3.1复数的概念及几何意义(学练稿)
复数的概念及其几何意义
复数的概念及其定义复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi其中，a是实部，b是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，我们可以将复数z = a + bi表示为一个有序对(a, b)。
其中实部a对应于 x 轴的坐标，虚部b对应于 y 轴的坐标。
这样，在复平面上，每个点都对应着唯一的一个复数。
复数的重要性和应用1. 扩展了实数域复数扩展了实数域，使得我们可以处理更多的问题。
例如，在求解方程时，有些方程在实数域中无解，但在复数域中却有解。
2. 描述振荡和周期性现象振荡和周期性现象在科学和工程领域中非常常见。
通过使用复数来描述这些现象，我们可以更方便地进行分析和计算。
3. 信号处理在信号处理领域中，复数广泛用于描述和分析信号。
例如，在频域中使用傅里叶变换将信号从时域转换为频域时，复数起到了重要的作用。
4. 电路分析在电路分析中，复数被用来描述电压和电流的相位关系。
通过使用复数，我们可以方便地进行交流电路的计算和分析。
5. 分形和动力系统复数在分形和动力系统研究中也扮演着重要角色。
通过使用复数，我们可以更好地理解这些系统的行为和性质。
复数的几何意义中的关键概念在复平面上，有几个重要的概念与复数的几何意义密切相关。
1. 模长（Magnitude）一个复数z = a + bi的模长表示为|z|，它等于实部a和虚部b的平方和的平方根。
模长表示了一个复数到原点的距离。
|z| = √(a^2 + b^2)2. 辐角（Argument）辐角是一个与复数相关的角度，在极坐标系中表示。
辐角通常用 Greek 字母θ表示。
对于一个非零复数z = a + bi，其辐角定义如下：θ = arctan(b/a)需要注意的是，在计算辐角时需要考虑a的正负和a=0的特殊情况。
3. 共轭复数（Conjugate）对于一个复数z = a + bi，其共轭复数定义为z* = a - bi。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它包含实数和虚数部分，可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位，它满足i^2 = -复数的几何意义可以通过复平面来理解。
复平面是一个二维平面，横轴表示实数轴，纵轴表示虚数轴。
复数可以在复平面上表示为一个点。
实数部分决定了复数的横坐标，虚数部分决定了复数的纵坐标。
复数的模长表示复数到原点的距离，即复数的绝对值，用，z，表示。
复数的几何意义可以表现在以下几个方面：1.向量：复数可以看作是向量，实部表示向量在横轴上的投影，虚部表示向量在纵轴上的投影。
复数的加减法对应了向量的加减法，复数的乘法对应了向量的缩放和旋转。
2. 极坐标：复数可以用极坐标表示，在复平面上，复数z可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示与正实数轴的夹角。
复数的极坐标形式可以简化复数的运算。
3.旋转：复数的乘法可以表示复平面中的旋转。
如果复数z1表示一个向量，复数z2代表一个旋转角度，那么z1×z2的结果就表示了z1绕原点旋转z2对应的角度后的位置。
4.平移：将一个向量加上一个复数的结果就是将这个向量沿着复平面的一些方向平移。
平移是复数的加法对应的几何意义。
5. 共轭复数：共轭复数是将复数的虚数部分取负得到的，即z的共轭复数为z* = a - bi。
在复平面中，共轭复数对应于复数关于实数轴的对称点。
复数的几何意义在多个学科中都得到了广泛的应用。
在工程和物理学中，复数用于描述交流电路的电压和电流，光学中的波长和波矢也可以用复数表示。
在信号处理和通信领域，复数被用于分析和处理信号的频谱特性。
在数学中，复数进一步推广了实数域，使得更多的方程和函数都能够得到解析解。
而在几何学中，复数以及复数的扩展形式，如四元数和八元数等，被用于描述高维空间中的旋转和变换。
总之，复数不仅是数学中的重要概念，也具有丰富的几何意义。
它不仅可以用于解决实数域无法处理的问题，还能够用于表示各种向量、旋转和变换等几何概念。
31复数的概念及几何意义
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
z=a+bi Z(a,b)
一一对应
OZ
y
b
a
ox
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
１
（４） －３－５i；
２
（５） ５；
（６） －３i；
O
５
X
６
３
４
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
复数的概念及几何意义
在数自身的发展中，求 解方程式数系扩充的重 要动力，
如：2x 1
得x 1 , 引入了有理数 2
x2 2 得x 2, 引入了无理数
？ x2 1
引进一个新数 i,叫做虚数单位，并规定 ： （1）它的平方等于 1，即i2 1
（2）实数与它进行四则运 算时，原有的加法、 乘法运算律仍然成立
复数a bi(a,b R)
实数（b
0）
虚数（b 0）（. 当a 0时为纯虚数）
全体复数构成的集合称为复数集， 记作C，显然R C
NZ Q R C
解：由复数相等的定义，得
x 2 3y, 2x y 1.
