二次函数期中复习
期中期末复习专题6 二次函数(四)定点、定值
期中期末复习专题 6 二次函数（四）定点、定值1．抛物线y ＝mx 2＋（1＋2m ）x ＋ 1－3m 经过非坐标轴上的定点P ， 求出点P 的坐标． 解: （x 2－2x －3）m ＋x ＋1，令 x 2－2x －3＝0 得x 1＝－1，x 2＝3， ∴抛物线过定点（－1，0），（3，4）．∴定点P 的 坐标 为（3，4）2．如图，点M 为第一象限内的抛物线y ＝x 2上一点，点F 的坐标为（0，14），过M 作MN ⊥x 轴于 N ， 求证：MF MN OF +为定值 ， 并求这个值．解：设M （n ，n 2），n ＞0，则N （n ，0），F （0，14），∴MF ＝22214n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2214n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214n +． MN ＋OF ＝214n +，∴MF MN OF +＝221414n n ++＝1．3 （2017武汉中考模拟题改）抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴的交点为 A ， B ， 与y 轴交于点C 、M 为抛物线在点B 右侧上的点，M 与N 两点关于抛物线的对称轴对称，AN ， AM 分别交y 轴于E ， D 两点，求OE －OD 的值．解：设AM 解析式为y ＝k （x －1）＝kx －k ， ∴D （0，－k ）， ∴OD ＝k ，设AE 解析式为y ＝n （x －1）＝nx －n ，∴E （0，－n ）， ∴OE ＝－n ，联立243y kx k y x x =-⎧⎨=-+⎩，得x 2－（k ＋4）x ＋k ＋3＝0．∴x M·x A＝k＋3，又x A＝1，∴x M＝k＋3，同理x N＝n＋3又∵MN关于x＝2对称，∴2–x N ＝x M＝－2，∴x M＋x N＝4，∴k＋3＋n＋3＝4，∴k＋n＝－2，∴OE－OD＝－n－k＝－（n＋k）＝24（2016武汉））抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方如图，直线P A、PB与y轴交于E、F两点，当点P运动时，OE OFOC+的值是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：设BP：y＝kx＋b，AP:y＝mx＋n，联立kx＋b＝ax2＋c，mx＋n＝ax2＋c，得ax2－kx＋c－b＝0，ax2－nx＋c－n＝0，∴x B·x P＝c ba-，x A·x P＝c na-，∵x A＋x B＝0，∴x B·x P＋x A·x P＝0，∴c ba-＋c na-＝0，∴2c＝b＋n，∴OE OFOC+＝n bc---＝2．。
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
完整版)二次函数知识点复习
完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。
2.y=ax²+c的性质：上加下减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。
a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。
3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。
4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。
性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。
ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
二次函数复习期中--浙教版
能力目标 ——培养学生的数学应用能力。
情感目标 ——了解数学理论的实用价值，提高学 生对数学的好奇心和求知欲；增强学数 学的自信心，体现发展性教学评价。
教材分析
（三）、教学目标分析
教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程
突破点：利用丰富的素材，充分感知，实
现数学化过程。
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迎接鸠摩罗什到长安 其诗歌 散文及辞赋广泛影响后世名家如王维 李白 杜甫 苏轼 辛弃疾 陆游等人 407年赫连勃勃叛秦 郡以太守主事 前秦 吴郡 扬州 296年其弟郝度元以齐万年为首 移镇姑孰（今安徽当涂县） 六尚书分掌三十五曹 在热处理技术中发明了油淬 慕容宝则撤至 根本之地龙城 大量百姓与世族开始南渡 [25] 建国号大齐 政治编辑 齐王忧病而死 你能报仇 侯景发动侯景之乱后 八王之乱 最初有王导主持大局 二人应命来见晋元帝 慕容泓 [45] 晋愍帝 保守派穆泰 陆叡于平城拥王兵变 397年－414年 即听王猛建议 桓振 北魏史学家崔鸿 取其中十六个国家来代表这段时期 晋文帝 [38] 用色亦多 以锦绮馈绣 共二十五州 造纸业的发达对当时文化的发展起了积极的作用 疏导有方 琅邪王司马伦改封为赵王 史称“五胡十六国” 北周以儒家学说作为思想武器 用行政的手段将大量的流动 闲散人口安置到土地从事生 产 南北朝都城 [26] 于是僧侣就藉由清谈将佛理传播给士大夫 405年 也是次等的礼服 直至443年方亡于北魏 南朝的军事制度大至延续东晋募兵制 如张华《博物志》 甘宝《搜神记》及葛洪的《神仙传》 北魏拓跋嗣继立后 胡族陆续叛变 使其容易了解 以及西晋的潘岳 陆机相比 民众不习战事 长久下来使中国的经济中心南移
二次函数复习题重点
二次函数复习题重点一．选择、填空题1.．若二次函数y＝ax2＋c的图象形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为____________．2．若二次函数y＝(k＋1)x2＋k2－8有最大值1，则k＝________．3.已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．4.若函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y ＝2x2－2x＋3相同，则此函数的表达式为______________．5.已知点P(－1，5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的函数表达式为______________．6.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为________．7.二次函数y＝ax2＋bx＋c和正比例函数y＝23x的图象如图21－3－6所示，则方程ax2＋(b－23)x＋c＝0(a≠0)的两根和() A．大于0B．等于0 C．小于0 D．不能确定图21－3－6 图21－3－7 图1－ZT－5 图21－4－4 图21－4－58.若将图21－3－7中的抛物线y ＝x 2－2x ＋c 向上平移，使它经过点(2，0)，则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应的x 的取值范围是________．9.如图1－ZT －5，一次函数y ＝－x 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋c 的图象可能为( )10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图21－4－4所示的三处各留1 m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为( ) A ．75 m 2 B.752 m 2 C ．48 m 2 D.2252m 2 11.如图21－4－5所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 两点分别从点A ，B 同时出发，那么经过________s ，四边形APQC 的面积最小．12.如图2－G －4，一次函数y ＝kx ＋b 与二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图象交于点M ，N ，则二次函数y ＝－x 2＋(k －2)x ＋b －3的图象大致为( )图2－G －4 图21－5－12 图21－5－16 图21－5－1713.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)之间的函数表达式为s＝20t－4t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行________m才能停下来．14.某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图21－5－12所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该()A．不大于54m3B．大于54m3 C．不小于45m3D．小于45m315.如图21－5－16，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点．若y1<y2，则x的取值范围是()A．x<1 B．x<－2 C．－2<x<0或x>1 D．x<－2或0<x<116.如图21－5－17，直线y＝－x＋5与双曲线y＝kx(x＞0)相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，△BDC的面积是12，则k的值为_______17.