平面几何难题及解答
平面几何经典难题及解答
经典难题（一）
1、已知：如图， 0是半圆的圆心， C E 是圆上的两点， CD 丄AB, EF 丄AB, EGL CO 求证：CD= GF.
4、已知：如图，在四边形 ABCD 中, AD= BC, M N 分别是AB CD 的中点，AD BC 的延长线
交MN 于E 、F .
求证：/ DEN=Z F .
2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内一点, 求
证：△ PBC 是正三角形
. PAD=Z PDA= 150. 3、如图，已知四边形 ABCD AiBCD 都是正方形, 的中
点.
求证：四边形A e B 2C 2C 2是正方形.（初二） A 、E 2、C 2、D 2 分别是 AA 、BB 、CG 、DD D
C
D
C
M
经典难题（二）
1、已知：△ ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），0为外心，且 OM L BC 于M.
(1) 求证：AH= 20M
(2) 若/ BAC= 600,求证: 2、设MN 是圆O 外一直线，过0作OAL MN 于A 自A 引圆的两条直线， 交圆于B 、C 及D E , 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q. 求证：AP = AQ （初二） 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC DE 设CD EB 分别交MN 于P 、Q.
求证：AP = AQ （初二） 4、如图，分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG
AH= AO (初二)
平面几何经典难题及解答
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G C
E B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB
及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
平面几何经典难题及解答
经典难题(一)
1、已知:如图,O就是半圆的圆心,C、E就是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:CD＝GF.
求证:△PBC就是正三角形.
3、如图,已知四边形ABCD、A1
CC1、DD1的中点.
求证:四边形A2B2C2D2
4、已知:如图,在四边形ABCD中
线交MN于E、F.
求证:∠DEN＝∠F.
1、已知:△ABC中,H为垂心(
(1)求证:AH＝2OM;
(2)若∠BAC＝600,求证:AH＝
2、设MN就是圆O外一直线,过
D、E,直线EB及CD分别交
求证:AP＝AQ.(初二)
3、如果上题把直线MN
设MN就是圆O的弦,过
P、Q.
求证:AP＝AQ.(初二)
4、如图,分别以△ABC的AC与
点P就是EF的中点.
求证:点P到边AB
1、如图,四边形ABCD为正方形
求证:CE＝CF.(初二)
2、如图,四边形ABCD为正方形
求证:AE＝AF.(初二)
3、设P就是正方形ABCD一边
求证:PA＝PF.(初二)
4、如图,PC切圆O于C,AC
求证:AB＝DC,BC＝AD.(初三
1、已知:△ABC就是正三角形,P
求:∠APB的度数.(初二)
2、设P就是平行四边形ABCD
求证:∠PAB＝∠PCB.(初二)
3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别就是BC 、AB 上的一点,AE AE ＝CF.求证:∠DPA ＝∠DPC.(初二)
经典难题(五)
1、设P 就是边长为1的正△ABC 内任一点证:
≤L ＜2.
2、已知:P 就是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC
平面几何经典难题与解答
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G C
E B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 A N F
E C
D
M
B
P C
G F
B Q
A D E
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
平面几何经典难题及解答
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．
求证：△PBC 是正三角形． 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C
2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
经典难1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
A
P
C
D
B
A
F
G
C
E
B O
D D 2 C 2 B 2 A 2
D 1
C 1
B 1
D A A 1
F
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自
B 、C
及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN
的中点A 任作两弦MN
于P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB
平面几何经典难题及解答
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线
交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F
G C
E B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600
，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，
平面几何经典难题及解答
平面几何经典难题及解答(总
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经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠
求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC 点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F
求证：∠DEN ＝∠F ．
经典难1、已知：△ABC 中，H 于M ．
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦分别交MN 于P 、Q ． A B
F
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，求证：CE ＝CF 2、如图，四边形ABCD 长线于F ．
平面几何难题及解答
平面几何
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线
交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F
G C
E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A
A 1 B
F
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600
，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，
过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
平面几何经典难题及解答
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
．
求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形
ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点．求证：四边形
A 2
B 2C
2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形
ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线
交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A
P
C
D
B
A
F
G
C
E
B
O
D D 2
C 2
B 2
A 2
D 1
C 1
B 1
C B
D
A
A 1
A
N
F E
C
D
M
B
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600
，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，
直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线
MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△
ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形
平面几何经典难题及解答
平面几何
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G C
E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线
EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
平面几何难题及解答
平面几何
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G C
E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB
及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
平面几何经典难题及解答
平面几何
经典难题〔一〕
