(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题4.3简单的三角恒等变换(讲)(含解析)
2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题4.3简单的三角恒等变换(练)含解析
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章 三角函数与解三角形第03讲 简单的三角恒等变换 ---练1．（2017·山东高考真题（文））已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由得，故选D ．2.（2019·安徽高考模拟（文））若，则tan 2α=（ ）A B 7C 7D 7【答案】B 【解析】由题意得，，则tan α=.，故选B .3．（2019·湖南师大附中高考模拟（文））若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （ ）A ．25B ．35-C ．35D 【答案】B 【解析】因为点P （1，－2）是角a 的终边上一点，所以.所以.故选B.4．（2019·山东高考模拟（理））在平面直角坐标系中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3α=,则（ ）A ．-1B ．79-C ．97 D ．1【答案】C 【解析】因为角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称，所以，所以，故本题选C.5．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））已知，则cos2=α（ ）A B C ．12D 2【答案】D 【解析】 由=21sin a -，可得，由cos2=α212sin a -，可得cos2=α，故选D.6．（2019·江苏高考模拟（文））已知α是第四象限角，3sin 5α=-，则（ ）A ．5-B ．5C ．7-D ．7 【答案】D 【解析】 因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，则4cos 5α=，3tan 4α=-，所以.故选D.7．（2019·西南大学附属中学重大校区高考模拟（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2α=（ ）A B ．13C ．13-D ． 【答案】B 【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ， 所以，因此.故选B8．（2019·山东高考模拟（理））若4tan 3α=，则（ ）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】 因为4tan 3α=， 所以，故选：A ．9．（2019·辽宁高考模拟（文））若，则（ ）A ．35B ．25-C ．-1D ．3【答案】A 【解析】,,把tan2α=代入，求得，故本题选A.10．（ 2018届四省名校第三次大联考）已知，且满足，则_______．【答案】【解析】因为，所以，则，而.1.（2019·山东高考模拟（文））已知，则sin4x的值为（）A．1825B．1825±C．725D．725±【答案】C【解析】由题意得：本题正确选项：C2．（2019·浙江高三期末）已知，3sin5x=-，则tan2(x=)A．724B．724-C．247D．247-【答案】D 【解析】已知，3sin5x=-，，，则，故选：D．3．（2019·山东高考模拟（文））已知角α为第一象限角，，则实数a的取值范围为__________．【答案】(1,2]【解析】由题得，因为所以所以.故实数a的取值范围为(1,2].故答案为：(1,2]4．（2019·吉林高考模拟（文））已知，则m=______．【答案】【解析】由得：整理得：m=本题正确结果：5. （2018·浙江高考模拟）化简=_________【答案】【解析】===-4，故答案为-4.6．（2019·浙江高考模拟）如图，在单位圆上，∠AOB ＝α(62ππα<<)，∠BOC ＝3π ，且△AOC ．（ I ）求 sin α 的值； （ II ）求 2cos(23απ-)sin (26απ+)【答案】(Ⅰ) sin α=14(Ⅱ) 87【解析】 （I ），∴，∴，=（II ）∵=，∴==.1．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D 【解析】=2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】故答案为B.3．（2019·全国高考真题（文理））已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15 B ．5C D 【答案】B 【解析】，．，又，，又sin 0α>，，故选B ．4. （2017·全国高考真题（文））已知，tan α=2，则=______________．【答案】【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．5．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____.【答案】10. 【解析】由，得，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.，当tan 2α=时，上式当1tan 3α=-时，上式=综上，6. （2018·江苏高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．。
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(测)
第03节简单的三角恒等变换班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知为锐角，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.3.【2017山东，文4】已知,则A. B. C. D.【答案】D【解析】由得,故选D.4.已知，则（）A． B． C． D．【答案】B5.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知，则=（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到，之后将其平方，求得，利用正弦的倍角公式求得结果.详解：因为，所以，将式子两边平方得，所以，故选B.6. 已知，且满足，则值（）A． B．－ C． D．【答案】C【解析】,整理可得,解得或．因为,所以．．故C正确．7．【2018河北内丘中学8月】若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，据此整理可得：，则：.本题选择C选项.8.【2018届四川省成都市第七中学高考模拟一】已知，则=（）A. B. C. D.【答案】B9.【2018届河北省石家庄二中三模】设，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即和化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。
（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过的变换化简，确定正确答案。
详解：方法一：即整理得，∴整理得方法二：，∴整理得故选B10.【2018届安徽省江南十校二模】为第三象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】12. 【2017课标II，文13】函数的最大值为 . 【答案】【解析】13.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知，，则__________．【答案】【解析】分析：由，，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.详解：因为，，所以，，故答案为.14．【2018届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期9+1联考】设，，则__________；__________.【答案】【解析】∵，∴∵∴∴∴故答案为：，15．【2018届四省名校第三次大联考】已知，且满足，则_______．【答案】【解析】分析：由已知条件求得的值，再将所求的式子化简，将的值代入化简后的式子，求出值。
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：4.3 三角恒等变换 Word版含解析
( ) ( ) ( ) π
33
π 5π
π
