2-4-2平面向量数量积的坐标运算

合集下载

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。

2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)

§2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ，若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、讲解范例：五、设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )，由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）十、课后记：。

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4

第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时，则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．

高中数学必修四北师大版 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示ppt课件(17张)

示。（ 1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标。
注意事项
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的
起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置
有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的
法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学
习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要
内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，
充分体现了转化和数形结合的思想方法.
误区解密：
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求 d.
【解析】
k)．
(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋
2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)
课堂总结
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、 ya ，使得 = xi + y j
我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a =（x，y）其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标
平面向量的坐标运算自主探究
向量是可以作运算的，运用所学的知识研究两个向量的和与差的坐标表示，及实数与向量积的坐标表
顶点D的坐标。
预习测评
向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)， OA 则 (xy 2－ x1，＝________，若 A(x1， 1)， B(y x22－，y y12) )，则 AB ＝
(
________________________.

最新-2021版高中数学人教B版必修四课件：第二单元 233 向量数量积的坐标运算与度量公式精品

π A.6
√B.π4
π
π
C.3
D.2
解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
5 10×
5＝ 22.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a 与 b 的夹角为π4.
12345
解析答案
2.已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC 等于
12345
解答
规律与方法
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形” 转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋ y1y2＝0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”，稍不注意就会带来失误与错误.
答案
梳理
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ a1b1＋a2b2 .即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.
知识点二向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考
若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a＝(a1，a2)， ∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2) ＝a21＋a22， ∴|a|＝ a21＋a22.

高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第二章平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习随堂应用练习思路方法技巧课后强化作业名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ，则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
新课引入
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！

高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》

2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2

3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、向量的夹角、模的公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示解决处理有关长度、垂直及夹角的几个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角

第四章第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例

平面向量的数量积及平面向量应用举例
1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量．掌握数量积的坐标表达式，积的运算．积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积．能运用数量积表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实．际问题．际问题．
(2)法一：a－2b＝(3，－－2(2,1)＝(－1，－，法一：－＝，－，－4)－，－6)，法一＝－，－ 2a＋3b＝2(3，－＋3(2,1)＝(12，－，＋＝，－，－4)＋，－5)，＝，－ (a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18. －＋＝－ × ＋－ ×－＝法二：－法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2 ＋＝－＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18. －－＋－－＝
三、向量数量积的性质〈，〉 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ |a|cos〈a，e〉．．如果是单位向量是单位向量，＝＝＝ 2．a⊥b⇒ a·b＝0 且a·b＝0⇒ a⊥b. ． ⊥ ⇒ ＝ ⇒ ⊥ 3．a·a＝ |a| ，|a|＝ a·a . ．＝＝ 4．cos〈a，b〉＝．〈，〉 5．|a·b| ≤ |a||b|. ．
[题组自测题组自测] 题组自测 1．已知下列结论：①|a|2＝a2；②(a·b)2＝a2·b2；③(a－．已知下列结论：－ b)2＝a2－2a·b＋b2；④若a2＝a·b，则a＝b，其中正确＋，＝，的个数有 A．1 ． C．3 ．答案：答案：B B．2 ． D．4 ． ( )

数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），

则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为，（ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为， 4 求k的值.