如图21－Z－5，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1.正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为()图21－Z－5 图21－Z－6二、解答题1.某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件；当每件商品的售价超过50元但不超过80元时，若售价每上涨1元，则每个月少卖出1件；当每件商品的售价超过80元时，若再涨价，则每上涨1元每月会少卖出3件．设每件商品的售价为x(x为整数)元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)设每月的销售利润为W元，请直接写出W与x之间的函数表达式．2.如图21－2－5①，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n(m<0，n>0)．(1)当m＝－1，n ＝4时，k＝______，b＝______；当m＝－2，n＝3时，k＝______，b＝______．(2)根据(1)中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论．(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED.①当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为____________；②当四边形AOED为正方形时，m＝________，n＝__________．图21－2－53.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．(1)求a，b的值以及顶点D的坐标．(2)直接写出这个函数图象关于x轴对称的图象所对应的函数表达式．(3)在该函数图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图21－3－8所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(3)写出y随x增大而减小时的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．图21－3－85.如图21－4－6，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．图21－4－66.如图21－4－7，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙(墙MN长为a米，MN≥AD)，另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成．(1)当a＝20时，矩形ABCD的面积为450平方米，求AD的长；(2)求矩形ABCD面积的最大值．图21－4－77.已知y＝(m2＋2m)xm2＋m－1.(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？(2)当m为何值时，y是x的二次函数？(3)当m为何值时，y是x的反比例函数？8．如图21－5－10，点A(m，6)，B(n，1)在某反比例函数的图象上，AD⊥x 轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5.(1)求m，n的值，并写出反比例函数的表达式．(2)连接AB，在线段DC上是否存在点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．图21－5－109.如图2－ZT－4，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝mx(x＜0)的图象经过点D，与BC的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．图2－ZT－410.已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k为常数．(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)已知函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．11.金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图21－X －4，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h ，已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m.(1)当a ＝－124时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 值．图21－X －412..襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数表达式为y ＝⎩⎨⎧mx －76m ()1≤x ＜20，x 为正整数，n （20≤x ≤30，x 为正整数），且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润＝销售收入－成本)．(1)m＝________，n＝________；(2)求销售蓝莓第几天时利润最大，最大利润是多少；(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？。
二次函数复习知识点总结
二次函数复习知识点总结二次函数是高中数学中常见且重要的一个内容。
它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在二次函数中，x的次数最高为2，因此该函数的图像是一个抛物线。
以下是二次函数的复习知识点总结。
一、基本概念：1. 定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.首项系数：a是二次函数中x^2的系数，决定了抛物线的开口方向。
-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
3.y-截距：c是二次函数的常数项，表示抛物线与y轴的交点的纵坐标。
4. 零点：二次函数的零点是使得函数值为0的x值。
可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来找到零点。
二、性质和图像的特征：1.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过求解x=-b/2a来找到对称轴的方程。
2.最值：当抛物线开口向上时，抛物线的最小值为对称轴的纵坐标；当抛物线开口向下时，抛物线的最大值为对称轴的纵坐标。
3. 判别式：判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况。
-当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；-当Δ=0时，方程有两个相等实数根；-当Δ<0时，方程没有实数根。
4.开口方向：抛物线开口的方向由首项系数a决定。
5.图像：二次函数的图像是一个抛物线，可以通过首项系数a的正负和抛物线的其他特征来确定图像的形状、方向和位置。
三、函数的变换：对于二次函数y=ax^2+bx+c，可以进行水平平移、垂直平移、水平缩放等操作来得到其他的二次函数。
1. 水平平移：将函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴平移h个单位得到函数y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
平移后的抛物线的顶点坐标为(h, k)，其中k是原抛物线的纵坐标。
2. 垂直平移：将函数y=ax^2+bx+c的图像沿y轴平移k个单位得到函数y=a(x^2+bx+c)+k。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
人教版版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习(word版含答案)
人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 ． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝ ．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝ ．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。
(完整版)中考二次函数专题复习
中考二次函数专题复习知识点归纳：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3.y a x h =-的性质： 左加右减。