解得：xy
1, 1.
实数与数轴上的点意义对应，我们可以用数轴上的点来表示实数。
430 1 2
x
复数z a bi(a,b R)由实部a和虚部b两个实数确定，复数用 什么图形来表示呢？
y
b
Z
.
O1
a
x
y
b
Z
.
O1aΒιβλιοθήκη x向量OZ的模称为复数z a bi(a,b R)的模，记作z 或 a bi .由模的定义可 知，z a bi a2 b2 .如果b 0,那么z a bi是一个实数a,它的模等于z
（1）z1 3 2i;
y
(2)z2 1 3i.
解：在复平面内作图如 左图.
z2 1 3i ●
● ●
●
● ●● ● ● ● ●
O1
x
●
●
● z1 3 2i
●
●
(1) z1 3 2i 32 22 13 ,
z1 3 2i
(2) z2 1 3i
3.1.2 复数的几何意义
|a+bi|(a,b∈R).
(2)求法:|z|=|������������|= ������2 + ������2(a,b∈R).
(3)模的几何意义:复数 z 的模就是复数 z=a+bi(a,b∈R)所对应
的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
名师点拨 1.实数 0 与零向量对应,故复数 0 的模为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
数形结合思想在复数中的应用(1) 典例 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一:∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 32 + ������2,
由已知得 32+a2<42,
∴a2<7, ∴a∈(- 7, 7).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
所以������������=(1,7),������������=(2,3),
由平行四边形的性质得������������ = ������������ + ������������=(3,10),而������������=(0,-3),
于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
3.1.2 复数的几何意义
-1-
学习目标
思维脉络
1.了解复平面的概念,理解复数的 几何意义. 2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模的概念,会求复数的 模.
课前篇自主预习
1.复平面 (1)复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; (2)实轴:坐标系中的x轴叫实轴,在它上面的点都表示实数; (3)虚轴:坐标系中的y轴叫虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示 纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数与复平面内的点一一对应:
复数的概念及几何意义
复数的概念及几何意义复数是数学中一种形式的数，包括实数和虚数。
它们一般有两个部分组成：实部和虚部。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复数的几何意义可以通过将它们表示为平面上的点来理解。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部则表示复数在虚轴上的位置。
复数a+bi可以被视为复平面上的一个点(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
这个点与坐标原点形成的直角坐标系中的位置坐标。
复数的模是指复数与原点(0, 0)之间的距离，可以通过勾股定理计算。
给定复数a+bi，它的模记作，a+bi，定义为sqrt(a^2 + b^2)。
复数的模可以用来衡量复数的大小。
复数的幅角或辐角表示复数相对于正实轴的旋转角度。
可以使用三角函数来计算复数的幅角。
例如，对于复数a+bi，其幅角记作arg(a+bi)，可以通过求解tan(theta) = b/a来计算，其中theta是幅角。
复数的几何意义在很多数学和物理领域都有广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.电路分析：复数在电路分析中起着重要的作用，特别是在交流电路的分析中。
复数可以表示电路元件的阻抗和容抗，并且可以通过复数运算来计算电路中电流和电压的相位关系。
2.信号处理：复数在信号处理领域中用于分析和处理复杂波形。
通过将信号表示为复数的幅角和频率，可以进行频域分析和滤波等操作。
3.控制理论：复数在控制系统理论中用于表示系统的频率响应和稳定性。
复数的幅角和模可以用于设计控制系统的稳定性条件。
4.波动理论：复数在波动理论中用于描述波的传播和干涉。
复数的幅角和模可以用于计算波的相位差和振幅。
5.分形几何：复数在分形几何中用于描述复杂图形的生成和变换。
复数的幅角可以用于旋转和缩放图形。
总结起来，复数是一种数学工具，它可以通过几何方法来理解和解释。
复数的几何意义涵盖了电路分析、信号处理、控制理论、波动理论和分形几何等多个领域。
通过了解复数的几何意义，可以更好地应用和理解复数的数学概念。
复数的概念及复数的几何意义
复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。
在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。
实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。
平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。
平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。
复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。
两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。
乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。