高中数学：第二章平行向量241(二) Word版含答案

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(×)3．λ(a·b)＝λa·b.(√)类型一向量数量积的运算性质例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确结论的序号是________．考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★①③④解析根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确结论的序号是①③④.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是()A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝a2考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则★答案★D解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝a2，所以D正确．类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题例2 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数解由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 若c ⊥d ，则c·d ＝0，∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数 ★答案★ 2解析由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数 ★答案★ (0,1)∪(1，＋∞)解析 ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟向量a ，b 的夹角为锐角，得到a·b >0；反之，a·b >0不能说明a ，b 的夹角为锐角，因为a ，b 夹角为0°时也有a·b >0.同理，向量a ，b 的夹角为钝角，得到a ·b <0；反之，a ·b <0不能说明a ，b 的夹角为钝角，因为a ，b 夹角为180°时也有a ·b <0.跟踪训练3 若向量e 1，e 2满足|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数解设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ<0，故(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝2t e 21＋(－2t ＋1)e 1·e 2－e 22＝t －12<0，解得t <12. 又当θ＝π时，也有(2t e 1＋e 2)·(e 1－e 2)<0，但此时夹角不是钝角，设向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2反向，则2t e 1＋e 2＝k (e 1－e 2)(k <0)，又e 1与e 2不共线，从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，1＝－k ，解得t ＝－12，即当t ＝－12时，向量2t e 1＋e 2与向量e 1－e 2的夹角为180°，故t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪t <12，且t ≠－12.1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点平面向量数量积的运算性质与法则题点向量的运算性质与法则 ★答案★ C解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( ) A ．2 B ．2 3 C ．6 D ．12考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质与法则 ★答案★ B解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3.3．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数 ★答案★ B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a·b >0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用 ★答案★ D解析由AB →·BC →>0知，BA →·BC →<0，即角B 为钝角．5．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角 ★答案★3π4解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .一、选择题1．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c考点平面向量数量积的运算性质和法则题点向量的运算性质和法则 ★答案★ B解析 b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数 ★答案★ A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.3．(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a ，b 为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角 ★答案★ B解析设a 与b 的夹角为θ. 因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0， (b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b ，所以a 2＝b 2，所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a·b |a||b|＝a·b |a|2＝a·b a 2＝a ·b 2a ·b ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.所以a ，b 夹角为π3.4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用 ★答案★ B解析由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角 ★答案★ C解析由题知，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]， ∴a ，b 的夹角为120°.6．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.37 B ．13 C ．6 D.127 考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数 ★答案★ D解析 ∵AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 120° ＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3. ∵AP →·BC →＝(AC →＋λAB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝127，故选D.7．(2017·惠州高一检测)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用 ★答案★ A解析因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，又因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．二、填空题8．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 ________. 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角 ★答案★ π3解析因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.9．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用★答案★233解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2， |a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°，化简得32a 2－2b 2＝0，∴|a ||b |＝233. 10．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用 ★答案★ 4解析方法一由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0，即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.方法二如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ， ∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ，又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.11．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用 ★答案★2π3解析由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2，即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2，设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1，即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0，因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，所以Δ＝16cos 2θ＋4(1＋4cos θ)≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，则k 的取值范围为________．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用 ★答案★ {k |k <0或k >2} 解析因为|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1. 因为a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos 120°＝－12，所以k 2－2k >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，k －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2<0，解得k <0或k >2，即k 的取值范围是{k |k <0或k >2}．三、解答题13．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数解设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ.根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＋1>0，t ＋7<0或⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋1<0，t ＋7>0，解得－7<t <－12. 当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，由e 1与e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14，t ＝－142. ∴实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. 四、探究与拓展14．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B ．1 C. 2 D ．2考点平面向量数量积的运算性质和法则题点求向量的数量积的最值★答案★ B解析由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.15．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)，∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝16|b |2cos 2θ－4|b |2≥0，解得cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3.。