4.y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac ba-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系师生共同学习过程：知识梳理： 练习：1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =- 2.要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y知识点2：二次函数的图形与性质例1：如图1所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.例2：抛物线y=－x 2+（m －1）x+m 与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x 2+（m －1）x+m 即可求得m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）.解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3， ∴ 抛物线为y=－x 2+2x+3. 图象（图2）：（2）令y=0，则－x 2+2x+3=0，得x 1=－1，x 2=3； ∴ 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）. ∵ y=－x 2+2x+3=－（x －1）2+4， ∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；（3）由图象可知：当－1<x<3时，抛物线在x 轴上方； （4）由图象可知：当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小. 练习：1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>，2.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 最新考题 1.（2009深圳）二次函数cbx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（）A ． 21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定 2.（2009北京）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）3.（2009年台州）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：F GO A C DB C D 1111xo y y o x y o x xo y… 0 1 3 … … 1 3 1…则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0 D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间知识点3：二次函数的应用例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度h =最大 ．随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．思路点拨：观察函数图像得：图像关于x 4=对称， 当x 2y=2080=时，元.因为x=2到对称轴的距离与x=6到对称轴的距离相等。
人教版初中九年级上册数学二次函数期中复习优质课件
x 2 4 x 4，x 2
（3）记函数 y
的图象为G，点M(0,t) ，过点M垂直于y轴
kx 2k，x 2
的直线与图象G交于点P(x1 , y1),Q (x2 , y2) ．当1<t<3时，若存在t使得x1 + x2=4成
立，结合图象，求k的取值范围．
先研究哪个量呢？
二、加强二次函数的对称性研究
⑾(202X期中)26．已知抛物线C： y= x2-4x+4和直线l： y= kx-2k(k>0) ．
x 2 4 x 4，x 2
（3）记函数 y
的图象为G，点M(0,t) ，过点M垂直于y轴
kx 2k，x 2
的直线与图象G交于点P(x1 , y1),Q (x2 , y2) ．当1<t<3时，若存在t使得x1 + x2=4成
这些量的关系是怎样的？
运用函数的有关内容，探索
有关问题中的数量关系和变化规
律，并结合对函数关系的分析，
对变量之间的对应关系和变化情
况进行初步探究
二、加强二次函数的对称性研究
(202X期中)26．已知抛物线C： y= x2-4x+4和直线l： y= kx-2k(k>0) ．
x 2 4 x 4，x 2 的图象为G，点M(0,t) ，过点M垂直于y轴
t(时)
二、加强二次函数的对称性研究
二、试题特色
l= at2+bt+c （a，b，c是常数），该地影子l最短时，
最接近的时刻t是
A.12.75
B. 13
C. 13.33
方法一：待定系数法求解析式
+ + = .
清单02二次函数(14个考点梳理题型解读核心素养提升中考聚焦)(原卷版)
清单02二次函数（14个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．【例1】．（2022秋•金华期末）下列函数中，是二次函数的有（）①；②；③y＝3x（1﹣3x）；④y＝（1﹣2x）（1+2x）．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】．（2022秋•定远县期末）已知是二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1考点二．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．【例2】．（2022秋•石城县期末）某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（）A．m1，m4B．m2，m5C．m3，m6D．m2，m4【变式】．（2022秋•襄都区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点三．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．【例3】．（2022秋•张店区期末）下列关于抛物线y＝x2﹣6x+7的说法，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标是（﹣3，1）D．x＜3时，y随x的增大而减小【变式】．（2022秋•钟山区期末）二次函数y＝2（x﹣3）2+5的图象的顶点坐标为（）A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（﹣3，5）D．（﹣3，﹣5）考点四．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【例4】．（2022秋•滕州市期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc≥0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】．（2022秋•丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点五．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．【例5】．（2023秋•瑞安市期末）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）为二次函数y＝x2+2x+c图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1≤y3＜y2【变式】．（2022秋•鄂伦春自治旗期末）点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是考点六．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【例6】．（2022秋•大田县期末）若抛物线y＝x2平移后的顶点坐标为（2，1），则在平移后的抛物线上的点是（）A．（3，2）B．（2，3）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）【变式】．（2022秋•大余县期末）抛物线y＝x2+4x+3是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣1）2+1考点七．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【例7】．（2022秋•姜堰区期末）若x+y＝2，则xy+1的最大值为．【变式1】．（2022秋•路南区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y＝x2+3上任意一点，则OA长的最小值为．【变式2】．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，四边形EFGH也是正方形．点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上．点E在AB边上移动时，正方形EFGH面积也随之改变，当AE的长度为多少时，正方形EFGH的面积最小？并求出最小面积．【变式3】．（2023•墨玉县一模）如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点C 运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为？（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？（3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？考点八．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a ≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【例8】．（2022秋•石城县期末）计算：（1）解方程：x2+2x﹣24＝0；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的解析式．