复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。
模是复数的长度或距离原点的距离。
两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。
复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。
共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。
复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。
通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。
例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。
复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。
实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。
总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。
复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。
复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。
复数的共轭是虚部取负得到的。
3.1.2复数的几何意义 (2)
3. 1.2复数的几何意义课前预习学案课前预习：1、复数与复平面的点之间的对应关系 1、复数模的计算2、共轭复数的概念及性质 4、 提出疑惑：通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质学习过程一、自主学习阅读 课本相关内容，并完成下面题目1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的2、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y轴叫做实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应平面向量4、共轭复数5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模二、探究以下问题1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示吗？2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？3、复数的几何意义你是怎样理解的？4、复数的模与向量的模有什么联系？5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？三、精讲点拨、有效训练 见教案反思总结1、你对复数的几何意义的理解2、复数的模的运算及含义 3共轭复数及其性质当堂检测1、判断正误（1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2 （3） 若|z 1|= z 1，则z 1>02、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z3.1.2复数的几何意义【教学目标】1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质【教学重难点】复数与从原点出发的向量的对应关系【教学过程】一、复习回顾（1）复数集是实数集与虚数集的 （2）实数集与纯虚数集的交集是 （3）纯虚数集是虚数集的（4）设复数集C 为全集，那么实数集的补集是 （5）a ，b ．c ．d ∈R ，a+bi=c+di ⇔（6）a=0是z=a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数的 条件 二、学生活动1、阅读 课本相关内容，并完成下面题目 （1）、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的 （2）、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y 轴叫做实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示 （3）、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 ←−−−→一一对应复平面内的点 ←−−−→一一对应平面向量 （4）、共轭复数（5）、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模 2、学生分组讨论（1）复数与从原点出发的向量的是如何对应的？（2）复数的几何意义你是怎样理解的？ （3）复数的模与向量的模有什么联系？（4）你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？ 3、练习 （1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，3+i ，-1+4i ，-3-2i ，-i（2）、已知复数1Z =3-4i ，2Z =i 2321+，试比较它们模的大小。
复数的概念及其几何意义
m − 1 ≠ 0
2
即 纯虚数． 纯虚数．
2
复数z m = −1时，复数 是
练习: 练习:当m为何实数时，复数 为何实数时，
Z = m + m− 2 + (m −1)i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 (m = − 2 ) (m ≠ ± 1) (m = ± 1)
如何定义两个复数的相等？ 如何定义两个复数的相等？
a+i
bi
a+bi
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 ∈ 的数叫做复数 的数叫做复数. 形如
全体复数所形成的集合叫做复数集 复数集， 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C 一般用字母C表示 .
