ，a 0.1g，
I x 2 dm x 2 dx
1 3 x 3
l 2 l 2
l 2 l 2
l/2 O
l/2 x dx
x
l3 12
m l3 m 1 将 代入, I ml 2 l 12 l 12
例2 均匀细棒绕垂直于通过左端点转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
i i
I x mi yi2
i
I y mi xi2
i
因此， I
z
Ix Iy
特例：薄圆板 Ix =Iy=mR2/4
6、性质
转动惯量具有可加性 刚体对某轴的转动惯量
各个部分对转轴转动惯量的和
=
例
o l r
Io I杆o I盘o
1 I 杆o m l l 2 3 1 I 盘o mr r 2 mr (r l ) 2 2
T1
x T2 m2 a2 N
[解]建立坐标系，令 x 轴坚直向上， m1 取逆时针方向为正的转动方向。 a1
m1 g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2
1 T1 R T2 R mR 2 2
T1
T2
mg
例1
a1 a2 R 由于绳子不可伸长且不打滑 ，
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究在大学物理中，研究刚体运动的转动惯量和角动量是非常重要的。
本文将深入探讨刚体运动中转动惯量和角动量的概念、计算公式以及其在物理学中的应用。
一、转动惯量的概念及计算公式刚体的转动惯量，简称为惯量，是描述刚体旋转运动惯性大小的物理量。
转动惯量的计算与刚体的形状和质量分布有关。
刚体的转动惯量用符号"I"表示，其计算公式为：I = ∑mr²其中，"m"是刚体上各个质点的质量，"r"是该质点到转轴的距离。
对于连续分布的质量，转动惯量的计算将采用积分的方式。
二、角动量的概念及计算公式角动量是描述物体旋转状态的物理量。
在刚体运动中，角动量的大小和方向都很重要。
角动量（L）的计算公式为：L = Iω其中，"I"是刚体的转动惯量，"ω"是刚体的角速度。
刚体的角速度定义为单位时间内转过的角度。
对于质点和刚体的角动量，其大小和方向可以通过力矩（τ）和时间（t）的计算得到。
L = τt三、转动惯量和角动量的应用1. 刚体平衡在研究刚体的平衡时，转动惯量和角动量是非常重要的参考量。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以确定平衡条件，从而解决物体受力平衡问题。
2. 陀螺原理陀螺是刚体运动转动惯量和角动量的经典应用之一。
陀螺的旋转方向不易改变，是因为陀螺具有较大的转动惯量，保持角动量守恒的特性。
3. 物体滚动在物体滚动的过程中，转动惯量和角动量的变化会影响物体的运动。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以理解物体滚动的物理原理，并进行相关的问题求解。
4. 自行车行驶自行车作为一种常见的运动方式，其行驶原理也涉及到转动惯量和角动量。
通过刚体运动的转动惯量和角动量，可以分析自行车的稳定性和行驶效果，为相关问题提供解答。
总结：转动惯量和角动量是刚体运动中重要的物理概念。
它们的计算公式和理论基础为我们解决刚体运动问题提供了重要的数学工具。
转动惯量与角动量
转动惯量与角动量转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量，它们之间存在着密切的关系。
本文将介绍转动惯量和角动量的定义、计算公式以及它们之间的相互关系。
一、转动惯量的定义和计算公式转动惯量是描述刚体对转动的惯性大小的物理量。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量与质量的分布以及旋转轴的位置有关。
转动惯量的计算公式如下：I = ∫r²dm其中，I表示转动惯量，r表示质点到旋转轴的距离，dm表示质点的质量微元。
对于连续体，转动惯量可以通过对质量微元的积分来求得。
二、角动量的定义和计算公式角动量是描述刚体在旋转运动中旋转状态的物理量。
它的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角速度是描述刚体旋转角度改变的快慢程度的物理量。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间的关系可以由角动量定理来说明。
根据角动量定理，刚体所受合外力矩的变化率等于刚体的角动量。
τ = dL/dt其中，τ表示合外力矩，dL/dt表示角动量的变化率。
将角动量的定义代入上式得到：τ = d(Iω)/dt对上式进行求导，得到：τ = Iα其中，α表示角加速度。
