奇数和偶数的运算性质

奇数和偶数

奇数和偶数1、基本概念和知识①奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类，能被二整除的数叫做偶数（如0，2，4,6…这样的数）；不能被二整除的数叫做奇数（如1,3,5,7…这样的数）偶数通常可以用2k来表示（其中k是整数），奇数则可以用2k+1来表示（其中k是整数）特别注意，因为0能被2整除，所以0也是偶数。

②奇数与偶数的运算性质性质1：偶数+偶数=偶数，偶数-偶数=偶数；奇数+奇数=偶数，奇数-奇数=偶数性质2：偶数+奇数=奇数，偶数-奇数=奇数性质3：偶数个奇数相加得偶数性质4：奇数个奇数相加得奇数性质5：偶数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数2、例题例题1、1+2+3+……+101的和是奇数还是偶数？例题2、一个数分别与另外的相邻的两个奇数相乘，所得的积相差150，这个数是多少？例题3、元旦前夕，同学们相互送贺年卡，每人只要接到贺年卡就一定要回卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？例题4、某校四年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是答对一题得3分，不答记1分，答错一题倒扣1分，请说明该校四年级学生参加区数学竞赛所得总分一定是偶数。

习题1、有一串数最前面的四个数依次是1、9、8、7。

从第五个数起，每一个数都是它前面的四个数的和的个位数字。

问：在这一串数中，会出现1，9，8，8这一串数吗？2、一次宴会上，客人们相互握手，问握手次数是是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数？3、有12张卡片，其中有3张上面写着1,3张上面写着3，3张上面写着5，3张上面写着7，你能否从中选出5张，使它们上面数字的和为20？为什么？4、有10只杯子全部口朝下放在盘子里，你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？5．说明任意三个数中，至少有两个数之和是偶数。

6．能否在下面的方框内填入“＋”或“－”，使下面的等式成立，为什么？1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 107．有一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。

奇数和偶数的运算特点

奇数和偶数的运算特点在数学中，奇数和偶数是最基本的整数概念之一，它们有着独特的性质和运算特点。

本文将详细介绍奇数和偶数的定义与特点，并探讨它们之间的运算规律。

一、奇数和偶数的定义奇数是自然数中不能被2整除的数，例如1、3、5、7等。

奇数的特点是最低位（个位数）是1、3、5、7、9。

用数学符号表示，奇数可以表示为2n+1，其中n为任意整数。

偶数是自然数中能被2整除的数，例如2、4、6、8等。

偶数的特点是最低位是0、2、4、6、8。

用数学符号表示，偶数可以表示为2n，其中n为任意整数。

二、奇数和偶数的基本运算特点1. 加法奇数加偶数等于奇数。

例如，3 + 4 = 7。

奇数加奇数等于偶数。

例如，3 + 5 = 8。

偶数加偶数等于偶数。

例如，2 + 4 = 6。

在运算过程中，我们可以发现，奇数和奇数、偶数和偶数相加时，结果总是偶数。

而奇数和偶数相加时，结果总是奇数。

2. 减法奇数减偶数等于奇数。

例如，5 - 2 = 3。

奇数减奇数等于偶数。

例如，7 - 3 = 4。

偶数减偶数等于偶数。

例如，8 - 4 = 4。

相减运算中，我们可以发现奇数和奇数、偶数和偶数相减时，结果总是偶数。

而奇数减偶数时，结果总是奇数。

三、奇数和偶数的乘法特点1. 乘法奇数乘偶数等于偶数。

例如，3 × 2 = 6。

奇数乘奇数等于奇数。

例如，3 × 5 = 15。

偶数乘偶数等于偶数。

例如，2 × 4 = 8。

可以看出，无论是奇数乘偶数、奇数乘奇数还是偶数乘偶数，结果都遵循奇数乘偶数等于偶数、奇数乘奇数等于奇数、偶数乘偶数等于偶数的规律。

四、奇数和偶数的除法特点1. 除法奇数除以偶数结果不是整数。

奇数除以奇数结果可能是整数，也可能是小数。

偶数除以偶数结果可能是整数，也可能是小数。

从除法特点可以看出，奇数除以偶数的结果不会得到整数，而奇数除以奇数或偶数除以偶数的结果则可能是整数，也可能是小数。

综上所述，奇数和偶数在加法、减法、乘法和除法运算中都有自己的独特特点。

奇数偶数

一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。

性质2：偶数±奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例1 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。

解法1：∵1+2+3+…+1993又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，∴原式的和是奇数。

解法2：∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

∵996个偶数之和一定是偶数，又∵奇数个奇数之和是奇数，∴997个奇数之和是奇数。

因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。

例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？解法1：∵相邻两个奇数相差2，∴150是这个要求数的2倍。