1.(2017 浙江模拟训练冲刺卷五,14)已知 sin ������ + 3 +sin α=
5
,且
α∈
, 3
6
,则 sin ������ +
6
= ,cos α= .
3-4 3 答案 ; 10
25 2.已知 α,β 均为锐角,且 cos α= 5 ,tan β=.
答案 -
( ) ( ) π
π
4.(2017 课标全国Ⅰ文,15,5 分)已知 α∈
0, 2
,tan
α=2,则 cos
������
-
4
= .
3 10 答案 10
考点二 简单的三角恒等变换
1.(2017 课标全国Ⅲ文,4,5 分)已知 sin α-cos α=,则 sin 2α=( )
A.- B.- C. D.
3
3
A.- B. C.-
D.
2
2
答案 D
2.(2018 浙江 9+1 高中联盟期中,12)设 sin 2α=sin α,α∈(0,π),则 cos α= ,tan 2α= . 答案 ;- 3
解析 (1)由(b+c)2-a2=(2+ 2)bc 得 b2+c2-a2= 2bc,
������2 + ������2 - ������2 2
(1)求 a,b,ω 的值;
( ) ( ) 3π
π
������ π
(2)若<x< 4 ,且 f ������ + 6 =,求 f 2 + 6 的值.
解析 (1) f(x)=acos ωx+bsin ωx= ������2 + ������2sin(ωx+θ),
(浙江版)高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换(练)(new)
第03节 三角恒等变换A 基础巩固训练1。
【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中)六校上学期第五次联考】已知2παπ<<, 7sin22cos αα=,则11sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】43-【解析】∵7sin22cos αα=,∴14sin cos 2cos ααα=,由于2παπ<<,∴1sin 7α=, 243cos 1sin 7αα=--=-，由诱导公式得: 1143sin cos 27απα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故答案为437-. 2。
【浙江省杭州二中】已知02πα<<,02πβ-<<，3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________，sin β=_______.【答案】45，725-以()()()33447sin sin sin cos cos sin 555525βααβααβααβ=--=---=⨯-⨯=-⎡⎤⎣⎦，所以答案应填：45，725-． 3。
【浙江高三模拟】已知3cos()45πα+=，322ππα≤<,则cos 2α=________．【答案】2425-。
4。
【2018湖北，部分重点中学7月联考】已知,2sin cos 5R ααα∈-=，则sin α= ， tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= 。
【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得, 5cos α=-， tan 2α∴=-， tan tan4tan 341tan tan 4παπαπα-⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭+． 5.【2017浙江省上学期高考模拟】已知函数()sin sin()6f x x x π=+。
（1）求()f x 的最小正周期；（2)当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围。
【答案】（1)π；（2）13[0,]2+。
【解析】∴函数()f x的取值范围为1[0,2+.B 能力提升训练1。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第四章第4讲简单的三角恒等变换含解析
[基础达标]1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( ) A ．34B ．38 C.18 D ．14解析：选C.原式＝12sin 15°cos 15°＝14×2sin 15°cos 15° ＝14sin 30°＝18. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833C ．4D ．8解析：选D.因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎫tan x ＋cos x sin x ＝2×⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x，所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8.3．若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α等于( ) A ．429B ．－429C ．79D ．－79解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α－1＝－79. 4．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.因为0<α，β<π2，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.5．(2019·台州质检)4sin 80°－cos 10°sin 10°等于( )A ． 3B ．－ 3C ． 2D ．22－3解析：选B.依题意，因为sin 80°＝cos 10°， 所以4sin 80°－cos 10°sin 10°＝4sin 10°cos 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝2sin （30°－10°）－cos 10°sin 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°－cos 10°sin 10°＝－3sin 10°sin 10°＝－3，选B.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sin θ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6的值是( ) A ．45B ．435C ．－45D ．－435解析：选C.因为cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sin θ＝435，所以32cos θ＋32sin θ＝435，即3⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝435， 即3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－45.故选C. 7.11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：338．(2019·温州中学高三模考)已知向量a ＝(sin α＋cos α，1)，b ＝(1，－2cos α)，a ·b ＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α＝________，cos α＝________．解析：由题设可得sin α＋cos α－2cos α＝15，即sin α－cos α＝15，联立sin 2α＋cos 2α＝1，由此可得sin α＝45，cos α＝35. 答案：45 359．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________．解析：因为sin αcos α1－cos 2α＝12，所以sin αcos α2sin 2α＝12，cos αsin α＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝12， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1－121＋1×12＝13. 答案：1310．(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为：S ＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，减去四个小直角三角形的面积得S 1＝S －sin αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S 2＝sin αcos β＋cos αsin β.