由此可见，转动惯量与角动量之间存在线性关系，转动惯量越大，角动量的变化率越小。
四、应用举例1. 陀螺陀螺是一种利用转动惯量和角动量原理运动的玩具。
陀螺转动时，由于转动惯量的存在，它能够保持稳定的旋转状态，称为陀螺的进动。
进动现象是由于陀螺的角动量在地球重力的作用下发生变化。
2. 地球自转地球自转是地球沿着自身轴心旋转运动。
地球的自转轴决定了地球的转动惯量，也影响着地球的气候和地理现象。
地球的自转周期为大约24小时，使得地球上的一天分为白天和黑夜。
3. 运动员旋转在体育竞技中，某些项目需要运动员进行旋转动作。
运动员在旋转时，身体的转动惯量会影响旋转速度和稳定性。
通过调整身体的姿势和肌肉的协调运动，运动员可以实现更稳定和高效的旋转动作。
综上所述，转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量。
转动物体的转动惯量和角动量
转动物体的转动惯量和角动量转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
转动惯量是度量物体转动惯性的物理量，而角动量则是描述物体转动状态的物理量。
一、转动惯量转动惯量是物体抵抗转动的程度，它与物体的质量分布有关。
对于刚体，它的转动惯量公式可以表示为：I = ∫r^2dm其中，I表示转动惯量，r表示离转轴的距离，dm表示物体的微小质量元。
转动惯量可以看作是质量与距离的乘积之和，因此可以用来描述物体对转动的阻力。
转动惯量的计算方法取决于物体的形状和转轴的位置。
对于简单的几何形状，可以使用公式计算转动惯量；对于复杂的形状，可以通过积分来计算转动惯量。
常见几何体的转动惯量公式如下：1. 绕轴线的旋转：I = m*r^2这是最简单的情况，质量为m的物体绕与其垂直的轴线旋转，转动惯量为质量乘以转轴与物体质心距离的平方。
2. 绕端点转动：I = 0物体绕其重心或端点旋转时，转动惯量为零。
这是因为物体的质量分布对转动没有贡献。
3. 绕质心转动：I = m*r^2质量均匀分布的物体绕其质心旋转时的转动惯量等于质量乘以物体尺寸的平方。
4. 绕长直杆的转动：I = (1/3)*m*L^2质量均匀分布的长直杆绕与其垂直的轴线旋转时，转动惯量为质量乘以杆长的平方的1/3。
以上是一些常见情况下的转动惯量计算方法，不同形状和转轴的组合会得到不同的转动惯量。
二、角动量角动量是描述物体转动状态的物理量，它是由物体的转动惯量和角速度共同决定的。
角动量的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角动量与物体的转动状态密切相关，增大转动惯量或角速度都会增大角动量。
对于一个系统，角动量的守恒定律可以表述为：Li = Lf即系统的初始角动量等于系统的最终角动量。
这个定律在转动过程中起到了重要的作用，可以帮助我们理解许多自然现象。
总结：转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量•转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量1、转动惯量定义：说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
2、转动惯量的计算：①质量不连续分布情况：其中：表示质点对转轴的距离。
②质量连续分布的情况：3、平行轴定理若两轴平行，距离为d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为,则刚体对一轴转动惯量为：证明：如右图示，刚体的二轴分别为z和轴，由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。
4、垂直轴定理：（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。
证明：如右图所示，则：∴注意：垂直轴定理适用条件：x、y、z轴过同一点，且互相垂直，z轴垂直于板面x、y轴在板面内。
例1：均质杆长l，质量为m，求对过杆一端点的转动惯量。
解：由平行轴定理：例2：求一薄板质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量I。
解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）：解法二：由垂直轴定理：又∵∴二、刚体定轴转动的动力学方程——对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为z轴）的角动量：应用质点系对Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中为外力对Z轴的力矩；为刚体的角加速度在Z轴上的投影，可正可负。