∴这个数是150÷2=75。

解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。

∴这个要求的数是75。

例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。

数的奇数与偶数知识点总结

数的奇数与偶数知识点总结数学中，我们经常遇到奇数与偶数的概念。

奇数指不能被2整除的整数，例如1、3、5等；而偶数指可以被2整除的整数，例如2、4、6等。

本文将对数的奇数与偶数进行知识点总结。

一、奇数的特点1. 奇数可以用数学表达式2n+1来表示，其中n为任意整数。

这个表达式保证了奇数必定是整数。

2. 奇数与奇数相加、相减，结果仍为奇数。

示例：奇数+奇数=偶数+1=奇数奇数-奇数=奇数-奇数=0=偶数3. 奇数与偶数相加、相减，结果为奇数。

示例：奇数+偶数=奇数+偶数=奇数奇数-偶数=奇数-偶数=奇数4. 奇数乘以奇数，结果仍为奇数示例：奇数*奇数=奇数*奇数=奇数二、偶数的特点1. 偶数可以用数学表达式2n来表示，其中n为任意整数。

这个表达式保证了偶数必定是整数。

2. 偶数与偶数相加、相减，结果仍为偶数。

示例：偶数+偶数=偶数+偶数=偶数偶数-偶数=偶数-偶数=0=偶数3. 偶数与奇数相加、相减，结果为奇数。

示例：偶数+奇数=偶数+奇数=奇数偶数-奇数=偶数-奇数=偶数4. 偶数乘以偶数，结果仍为偶数。

示例：偶数*偶数=偶数*偶数=偶数三、奇数与偶数的应用1. 奇数与偶数的判定：一个数除以2，余数为0时，为偶数；余数为1时，为奇数。

2. 奇数与偶数的乘积：任意奇数与任意偶数相乘，结果为偶数。

3. 奇数与偶数的除法：任意偶数除以任意奇数，结果为非整数。

因为奇数不能整除偶数。

4. 序列中的奇数与偶数：在自然数的序列中，每隔一个数就会出现奇数和偶数的交替。

四、数的奇偶性的实际应用1. 计算机编程：在计算机编程中，奇偶数的概念应用广泛，可以用来进行一些判断和运算。

2. 统计学：在统计学中，奇偶数可以用来进行数据的分组和分析。

3. 数论：在数论中，对奇数和偶数的研究有着重要的意义，例如素数的奇偶性质等。

综上所述，本文总结了数的奇数与偶数的特点及其应用。

通过对奇数和偶数的研究，我们可以更好地理解数学中的各种概念和运算规律。

奇数与偶数的特征

奇数与偶数的特征在我们的日常生活中，数字无处不在。

然而，你是否曾思考过数字的特征和性质呢？在这篇文章中，我们将聚焦于奇数和偶数，探讨它们的独特特征。

一、什么是奇数和偶数？在数学中，奇数和偶数是自然数的两个重要分类。

奇数指的是不能被2整除的数字，如1、3、5等；而偶数则是可以整除2的数字，如2、4、6等。

二、奇数的特征1. 奇数与2的关系每个奇数都能表示为2n+1的形式，其中n为自然数。

举例来说，当n为0时，2n+1为1，为奇数中的最小值。

这意味着奇数与2之间有着紧密的联系。

2. 奇数的运算特性奇数与奇数相加的结果仍为偶数。

例如，1+3=4，5+7=12等等。

奇数与奇数相乘的结果也是奇数。

比如，1×3=3，5×7=35等。

奇数与偶数相加的结果为奇数。

例如，1+2=3，3+4=7等。

奇数与偶数相乘的结果为偶数。

比如，1×2=2，3×4=12等。

由上述运算特性可知，奇数与奇数或者奇数与偶数的运算结果始终遵循一定的规律。

3. 奇数在数轴上的位置当我们观察数轴时，奇数通常位于偶数之间。

例如，0、1、2、3、4等在数轴上的位置分别对应着偶数、奇数、偶数、奇数和偶数。

三、偶数的特征1. 偶数与2的关系每个偶数都能表示为2n的形式，其中n为自然数。

当n为1时，2n 为2，为偶数中的最小值。

这意味着偶数可以被2整除。

2. 偶数的运算特性偶数与偶数相加的结果仍为偶数。

例如，2+4=6，6+8=14等。

偶数与偶数相乘的结果也是偶数。

比如，2×4=8，6×8=48等。

偶数与奇数相加的结果为奇数。

例如，2+3=5，4+7=11等。

偶数与奇数相乘的结果为偶数。

比如，2×3=6，4×7=28等。

偶数与偶数或者偶数与奇数相加、相乘的运算结果也遵循一定的规律。

3. 偶数在数轴上的位置偶数通常位于奇数之间，在数轴上呈现出一种交替排列的模式。

例如，-2、-1、0、1、2等在数轴上的位置分别对应着偶数、奇数、偶数、奇数和偶数。

数字的奇偶性奇数和偶数的特点和性质

数字的奇偶性奇数和偶数的特点和性质数字的奇偶性奇数和偶数的特点和性质数字的奇偶性是数学中的基本概念之一，它涉及到数字的分类和性质。

在数学中，所有的数字可以分为两类：奇数和偶数。

本文将介绍奇数和偶数的特点和性质。

一、奇数的特点和性质奇数是指不能被2整除的数字。

奇数的特点如下：1. 奇数的个位数字只能是1、3、5、7和9。

2. 奇数与2相除，余数为1。

奇数的性质如下：1. 任何一个整数加上（或减去）奇数，结果一定是奇数。

2. 两个奇数相加的结果是偶数。

3. 两个奇数相乘的结果仍然是奇数。

4. 任何一个奇数的平方仍然是奇数。

二、偶数的特点和性质偶数是指能够被2整除的数字。

偶数的特点如下：1. 偶数的个位数字只能是0、2、4、6和8。

2. 偶数与2相除，余数为0。

偶数的性质如下：1. 任何一个整数加上（或减去）偶数，结果一定是偶数。

2. 两个偶数相加的结果是偶数。

3. 两个偶数相乘的结果仍然是偶数。

4. 任何一个偶数的平方仍然是偶数。

三、奇数和偶数的相互关系和应用奇数和偶数之间存在着一种特殊的关系，即任何一个整数都可以用奇数和偶数表示。

例如，一个整数可以表示为奇数加上偶数，或者两个偶数之差。

在数学和物理等领域，奇数和偶数的性质经常被应用。

例如，在概率论中，奇数和偶数的分布可以用于统计学中的分类和分析。

在计算机科学中，奇数和偶数的二进制表示被广泛应用于编程和算法设计中。

总结：通过对奇数和偶数特点和性质的介绍，我们了解到奇数和偶数在数字分类和运算中具有独特的地位。

奇数和偶数之间有着一些共性和差异，这些性质在数学和其他学科中有着重要的应用。

对于我们日常生活中的数字分析和问题解决，了解奇数和偶数的特点和性质将会有所帮助。

【文章结束】。

(完整)四年级奥数奇数与偶数

一、奇数与偶数一、新课学习：1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。

性质2：偶数±奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以精巧地解决许多实际问题.二、例题例11+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？例4已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

例10某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。

例12某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？例13在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？例14线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在这个AB 线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不重叠的线段）.试证：两个端点例外色的小线段的条数一定是奇数。