答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：原式＝cos θ－sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ， 又⎝⎛⎭⎫π4－θ＋⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝π2，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ. 因为tan 2θ＝2 tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－12或tan θ＝2， 又π<2θ<2π，所以π2<θ<π，所以tan θ＝－12，所以原式＝1＋121－12＝3＋2 2.[能力提升]1．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：选D.由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以tan 2α＝－247，所以tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°， 若m 2＋n ＝4，则n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2sin 36°sin 36°＝2. 3．(2019·台州市书生中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知a －b ＝2，c＝4，sin A ＝2sin B ，则△ABC 的面积为________，sin(2A －B )＝________．解析：由sin A ＝2sin B 得，a ＝2b ，结合已知可知，a ＝c ＝4，b ＝2，则cos A ＝14，sin A ＝154，S ＝12bc sin A ＝15， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝78，sin B ＝158， sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝2sin A cos A cos B －(cos 2A －sin 2A )sin B ＝2×154×14×78－⎝⎛⎭⎫116－1516×158＝71532. 答案：15715324．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________． 解析：由53sin α＋5cos α＝8，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，β＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，由已知得 sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝22. 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－22. 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β）＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝－210. 答案：－2105．已知sin β＝m sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α.证明：因为sin β＝m sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]， 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，所以(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α，所以原式成立．6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中C ，O ，A 在一条直线上，∠ACB ＝π4，记该设施平面图的面积为S (x )m 2，∠AOB ＝x rad ，其中π2<x <π.(1)写出S (x )关于x 的函数关系式．(2)如何设计∠AOB ，使得S (x )有最大值？解：(1)因为扇形AOB 的半径为2 m ，∠AOB ＝x rad ， 所以S 扇形＝12x ·22＝2x ，过点B 作边AC 的垂线，垂足为点D ，如图所示：则∠BOD ＝π－x ，所以BD ＝2sin (π－x )＝2sin x ， OD ＝2cos (π－x )＝－2cos x ，因为∠ACB ＝π4，所以CD ＝BD ＝2sin x ，所以S △BOC ＝12CO ·BD ＝12(2sin x －2cos x )×2sin x ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ，所以S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x .(2)根据(1)，得到S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x ， 所以S ′(x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋2，令S ′(x )＝0， 所以22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－22， 所以2x －π4＝5π4，所以x ＝3π4，根据实际意义知，当x ＝3π4时，该函数取得最大值，故设计∠AOB ＝3π4时，S (x )有最大值．。
4.3 简单的三角恒等变换(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)含解析
第03节三角恒等变换【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测简单的三角恒等变换①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式。
②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2013浙江文6；理6；2014浙江文4，18；理4,18；2015浙江文11，16；理11；2016浙江文11；理10，16;2017浙江14，18.1。
和（差）角公式；2。
二倍角公式;3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.4。
备考【知识清单】1。
两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）:cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C（α＋β）:cos（α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S（α＋β)：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin（α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ;T（α＋β）：tan(α＋β)＝错误!；T （α－β)：tan （α－β）＝错误!。
变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β）(1∓tan αtan β）；)4sin(2cos sin πααα±=±.函数f （α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f （α)＝错误!sin （α＋φ）或f （α)＝错误!cos （α－φ），其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 对点练习：【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于（ ) A. 7 B 。
17C 。
1 D. 0【答案】A本题选择A 选项。