三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点m，中间以一轻连杆组成刚体，绕Z轴转动为例，如图示：设，杆与水平方向成α角，求此刚体对轴上任一点O的角动量。
∵∴若Z轴过杆的中点，即：，则有：上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量不一定沿转轴方向（或方向）。
四、刚体的重心1、定义：刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心。
2、重心的位置与质心有何关系：如果刚体的形状不是特别大，保证各处的是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点o的力矩：∴一般有，且与不平行，故有：∴即：重心和质心重合。
大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
力学中的转动惯量与角动量
力学中的转动惯量与角动量转动惯量和角动量是力学中重要的概念，它们与物体的旋转运动密切相关。
在本文中，我们将深入探讨转动惯量和角动量的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
1. 转动惯量的定义和计算方法转动惯量是描述物体旋转运动惯性的物理量，通常用字母I表示。
对于质点，其转动惯量可表示为I = mr²，其中m为质点的质量，r为质点到旋转轴的距离。
对于刚体，转动惯量的计算略为复杂。
对于沿轴线旋转的刚体，其转动惯量可表示为I = Σmiri²，其中mi为组成刚体的每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
对于连续分布的刚体，转动惯量可表示为I = ∫r²dm，其中dm为元素质量。
2. 角动量的定义和计算方法角动量是描述物体旋转运动的动量，通常用字母L表示。
对于质点，其角动量可以表示为L = Iω，其中I为质点的转动惯量，ω为质点的角速度。
对于刚体，角动量的计算公式为L = Iω，其中I为刚体的转动惯量，ω为刚体的角速度。
注意，刚体的转动惯量是相对于刚体自身质心的转动惯量。
3. 转动惯量和角动量的物理意义转动惯量和角动量在物理中具有重要的物理意义。
转动惯量反映了物体对旋转运动的抵抗程度，转动惯量越大，物体越不容易发生旋转。
角动量则反映了物体旋转运动的动量大小，角动量越大，代表物体旋转得越快。
4. 转动惯量和角动量的应用转动惯量和角动量在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在机械工程中，转动惯量的概念常被用于设计机械零件的结构。
在天体物理学中，角动量的概念常被用于描述星体的自转和行星的公转。
此外，转动惯量和角动量的守恒定律也是力学中重要的概念。
根据转动惯量守恒定律，当一个系统没有外力作用时，系统的总转动惯量保持不变。
根据角动量守恒定律，当一个物体在外力作用下发生旋转运动时，其总角动量保持不变。
这些守恒定律在物理学研究和工程实践中有着广泛的应用。
总结起来，转动惯量和角动量是力学中重要的物理概念。
简述刚体转动定律
简述刚体转动定律刚体转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理定律。
在刚体转动过程中，有三个关键定律对于描述和解释刚体的转动运动非常重要，它们是转动惯量定理、角动量定理以及角动量守恒定律。
1.转动惯量定理：转动惯量（或称为转动惯性）是描述刚体绕轴旋转惯性的物理量，用字母I表示。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量定理指出，刚体绕一个固定轴的转动惯量等于质量分布关于轴线的积分：I = ∫r^2 dm其中，r是质量元素dm到轴线的距离。
对于均匀杆的转动惯量，可以使用以下公式计算：I = 1/12 * mL^2其中，m为杆的质量，L为杆的长度。
2.角动量定理：角动量是描述刚体转动状态的物理量，用字母L表示，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
L = I * ω其中，ω为角速度，即刚体绕轴旋转的每秒角度变化量。
角动量定理指出，当刚体受到外力矩作用时，角动量的变化率等于外力矩的大小和作用时间的乘积：τ = dL/dt其中，τ为外力矩，即力矩的角动量。
3.角动量守恒定律：角动量守恒定律是指刚体绕固定轴转动时，如果物体不受到外力矩的作用，则角动量保持不变，即角动量守恒。