高一数学必修4同步练习：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11[答案] C[解析] a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3. 2．已知a ＝(1，－2)，b ＝(3,4)，则a 在b 方向上的投影是( ) A ．1 B ．－1 C. 5 D ．－ 5[答案] B[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝|a ||b |cos θ|b |＝a ·b |b |＝1×3＋4×(－2)9＋16＝－1.3．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与b 垂直，则实数x 的值为( )A.233B.323 C ．2 D ．－25[答案] D[解析] 由于向量a ＋x b 与b 垂直，则(a ＋x b )·b ＝0，所以a ·b ＋x b 2＝0，则6－4＋5x ＝0，解得x ＝－25.4．已知向量a ＝(1,2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．25[答案] C[解析] ∵|a －b |＝25，∴(a －b )2＝20. ∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20. ∴5－2×5＋|b |2＝20.∴|b |＝5.5．(2011·上海春季高考)若向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论正确的是( )A ．a ·b ＝1B ．|a |＝|b |C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b[答案] C[解析] 由于a ·b ＝2，所以A 项不正确；由于|a |＝2，|b |＝2，则|a |≠|b |，所以B 项不正确；由于a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a －b )⊥b ，所以C 项正确；由于2×1－0×1＝2≠0，则a ，b 不共线，所以D 项不正确．6．(2011～2012·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 [答案] B[解析] 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)，则a ·b ＝2，|a |＝2，|b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22.又θ∈[0，π]，所以θ＝π4.7．(2011～2012·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D. 3[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×1×12＝1.8．(2012·全国高考重庆卷)设x ，y ∈R ，向量a (x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10[答案] B[解析] 由a ⊥c ，得2x －4＝0 则x ＝2，由b ∥c 得－4＝2y 则y ＝－2，|a ＋b |＝(2＋1)2＋(1－2)2＝10[考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式，解决问题的关键在于根据a ⊥c ，b ∥c ，得到x ，y 的值，只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算。

高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案

命题走向
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2017年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
法二： · ＝ ·( ＋ )
＝ ·( ＋＋ )
＝2 · ＋ ·
＝2| |·| |·cos ，
＝2×| |·| |·
＝2×| |2＝2×32＝18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是( )
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则( )
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
二．典例分析
(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6B．5
C．4D．3
(2) (2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 · ＝________.

人教版高中数学高一A版必修4 第二章第四节平面向量的数量积(第三课时)

第二章第四节平面向量的数量积第三课时整体设计教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分．在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是平面向量数量积的第二部分．前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示．那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题．另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来．利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示．教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．三维目标1．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法．2．掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．3．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力和创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示．教学难点：向量数量积的坐标表示的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示？②已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a·b 呢？③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示．两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示．教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过程如下：∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，∴a·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i·j ＋x 2y 1i·j ＋y 1y 2j 2.又∵i·i ＝1，j·j ＝1，i·j ＝j·i ＝0，∴a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2，或|a |＝x 2＋y 2. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么 a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3°两向量垂直的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.讨论结果：略．应用示例例1已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)三点，我们发现△ABC 是直角三角形．下面给出证明．∵AB →＝(2－1,3－2)＝(1,1)，AC →＝(－2－1,5－2)＝(－3,3)，∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.∴AB →⊥AC →.∴△ABC 是直角三角形．点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你例2(1)已知三点A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值；(2)a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，求a 与b 的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)的数量积a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2和模|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532·37＝57474. (2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与例3已知|a |＝3，b ＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a ⊥b ，求a ；(2)若a ∥b ，求a .