2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝错误!.变形公式：cos 2α＝错误!,sin 2α＝错误!1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2 对点练习：【2017浙江，18】已知函数f (x ）=sin 2x –cos 2x –23 sinx cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值．（Ⅱ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ)最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【解析】（Ⅱ）由x x x 22sin cos2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以)(x f 的最小正周期是π由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ 解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【考点深度剖析】对于三角恒等变换,高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查,在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】0002cos10sin20sin70-的值是（ ） A. 12 B 。
2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题4.3简单的三角恒等变换(讲)含解析
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章三角函数与解三角形第03讲简单的三角恒等变换 ---讲1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3.高考预测：（1）和（差）角公式；（2）二倍角公式；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.4.备考重点：(1) 掌握和差倍半的三角函数公式；(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.知识点1．两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．【典例1】（2019·江西高考模拟（文））如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠= 点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A B 433+ C 343- D 343+ 【答案】A 【解析】 由题意得：故选A 【总结提升】三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 【变式1】（2019·四川高考模拟（理））已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则 ( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】∴则故选：C ．知识点2．二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【典例2】（2017·全国高考真题（文））已知，则（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】.所以选A. 【总结提升】明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． 【变式2】（2019·河南高考模拟（理））已知，则tan2α=（ ）A ．-B ．C ．D 【答案】A 【解析】 由题，则故tan2α=故选：A考点1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是( )A B 343+ C ．4-3310D ．43310+ 【答案】C 【解析】依题意，有：3cos 5α=，4sin 5α=，，1sin 2β=，()cos βα-＝.故答案为：C.【总结提升】三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【变式3】（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点，xOP α∠=，若，则00y x +为_____．1531+【解析】 由题意知：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由，得，，故答案为：3126. 考点2 两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2018年全国卷II 文）已知，则__________．【答案】.【解析】，解方程得.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．【变式4】（2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知α是第二象限角，且，则tan 2α的值为（ ） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-【答案】C 【解析】 由，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-...故选C.考点3 二倍（半）角公式的应用【典例5】（2016·全国高考真题（理））若，则sin 2α=（ ）A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D 【解析】，且，故选D.【总结提升】转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．【变式5】（2019·湖北高三月考（文））已知α是第一象限角，sin α=2425，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】D 【解析】∵α是第一象限角，sin α=2425=， π2+，k ∈Z ， ∴k π2α<<k ππ4+，k ∈Z ， ∴0<tan2α<1，∴sin α＝2sin2αcos ，整理得：212tan 2α-25tan 2α+120＝，解得tan 423α=（舍去）或tan 2α=34．故选D ． 考点4简单的三角恒等变换---化简与证明【典例6】求证：.【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++＝右边．故原式得证．【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．【变式6】（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.【答案】.【解析】由，得化为，，，的最大值为，故答案为.。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第四章第4讲简单的三角恒等变换含解析
[基础达标]1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( ) A ．34B ．38 C.18 D ．14解析：选C.原式＝12sin 15°cos 15°＝14×2sin 15°cos 15° ＝14sin 30°＝18. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833C ．4D ．8解析：选D.因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎫tan x ＋cos x sin x ＝2×⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x，所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 3．若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α等于( ) A ．429B ．－429C ．79D ．－79解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α－1＝－79. 4．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.因为0<α，β<π2，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.5．(2019·台州质检)4sin 80°－cos 10°sin 10°等于( )A ． 3B ．－ 3C ． 2D ．22－3解析：选B.依题意，因为sin 80°＝cos 10°， 所以4sin 80°－cos 10°sin 10°＝4sin 10°cos 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝2sin （30°－10°）－cos 10°sin 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°－cos 10°sin 10°＝－3sin 10°sin 10°＝－3，选B.