奇偶数的特点

奇偶数的特点奇偶数是我们日常生活中经常接触到的数学概念之一。

在数学中，数字可以分为奇数和偶数两种形式。

奇数是指不能被2整除的数，而偶数则是可以被2整除的数。

本文将探讨奇偶数的一些特点和性质。

一、奇数的特点奇数的特点之一是能够整除以2所得余数为1。

在自然数序列中，第一个奇数是1，然后依次为3、5、7、9等等。

奇数的数列可以表示为：1, 3, 5, 7, 9...奇数与奇数相加的结果是偶数。

例如，1+3=4，3+5=8，5+7=12等等。

奇数与奇数相乘的结果也是奇数。

例如，1×3=3，3×5=15，5×7=35等等。

二、偶数的特点偶数的特点之一是能够被2整除，没有余数。

在自然数序列中，第一个偶数是2，然后依次为4、6、8、10等等。

偶数的数列可以表示为：2, 4, 6, 8, 10...偶数与偶数相加的结果是偶数。

例如，2+4=6，4+6=10，6+8=14等等。

偶数与偶数相乘的结果也是偶数。

例如，2×4=8，4×6=24，6×8=48等等。

三、奇数与偶数的关系奇数与偶数之间存在一定的关系。

任意两个奇数的和是偶数，任意两个偶数的和也是偶数。

但是，奇数与偶数相加的结果是奇数，偶数与奇数相加的结果也是奇数。

例如，1+2=3，3+4=7等等。

奇数与偶数相乘的结果是偶数。

例如，1×2=2，3×4=12等等。

奇数与偶数之间还存在一种特殊的关系，即任意奇数与任意偶数相乘的结果是偶数。

例如，1×4=4，3×6=18等等。

四、奇偶数在应用中的运用奇偶数在日常生活和科学研究中得到了广泛的应用。

以下是一些例子：1. 校验奇偶数在计算机中被广泛应用于校验数据的正确性。

计算机会对二进制数据进行奇偶校验，以检测数据中是否有错误。

2. 数字系统在某些数字系统中，奇数和偶数被用来区分不同的状态或属性。

例如，在二进制系统中，奇数位和偶数位可以表示不同的信息。

五年级奥数专题-奇数与偶数

五年级奥数专题-奇数与偶数能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的叫做奇数.奇数平常也叫做单数,偶数也叫做双数.0也是偶数.所以.一个整数不是奇数,就是偶数.奇数和偶数的运算有如下一些性质：1．偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；偶数±奇数=奇数.2．奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.3．如果一个偶数能被奇数整除,那么,商必是偶数.偶数除以,如果能整除,商可能是奇数,也可能是偶数.奇数不能被偶数整除.4．偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1.一、例题与方法指导例1. 用0～9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少？思路导航：有时题目的要求比较多,可先考虑满足部分要求,然后再调整,使最后结果达到全部要求.这道题的几个要求中,满足“和最大”是最容易的.暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求.要使组成的五个两位数的和最大,应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上,即十位上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4.根据奇数的定义,这样组成的五个两位数中,有两个是奇数,即个位是1和3的两个两位数.要满足这五个两位数的和是奇数,根据奇、偶数相加减的运算规律,这五个数中应有奇数个奇数.现有两个奇数,即个位数是1,3的两位数.所以五个数的和是偶数,不合要求,必须调整.调整的方法是交换十位与个位上的数字.要使五个数有奇数个奇数,并且五个数的和尽可能最大,只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换,并且交换的两个的数码之差尽可能小,由此得到交换5与4的位置.满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351.例2. 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子.能否经过若干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下？思路导航：盲目的试验,可能总也找不到要领.如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在.一开始杯口朝上的杯子有7只,是奇数；第一次翻转后,杯口朝上的变为5只,仍是奇数；再继续翻转,因为只能翻转两只杯子,即只有两只杯子改变了上、下方向,所以杯口朝上的杯子数仍是奇数.类似的分析可以得到,无论翻转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,不可能是偶数0.也就是说,不可能使7只杯子全部杯口朝下.例3. 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的（m-1）只杯子.经过若干次翻转,能使杯口全部朝上吗？思路导航：当m是奇数时,（m-1）是偶数.由例2的分析知,如果每次翻转偶数只杯子,那么无论经过多少次翻转,杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变.一开始m 只杯子全部杯口朝下,即杯口朝下的杯子数是奇数,每次翻转（m-1）即偶数只杯子.无论翻转多少次,杯口朝下的杯子数永远是奇数,不可能全部朝上.当m是偶数时,（m-1）是奇数.为了直观,我们先从m= 4的情形入手观察,在下表中用∪表示杯口朝上,∩表示杯口朝下,每次翻转3只杯子,保持不动的杯子用*号标记.翻转情况如下：由上表看出,只要翻转4次,并且依次保持第1,2,3,4只杯子不动,就可达到要求.一般来说,对于一只杯子,要改变它的初始状态,需要翻奇数次.对于m只杯子,当m是偶数时,因为（m-1）是奇数,所以每只杯子翻转（m-1）次,就可使全部杯子改变状态.要做到这一点,只需要翻转m次,并且依次保持第1,2,…,m只杯子不动,这样在m次翻转中,每只杯子都有一次没有翻转,即都翻转了（m-1）次.综上所述：m只杯子放在桌子上,每次翻转（m-1）只.当m是奇数时,无论翻转多少次,m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时,翻转m次,可以使m 只杯子全部改变初始状态.例4. 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页.如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？