九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质(1)课件(新版)华东师大版

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仪陇县第九中学九年级数学下册第26章二次函数26.2 二次函数的图象与性质 1二次函数y＝ax2

26．2 二次函数的图象与性质1．二次函数y ＝ax 2的图象与性质1．能够利用描点法作出y ＝x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．能作出二次函数y ＝－x 2的图象，并能够比较与y ＝x 2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．重点会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．难点结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．一、创设情境，引入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？二、探究问题，形成概念1．函数y ＝ax 2 的图象画法及相关名称【探究1】画y ＝x 2的图象学生动手实践、尝试画y ＝x 2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y ＝x 2的图象，如图1.【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线；②图象关于y 轴对称；③有最低点，没有最高点．结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．2．函数y ＝ax 2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.比较图中三个抛物线的异同．相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)；②对称轴相同，都为y 轴；③开口方向相同，它们的开口方向都向上．不同点：开口大小不同．【练一练】画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)比较函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．找出它们的异同点．相同点：①形状都是抛物线；②顶点相同，其坐标都为(0，0)；③对称轴相同，都为y 轴；④开口方向相同，它们的开口方向都向下．不同点：开口大小不同．【归纳】y ＝ax 2的图象特征：(1)二次函数y ＝ax 2的图象是一条抛物线；(2)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；(3)|a|越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．三、练习巩固1．已知函数y ＝(m －2)xm 2－7是二次函数，且开口向下，则m ＝________.2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数关系式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．3．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．4．已知正方形周长为C (cm )，面积为S (cm 2)．(1)求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S ＝1 cm 2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2.四、小结与作业小结1．抛物线y ＝ax 2 (a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点．2．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．3．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．作业1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．22.4 图形的位似变换图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1．教材P64．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3， P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到 1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思24.6 图形与坐标学前温故在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面____．通常把其中水平的一条数轴叫做______或______，取向右为正方向；铅直的数轴叫做______或____，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做______.新课早知1．确定点的位置的方法有多种：①用______确定点的位置；②用角度和距离确定点的位置；③用棋盘坐标确定点的位置；④用经纬坐标确定点的位置，利用________来表示．2．平面直角坐标系中，图形中各点的坐标发生变化，则新旧图形的变化规律如下：(1)横坐标不变，纵坐标都乘以－1，图形关于____对称；(2)纵坐标不变，横坐标都乘以－1，图形关于____对称；(3)横、纵坐标均乘以－1，图形关于____对称；(4)如果一个图形的各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；(5)如果原图形上点的横、纵坐标保持不变，而另一个图形的横、纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形则相应地被________放大或缩小该倍数．3．在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(－4,3)，以原点O为位似中心，相似比为2，将线段AB放大，则对应点A′、B′的坐标为( )．A．A′(6,8)、B′(－8，－6)B．A′(6,8)、B′(8，－6)C．A′(－6，－8)、B′(－8,6)D．A′(－6，－8)、B′(8，－6)答案：学前温故直角坐标系x轴横轴y轴纵轴坐标原点新课早知1．平面直角坐标系经纬度2．(1)x轴(2)y轴(3)原点(4)向右(或向左) 向上(或向下)(5)横向、纵向3．D位似变化【例题】如图，把△ABC以A为位似中心，放大1倍，并分别写出变化前后各对应顶点的坐标．分析：(1)运用网格法，延长AB、AC到B′、C′，运用相似三角形性质，相似比等于对应边的比，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′，△AB′C′为所求三角形．(2)可运用相似三角形的性质求变化的坐标．解：如上图所示，网格法延长AB 至B′使AB′＝2AB ， ∵AB＝32＋32＝18＝32，则AB′＝62，延长AC 至C′使AC′＝2AC ，∵AC＝52＋1＝26，则AC′＝226，△AB′C′为所求三角形，AB′AB ＝B′C′BC ＝AC′AC＝2， ∴B′(1,4)、C′(5,0)．∴图形变化前后各对应顶点坐标为：A(－5，－2)、B(－2，1)、C(0，－1)、B′(1,4)、C′(5,0)．点拨：(1)作位似图形时，也可反向延长，即反向延长BA 、CA 到B′、C′，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′.(2)图形放大坐标变化：①用网格法易求点的坐标变化．②运用相似三角形性质求点的坐标变化，构建直角三角形，利用相似形入手求解．1．如图所示，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10,20)表示的位置是( )．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△ABC 与△A′B′C′关于y 轴对称，那么点A 的对应点A′的坐标为( )．A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)3．线段AB 的两端点A(1,3)、B(2，－5)．(1)把线段AB 向左平移2个单位，则点A′、B′的坐标为：A′______，B′_______.(2)线段AB 关于x 轴对称的线段A″B″，则其坐标为：A″_______，B″________.(3)把线段AB 向上平移2个单位得线段A 1B 1，A 1B 1关于y 轴对称的线段A 2B 2，那么点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________．4．如图所示是某城市几个景点的示意图(图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形)．请以某个景点坐标为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置．答案：答案：1．B 2.D3．(1)(－1,3) (0，－5)(2)(1，－3) (2,5)(3)(－1,5) (－2，－3)4．分析：(1)几个景点之中，只有“金凤广场”不在格点上．故选择原点时应避开金凤广场，这样就避免太多的点的坐标是分数．(2)选择湖心岛或者动物园作原点，则其他景点均在y轴的右方或者左方，选择动物园作为坐标原点，则所有点均在第三象限．解：选择动物园作为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则湖心岛的坐标为(－6，－2)，光岳楼的坐标为(－5，－3)，山峡会馆的坐标为(－1，－3)，金凤广场的坐标为(－5.5，－5)．。