活动：对平面中的两向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是a·b ＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的变形训练．解：(1)设a ＝(x ，y )，由|a |＝3且a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝|a |2＝9，2x ＋3y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－91313，y ＝61313或⎩⎨⎧ x ＝91313，y ＝－61313. ∴a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)． (2)设a ＝(x ，y )，由|a |＝3且a ∥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝|a |2＝9，3x －2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝61313，y ＝91313或⎩⎨⎧ x ＝－61313，y ＝－91313.∴a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313)．点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断知能训练课本本节练习．解答：1．|a|＝5，|b|＝29，a·b ＝－7.2．a·b ＝8，(a ＋b )·(a －b )＝－7，a·(a ＋b )＝0，(a ＋b )2＝49.3．a·b ＝1，|a|＝13，|b|＝74，θ≈88°.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．作业课本习题2.4 A组8、9、10.设计感想由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径．通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解，同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．备课资料一、|a·b|≤|a||b|的应用若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤x21＋y21x22＋y22⇔(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)．不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)．例1(1)已知实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是________；(2)已知实数x，y满足(x＋2)2＋y2＝1，则2x－y的最大值是________．解析：(1)令m＝(x，y)，n＝(1,1)．∵|m·n|≤|m||n|，∴|x＋y|≤x2＋y2·2，即2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝16.∴x2＋y2≥8，故x2＋y2的最小值是8.(2)令m＝(x＋2，y)，n＝(2，－1)，2x－y＝t.由|m·n|≤|m||n|，得|2(x＋2)－y|≤(x＋2)2＋y2·5＝5，即|t＋4|≤ 5.解得－4－5≤t≤5－4.故所求的最大值是5－4.答案：(1)8 (2)5－4例2已知a，b∈R，θ∈(0，π2)，试比较a2cos2θ＋b2sin2θ与(a＋b)2的大小．解：构造向量m＝(acosθ，bsinθ)，n＝(cosθ，sinθ)，由|m·n|≤|m||n|得(a cos θcos θ＋b sin θsin θ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b ∈R ，m ，n ∈R ，且mn ≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小．解：构造向量p ＝(a n ，b m)，q ＝(n ，m )，由|p ·q |≤|p ||q |得 (a n ×n ＋b m ×m )2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m 2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2， ∴M >N .例3设a ，b ∈R ，A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z }，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m ∈Z }，C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A ∩B ≠∅与(a ，b )∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧na ＋b ＝3n 2＋15，①a 2＋b 2≤144. ② 设存在a 和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b )，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b )2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)，∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1)⇒n 4－6n 2＋9≤0.解得n ＝±3，这与n ∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件．二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( ) A ．3 B.13C ．－13D ．－3 答案：C2．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( )A ．m >12B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12答案：D3．若a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．(a ＋b )⊥(a －b )D ．(a ＋b )∥(a －b )答案：C4．与a ＝(u ，v )垂直的单位向量是( )A ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v2) B ．(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) C ．(v u 2＋v 2，u u 2＋v 2) D ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v 2)或(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) 答案：D5．已知向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b (t ∈R )，求u 的模的最小值．答案：解：|a |＝cos 223°＋cos 267°＝cos 223°＋sin 223°＝1，同理有|b |＝1.又a ·b ＝cos23°cos68°＋cos67°cos22°＝cos23°cos68°＋sin23°sin68°＝cos45°＝22， ∴|u |2＝(a ＋t b )2＝a 2＋2t a·b ＋t 2b 2＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12≥12. 当t ＝－22时，|u |min ＝22. 6．已知△ABC 的三个顶点为A (1,1)，B (3,1)，C (4,5)，求△ABC 的面积．答案：分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin ∠BAC 可先求出cos ∠BAC .解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35. ∴sin ∠BAC ＝45. ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝12×2×5×45＝4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．。