思路导航：可以先研究排版一本书,各篇文章页数是奇数或偶数时的规律.一篇有奇数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的,即排版奇数页的文章,第一面是奇数页码,最后一面也是奇数页码,而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上.一篇有偶数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的,即排版偶数页的文章,第一面是奇（偶）数页码,最后一面应是偶（奇）数页码,而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上.以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理.题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多.首先考虑有偶数页的文章,只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页）,那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上,共有7篇这样的文章.然后考虑有奇数页的文章,第一篇的第一面排在奇数页码上,第二篇的第一面就会排在偶数页码上,第三篇的第一面排在奇数页码上,如此等等.在8篇奇数页的文章中,有4篇的第一面排在奇数页码上.因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上.二、巩固训练1.有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子.阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,若摸出的两枚棋子同色,则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色,则把其中白棋子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？解答大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）.因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次少1枚棋子,摸了1999次后,还剩2001-1999=2（枚）棋子.从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的.此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内.当所摸两枚棋子同是黑色,这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色,这时大盒内多了一枚黑棋子.（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的,即一黑一白.这时要把拿出的白棋子放回到大盒,大盒内少了一枚黑棋子.综合（1）（2）,每摸一次,大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚,即改变了黑棋子数的奇偶性.原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子,摸了1999次,即改变了1999次奇偶性后,还剩奇数枚黑棋子.因为大盒内只剩下2枚棋子,所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白.2. 一串数排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数？分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况.1+1=2,2+3=5,3+5=8, 5+8=13,…这串数的规律是,从第三项起,每一个数等于前两个数的和.根据奇偶数的加法性质,可以得出这串数的奇偶性：奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,……容易看出,这串数是按“奇,奇,偶”每三个数为一组周期变化的. 1000÷3=333……1,这串数的前1000个数有333组又1个数,每组的三个数中有1个偶数,并且是第3个数,所以这串数到第1000个数时,共有333个偶数.三、拓展提升1.在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方.这样说对吗？2.一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页.这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始.如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下.如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上？4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5.学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码,把今天发的其它号码加起来,再减去我的号码,恰好是100.”今天发放的运动员号码加起来,到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99.问：原来写的三个整数能否是1,3,5？答案1.对.提示：因为平方数能被4整除或除以4余1,而形如111…11的数除以4的余数与11除以4的余数相同,余3,所以不是平方数.2.5个.提示：与例4类似分析可知,先排9个奇数页的故事,其中有5个从奇数页开始,再排8个偶数页的故事,都是从偶数页码开始.3.3次.提示：见下表.4.偶数.提示：这行数的前面若干个数是：0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,…这些数的奇偶状况是：偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,……从前到后按一偶二奇的顺序循环出现.70÷3=23……1,第70个数是第24组数的第一个数,是偶数.5.偶数.提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍.6.不能.提示：如果原来写的是1,3,5,那么从第一次改变后,三个数永远是两个奇数一个偶数.。