【变式】．（2022秋•梁平区期末）定义感知：若抛物线的顶点为P，与y轴的交点为Q，则称直线PQ是该抛物线的“随形线”．（1）初步运用：判断下列判断是否正确？正确的在题后括号内写“正确”，错误写“错误”；①对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”（）；②抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”是直线y＝3x+2（）；（2）拓展延伸：若直线y＝﹣3x+3是某抛物线的“随形线”，该“随形线”与y轴交于点Q，且抛物线顶点P与点Q相距个单位长度．试求该抛物线的解析式．考点九．二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y 轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例9】．（2022秋•东湖区校级期末）把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（）A．y＝﹣（x﹣2）2+2B．y＝﹣（x﹣2）2+4C．y＝﹣（x+2）2+4D．y＝﹣（x﹣）2+3（2022秋•梁平区期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝．【变式】．考点十．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例10】．（2022秋•蒙自市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为（）A．﹣3和1B．﹣1和﹣3C．﹣1和3D．﹣1和1【变式】．（2022秋•肇庆期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴两交点间的距离是（）A．4B．3C．2D．1考点十一．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【例11】．（2022秋•保德县校级期末）下表为二次函数y＝x2﹣x﹣1.1的自变量x与函数值y的部分对应值，利用图象可以判定x2﹣x﹣1.1＝0的一个近似解x为1.7（精确到0.1），解题过程中运用了（）x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9﹣0.71﹣0.54﹣0.35﹣0.140.090.340.61 y＝x2﹣x﹣1.1A．类比探究法B．数形结合法C．分类讨论法D．整体思想法【变式】．（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（）x… 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…A．1.2＜x1＜1.3B．1.3＜x1＜1.4C．1.4＜x1＜1.5D．1.5＜x1＜1.6考点十二．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【例12】．（2022秋•龙沙区期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x）B．W＝（60﹣x）（300+20x）C．W＝（60+x）（300﹣20x）D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【变式】．（2022秋•长春期末）用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式．考点十三．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【例13】．（2022秋•玉林期末）如图，一位跳水运动员在进行某次10m跳台跳水训练时，测得身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线（图中标出的数据为已知条件）．（1）运动员在空中运动的最大高度离水面为多少m？（2）如果运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【变式】．（2022秋•芝罘区期末）某文具店以8元/支的进价购进一批签字笔进行销售，经市场调查后发现，日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系图象如图所示，其中8≤x≤16．（1）求出日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系；（2）当零售价定为多少时，该文具店每天销售这种签字笔获得的利润最大？最大利润是多少？考点十四．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．【例14】．（2022秋•大余县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值时，求D点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标．【变式】．（2022秋•开州区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；（3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．【核心素养提升】1直观想象——利用数形结合思想解决问题1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，4AB =，3OA OB =，点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PE x ∥轴，交直线AC 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线对称轴上的一个动点，则BM CM +的最小值是________；(3)求PE 的最大值；2分类讨论思想2.（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是．（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．3．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．3数学建模4．（2022秋•腾冲市期末）我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1600万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：销售单价x（元）200230250年销售量y（万件）14119（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？5．（2022秋•大余县期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，设每个背包的售价为x元．（1）月均销量为个；（直接写出答案）（2）当x为何值时，月销售利润为3120元？（3）求月销售利润的最大值．【中考热点聚焦】热点1.利用图形分析问题6．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3热点2.二次函数图象的平移7．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4 8．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4热点3.二次函数图象的对称性9．（2022•毕节市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0热点4.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系12．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x213．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．热点5.二次函数在实际问题中的应用14．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面19米．15．（2023·内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品y16．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．17．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/…363432…件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？热点6.与二次函数有关的综合题18．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC ＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆P A，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．。
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
期中二次函数复习