数学：2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(1)(新人教B版必修4)

AC = (−2 − 1,5 − 2) = ( −3,3)
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0

平面向量的基本定理及坐标表示重难点解析版

突破6.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、学情分析二、学法指导与考点梳理知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) 数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·江西高一期末）设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e - D ．121128e e -+与1214e e - 【答案】C 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底. 故选：C ．（2）.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．21318BA BC -+B ．21318BA BC +C ．41318BA BC +D ．21318BA BC -【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】由题可得：FE FC CE =+ 1232BC CD =+ ()1223BC CB BA AD =+++ 121233BC BC BA BC ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭21318BA BC =+．故选：B ．【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（） A ．12e e -，21e e - B ．12e e -，12e e + C ．212e e -，212e e -+ D ．122e e +，124e 2e +【答案】B 【解析】【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ；因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ，故选：B【变式训练1-2】、（2022·江西上饶·一模（理））如图，在ABM 中，3BM CM =，27AN AM =，若AN AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．17-B ．17C ．27-D ．27【答案】D 【解析】【分析】由向量的线性运算把AN 用,AB AC 表示出来后可得结论．【详解】 ()22227777AN AM AB BM AB BM ==+=+ 2232313()7727777AB BC AB BA AC AB AC =+⨯=++=-+，所以13,77λμ=-=，132777λμ+=-+=，故选：D(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知平面向量()()2,3,24,5a a b =--=，则a b =___________.【答案】3 【解析】【分析】设(),=b x y ，利用()24,5-=a b ，求得b ，再利用数量积公式可得多大啊. 【详解】设(),=b x y ，由已知得224325x y --=⎧⎨-=⎩，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，即()3,1b =--，所以()()2,33,1633⋅=-⋅--=-=a b . 故答案为：3.（2）.（2022·全国·高一专题练习）已知A (1，2)，B (3，－1)，C (3，4)，则AB AC ⋅等于（） A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2【答案】D 【解析】【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决【详解】∵()2,3AB =-,()2,2AC = ∴()22322AC AB ⋅=⨯+-⨯=- 故选: D .（3）.（2022·山东济南·二模）若平面向量a 与b 同向，(2,1)a =，||25b =，则b =（） A ．(4,2)B ．(2,4)C ．(6,3)D ．(4,2)或(2,4)【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设()0b a λλ→→=>，进而根据||25b →=b →. 【详解】因为,a b →→同向，所以设()0b a λλ→→=>，则22||215252b λλλ→=+==，于是，()4,2b →=. 故选：A.【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知向量()()2,6,1,a b λ==-，若//a b ，则a b λ+=______. 【答案】(5,15) 【解析】【分析】由向量平行得3λ=-，再进行向量的坐标运算即可得答案. 【详解】解：因为()()2,6,1,a b λ==-，//a b ，所以62λ-=，解得3λ=-，所以()()()2,631,35,15a b λ+=---=. 故答案为：()5,15【变式训练2-2】、（2022·青海西宁·高一期末）设()3,1OM =，()5,1ON =--，则MN =（）. A ．()8,2-- B ．()8,2C ．()8,2-D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】由向量坐标的减法运算可得答案. 【详解】因为()3,1OM =，()5,1ON =--，所以()()()5,13,18,2=-=---=--MN ON OM . 故选：A.(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）．（2022·陕西·高三期末（文））已知向量(1,7a =-，3b =，36a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A 【解析】【分析】先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将36a b ⋅=展开，即可求得答案.因为(1,7a =-，所以22||1(7)22a =+-= 又因为36a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ ，[0,]θπ∈ ，所以||||cos 36a b θ=，即23cos 36θ⨯=，解得3cos θ=，故6πθ= ，故选：A.（2）．（2021·重庆一中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-【答案】BD 【解析】【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ．【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误；对于B ，∵()1,1a b =-+，∴()22112a b +=-+=B 正确；对于C ，∵()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，∴a b ⊥不成立，故C 错误；对于D ，∵(12214cos ,555a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-⨯，故D 正确．故选：BD ．【变式训练3-1】．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（多选题）向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =，则2a b -的值可以是（） A ．