奇偶性的四则运算口诀

奇偶性的四则运算口诀奇偶性是数学中一个重要的概念，能够对奇数和偶数进行分类，有助于解决一些问题。

在四则运算中，奇偶性也有着重要的作用，掌握奇偶性的四则运算口诀能够帮助我们更好地解决数学问题。

下面是奇偶性的四则运算口诀。

一、加法1. 偶数 + 偶数 = 偶数偶数的特点是能够被2整除，偶数与偶数相加后，结果也一定是偶数。

例如，2+4=6，6是偶数。

2. 奇数 + 奇数 = 偶数奇数的特点是不能够被2整除，奇数与奇数相加后，结果一定是偶数。

例如，3+5=8，8是偶数。

3. 偶数 + 奇数 = 奇数偶数与奇数相加后，结果一定是奇数。

例如，2+3=5，5是奇数。

二、减法1. 偶数 - 偶数 = 偶数偶数与偶数相减后，结果一定是偶数。

例如，6-2=4，4是偶数。

2. 奇数 - 奇数 = 偶数奇数与奇数相减后，结果一定是偶数。

例如，5-1=4，4是偶数。

3. 偶数 - 奇数 = 奇数偶数与奇数相减后，结果一定是奇数。

例如，8-3=5，5是奇数。

三、乘法1. 偶数×偶数 = 偶数偶数与偶数相乘后，结果一定是偶数。

例如，2×4=8，8是偶数。

2. 奇数×奇数 = 奇数奇数与奇数相乘后，结果一定是奇数。

例如，3×5=15，15是奇数。

3. 偶数×奇数 = 偶数偶数与奇数相乘后，结果一定是偶数。

例如，2×3=6，6是偶数。

四、除法1. 偶数÷偶数 = 偶数偶数除以偶数，结果一定是偶数。

例如，8÷2=4，4是偶数。

2. 奇数÷奇数 =奇数除以奇数，结果可能是奇数，也可能是偶数。

例如，5÷3=1余2，1是奇数，2是偶数。

3. 偶数÷奇数 =偶数除以奇数，结果一定是偶数，例如，6÷3=2，2是偶数。

总结：1. 奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶2. 奇-奇=偶，奇-偶=奇，偶-偶=偶3. 奇×奇=奇，奇×偶=偶，偶×偶=偶4. 奇÷奇=奇或偶，奇÷偶=奇或偶，偶÷偶=偶在解决数学问题时，掌握奇偶性的四则运算口诀能够帮助我们更好地把握问题的性质和规律，快速地找到解决问题的方法。

奇偶运算律

奇偶运算律奇偶运算律是代数学中的一个重要概念，它描述了奇数和偶数在加法、减法、乘法和除法等运算中的性质。

奇偶运算律包括以下几条：1. 奇数加偶数等于奇数对于任意的奇数a和偶数b，有a+b=奇数。

这是因为奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数；偶数可以表示为2m 的形式，其中m为整数。

因此，a+b=(2k+1)+(2m)=2(k+m)+1，即结果为奇数。

2. 奇数减偶数等于奇数对于任意的奇数a和偶数b，有a-b=奇数。

这是因为a-b 可以表示为(a+b)-2b，而根据第一条规律，a+b=奇数，因此a-b=奇数-偶数=奇数。

3. 奇数乘偶数等于偶数对于任意的奇数a和偶数b，有a×b=偶数。

这是因为奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数；偶数可以表示为2m 的形式，其中m为整数。

因此，a×b=(2k+1)×(2m)=4km+2m=2(2km+m)，即结果为偶数。

4. 奇数除以偶数等于奇数对于任意的奇数a和偶数b，有a÷b=奇数。

这是因为当a 和b都是正整数时，a÷b的结果一定是一个正整数。

如果a和b都是负整数，则a÷b的结果一定是一个负整数。

无论是正整数还是负整数，它们都可以表示为2n或-2n的形式，其中n为整数。

因此，a÷b=（2n+1）÷（2n）或（-2n+1）÷（-2n）=1±（1/2），即结果为奇数。

5. 同号相乘得正，异号相乘得负对于任意的两个实数a和b，有以下两个规律：- 如果a和b都是正数或都是负数，则a×b>0；- 如果a和b一个是正数一个是负数，则a×b<0。