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： 并且规定： （1）i2=−1； ） =−1 （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 ） 进行四则运算， 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。 合率和分配率)仍然成立。
y z=a+bi Z (a,b)
O
x
小结
求下列复数的模： 例4 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) ∈ 解
z
1
=
5
z
2
=
5
z3 = 5 2
z4 = 1+ m 2 z5 = 25a =−5a
a b
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点 （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 复数平面 (简称复平面) 简称复平面 简称复平面
3.1复数的概念(2)
【课题】 3.1复数的概念（二）【教学目标】知识目标：（1）理解复数的几何意义．（2）会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式．能力目标：通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数的几何表示．（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式.【教学难点】复数的代数形式转化为三角形式．【教学设计】在讲解复平面和复数的几何表示时，自然的建立了复数iz a b=+与直角坐标平面内的点Z（,a b）之间的一一对应关系，于是复数z=i+（,a b∈R）可以用直角坐标系平面中的a b点(,)Z a b表示．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，虚轴上除去原点以外的点都表示纯虚数．要特别强调虚轴不包括原点，虚轴的单位与实轴一样都是1．复平面与复数的点表示是复数的向量表示的基础．例4是理解复平面的实际操作训练题．例5是用向量表示复数的知识巩固性题目．包含了与坐标轴平行和不平行的情况．例6介绍了求复数i+（,a b∈R）的模与a b辐角θ的方法．将复数的代数形式化为三角形式，关键是求出复数的模和辐角．有了例6的铺垫，进行这种转化的例7，就比较容易完成了．要注意依照教材规范解题的步骤进行规范．将三角式化为代数式，只需按照分配律计算出结果．例8给出了具体的步骤，要引导学生独立完成．在计算中要帮助学生复习三角函数诱导公式．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】探索新知复数的三角形式4，表示复数i z a b =+的向量OZ的大小（模）与方向（与x 轴正方向所成的角）来确定．的模叫做复数i z a b =+的模（如图【教师教学后记】第3章复数及其应用（教案）。
复数的几何意义
复数的几何意义在数学中，我们经常会遇到复数的概念和使用。
虽然复数在代数学中有着重要的作用，但它们在几何学中也具有深远的意义。
本文将探讨复数在几何学中的意义，并展示它们在平面几何中的应用。
1. 复数的定义复数是由一个实数和一个虚数组成的数，通常表示为"a+bi"的形式，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可以用平面上的点来表示，实部对应点的x坐标，虚部对应点的y坐标。
2. 复数的模和参数复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理来计算，即模=√(a^2 + b^2)。
复数的参数表示复数与正实轴之间的夹角，可以使用反三角函数来计算，即参数=arctan(b/a)。
3. 复数的几何表示复数可以用向量来表示，向量的起点为原点，终点为该复数对应的点。
因此，复数的几何表示就是平面上的一个向量。
通过调整实部和虚部的数值，可以得到不同的向量。
4. 复数的加法和减法复数的加法可以看作是向量的相加，即将两个复数的向量相加，得到一个新的向量。
减法可以看作是向量的相减，即将两个复数的向量相减，得到一个新的向量。
这两个操作在平面几何中对应着向量的平移。
5. 复数的乘法和除法复数的乘法可以看作是向量的旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度乘以一个因子，得到一个新的向量。
除法可以看作是向量的反向旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度除以一个因子，得到一个新的向量。
6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数，保持实部不变。
共轭的几何意义是将复数表示的向量关于实轴反射得到的新向量。
7. 复数在平面几何中的应用复数在平面几何中有广泛的应用。
例如，可以使用复数来表示平移、旋转和缩放等变换。
复数的乘法和除法可以用来进行向量的旋转和缩放操作。
此外，复数还可以表示平面上的点，通过复数的运算可以得到点之间的距离和夹角等信息。
总结：复数在几何学中有着重要的意义，可以用来表示平面上的向量和点。
复数的几何意义
复数的几何意义2篇复数的几何意义（一）复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，形如a+bi 的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
虽然在实际生活中我们很少遇到复数，但是它在数学和物理学等学科中有着广泛的应用。
复数的几何意义就是描述复平面上的点，本文将从两个角度来探讨复数的几何意义。
首先，我们来看复数的几何意义与向量的关系。
复数可以表示为二维向量的形式(a，b)，其中a和b分别是复数的实部和虚部。
将复数对应到二维平面上，可以将复数a+bi表示为点(x，y)，其中x=a，y=b。
这样，复数就可以转化为二维平面上的一个点。
根据向量的性质，我们可以将复数相加、相减、相乘、相除等运算转化为向量的运算。
例如，两个复数相加就是将它们对应的点向量相加，两个复数相乘就是将它们对应的点向量进行缩放和旋转操作。
通过这种方式，复数的运算就可以直观地在二维平面上进行，这有助于我们更好地理解和掌握复数的运算规律。
其次，复数的几何意义还与极坐标系的相关性质有关。