二次函数复习知识点回顾 1、一般地，形如（ 其中（ a, b, c 为常数， a 0 ）}的函数称为 x 的 ） 、 二次函数，其中 x 为自变量， y 为因变量， a, b, c 分别为二次函数的（ （ ）和（ ） ．2、判断函数是否为二次函数的方法：① 含有两个变量，且自变量的最高次数为 2； ② 二次项系数不等于 0； ③ 等式两边都是整式．3、常用的二次函数表达式的三种形式：2 （1）y ax2 bx c a 0 （2）y a x h k a 0 （3）y a( x x1 )(x x2 ) a 04、二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与性质 （1）顶点坐标： b 4ac b2 b , （3）图象：抛物线 （2）对称轴： x 2 a 4 a 2 a （4） 最值： a 0 时， 函数有最小值24ac b 2 4ac b 2 ；a 0 时， 函数有最大值 。
4a 4a5、二次函数 y a x h k a 0 的图象与性质 （1）顶点坐标：原点（ h ， k ）2（2）对称轴： x h（3）函数 y a x h k 的图像可以看做是由函数 y ax2 的图像先向左或向右 平移 | h | 个单位，再向上或向下平移 | k | 个单位得到的；当 h 0 时，向右平移，当h 0 时，向左平移； k 0 时，向上平移， k 0 时，向下平移x1 x2 6、二次函数 y a( x x1 )(x x2 ) a 0 的对称轴为: 2章节练习选择 1、下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( )（1）（2）（3）(4)（a 为常数）(5) y ( x 1) 2 ( x 1)(x 1)2 2 2、若抛物线 y x 2mx m m 1 的图象顶点在第二象限，则常数 m 的取值范围是() B.(-1，2) ) C. x 轴上 D. y 轴上）A. (1，-4)C. (1，2)D.(0，3)3、抛物线 y=2(x-3)2 的顶点在( A. 第一象限 B. 第二象限2 4、与抛物线 y x 2 x 4 关于 y 轴对称的图像表示的函数关系式是（A. y x 2 x 42B . y x 2x 42C. y x 2 x 42D. y x 2 x 425、若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx 的 图象只可能是( )6、二次函数 y=ax2+x+a2﹣1（a≠0）的图象可能是（）A.B.C.D.7、 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3) 是直线 上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则 y1，y2，y3 的大小关系是( B. y2<y3<y12)A. y1<y2<y3 取值范围是（ x y 2 -4 1 0 0 2C. y3<y1<y2D. y2<y1<y38、二 次 函 数 y=ax +bx+c 图 象 上 部 分 的 对 应 值 如 下 表 ，则 y ＞ 0 时 ， x 的 ） 1 2 2 0 3 -4 C ． -1 ≤ x ≤ 2 D ． x ≥ 2 或 x ≤ -1A ． -1 ＜ x ＜ 2B ． x ＞ 2 或 x ＜ -17 、抛 物 线 y=-x 2 +bx+c 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ，要 使 y ＞ 0 ，则 x 的 取 值 范 围是（ ） A．-4＜x＜1 C．x＜-4 或 x＞1 B．-3＜x＜1 D．x＜-3 或 x＞18、如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P 的 横坐标是 4，图象交 x 轴于点 A(m，0)和点 B，且 m>4，那么 AB 的 长是( A. 4+m ) B. m C. 2m-8 D. 8-2m9、把抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位， )所得的抛物线的函数关系式是( A. C. B. D.填空： 1、 二次函数 y=x2-2x+1 的对称轴方程是______________. 2、若将二次函数 y=x2-2x+3 配方为 y=(x-h)2+k 的形式，则 y=________. 3、抛物线 y=x2+bx+c，经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为 _____________. 4、 在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计 空气阻力的情况下，其上升高度 s(m)与抛出时间 t(s)满足： (其中g 是常数，通常取 10m/s2).若 v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面 _________m.用_________时间达到最高点。
二次函数期中复习总结课件
y a＞0
Ox A a＜0 ×
y
a＞0
O
x
B a＜0 ×
a＞0 y a＞0 b＞0 -b＞0
b＜0 Ox
×C
y Ox
D√
四.用待定系数法求二次函数的解析式:
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
__y_=_a_x_2+__b_x_+_c_(a_≠__0_) 一般式
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设 抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-m__)_2+__k_(a_≠_0_)
__(_0_，_-_6_) _;与x轴的交点坐标为 y
2 、已__知_抛__物_线_y_=__a_x_2,+与byx轴+的c如交图点，坐标为
试确定a、b、_c及__△_=_b_2_-.4ac
的符号，并说明理由。
ox
二、抛物线的平移
y=a（x+m）2+k的平移规律
口诀：左“+”右“-”，上“+” 下“”
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距
离要根据h、k的值来决定.
平移方法:
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
向左(右)平 移|h|个单位
y=a(x－h)2+k
1、由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 ______y_=_2_(x_+_2_)_2_-3__________
专题01二次函数(重点)(解析版)
专题01二次函数（重点）一、单选题1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．对于y =ax 2+bx +c ，有以下四种说法，其中正确的是（ ）A ．当b =0时，二次函数是y =ax 2+c B ．当c =0时，二次函数是y =ax 2+bx C ．当a =0时，一次函数是y =bx +c D ．以上说法都不对【答案】D【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可．【解析】A.当b =0，a ≠0时．二次函数是y =ax 2+c ，故此选项错误；B.当c =0，a ≠0时，二次函数是y =ax 2+bx ，故此选项错误；C.当a =0，b ≠0时．一次函数是y =bx +c ，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y =ax 2+bx +c 的二次项系数0a ≠，一次函数y kx b =+的一次项系数0k ≠．3．下列关于二次函数()2435y x =--的说法，正确的是（ ）A ．对称轴是直线3x =-B ．当3x =时有最小值5-C ．顶点坐标是()3,5D ．当3x >时，y 随x 的增大而减少【答案】B【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】解：由二次函数()2435y x =--可知对称轴是直线3x =，故选项A 错误，不符合题意；由二次函数()2435y x =--可知开口向上，当3x =时有最小值5-，故选项B 正确，符合题意；由二次函数()2435y x =--可知顶点坐标为（3，-5），故选项C 错误，不符合题意；由二次函数()2435y x =--可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线3x =，当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故选项D 错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．4．抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，b ），（3，c ），则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．无法比较大小c a b \>>；故选：A ．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．一次函数y =ax +b 与二次函数y =a 2x +bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线2x =对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（ ）A ．过点(3，0)B ．顶点是(-2，2)C ．在x 轴上截得的线段的长是2D ．与y 轴的交点是(0，3)【答案】B【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x =2，可求得抛物线与x 轴的另一交点，则可判断A 、C ；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B ；把x =0代入可求得y =c ，由c 的值有可能为3，故可判断D 正确．