1、：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
．
求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．〔初二〕
4、：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交
MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G
C E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
经典难题〔二〕
1、：△ABC 中，H 为垂心〔各边高线的交点〕，O 为外心，且OM ⊥
〔1〕求证：AH ＝2OM ；
〔2〕假设∠BAC ＝600
，求证：AH ＝AO ．〔初二〕
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A E
，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．〔初二〕
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，那么由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设Q ．
求证：AP ＝AQ ．〔初二〕
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，
平面几何经典难题及解答
平面几何
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G C
E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线
EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
平面几何经典难题及解答
平面几何
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
A P C D
B A F G C
E
B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 B
F
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线
EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
平面几何经典难题及解答
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2
分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M
的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F A
P
C
D
B A
F
G
C
E
B
O
D
D 2
C 2
B 2
A 2
D 1
C 1
B 1
C
B
D
A
A 1
求证：∠DEN＝∠F．
经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM ⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A
线，交圆于B、C和D、E，直线EB和CD
求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
F
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦
EB 分别交MN 于P 、Q ．
求证：AP ＝
AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 求证：点P 到边AB 的距离等于AB
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
平面几何经典难题及解答
经典难题（一）
1、已知：如图，0是半圆的圆心，C E 是圆上的两点，GDI AB, EF
丄AB EG! GO 求证：GD= GF
2、
已知：如图，P 是正方形ABCD^—点, 求证：△ PBC 是正三角形.
PA 3、 A A 如图，已知四边形ABGD A i B i GD 都是正方形, 是AA 、BB 、CG 、DD 的中点.
求证：四边形 ABGD 是正方形.
（初二）
4、 已知：如图，在四边形 ABCDK AD- BG 1、
中点，AD BG 的延长线交 求证：/ DENhZ F . 已知：△ ABG 中, H 为垂心 丄BC 于M
(1)求证：AH= 2OM (2)若/ BAG= 60°,求证:
MN 于 E 、
难题（二）
PD A A i
G G
B M G 的 D A 2
、 B F B
、D 2
分别」 D （各边高线的交点）—/ O 为外心，且
\OM
M B
0 作 OAL MN 于 A,
线，交圆于B 、G 及D E ,直线EB 及CD 分别交野
2、设MN 是圆0外一直线，过 AH= AO (初二)
G
求证：A 吐AQ （初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，贝y 由此可得以下命题: 设MN 是圆0的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC DE 设CD
EB 分别交MN 于P 、Q
求证：AP= AQ （初二）
4、如图，分别以^ ABC 的AC 和 BC 为一边，在△ ABC 的
N
O
B
1、 F .
2、 ACD 审正方形CBFG 点P 是EF 的中点.
求证:
求证: 点P 到边AB 的距离等于AB 的一半 题（三）
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平面几何
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．
2、已知：如图，P 是正方形ABCD
求证：△PBC 是正三角形．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝中点，AD 、BC 的延长线交MN 于求证：∠DEN ＝∠F ．
经典难1、已知：△ABC 中，H ⊥BC 于M ．
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A 线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD B
求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点EB 分别交MN 于P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC ACDE 和正方形CBFG ，点P
是EF 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC F ．
求证：CE ＝CF ．2、如图，四边形ABCD 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．3、设P 是正方形ABCD 求证：PA ＝PF ．4、如图，PC 切圆O 于C 与直线PO 相交于B 、1、已知：△ABC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠
求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB
·CD ＋三）
4
、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 相交于P ，且
AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
经典难题（五）
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：
≤L ＜2．
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a
方形的边长．
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E
点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．
经典难题解答:
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，
即△GHF∽△OGE,可得EO
GF =GO
GH
=CO
CD
,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，
连接EB
2并延长交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点，
由A
2E=1
2
A
1
B
1
=1
2
B
1
C
1
= FB
2
，EB
2
=1
2
AB=1
2
BC=F C1 ，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=
∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。
经典难题（二）
1.(1)延长AD 到F 连BF ，做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ， 可得BH=BF,从而可得HD=DF ，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ，OC,既得∠BOC=1200
，
从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。
由于
22AD AC CD FD FD
AB AE BE BG BG
====
， 由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=
2
EG FH
+。 由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。 从而可得PQ=
2AI BI += 2
AB
，从而得证。 经典难题（三）
1.顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900
+450
=1350