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sin θ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6的值是( ) A ．45B ．435C ．－45D ．－435解析：选C.因为cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sin θ＝435，所以32cos θ＋32sin θ＝435，即3⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝435， 即3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－45.故选C. 7.11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：338．(2019·温州中学高三模考)已知向量a ＝(sin α＋cos α，1)，b ＝(1，－2cos α)，a ·b ＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α＝________，cos α＝________．解析：由题设可得sin α＋cos α－2cos α＝15，即sin α－cos α＝15，联立sin 2α＋cos 2α＝1，由此可得sin α＝45，cosα＝35.答案：45 359．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________．解析：因为sin αcos α1－cos 2α＝12，所以sin αcos α2sin 2α＝12，cos αsin α＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝12， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1－121＋1×12＝13. 答案：1310．(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为：S ＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，减去四个小直角三角形的面积得S 1＝S －sin αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S 2＝sin αcos β＋cos αsin β.答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：原式＝cos θ－sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ， 又⎝⎛⎭⎫π4－θ＋⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝π2，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ. 因为tan 2θ＝2 tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－12或tan θ＝2， 又π<2θ<2π，所以π2<θ<π，所以tan θ＝－12，所以原式＝1＋121－12＝3＋2 2.[能力提升]1．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：选D.由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以tan 2α＝－247，所以tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731.2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°， 若m 2＋n ＝4，则n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2sin 36°sin 36°＝2. 3．(2019·台州市书生中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知a －b ＝2，c ＝4，sin A ＝2sin B ，则△ABC 的面积为________，sin(2A －B )＝________．解析：由sin A ＝2sin B 得，a ＝2b ，结合已知可知，a ＝c ＝4，b ＝2，则cos A ＝14，sin A ＝154，S ＝12bc sin A ＝15， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝78，sin B ＝158， sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝2sin A cos A cos B －(cos 2A －sin 2A )sin B ＝2×154×14×78－⎝⎛⎭⎫116－1516×158＝71532. 答案：15715324．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________． 解析：由53sin α＋5cos α＝8，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，β＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，由已知得 sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝22. 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－22. 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β）＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝－210. 答案：－2105．已知sin β＝m sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α.证明：因为sin β＝m sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]， 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，所以(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α，所以原式成立．6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中C ，O ，A 在一条直线上，∠ACB ＝π4，记该设施平面图的面积为S (x )m 2，∠AOB ＝x rad ，其中π2<x <π.(1)写出S (x )关于x 的函数关系式．(2)如何设计∠AOB ，使得S (x )有最大值？解：(1)因为扇形AOB 的半径为2 m ，∠AOB ＝x rad ， 所以S 扇形＝12x ·22＝2x ，过点B 作边AC 的垂线，垂足为点D ，如图所示：则∠BOD ＝π－x ，所以BD ＝2sin (π－x )＝2sin x ， OD ＝2cos (π－x )＝－2cos x ，因为∠ACB ＝π4，所以CD ＝BD ＝2sin x ，所以S △BOC ＝12CO ·BD ＝12(2sin x －2cos x )×2sin x ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ，所以S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x .(2)根据(1)，得到S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x ， 所以S ′(x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋2，令S ′(x )＝0， 所以22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－22， 所以2x －π4＝5π4，所以x ＝3π4，根据实际意义知，当x ＝3π4时，该函数取得最大值，故设计∠AOB ＝3π4时，S (x )有最大值．。
高考数学一轮复习(浙江版)专题4.3简单的三角恒等变换(练)含解析