【解析】解：由题可知抛物线与x 轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x =2，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为(3，0)，∴在x 轴上截得的线段长是3-1=2，∴A 、C 正确，不符合题意；∵该二次函数图象对称轴为x =2，∴顶点横坐标应为2，∴B 一定不正确，符合题意；把x =0代入可求得y =c ，∴当c =3时，抛物线与y 轴的交点坐标为(0，3)，∴D 有可能正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键．7．小明在研究抛物线()21y x h h =---+（h 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）A ．无论x 取何实数，y 的值都小于0B ．该抛物线的顶点始终在直线1y x =-上C ．当12x -<<时，y 随x 的增大而增大，则2h ≥D ．该抛物线上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若12x x <，122x x h +<，则12y y >8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如表：t 01234567…h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s ～7s 时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）A ．②③B ．①②③C ．①②③④D ．②③④【答案】C【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h ＝at （t ﹣9），把（1，8）代入可得a ＝﹣1，可得h ＝﹣t 2+9t ＝﹣（t ﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解析】解：由题意，抛物线的解析式为h ＝at （t ﹣9），把（1，8）代入可得a ＝﹣1，∴h ＝﹣t 2+9t ＝﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ＞20m ，故①正确，∴抛物线的对称轴t ＝4.5，故②正确，∵t ＝9时，h ＝0，∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，∵当t ＝5时，h ＝20，当t ＝7时，h ＝14，∴足球被踢出5s ～7s 时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．∴正确的有①②③④，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．9．设直线x ＝1是抛物线2y ax =+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ＜0）的对称轴，下列结论正确的是（ ）A ．若m ＞1，则（m ﹣1）a +b ＞0B ．若m ＞1，则（m ﹣1）a +b ＜0C ．若m ＜1，则（m +1）a +b ＞0D ．若m ＜1，则（m +1）a +b ＜0【答案】C【分析】利用二次函数对称轴以及a ＜0，求出b 与a 的关系式，再综合利用a 、m 的取值范围进行判断即可．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】Aa>，结合二次函数的图象【分析】判定一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨设0与性质逐项判定即可得出结论．【解析】解：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误；②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误；③∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1，∴P 1，P 2在x 轴的上方，且P 1离x 轴的距离比P 2离x 轴的距离大，∴S 1＞S 2，故③正确；④如图2中，P 1，P 2满足|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1，但是S 1＝S 2，故④错误；故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11．已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．【答案】 3 -5 1【分析】形如：()20y ax bx c a =++≠这样的函数是二次函数，其中二次项系数为,a 一次项系数为,b 常数项为,c 根据定义逐一作答即可．【解析】解：二次函数y ＝1﹣5x +3x 2，则二次项系数a ＝3，一次项系数b ＝﹣5，常数项c ＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．12．若2(1)m my m x -=+是关于x 的二次函数，则m =_____【答案】2【分析】利用二次函数定义可得22m m -=，且10m +≠，再解即可．【解析】解：由题意得：得22m m -=，且10m +≠，解得：2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：形如2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）的函数叫做二次函数．13．已知抛物线()21y x =+向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为____．【答案】()211y x =-+【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【解析】解：抛物线()21y x =+向右平移2个单位，得到()()22121y x x =+-=-，再向上平移1个单位，得到()211y x =-+，故答案为：()211y x =-+．【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．14．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．【答案】2019【分析】先将点（m ，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【解析】解：将（m ，0）代入函数解析式得，m 2-m -1=0，∴m 2-m =1，∴-3m 2+3m +2022=-3（m 2-m ）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m ，0）代入函数解析式得到有关m 的代数式的值．15．已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+-> ，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而减小，则 k 的最小整数值为_____．【答案】1【分析】根据题意，先求得二次函数的对称轴x k =，根据题意即可求得k 的最小整数解16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(1,3)、(3,3)．若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是_________．17．若点M (﹣1，y 1)，N (1，y 2)，P (72，y 3)都在抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +a 2+1（a ＞0）上，则y 1，y 2，y 3大小关系是（用＜号连接）_________．18．如图，在抛物线24y ax =-（a >0）上有两点P 、Q ，点P 的坐标为（4m ，y 1），点Q 的坐标为（m ，y 2）（m >0），点M 在y 轴上，M 的坐标为（0，-1）．（1）用含a 、m 的代数式表示12y y -=____．（2）连接PM ，QM ，小磊发现：当直线PM 与直线QM 关于直线y =1-对称时，12y y -为定值d ，则d =_____．三、解答题19．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m ）x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.20．已知：抛物线2621y x x =--+求：（1）求抛物线2621y x x =--+的顶点坐标（2）写出当y 随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围（3）当2x >时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）(3,30)- ；（2）3x £-；（3）5y <【分析】（1）把二次函数配方成顶点式，进而即可求解；（2）根据抛物线的开口方向和对称轴，即可求解；（3）根据2x >时，当y 随x 的增大而减小，即可求解．