这两个规律可以通过奇偶运算律推导出来。

假设a和b都是正整数，则有a×b=(2k+1)×(2l+1)=4kl+2k+2l+1=2(2kl+k+l)+1，其中kl、k、l均为整数。

奇数和偶数的认识与应用

奇数和偶数的认识与应用作为基础数学概念之一，奇数和偶数在我们的日常生活中起着重要的作用。

它们不仅存在于数学领域，还与我们的生活息息相关。

本文将讨论奇数和偶数的定义、性质以及它们在实际应用中的价值。

一、奇数和偶数的定义奇数和偶数是自然数的两种基本分类。

自然数是整数的一种，包括0和所有正整数。

根据定义，奇数可以被2整除的数被称为偶数，而不能被2整除的数则被称为奇数。

例如，1、3、5是奇数，而2、4、6是偶数。

二、奇数和偶数的性质1. 奇数与偶数之间的关系：任意一个整数可以表示为2的倍数加上1或0，因此每个整数都可以被归类为奇数或偶数。

2. 奇数的特点：奇数相互相邻，两个奇数之间的差为2。

例如，3和5之间的差为2，5和7之间的差同样为2。

3. 偶数的特点：偶数一定可以被2整除，即它们的余数为0。

任意偶数加上2都会得到下一个偶数。

例如，2、4、6、8都是偶数。

三、奇数和偶数的应用1. 数学领域：奇数和偶数是数论中的重要研究对象。

它们的性质和运算规律对于数学推理和证明起着重要的作用。

在代数学、数学逻辑等学科中，奇偶性的概念也常常被应用。

2. 算术运算：奇数和偶数的性质在算术运算中起着重要的作用。

例如，奇数与奇数之间的相加结果一定是偶数，偶数与偶数之间的相加结果也是偶数。

而奇数与偶数相加的结果一定是奇数。

这些规律不仅被应用到数学题目中，也在现实生活中如排班、计算人数等方面得到应用。

3. 计算机科学：在计算机领域，奇数和偶数的概念被广泛应用。

计算机内部使用二进制表示数字，因此奇数和偶数的概念对于判断二进制数的最低位是否为1或0至关重要。

此外，在程序设计中，奇数和偶数的性质也可以用于许多算法和数据结构的设计。

4. 统计学与概率论：奇数和偶数的分布与概率统计密切相关。

在统计学中，我们经常会对数据进行奇数和偶数的分组处理，以便更好地进行数据分析和描述。

在概率论中，奇数和偶数的概念也在一些特定的概率问题中用于求解和计算。

奇数与偶数

奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1 奇数≠偶数．性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质10 整数a和|a|有相同的奇偶性性质11 两个连续的整数中，必有一个是奇数，一个是偶数，两个相邻整数之和是奇数，之积是偶数.性质12 如果若干个整数之和是奇数，那么其中至少有一个是奇数；如果奇数个整数之和是偶数，那么其中至少有一个是偶数．下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2 设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法 1 因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3 有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。

奇数与偶数

奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．证法 1 因为 (a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+……+a9)-(1+2+…+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3 有n个数x1，x2，…，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，xn的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，…，xnx1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．下面我们来考虑(x1x2)(x2x3)…(xnx1)．一方面，有(x1x2)(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k，另一方面，有(x1x2)(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1．所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．例4设a，b是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b是4的倍数．证由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件11111(a-b)=ab+2468，①ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数.例5某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．证我们证明每一个学生的得分都是偶数．设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答．于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数．所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．例6 证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.证将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．练习十五1．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+ (100)100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+…+a99+a101是偶数．2．设x1，x2，…，x1998都是+1或者-1．求证：x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．3．设x1，x2，…，xn(n＞4)为1或-1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．求证：n是4的倍数．4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n个9，n是奇数)；(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除．5．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着5个数？质数与合数我们知道，每一个自然数都有正因数(因数又称约数)．例如，1有一个正因数；2，3，5都有两个正因数，即1和其本身；4有三个正因数：1，2，4；12有六个正因数：1，2，3，4，6，12．由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少．除了1以外，每个自然数都至少有两个正因数．我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数．这样，就把全体自然数分成三类：1、质数和合数．2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数．也就是说，除了2以外，质数都是奇数，小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．质数具有许多重要的性质：性质1一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．性质2如果n是合数，那么n的最小质因数a一定满足a2≤n．性质3质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明)．性质 4 (算术基本定理)每一个大于1的自然数n，必能写成以下形式：n=p1a1p2a2…prar，这里的P1，P2，…，Pr是质数，a1，a2，…，ar是自然数．如果不考虑p1，P2，…，Pr的次序，那么这种形式是唯一的．关于质数和合数的问题很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一个大于2的偶数都能写成两个质数的和．这是至今还没有解决的难题，我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果，他证明了任何大于2的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和，而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的1+2)．下面我们举些例子．例1 设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．解由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p，q为一奇一偶．因为p＜q，故p既是质数又是偶数，于是p=2．例2设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．证由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数．若p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．所以p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．例3 设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．证我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因为n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1，所以n4+4是合数．例4 是否存在连续88个自然数都是合数？解我们用n！表示1×2×3×…×n.令a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续88个自然数都是合数：a+2，a+3，a+4，…，a+89．这是因为对某个2≤k≤89，有a+k=k×[2×…×(k-1)(k+1)×…×89+1] 是两个大于1的自然数的乘积．说明由本例可知，对于任意自然数n，存在连续的n个合数，这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大．用(a，b)表示自然数a，b的最大公约数，如果(a，b)=1，那么a，b称为互质(互素)．例5证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．证首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．由于不超过n的自然数都是n！的约数，所以不超过n的自然数都与n！-1互质(否则，n！与n！-1不互质)，于是n！-1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n！．所以，在n与n！之间一定有一个素数．例6 证明素数有无穷多个．证下面是欧几里得的证法．假设只有有限多个质数，设为p1，p2，…，pn.考虑p1p2……pn+1，由假设，p1p2…pn+1是合数，它一定有一个质约数p．显然，p不同于p1，p2，…，pn，这与假设的p1，p2，…，pn为全部质数矛盾．例7 证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．证设n是大于11的自然数．(1)若n=3k(k≥4)，则n＝3k=6+3(k-2)；(2)若n=3k+1(k≥4)，则n=3k+1=4+3(k-1)；(3)若n=3k+2(k≥4)，则n=8+3(k-2)．因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和．例8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．解三个最小的合数是4，6，8，它们的和是18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数．下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17．练习十六1．求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数．2．若p是质数，并且8p2+1也是质数，求证：8p2-p+2也是质数．3．当m＞1时，证明：n4+4m4是合数．4．不能写成两个合数之和的最大的自然数是几？5．设p和q都是大于3的质数，求证：24|p2-q2．6．设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112x y p+=,求x+y的值．。