第四章三角函数与解三角形第03节简单的三角恒等变换A 基础巩固训练1.【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。
详解：故答案为B.2.【浙江高三模拟】已知，，则________．【答案】.【解析】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.3.【2018湖北,部分重点中学7月联考】已知，则，= .【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得，，，．4.【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知，，则__________．【答案】5.【浙江省杭州二中】已知,,，且，则________，_______.【答案】，【解析】因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，所以答案应填：，．B能力提升训练1. 若且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，，所以，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.2.【2018届重庆市第三次抽测】已知直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于的关系式即可.详解：由题设有，.故选A.3. 已知，且，则的是（）A． B． C． D．【答案】C4.【2018安徽蚌埠市第二中学7月】已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据二倍角公式，，即，所以，故选择A.5.【2018届湖北省黄冈中学5月第三次模拟】已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.C思维扩展训练1.已知，满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，得，∵，∴，，，即时等号成立，所以，所以．选B．2.【2017浙江台州4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知，则．【答案】-1【解析】注意观察求知角x和已知角的关系可发现求知角均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．故答案为：-1．4.已知，则．【答案】5. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）当，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用两向量的夹角余弦等于两向量的数量积除以两向量的模的乘积即夹角公式即可；（II）利用向量的的有关知识化简函数得，再利用正弦函数的单调性求其最大值试题解析：（1）因为，，，，所以.（2）因为，所以，又所以，因，所以，所以，从而.。
精品(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(练)
第03节简单的三角恒等变换A 基础巩固训练1.【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。
详解：故答案为B.2.【浙江高三模拟】已知，，则________．【答案】.【解析】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.3.【2018湖北,部分重点中学7月联考】已知，则，= .【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得，，，．4.【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知，，则__________．【答案】5.【浙江省杭州二中】已知,,，且，则________，_______. 【答案】，【解析】因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，所以答案应填：，．B能力提升训练1. 若且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，，所以，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.2.【2018届重庆市第三次抽测】已知直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于的关系式即可.详解：由题设有，.故选A.3. 已知，且，则的是（）A． B． C． D．【答案】C4.【2018安徽蚌埠市第二中学7月】已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据二倍角公式，，即，所以，故选择A.5.【2018届湖北省黄冈中学5月第三次模拟】已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.C思维扩展训练1.已知，满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，得，∵，∴，，，即时等号成立，所以，所以．选B．2.【2017浙江台州4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知，则．【答案】-1【解析】注意观察求知角x和已知角的关系可发现求知角均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．故答案为：-1．4.已知，则．【答案】5. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）当，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用两向量的夹角余弦等于两向量的数量积除以两向量的模的乘积即夹角公式即可；（II）利用向量的的有关知识化简函数得，再利用正弦函数的单调性求其最大值试题解析：（1）因为，，，，所以.（2）因为，所以，又所以，因，所以，所以，从而.。
专题4.3简单的三角恒等变换测2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版Word版含解析
第03节 三角恒等变换班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【2018甘肃省天水一中上学期开学】sin75sin15cos75cos15+o o o o 的值为（ ）A. 1B. 0C. 12D. 3【答案】C【解析】()sin75sin15cos75cos15cos 7515cos60+=-=︒o o o o o o =12. 故选：C2.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D3.已知10,2sin cos a R αα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．17【答案】B【解析】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即233sin 4sin cos 2ααα-=，所以22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα-=+， 即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--， 从而得tan(2)74πα-=-.4.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值与最大值的和等于( )A .-2B .0C .32-D .12- 【答案】C5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( ) A ．13 B ．13- C ．23D ．23-【答案】C【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=，故选C. 6. 已知tan 222α=-42ππα<<，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+--απαα4sin 21sin 2cos 22值（ ）A ．2B ．－2C ．223+-D ．223- 【答案】C 【解析】22tan tan 2221tan ααα==--22tan 20αα-=, 解得2tan 2α=-或tan 2α=．因为42ππα<<,所以tan 2α=． 22cos sin 1cos sin 222sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++1tan 22231tan 12αα-===++．