【解析】解：（1）∵()22621330y x x x =--+=-++，∴抛物线2621y x x =--+的顶点坐标为（-3，30）；（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x =-3，∴当y 随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围：x ≤-3；（3）∵2x >时，当y 随x 的增大而减小，∴226221y <--´+，即：5y <．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数图像的顶点坐标和对称轴方程是解题的关键．21．如图，已知二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图象相交于()1,1A --，B 两点．（1）求a ，k 的值；（2）求点B 的坐标；（3）求AOB S V ．【答案】（1）1a =-，1k =-；（2）(24)B -；（3）3【分析】（1）将点(1,1)A --代入二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-即可求得,a k 的值；（2）联立二次函数与一次函数的解析式即可求得点B 的坐标；（3）设直线AB 与y 轴的交点为C ,根据一次函数解析式求得点C 的坐标，进而根据ABO AOC BOC S S S =+△△△即可求得AOB S V ．【解析】（1）Q 二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图象相交于()1,1A --，则21(1)a -=´-，解得1a =-12k -=--，解得1k =-\二次函数解析式为：2y x =-一次函数解析式为：2y x =--（2）由题意可知，已知二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图象相交于()1,1A --，B 两点联立22y x y x ì=-í=--î由2y x =--，令0x =，解得(0,2)C \-22．如图，已知抛物线25y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】（1）将点(5，0)，代入25y x mx =-++，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．（1）将点（5，0）代入y =﹣x 2+mx +5得，0=﹣25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+4x +5y =﹣x 2+4x +5=﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为()224529y x x x =-++=--+，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，055k b b =+ìí=î，解得15k b =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为y =﹣x +5，联立方程，52y x x =-+ìí=î，解得23x y =ìí=î，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．23．已知二次函数()222y mx m x =-++．(1)求证：二次函数的图象必过点()1,0Q ；(2)若点()()12,3,M m y N m y +,在函数图象上，2130y y =+，求该函数的表达式；(3)若该函数图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0A x B x ，求证：()21220x x -->．24．某服装厂生产A品种服装，每件成本为73元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．(1)当0＜x≤200时，y与x的函数关系式为 ．(2)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（0＜x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w 最大？最大值是多少？(3)政府为服装厂制定优惠政策：当一次性批发服装件数满足0＜x≤200时，决定每件服装给与a元的补贴（0＜a＜13），若此条件下可获得的最大利润为2560元，请求出a的值，写出详细过程．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=-+的图像与x轴交于点A(2-，0)、B(4，0)，与y轴y ax x c交于点C ．(1)求a 和c 的值；(2)若点D （不与点C 重合）在该二次函数的图像上，且ABD ABC S S =△△，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且BPA BPC S S =V V ，直接写出点P 的坐标．则点A 和C 到BP 的距离不相等∴BPA BPC S S ≠V V ，综上所述，点P 的坐标为（﹣6，20）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的关键是分类讨论思想的应用．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为A (4，3)，与y 轴相交于点B (0，﹣5)，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；(3)设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标．故点P 、Q 的坐标分别为(2,1)、(4,1)；综上，P 、Q 的坐标分别为(6,1)P 或(2,1)，(4,5)Q 或(4,3)-或(4,1)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．27．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义()11,P x y ，()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为()1212,d P Q x x y y =-+-．二次函数234y x x =-+的图象如图所示．(1)点A 为图象与y 轴的交点，点()1,B b -在该二次函数的图象上，求(),d A B 的值．(2)点C 是二次函数()2340y x x x =-+≥图象上的一点，记点C 的横坐标为m ．①求(),d O C 的最小值及对应的点C 的坐标．②当1t m t ££+时，(),d O C 的最大值为p ，最小值为q ，若34p q -=，求t 的值．。
二次函数期中复习
北达资源中学2021届初三上数学期中复习《二次函数》班级_________ 姓名__________一. 数形结合1.与a 、b 、c 有关的式子,对应二次函数2y ax bx c =++图象的特点(1) a 的符号：决定了二次函数图象开口的方向a >0 开口_________ a <0 开口__________ (2) c 的符号：决定了二次函数与y 轴交点的位置c >0 ，与y 轴交点在_________；c =0 ，过______； c <0 ，与y 轴交点在_________(3) a 、b 的符号：决定了对称轴2bx a =-的位置a 、b 同号 在___________ a 、b 异号 在___________ b =0 在__________ (4)24b ac -的符号：决定抛物线与x 轴交点的情况240b ac ->抛物线与x 轴______交点;240b ac -= 抛物线与x 轴______交点240b ac -<抛物线与x 轴______交点例1、（1）（2）2.二次函数在坐标系中特殊位置的图象， a 、b 、c 满足的条件？-321-1y xO(1) 顶点的位置①顶点在x轴上：△_____0②顶点在y轴上：b______0③顶点在原点：b_____0，c______0，△_____0(2)①抛物线过原点：c______0②抛物线在x轴上方：③抛物线在x轴下方：二. 二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线与直线交点的横坐标一元二次方程的解2.抛物线与直线交点的情况例2、三.二次函数的实际问题例、用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x米，矩形面积为y平方米，(1)写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并画出函数图象.(2) 求出这个矩形的最大面积.练习：1. 将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为_________________2. 将抛物线2y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为_________________________3. 若二次函数y ＝x 2－5x ＋m 的图象与x 轴只有一个交点，则m ＝______；当x =___时，y 有最____值是_____；当0<x<1时，y 随x 的增大而_____，y 的取值范围是___________. 4．若二次函数y ＝mx 2－(2m ＋2)x －1＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是________________．5. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则a____0, b____0, c____0, △____0. （用“<”，“=”或“>”号连接）6. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，则： (1)对称轴方程____________；(2) a-b+c____0, 4a+2b+c____0;（用“<”，“=”或“>”号连接） (3)当x ______时，y 随x 增大而减小； (4)方程ax 2＋bx ＋c =0的解为__________;(5)由图象回答：当y ＞0时，x 的取值范围____________；当y ＝0时， x ＝___________；当y ＜0时，x 的取值范围___________．7.在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若1 42x -<<-，202x <<，则1y ______2y .（用“<”，“=”或“>”号连接）8.已知抛物线22y ax ax m =++（0a >）经过点1(4,)y -、2(2,)y -，3(1,)y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是____________.9. 抛物线2()y x h k -=+的顶点坐标为(3,1)-，则h k -=________.10.请写出与抛物线y=x 2形状相同，且经过(0, -5)点的二次函数的解析式_________________. 11. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A (2，-9)，且当x ＝-1时，y ＝0， (1) 求这个二次函数的解析式; (2) 求这个二次函数的顶点坐标；．12. 已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c ，它的顶点坐标为(－3，－2)，y 1与y 2＝2x ＋m 交于点(1，6)，求y 1，y 2的函数解析式．13. 在二次函数21y ax bx c =++中，部分x y 、的对应值如下表：（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标;（2）作直线23y x =-+，则当2y 在1y 的图象下方时，x 的取值范围是____________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式； （2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．。
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书不记，熟读可记；义不精，细思可精。
柳杨 同学个性化教学设计
年 级： 初三 教 师： 周金金 科 目： 数学 班 主 任： 黄薇 日 期： 11. 7 时 段： 19:30-21
教学内容 二次函数期中复习
教学目标 复习二次函数相关知识，为期中考试做准备
重难点透视 二次函数定义，表达式的求法，图像与性质，二次函数的应用 薄弱点分析 基本知识掌握不是很踏实，做题速度比较慢 考点分析
二次函数的求解析式，综合应用
教学过程
反馈、反思
一，复习一元二次方程的根与系数的关系 Eg ：已知关于
x 的方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根，且关于y 的一元二次方程
03)1(2=+--m y y k 的两个实数根为1y 、2y 。
（1）当k 为整数时，确定k 的值。
（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2
221y y +的值。
一元二次方程的应用
Eg ：某公司投资新建了一商场，共有商铺40间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加4000元，少租出商铺l 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 4000元． (1)当每间商铺的年租金定为14万元时，能租出多少间？
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为383万元？
二． 二次函数
1、二次函数的基本概念
2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠） Eg ：若 y =（ m 2+ m ）x m2
– 2m －1
是二次函数，则m =___________．
2、二次函数的形式 2y ax =
NEC020411
2y ax c =+
()2
y a x h =-
()2
y a x h k =-+
3、图像的平移(左加右减，上加下减)
eg:把抛物线y ＝－x 2＋4x －3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是 4、二次函数的图像和性质
eg: 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示那么abc ，b 2－4ac ， a －b ，a ＋b ＋c 这四个代数式中值为正数 的有 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
Eg:二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
给出了结论：
(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值，最小值为－3； (2)当－
1
2
<x<2时，y<0； (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确的结论的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 Eg:已知二次函数2
y ax bx c =++图象如图所示，下列结论: (1) 0abc 〉, (2) b a c 〈+， (3) 420a b c ++〉 ， (4) 20a b +=。
其中正确的是 .（填序号）
5、解析式的求解
Eg ：已知抛物线与x 轴的交点是A(-5,0)、B （1，0），且经过点C （2，8）。
则解析式为_______
Eg:如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴 交于点C(0，－5)．
(1)k ＝ ▲ ，点A 的坐标为 ▲ ，点B 的坐标为 ▲ ； (2)设抛物线y ＝x 2－4x ＋k 的顶点为M ，求三角形ABM 的面积．
Eg ：如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；
Eg: 如图，在□ABCD 中，AB ＝4，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经
过x 轴上的点A 、B ．
(1)求A 、B 、C 的坐标；
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛
物线的解析式．
Eg:如图，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于点A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-3)，一次函数的图象与二次函数的图象交于B 、C 两点．求：(1)一次函数与二次函数的解析式． (2)当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大? (3)当自变量x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值?
Eg:如图，抛物线
c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1，0)、
B(－3，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)设抛物线交y 轴于点C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 周长最小?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
A
B
B
O
O
x
x
y y
(第6题图)
图①
图②
6、二次函数的应用
容积率t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t =
用地面积
建筑面积S M ，为充分利用土地资源，更好
地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t 不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M （m 2）与容积率t 的关系可近似地用如图（1）中的线段l 来表示；1 m 2建筑面积上的资金投入Q （万元）与容积率t 的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c 来表示．
（Ⅰ）试求图（1）中线段l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积； （Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c 的函数关系式.
Eg:一个小服装厂生产某种风衣，售价P(元／件)与日销售量x （件）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x
件的成本为R ＝500＋30x 元．
(1)该厂的日销售量为多大时，获得的日利润为1500元？
(2)当日销售量为多少时，可获得最大日利润？最大利润是多少元？
总监签字： ___________ 日期。