2 B ．22C ．4D ．2【答案】ABC 【解析】【分析】利用公式表达出2a b -，利用三角函数恒等变换，求出2a b -的范围，进而求出结果.())()22cos ,2sin 3,12cos 3,2sin 1a b θθθθ-=-=-，所以()()22π22cos 32sin 1843cos 4sin 88sin 3a b θθθθθ⎛⎫-=-+----+ ⎪⎝⎭因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈，显然ABC 均满足题意.故选：ABC【变式训练3-2】.（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（） A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ；根据向量数量积的坐标表示即可判断B ；根据()cos ,a b a a b aa b a+⋅+=+即可判断C ；根据投影向量的定义即可判断D. 【详解】解：(2,23a b +=，则4124a b +=+，故A 错误；()2a b a +⋅=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b aa b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a b a a a a+⋅=，故D 正确. 故选：BD.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)、（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（文））已知()1,2a m =+-，()2,3b m =+，若a b ⊥，则m =______. 【答案】1或4- 【解析】【分析】根据向量垂直得到等量关系，求出结果. 【详解】由题意得：()()1260m m ++-=，解得：1m =或4-，经检验，均符合要求. 故答案为：1或4-(2)、（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，若a b ∥，则m =___________. 【答案】3- 【解析】【分析】由a b ∥，列方程求解即可【详解】因为平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，且a b ∥，所以23m m =-，得3m =-，故答案为：3-（3）、（2022·辽宁·高一期末）已知向量()1,a m =-，()2,4b =，若a 与b 共线，则m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】由题意得24m =-，即2m =-. 故选：C【变式训练4-1】、（2022·广东湛江·高二期末）已知向量()2,3a =-，()1,2b =-，且()a kb a +⊥，则k =___________.【答案】138【解析】【分析】求出向量a kb +的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的等式，即可解得k 的值. 【详解】由题意可得()2,32a kb k k +=--+，因为()a kb a +⊥，所以()()()223320a kb a k k +=---+=⋅，即1380k -=，解得138k =. 故答案为：138. 【变式训练4-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量()12a =,，()22b =-,，()1c λ=,.若()//2c a b +，则λ=________. 【答案】12 【解析】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可. 【详解】由题可得()24,2a b +=， ()//2c a b +，又()1,c λ=， 4λ20∴-=，1λ2∴=.故答案为：12.【变式训练4-3】．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()a b λ+∥()2a b -，则实数λ=（） A ．12B ．12-C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出a b λ+，2a b -，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得()2,1a b =++-λλλ，()23,3a b -=-，又因为()a b λ+∥()2a b -，所以有()()3231+=--λλ，解得12λ=-.故选：B例5．（2022·重庆八中高一期末）已知3a =，4b =. (1)若a 与b 的夹角为60︒，求()2a b a +⋅；(2)若a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？【答案】(1)21 (2)34k =±【解析】【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；（2）根据()()0a kb a kb +-=解方程即可得答案. (1)解： ()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= (2)解：∵向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()0a kb a kb +-=，整理得2220a k b -=，又3a =，4b =，∴29160k -=，解得34k =±.∴当34k =±时，向量a kb +与a kb -互相垂直.【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].a x x b x ==-∈ (1)若a b ⊥，求x 的值；(2)记()f x a b =⋅，解不等式()3f x ≥【答案】(1)3π(2)[0,]6π 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，数量积为零得到关于x 的方程，即可得答案. （2）先根据数量积的坐标运算得到()f x a b =⋅的表达式，确定π31cos()62x -+，再解不等式，结合6x π+的范围，求得结果. (1)因为(cos ,sin )a x x =，(3,3b =-，a b ⊥，所以3cos 30x x =, 所以tan 3x =因为[0,]x π∈，所以3x π=.(2)()(π()cos ,sin 3,33cos 323)6f x a b x x x x x =⋅=⋅-==+.因为[]0,πx ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -+. 由()3f x ≥1cos()62x π+≥，所以1π3cos()262x +，所以663x πππ≤+≤，即06x π≤≤，故不等式()3f x ≥[0,]6π.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（） A ．1e 与12e e + B ．12e 2e -与21e 2e - C ．12e 2e -与214e 2e - D ．12e e +与12e e -【答案】C 【解析】【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底；对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解, 12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底；故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（） A 2B 2C 22D ．0【答案】C 【解析】【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由//a b 知：1×2－m 2＝0，即2m 2-故选：C.3．