故C 正确．7．【2018河北内丘中学8月】若()sin 2sin 2cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A. 45-B. 45C. 35-D. 35【答案】C8. 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为)4()(4πββαπα--+=+， 所以223)tan()tan(1)4tan()tan()]4()tan[()4tan(=-++--+=--+=+πββαπββαπββαπα，答案选C. 9.设a R ∈，函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-满足()(0)3f f π-=．则()f x 的单调递减区间为（ ） A. )Z ](65,3[∈+-k k k ππππ B. )Z ](65,6[∈++k k k ππππ C. )Z ](3,65[∈--k k k ππππ D.)Z ](65,3[∈++k k k ππππ 【答案】D【解析】2()cos (sin cos )cos ()sin 2cos 222af x x a x x x x x π=-+-=-， 由()(0)3f f π-=得：31142a -+=-，∴23a =，∴()3sin 2cos 22sin(2)6f xx x x π=-=-，由3222262k x k πππππ+≤-≤+得：536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调递减区间为：)Z ](65,3[∈++k k k ππππ. 10. 已知ABC ∆中，83sin ,cos 175A B ==，则cos C 等于 A ．1385-或7785 B ．7785 C ．7785- D ．1385-【答案】D11.已知函数23()3sin cos 32f x x x x ωωω=+-，其中0ω>.若()f x 在区间[,]36ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．23 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】因为sin y x =在每个区间[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈上为增函数，故23()3sin cos 33)(0)6f x x x x x πωωωωω=+=+>在每个闭区间[,]()36k k k Z ππππωωωω-+∈上为增函数，依题意知：[,][,]3636k k ππππππωωωω-⊆-+对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是3366ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω≤，故ω的最大值为1. 12.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C 【解析】 由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cossin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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第03讲 简单的三角恒等变换 ---讲1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3.高考预测：（1）和（差）角公式； （2）二倍角公式；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 4.备考重点：(1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.知识点1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．【典例1】（2019·江西高考模拟（文））如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠=点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A ．410B ．410+ C D ．310+ 【答案】A 【解析】 由题意得：故选A 【总结提升】三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 【变式1】（2019·四川高考模拟（理））已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则 ( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】∴则故选：C ．知识点2．二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【典例2】（2017·全国高考真题（文））已知，则（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】.所以选A. 【总结提升】明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．【变式2】（2019·河南高考模拟（理））已知，则tan2α=（ ）A ．-B ．C ．D ．2【答案】A 【解析】 由题，则故tan2α=故选：A考点1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是( )A BC ．10D ．410+ 【答案】C 【解析】依题意，有：3cos 5α=，4sin 5α=，，1sin 2β=， ()cos βα-＝.故答案为：C.【总结提升】三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【变式3】（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点，xOP α∠=，若，则00y x +为_____．【解析】由题意知：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由，得，，故答案为：126. 考点2 两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2018年全国卷II 文）已知，则__________．【答案】. 【解析】，解方程得.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．【变式4】（2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知α是第二象限角，且，则t a n 2α的值为（ ） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-【答案】C 【解析】由，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-...故选C.考点3 二倍（半）角公式的应用 【典例5】（2016·全国高考真题（理））若，则sin 2α=（ ）A ．725B ．15 C ．15-D ．725-【答案】D 【解析】，且，故选D.【总结提升】转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．【变式5】（2019·湖北高三月考（文））已知α是第一象限角，sin α=2425，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】D 【解析】∵α是第一象限角，sin α=2425=， π2+，k ∈Z ， ∴k π2α<<k ππ4+，k ∈Z ， ∴0<tan2α<1，∴sin α＝2sin2αcos ，整理得：212tan 2α-25tan 2α+120＝，解得tan 423α=（舍去）或tan 2α=34．故选D ． 考点4简单的三角恒等变换---化简与证明【典例6】求证：.【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++＝右边．故原式得证． 【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号． 2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．【变式6】（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.【答案】.【解析】由，得化为，，，的最大值为，故答案为.。