L1 = L2其中，L1和L2分别是刚体在转动过程中的初态和末态的角动量。
根据以上三个定律，可以得到一些关于刚体转动的重要结论：1.转动惯量与物体的质量分布有关，质量分布越集中，转动惯量越小；质量分布越分散，转动惯量越大。
2.角动量与转动惯量和角速度的乘积成正比，如果转动惯量越大，角速度越小，那么角动量也会越小。
3.当物体受到一个外力矩的作用时，物体的角动量会发生变化，且变化的速率与作用力矩的大小和作用时间的长度有关。
4.如果刚体不受外力矩作用，则刚体的角动量守恒，即刚体的角动量保持不变。
5.刚体转动的动能与转动惯量和角速度的平方成正比，转动惯量越大，角速度越小，刚体的转动动能也会越小。
以上是关于刚体转动定律的简要说明。
刚体转动定律在物理学中具有重要的意义，能够帮助我们理解刚体绕轴旋转的运动规律，并应用于工程、天文和机械等领域。
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
转动惯量和角动量
转动惯量和角动量转动惯量和角动量是物理学中的重要概念，它们在描述物体的旋转运动中起着重要的作用。
本文将介绍转动惯量和角动量的定义与计算方法，并探讨它们之间的关系。
一、转动惯量的定义与计算方法在牛顿力学中，对于质点的运动，我们可以用质量来描述，而对于物体的旋转运动，则需要引入转动惯量这一概念。
转动惯量的定义为物体对于绕某一轴旋转时，其转动惯量取决于物体的形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质量为m的物体，在轴到物体各部分质量元的距离之积dm*r^2 称为物体的微元转动惯量，其中 r 表示质量元离轴的距离。
而整个物体的转动惯量 I 可以通过对微元转动惯量在整个物体上进行积分来计算，即I = ∫r^2dm。
对于均匀杆或圆盘等常见物体，可以使用相应的几何公式直接计算出转动惯量。
例如，圆盘关于垂直于其面的几何中心轴的转动惯量可用公式 I = (1/2)*m*r^2 来计算，其中 m 是圆盘的质量，r 是圆盘半径。
二、角动量的定义与计算方法与转动惯量相对应的是角动量，它是描述物体旋转状态的物理量。
角动量的定义为物体的转动惯量与角速度的乘积，即L = I * ω，其中 L 表示角动量，I 表示转动惯量，ω 表示角速度。
对于刚体的旋转运动，根据牛顿第二定律可以推导出角动量守恒定律，即在没有外力矩作用时，刚体的总角动量保持不变。
这一定律对于解释很多现象，如陀螺的稳定、跳板运动等都有重要的意义。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间存在着密切的联系。
根据角动量的定义 L = I * ω，我们可以看出，如果转动惯量 I 变大，角速度ω 相应地减小，保持角动量不变；反之，如果转动惯量 I 变小，角速度ω 相应地增大，同样可以保持角动量不变。
这一关系可以解释很多日常生活中的现象。
例如，当滑轮的半径变小时，需要增加转动速度才能保持角动量不变；当花样滑冰运动员收紧身体时，由于身体的转动惯量减小，角速度相应增大，从而实现技巧动作的完成。
转动惯量与角动量
转动惯量与角动量转动惯量（moment of inertia）是描述物体环绕某个轴旋转时难以改变自身旋转状态的物理量，也可以理解为物体抵抗改变旋转速度的能力。
而角动量（angular momentum）是描述物体在旋转过程中所具有的动量，它与转动惯量密切相关。
本文将探讨转动惯量和角动量之间的关系，以及它们在物理学中的应用。
一、转动惯量的定义和计算方法转动惯量是描述物体旋转惯性的物理量，用字母I表示。
对于一个质量分布连续的物体，其转动惯量的计算方法是通过对物体的每一点的质量乘以离旋转轴的距离平方然后相加而得到的。
数学表达式为：I = ∫r²dm其中，r为某一质量微元离旋转轴的距离，dm为该质量微元。
对于质量均匀分布的刚体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = 0.5mr²其中，m为刚体的质量，r为刚体的半径。
二、角动量的定义和计算方法角动量是描述物体在旋转过程中所具有的动量，用字母L表示。
角动量的大小和方向，取决于物体的质量、旋转轴和旋转速度的乘积。
数学表达式为：L = Iω其中，I为转动惯量，ω为物体的角速度。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间存在直接的数学关系。
由角动量的定义公式可知，角动量L与转动惯量I成正比。
即转动惯量越大，角动量也越大；转动惯量越小，角动量也越小。
这是因为对于给定的旋转速度，转动惯量越大，物体的惯性越大，角动量也就越大。