奇数与偶数

奇数与偶数[知识精要]一、定义在整数中，能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数，偶数一般用2k 表示，奇数一般用1212+-k k 或表示，这里的k 为整数。

二、奇数与偶数的性质1、运算法则奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数奇数⨯奇数=奇数，奇数⨯偶数=偶数2、两个连续自然数中，必有一个是奇数，一个是偶数；两个连续整数之和是奇数，之积是偶数。

三、奇偶分析法因为一个整数被2整除的余数只能是0或1，因此把所有的整数分为奇数和偶数两类，既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类中，也不会有一个整数既不在奇数类又不在偶数类中，这种分类方法使得我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究。

这种利用奇偶性分析问题的方法可以使一些看起来比较复杂的问题变得简单易解，这就是奇偶分析法[例题精讲]例1、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？[分析] 分别计算出有多少个奇数和多少个偶数就行例2、设a 、b 、c 中有两个奇数，一个偶数，试说明)3)(2)(1(+++c b a 一定为偶数。

[分析] 可以判断)3()2()1(+++++c b a 的奇偶性，进而知道)3()2()1(+++c 、b 、a 三个中致少有一个偶数例3、设a 、b 、c 都是整数，且a 与b 奇偶性相同，c 为奇数，问：是否存在整数n ，使得：02=++c bn an[分析] 分别对等式两边的奇偶性进行行讨论，右边0是偶数，如果左边是奇数，则等式不成立，左边的奇偶性要分n 为奇数和n 为偶数两种情况进行例4、博物馆有并列的5间展室，有一名保安人员在里面巡逻，他每经过一间，就要拉一下电灯开关，他从第一间开始，走到第二间，第三间，第四，到第五间后往回走第四间、第三间……如果开始五间展室的灯都是开的，那么当他走过100个房间后，还有几间亮着灯？[分析] 当一个房间的开关被拉动偶数次时，这间房子的灯就是开的，反之则是熄灭，保安经过的房间1、2、3、4、5、4、3、2后又重复这个过程，在这个过程中，第2、3、4的开关拉了两次，第1、5只拉了一次。