（2022·江西·高三期末（文））已知平面向量()1,3a =，()2,1b =-，若()a ab λ⊥+，则实数λ的值为（） A ．10 B ．8C ．5D ．3【答案】A 【解析】【分析】由()a ab λ⊥+，得()0a a b λ⋅+=，将坐标代入化简计算可得答案【详解】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()12,3a b λλλ+=+-. 因为()a ab λ⊥+，所以()12330λλ++-=，解得10λ=. 故选：A.4．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()2,c t =，下列说法正确的是（） A ．若()a b +//c ，则6t = B ．若()a b +⊥c ，则23t =C ．若1t =，则4cos ,5a c <>=D ．若向量a 与向量c 夹角为锐角，则1t >- 【答案】BC 【解析】【分析】若()()1122,,,a x y b x y ==，根据a ∥b 时1221x y x y =判断A 选项是否正确；根据a b ⊥时12120x x y y +=判断B 选项是否正确；根据121222221122cos ,x a b a b a bx y x y <>==++判断C 选项是否正确；根据向量a 与向量c 夹角为锐角时0a c >，且向量a 与向量c 不平行，判断C 选项是否正确. 【详解】()1,2a =，()2,1b =-，()=1,3a b ∴+-,()2,c t ==22a c t ∴+若()a b +//c ，()2,c t =123t ∴-⨯=⨯6t ∴=-，故A 不正确；若()a b +⊥c ，()2,c t =123=0t ∴-⨯+⨯23t ∴=，故B 正确；若1t =，则()2,1c =，=22=4a c t +，=5a ，5c =44cos ,555a c a c a c∴<>==⨯，故C 正确；若向量a 与向量c 夹角为锐角, 则0a c >()1,2a =(),2,c t ==1220a c t ∴⨯+⨯>1t∴>-若向量a 与向量c 平行，则1=22t ⨯⨯，=4t ，故向量a 与向量c 夹角为锐角时1t >-且4t ≠.故D 不正确；故选：BC5．（2021·广东·仲元中学高一期末）（多选题）已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（） A ．a 与a b -25B ．()//a b a +C ．向量a 在向量b 10D ．若525,5c ⎛= ⎝⎭，则a c ⊥【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由已知得()50a b -=，，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B ：由已知得()+a b a ⊥，由此可判断；对于C ：由已知得向量a 在向量b 上的投影，从而可判断；对于D ：由5252+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭，可判断. 【详解】解：对于A ：因为向量()2,1a =，()3,1b =-，所以()50a b -=，，所以a 与a b -的夹角余弦值为2225215+⨯，故A 正确；对于B ：因为()+12a b =-，，所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()+a b a ⊥，故B 不正确；对于C ：向量a 在向量b 上的投影为(()2223+11101031a b b⨯-⨯===-+⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量10C 正确；对于D ：因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确，故选：ACD.6．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如图，在平面四边形ACDE 中，点B 在边AC 上，ABE △是等腰直角三角形，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则AD CE ⋅=___________.【答案】-1 【解析】【分析】以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】如图示，以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系.则()1,0A -、()1,0C 、()1,1D 、()0,1E ，所以()21AD =，，()11CE =-，，所以211AD CE ⋅=-+=-. 故答案为：-17．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知向量()2,1a =-，10a b ⋅=，52a b +=，则b =___________.【答案】5 【解析】【分析】由已知，利用向量数量积的运算律有22250a b a b ++⋅=，结合向量模的坐标计算求||a ，进而求b . 【详解】∵52a b +=，则250a b +=，即22250a b a b ++⋅=， ∴252050b ++=，可得5b =. 故答案为：58．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量(),0,0αβαβ≠≠，β与αβ-的夹角为23π，且()0t t t αββ-=>，则t 的最小值是____________．【答案】233- 【解析】【分析】作半径为2的圆O ，圆O 上取三点,,A B C ，(3,1)C --，(3,1)B -，A 在,B C 两点的优弧上，3BAC π∠=，这样CB α=，CA β=，满足β与αβ-的夹角为23π，然后把模式平方求得t ，可得最小值．【详解】如图，设圆O 半径为2，,,A B C 在圆O ，设(3,1)C --，(3,1)B -，3BAC π∠=，CB α=，CA β=，设(2cos ,2sin )A θθ，7(,)66ππθ∈-，(23,0)α=，(2cos 3,2sin 1)βθθ=++，由t t αββ-=得222()t t αββ-=，因为0t >，所以21233233243(2cos 3)2cos 323t ααβθθ===≥=-⋅+++，cos 1θ=时等号成立．故答案为：233-．【点睛】本题考查由模求平面向量的数量积，解题关键是用图形表示出向量α，β，确定点,,A B C 的关系，引入坐标后用坐标表示向量的数量积，从而得出最值．。

高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4

(1)字母表示下的运算．利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10，解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝＝－－24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．

第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。

《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课

《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课下面是我收集的《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课，供大家参阅。

《平面向量》说课稿1说课内容：普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的;另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。