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第26章二次函数
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26.1 二次函数
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26.2 二次函数的图象与性质
2020最新华师 0087页 0128页 0196页 0224页 0249页 0296页 0337页 0349页 0402页 0425页 0483页 0515页
第26章二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 26.3 实践与探索 27.1 圆的认识 2. 圆的对称性 27.2 与圆有关的位置关系 2. 直线与圆的位置关系 27.3 圆中的计算问题第28章样本与总体 1. 普查和抽样调查 28.2 用样本估计总体 2. 简单随机抽样调查可靠吗 1. 借助调查作决策

2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)

质随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x

>-

>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=

-
时,y随x的增大而减小.

时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=

-

时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c

=a + +

=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试

华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x＝ 3 时，函数值 y 取最小值，是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝， 0 2 ，顶点坐标为是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上，则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1，当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1，当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)，矩形 ABCD 的周长为 l，求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；

26.求二次函数的表达式PPT课件(华师大版)

（来自教材）
知识点 3 用交点式确定二次函数表达式
知3－讲
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。设函数表达式为y=a(xx1)(x-x2) ，找到函数图象与x轴的两个交点，分别记横坐标为x1和x2,代入公式，再有一个在抛物线上的点的坐标，即可求出a的值.
知3－讲
再将(－2，0)代入求出a的值．
知2－讲
解：设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点坐标为
1,
9 2
,
9
∴y＝a(x－1)2－
. 2
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
9,
解得a＝ 1 .
2
2
∴该二次函数的表达式为y＝
1
(x－1)2－ 9 ,
即y＝ 1 x2－x－4.
2
2
2
总结
知2－讲
设顶点式求二次函数的表达式，通常有以下三种情况： ①已知顶点坐标； ②已知对称轴或顶点的横坐标； ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标．
知2－练
1 求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点（2, 8); (2)抛物线的顶点坐标为（-1，-2)，且抛物线经过点(1, 10).
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
知2－讲
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时，通常运用顶点式y＝a(x－h)2＋k来确定二次函数的表达式；
知2－讲
例2
已知一个二次函数图象的顶点坐标为
1,
9 2
,
且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式．
导引：由y＝于a已(x知－顶h)2点＋坐k，标从为而代1,入 9得2 y,＝a故(x可－设1)顶2－点9式, 2