四、转动惯量与角动量的应用1. 陀螺的工作原理陀螺是一种利用转动惯量和角动量的物理装置。
当陀螺旋转时，由于陀螺的转动惯量较大，其角动量也较大，使它具有较强的稳定性。
这是因为陀螺的角动量具有不变性，即角动量大小和方向在没有外力作用下不发生改变。
2. 匀速自行车的稳定性在骑自行车时，如果增加了转动惯量，例如通过往行李架加重物，会使得自行车变得更加稳定。
这是因为增加了转动惯量后，自行车更难改变自身的旋转状态，增强了自行车的平衡性。
第4章 刚体的运动
角动量的时间变化率。
非相对论情况d下L ， 转I d动惯量II为常量：
dt dt 所以，经典力学中刚体的转动定理可表示为：
M I
➢当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
例题 4-5
设 m1 > m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M 而半径为r 。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，
Li ri pi
对时间求导： dLi
dt
d dt ( ri pi
)
dri dt
pi
ri
dpi dt
vi mivi ri fi ri fi Mi
其中：
fi
dpi dt
Mi ri fi
为第i个质元所受的作用力； 为fi对转轴的力矩。
对整个刚体： dL d
外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。
由转动定理： Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2dL
L1
L2
L1
I 2
I 1
式中
t2 t1
Mdt
称为合外力矩在
Δt
=
t2-t1内的冲量矩(N·m
·s)。
角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一
时间内角动量的增量。
➢角动量定理对非刚体也成立，此时：
由平行轴定理：
z
I
Ic
Mh 2
1 12
ML2
Mh 2
当h=L/2时，与(1)的情况相同，由上式：
zc h
C
L、M
I 1 ML2 Mh 2 1 ML2 M( 1 L )2 1 ML2
12
12
2
物理-刚体定轴转动的角动量与转动惯性
一、刚体对定轴的角动量
刚体相对转轴的角动量 量 值
(1) I 为刚体对转轴的转动惯量
(2)角动量 与角速度
L z
的方向沿转轴， 的方向相同。
z
Lz I
二、刚体对定轴的转动惯量
说明
1、对同一轴的转动惯量具有可加性； 2、刚体的转动惯性不仅与其质量有关，
还与其形状、大小、质量分布及转轴的位 置有关；
二、刚体对定轴的转动惯量
3、对于质量连续分布 的刚体
dm
V 表示刚体所占据的空间 区域。
二、刚体对定轴的转动惯量
质量为线分布
dl
质量为面分布
dS dS
质量线密度： 质量面密度：
质量为体分布
dV dV
质量体密度：
关键在于根据质量分布特点，选取恰当的质量微元！
二、刚体对定轴的转动惯量
例1：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量 设单位长度的质量（质量的线密度）为 dm dr
（轴与圆环平面垂直并通过圆心）
解： 在细圆环上任取一质元dm
OR dm
讨论：(1) 质量与半径均相等的匀质薄圆筒对同一轴 的I =？ 结果：同匀质细圆环！ 原因：对同一轴的质量分布没变！
二、刚体对定轴的转动惯量
例2 求质量为m、半径为R的匀质细圆环的转动惯量。
（轴与圆环平面垂直并通过圆心） 解： 在细圆环上任取一质元dm
第十六讲
刚体对定轴的角动量与转动惯量
一、刚体对定轴的角动量
刚体相对转轴的角动量
定 义
刚体相对转轴任一点的角 动量沿转轴的分量。
量 值
一、刚体对定轴的角动量
(1) 质元
量
Li
m对i 转轴上o点的角动
3-1 定轴转动刚体的角动量和转动惯量
3－1 定轴转动刚体的角动量和转动惯量 －
一、力矩
1、引入 、
外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关， 外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且还 与力的作用点的位置有关，也和力的方向有关。 与力的作用点的位置有关，也和力的方向有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 力通过转轴： 力通过转轴 •力离转轴远：转动状态容易改变 力离转轴远： 力离转轴远 •力离转轴近：转动状态不易改变 力离转轴近： 力离转轴近 2、力对点的力矩 、 M