初一偶数和奇数知识点归纳总结

初一偶数和奇数知识点归纳总结初中数学中，偶数和奇数是一个基本的概念，是数学学习的重要内容。

掌握好偶数和奇数的性质以及计算方法，对于提高数学能力、解题能力都至关重要。

本文将对初一学生所需掌握的偶数和奇数知识点进行归纳总结。

一、偶数和奇数的定义1. 偶数：能够被2整除的数称为偶数。

偶数的特点是个位数字为0、2、4、6、8，即末尾是0、2、4、6、8的数。

例如：2、4、6、8、10等。

2. 奇数：除以2有余数的数称为奇数。

奇数的特点是个位数字为1、3、5、7、9，即末尾是1、3、5、7、9的数。

例如：1、3、5、7、9等。

二、偶数和奇数的性质1. 加法性质：偶数和偶数相加得偶数，奇数和奇数相加得偶数，偶数和奇数相加得奇数。

例如：偶数2+偶数4=偶数6，奇数3+奇数5=偶数8，偶数2+奇数3=奇数5。

2. 乘法性质：偶数和任何数相乘得偶数，奇数和奇数相乘得奇数，偶数和奇数相乘得偶数。

例如：偶数2×任意数=偶数，奇数3×奇数5=奇数15，偶数2×奇数3=偶数6。

3. 除法性质：偶数除以偶数得整数，奇数除以奇数得整数，偶数除以奇数得分数。

例如：偶数6÷偶数2=整数3，奇数15÷奇数5=整数3，偶数6÷奇数3=分数2。

三、偶数和奇数的运算规律1. 偶数和偶数相加、相减，结果仍为偶数。

例如：偶数2+偶数4=偶数6，偶数8-偶数4=偶数4。

2. 奇数和奇数相加、相减，结果仍为偶数。

例如：奇数3+奇数5=偶数8，奇数9-奇数5=偶数4。

3. 偶数和奇数相加、相减，结果为奇数。

例如：偶数2+奇数3=奇数5，偶数10-奇数3=奇数7。

四、偶数和奇数在图形中的应用1. 偶数和奇数在阵列图中：在阵列图中，偶数个单位正方形可以完整排列，而奇数个单位正方形最中间会多出一个单位正方形。

例如：偶数个单位正方形（4个）可以排列成一个边长为2的正方形阵列；奇数个单位正方形（5个）则可以排列成一个中间有1个单位正方形的正方形阵列。

数论中的奇偶性质

数论中的奇偶性质在数论中，我们常常研究整数的特性和性质。

其中一个重要的方面是奇偶性质，即判断一个整数是奇数还是偶数。

奇偶性质在数论研究中起着重要的作用，并且有着丰富的性质和应用。

本文将介绍一些数论中的奇偶性质和相关的概念。

一、奇数和偶数的定义在数论中，我们通常将整数分为奇数和偶数两类。

一个整数如果可以被2整除，那么它就是偶数；如果不能被2整除，那么它就是奇数。

用数学符号表示为：偶数：一个整数n是偶数，当且仅当存在整数k，使得n = 2k。

奇数：一个整数n是奇数，当且仅当不存在整数k，使得n = 2k。

这个定义非常直观和简单，通过判断一个整数能否被2整除，我们就可以确定它的奇偶性。

二、奇偶性质的性质奇偶性质在数论中有许多有趣的性质，其中一些值得我们关注。

1. 偶数加偶数等于偶数，奇数加奇数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。

这一性质可以用来证明一些数学命题，例如：奇数的平方减去偶数的平方一定是奇数。

2. 偶数乘以任意整数等于偶数，奇数乘以奇数等于奇数。

这一性质可以通过奇数和偶数的定义来证明，偶数是2的倍数，所以乘以任意整数结果仍然是2的倍数，即偶数；奇数是2k+1的形式，乘以奇数结果为(2k+1) * (2m+1) = 2 * (km + k + m) + 1，仍然是奇数。

3. 任意整数的平方的奇偶性与该整数的奇偶性相同。

这一性质可以通过数学归纳法证明，对于任意整数n，我们可以根据奇数和偶数的定义进行分类讨论，证明该性质成立。

三、奇偶性质的应用奇偶性质在数论中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些例子。

1. 素数与奇偶性在数论中，素数是一个非常重要的概念。

通过奇偶性质，我们可以得出一个结论：除了2以外的任意素数都是奇数。

因为如果一个素数是偶数，那么它必须等于2，但2是唯一的偶数素数。

2. 二次剩余与奇偶性在数论中，二次剩余是一个重要的研究方向。

奇偶性质在判断二次剩余的情况下起着关键的作用。

例如，如果p是一个奇素数，a是一个整数，那么a的二次剩余模p的结果有如下规律：- 如果a是p的二次剩余，那么a模p的结果是一个平方数，即是一个偶数；- 如果a不是p的二次剩余，那么a模p的结果是一个非平方数，即是一个奇数。

奇数与偶数的认识与判断

奇数与偶数的认识与判断数字是我们日常生活中不可或缺的一部分，而奇数与偶数是数字中最基本的概念之一。

在数学领域，理解奇数与偶数的概念以及正确地判断一个数是奇数还是偶数，对我们的数学学习和应用有着重要的意义。

本文将深入探讨奇数与偶数的定义、特性和判断方法，帮助读者准确理解并运用。

一、奇数与偶数的定义在数学领域，奇数与偶数是自然数的两个基本属性。

根据定义，奇数是不能被2整除的整数，而偶数则可以被2整除的整数。

二、奇数与偶数的特性1. 奇数的特性奇数具有以下特性：- 奇数加奇数仍为偶数- 奇数加偶数仍为奇数- 奇数乘以奇数为奇数- 奇数乘以偶数为偶数- 奇数与任何数相除，商为无限循环小数2. 偶数的特性偶数具有以下特性：- 偶数加偶数仍为偶数- 偶数与任何数相乘，积为偶数- 偶数能够被2整除，即偶数除以2的余数为0- 偶数除以2的商为整数三、奇数与偶数的判断方法判断一个数是奇数还是偶数，我们可以使用以下两种方法：1. 除法判断法通过使用除法判断一个数的奇偶性。

具体步骤如下：- 用待判断的数字除以2- 如果除数能够整除，即余数为0，则该数为偶数- 如果除数不能整除，即余数不为0，则该数为奇数例如，判断数字18的奇偶性：18 ÷ 2 = 9，余数为0，因此18是偶数。

2. 数字特性法通过观察一个数的数字特性进行奇偶判断，具体规律如下：- 奇数的个位数字只能是1、3、5、7、9- 偶数的个位数字只能是0、2、4、6、8例如，判断数字27的奇偶性：27的个位数字为7，因此27是奇数。

通过上述奇偶判断方法，我们可以准确地判断一个数的奇偶性。

四、奇数与偶数的应用奇数和偶数的概念在数学领域有着广泛的应用。

以下是其中一些常见应用：1. 素数与合数判断将奇数和偶数的概念扩展，我们可以判断一个数是素数还是合数。

素数是只能被1和自身整除的数，而合数则可以被其他数整除。

根据定义，除了2以外，所有偶数都是合数。

2. 数字运算与逻辑推理在数学运算和逻辑推理中，奇数与偶数的性质经常被应用。

奇数与偶数及奇偶性的应用

奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。

性质2：偶数±奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例11+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。

解法1：∵1+2+3+…+1993又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，∴原式的和是奇数。

解法2：∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

∵996个偶数之和一定是偶数，又∵奇数个奇数之和是奇数，∴997个奇数之和是奇数。

因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。

例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？解法1：∵相邻两个奇数相差2，∴150是这个要求数的2倍。

∴这个数是150÷2=75。

解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。

∴这个要求的数是75。

例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。