华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+k的图象与性质》优课件

解：(1)y＝－12x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是 y 轴 (2)略 (3)当 x ＝0 时，y 有最大值为 2
19．不画出图象，回答下列问题： (1)函数y＝3x2－2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象通过怎样的平移得到的？ (2)说出函数y＝3x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)函数y＝3x2－2的图象还有哪些性质？ (4)如果要将函数y＝3x2的图象经过适当的平移，得到函数y＝3x2＋5的图象，那么应该怎样平移？解：(1)将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位就可得到函数y＝3x2－2的图象 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，－2) (3)当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小 (4)将函数y＝ 3x2的图象向上平移5个单位可得到函数y＝3x2＋5的图象
mx2＋m的图象大致是( )
A
14．已知抛物线 y＝－13x2＋2，则当 1≤x≤5 时，y 的最大值是( C )
A．2
，两条抛物线 y1＝－21x2＋1，y2＝－12x2－1 与分别经过点(－2，
0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A．8 B．6 C．10 D．4 16．若抛物线 y＝2xm2－4m－3＋m－4 的顶点在 x 轴的下方，则 m＝ __－__1__．
B．y＝21x2＋2，y＝2x2＋21
C．y＝－2x2，y＝x2－2 D．y＝x2＋2，y＝x2－2
3．抛物线 y＝－31x2＋2 可由抛物线 y＝－13x2－3 向上____平移__5__个单位得到． 4．如果把抛物线 y＝mx2＋n 向下平移 3 个单位后得到抛物线 y＝－12x2 ＋2，那么 m＋n 的值是多少？
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北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)

y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y

y=− +2

1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4

华师版数学九年级下册二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
A. y 轴 C. 直线 x = 2
B.直线
x=
5 2
D.直线 x= 3
2
2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 的图象如图所示，则下列结论： (1) a、b 同号；
y 直线 x = 1
(2) 当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等；
练一练二次函数y ax2 bx c的图象如图，反比例函数 y a 与
x
正比例函数 y bx 在同一坐标系内的大致图象是（ C ）
解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0. 故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限. 故选C.
1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y的部分对应值如下表：
问题2 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
2
答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数 y
1 2
(x
6)2
3
可以看作是由
y
1 2
x2
怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
3， 5
8，1
(3)
y
2
x
1 2
x
2；
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x. 直线 x = 0.5
5 4
，
9 8
1 2

华师版九年级下册数学第26章二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

图②的位置，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动，
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0，解得 m＝2 2或 m＝－2 2，当点 B 与点 D 重合时，如图②，顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4，当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4，解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3，根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值；解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52

汉阴县第七中学九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+

7．抛物线y＝－12 x2＋x－4的对称轴是_直__线__x_＝__1__，顶点坐标是_(_1_，__－__72__)___．
8．已知点A(1 , 1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上. (1)用含a的代数式表示b ; (2)如果该二次函数图象的顶点在x轴上 , 求这个二次函数图象的顶点坐标．解 : (1)b＝2a (2)(0 , 0)或(2 , 0)
第二十二章二次函数
易错课堂(二) 二次函数
（一）确定二次函数解析式中字母参数的值易出错 1．已知抛物线y＝(m＋4)xm2＋5m－4的开口向下 , 那么m的值为_－__6__．
2．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点． (1)求m的取值范围 ; (2)当函数图象与x轴的两交点的横坐标的倒数和等于－4时 , 求m的值．解：(1)当 m＋6＝0，即 m＝－6 时，函数解析式为 y＝－14x－5，此一次函数与 x 轴有一个交点；当 m＋6≠0，即 m≠－6 时，函数为二次函数，当 Δ≥0 时，抛物线与 x 轴有交点，即 4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)≥0，解得 m≤－59 .
(3)在(1)(2)的条件下 , 每天制作B不少于5件．当每天制作5件时 , 每件获利不变．假设每增加1件 , 那么当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30 元 , 求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．
解：(1)设制作一件 A 获利 x 元，则制作一件 B 获利(105＋x)元，由题意得
③当点P是ME的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P(1，32 )，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，32 )
结束语

九年级数学下册第二章二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象与性质课件 (新版

K12课件
16
K12课件
12
第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质
解：(1)图略．把点(2，n)代入 y＝－x2 中，得 n＝－22， ∴n＝－4.把点(2，－4)代入 y＝3x＋m 中，得－4＝3×2＋m，∴m＝－10. (2)由题意，得yy＝＝－3xx－2，10，解得xy＝＝2－，4或xy＝＝－－52， 5. ∴抛物线 y＝－x2 与直线 y＝3x＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
K12课件
4
第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质
3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( D ) A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴 B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称 C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反 D．点A(－3，9)既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达式所组成的方程组的解的个数．
K12课件
13
第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质
素养提升
规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0， B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn 都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于__2_0_1_8___2 __．
[解析] ∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，∴由抛物线的对称性可知，点B的横坐标为3.当x＝3时，y＝x2＝32＝9， ∴直线AB的表达式为y＝9.
K12课件
图K－9－2
10
第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质