二、刚体运动的两种基本形式 1.平动 平动
定义： 定义：
刚体作平动时， 刚体作平动时，它上面的任意 两点的连线保持固定的取向， 两点的连线保持固定的取向， 也就是说， 也就是说，在任意时刻这个连 线总是与初始时刻的这两点的 连线平行。如图所示。 连线平行。如图所示。
特点： 特点：
刚体平动时各点的运动都相 刚体上各点的位移、 同，即：刚体上各点的位移、 速度、加速度都是相同的。 速度、加速度都是相同的。
Liz = mi ri vi cos( − θi ) 2 = mi ri vi sin θi = mi Ri (ω Ri ) = mi Ri2ω
π
因此，刚体绕Z轴的角动量就是刚体上所有质点的 因此，刚体绕 轴的角动量就是刚体上所有质点的 角动量沿Z轴的分量之和 轴的分量之和， 角动量沿 轴的分量之和，即
结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。 结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。 5、单位 、
N·m F2 Fn
p r
F2 P
F1
二、转动惯量的定义 1、刚体的角动量 、
考虑一刚体以角速度ω 绕固定轴Z 转动, 转动,如图 刚体上的每一点在运动过程中都描绘 出一个以Z轴上一点为中心的圆。 轴上一点为中心的圆。
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第五章 刚体的定轴转动
大学物理教研室 孙照宇
第五章 刚体的定轴转动
运动状态 平动 动量
外界影响
定轴转动 L r p
惯性大小 动力学规律 dp F 合外力 质量 dt dL M ？ M r F dt
第五章 刚体的定轴转动
质点以角速度 作半径 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量大小为 L mr 2 刚体可视为很多质元组成 且角动量的方向均相同。
L
m o r
p
m1
L Li
i
i
L mi ri
2
m3
m2
L J
p mv
第五章 刚体的定轴转动
m1
参数r的含义
m3m2m1l1Ol2m3
m2
第五章 刚体的定轴转动
L J
O
ri
mi
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
质量不均匀分布又如何？
M 合外
dL合 dt
t2
t1
Mdt L2 L1
t
t2
1
dp合 F合外 dt Fdt p2 p1
例
第五章 刚体的定轴转动
质量相等 阻力矩相等 末态L2均为零
t2
t1
Mdt L2 L1
L1 t |M |
第五章 刚体的定轴转动
1. 用转动惯量来描述转动惯性的大小 2. 用角动量 来描述定轴转动状态 质点：
质点圆周运动 ：L 刚体： 3. 用外力矩
mr J L J
2
L r mv
来描述外界对转动的影响
平动：动量定理
4. 角动量定理
转动：角动量定理
M 合外
dL合 dt
F合外
dp合 dt
第五章 刚体的定轴转动
训练一种思想： 将未知的、复杂的问题，转化为 已知的、简单的问题， 再积分。
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
与圆环比，有何启示？
第五章 刚体的定轴转动
将圆柱体看成由无数个薄薄的匀质圆盘组成， 则圆柱的转动惯量为各个圆盘转动惯量的和。
1 mi R 2 2 1 1 2 2 mi R = MR 2 i 2
m
4 R 3 3
盘的质量为 dm dV
r 2dh
1 2 盘的转动惯量为 dJ r dm 2
第五章 刚体的定轴转动
盘的转动惯量为 dh 1 r dJ r 2dm h 2 1 2 m r r 2dh 4 3 2 R 3 1 4 m r dh 4 3 2 R 3 1 2 m 2 2 (R h ) dh 4 3 2 R 3 转轴不经过球心，又如何？
第五章 刚体的定轴转动
积分计算吗？ 实心圆柱的转动惯量 – 挖去圆柱的转动惯量
第五章 刚体的定轴转动
物理学中 将未知的、复杂的问题，转化为 已知的、简单的问题， 再积分。 球可否看成是由圆盘组成？
第五章 刚体的定轴转动
dh h
r
球的转动惯量，可看成是 各圆盘的转动惯量的和 盘的半径为 r
R 2 h2
球的转动惯量 写出积分的形式 易知为：
2 J mR 2 5
平行移轴定理
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动 回忆：质点的角动量定理
dLi Mi dt
作用于质点 i 的合力对参考 点 O 的力矩 ，等于质点i 对该点 O 的角动量随时间的变化率.
类比记忆：质点系的动量定理 微分形式 积分形式