华东师大版九年级下册数学习题课件第26章二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

数学
九年级下册华师版
第26章二次函数
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，
那么所得的抛物线的表达式是( C )
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
2得．到把的抛抛物物线线y＝所1对 2 (应x－的1二)2向次左函平数移的3表个达单式位为，y_＝__12__(_x_＋__2_)_2_．
3．抛物线y＝12 (x＋3)2的开口向___上_；对称轴是直线___x_＝___－_；3 当x＝_－___3时，y有最__小__值，这个值为___0_；当x＜__－__时3 ，y随x的增大而减小．
4．已知函数y＝－(x－1)2的图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，
其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1_＞___y2.(填“<”“>”或“＝”)
∴M(－2，0).∴S△MAB＝12 ×|4－(－2)|×|－48|＝144
19．(南阳实验中学模拟)如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)写出点A，B的坐标； (2)求S△AOB的值； (3)求抛物线的对称轴； (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32 (x－1)2的图象大致是( D )
9．(教材练习第1题变式)在平面直角坐标系中画出函数 y＝－12 (x－3)2的图象． (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)说明该函数图象与二次函数y＝－12 x2的图象的关系； (3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．

九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质教学课件(

=ax2的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点）
导入新课
知识要点
y＝ax2 图象
位置开口方向对称性顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标

九年级数学26.2.3 求二次函数的表达式优秀课件

列表格的一局部：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
①选取〔-3，0〕，〔-1，0〕，〔0，-3〕，
待定系数法试求出这个二次函数的表达式.
步骤： 1.设：〔表达式〕
解：设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把〔-3，0〕，〔-1，0〕，
2.代：
〔0，-3〕代入y=ax2+bx+c得
解:∵该图象经过点〔2,3〕和(－1,－3)，
{ { 3=4a+c，
a=2，
∴
解得－3=a+c，
c=－5.
关于y轴对称
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
做一做
1.二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点〔-2,8〕和〔-1,5〕，
{ 8=4a-2b，
∴ 5=a-b，解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
图象经过原点
二顶点法求二次函数的表达式
选取顶点〔-2，1〕和点〔1，-8〕，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点〔-2，1〕代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，再把点〔1，-8〕代入上式得
例3 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由
于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

九年级数学下册第26章二次函数 26.1 二次函数课件

12/8/2021
第二页，共二十八页。
★情景问题引入★
(1)圆的半径是r(cm)时，面积S(cm2)与半径r(cm)之间的函数关系是什么呢？ (2)一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，则面积随之增加y 平方厘米，你能写出y关于x的函数解析式吗？
12/8/2021
第三页，共二十八页。
知识管理
12/8/2021
第二十五页，共二十八页。
9．如图，在边长为 4 cm 的正方形 ABCD 中，一点 P 由 B 向 C 以 2 cm/s 的速度移动，同时又有一点 Q 由 C 向 D 以 1 cm/s 的速度移动，设移动时间为 t，当 0＜t＜2 时，求△PCQ 的面积 S(cm2)与时间 t(s)之间的函数关系式，并指出是什么函数．
12/8/2021
第十四页，共二十八页。
3．[2018·恒台县一模]某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x(x＞0)．设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为( B )
A．y＝100(1－x)2 B．y＝100(1＋x)2
C．y＝（11＋00x）2 D．y＝100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2
二次函数的概念定义：形如___y＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_、__b_、__c_是__常__数__，__a_≠__0_)____的函数叫做二次函数．注意：任何一个二次函数的表达式，都可以化成y＝ax2＋bx＋c(a、 b、c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0，x 是自变量，x的取值范围是一切实数)叫做二次函数的一般式.
(1)写出这块菜园的面积y(m2)与垂直于墙的边长x(m)之间的函数解析式；