复数可以用极坐标的形式来表示，即r(cosθ+ i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
在复平面上，复数对应的点可以看作是从原点出发的一个向量，其长度为r，与x轴正向之间的夹角为θ。
这样，复数的加法、减法、乘法等运算也可以用极坐标形式来表示。
例如，两个复数的乘积可以表示为r1 r2 (cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2))，即两个向量的长度相乘，夹角相加。
通过极坐标形式，我们可以更直观地描述和理解复数的乘法运算。
综上所述，复数的几何意义可以从向量和极坐标两个角度来理解。
复数可以对应到二维平面上的一个点，它可以应用于向量运算和极坐标形式的运算。
这种几何意义的理解有助于我们更好地理解和应用复数，而不仅仅将其看作是一个抽象的符号。
通过深入研究和探讨复数的几何意义，我们可以更好地应用复数的性质解决实际问题，拓展数学的应用领域。
复数的几何意义（二）在前文中我们已经了解了复数的几何意义与向量和极坐标的关系。
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。
实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。
虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。
实数部分和虚数部分都可以是负数。
复数的几何意义可以通过复平面理解。
复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。
实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。
模的值是一个非负实数。
复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。
复数可以进行加法、乘法和求逆运算。
复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。
复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。
复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。
复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。
复数可以进行四则运算，并满足这些性质。
复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。
复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。
总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。
复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。
复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。
复数在数学和实际应用中都有重要的意义。
复数的几何意义
复数是数学中一个非常重要的概念，它在几何学中也有着重要的意义。
复数可以用一个实部和一个虚部来表示，通常写成a+bi的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i²=-1。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部表示复数在虚轴上的位置。
首先，我们来看复数在复平面中的几何意义。
复平面是一个平面笛卡尔坐标系统，实轴水平表示实数，虚轴垂直表示虚数。
复数表示的是平面上的一个点，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
例如，复数2+3i表示复平面上的一个点，横坐标为2，纵坐标为3。
这样，我们可以将复数看作平面上的向量。
复数的几何意义可以通过两种方式来理解。
一种是向量表示法，复数是一个有向线段，表示一个从原点指向某个点的向量，向量的方向由实部和虚部决定。
另一种是极坐标表示法，复数可以用模长和幅角来表示。
模长表示向量的长度，幅角表示向量与虚轴的夹角。
这种表示法可以将复数的乘法和除法转化为向量的旋转和伸缩，非常有用。
利用复数的几何意义，我们可以进行一些有趣的运算。
首先是复数的加法。
复数的加法相当于向量的相加，两个向量相加的结果是两个向量首尾相接形成的新向量。
例如，复数2+3i和1+2i相加的结果是3+5i，可以想象成从2+3i位置出发，沿着1+2i的方向前进，最终到达3+5i的位置。
其次是复数的乘法。
复数的乘法相当于向量的旋转和伸缩。
两个复数相乘的结果是两个向量长度相乘，角度相加后的新向量。
例如，复数2+3i和1+2i相乘的结果是-4+7i，它相当于将向量2+3i绕原点逆时针旋转45度，并且长度变为原来的3倍。
最后是复数的除法。
复数的除法相当于向量的旋转和缩放。
一个复数除以另一个复数，相当于将两个向量的长度相除，角度相减后的新向量。
例如，复数2+3i除以1+2i的结果是1+1i，它相当于将向量2+3i绕原点顺时针旋转45度，并且长度变为原来的一半。
综上所述，复数在几何学中有着非常重要的意义。
复数的实部和虚部可以表示复数在复平面中的位置，而复数的加法、乘法和除法可以通过向量的操作来理解。
复数的几何意义
复数的几何意义复数是由实数和虚数构成的数学概念，它在几何学中有着重要的意义。
本文将探讨复数的几何意义，以及它在几何图形、向量和共轭等方面的应用。
一、复数的定义及表示方式复数是由实部和虚部构成的，通常可以表示为z = a + bi，其中a为实部，bi为虚部且i为虚数单位。
实部和虚部分别在数轴的实轴和虚轴上表示。
二、复数的几何意义1. 复平面复数可以看作是在复平面上的点，这个平面由实轴和虚轴组成。
实部决定复数的横坐标，虚部决定复数的纵坐标。
2. 几何解释当复数z不是实数时，可以将其表示为z = a + bi的形式，其中a和b都是实数。
在复平面上，可以将其视为一个点，即复数z对应着复平面上的一个点P(a,b)。
3. 共轭复数对于复数z = a + bi，它的共轭复数为z* = a - bi。
在复平面上，过点P(a,b)作虚轴的垂线，与虚轴的交点为点P'，那么P'对应的复数就是z*。
共轭复数的实部相同，虚部相反。
共轭复数在几何上可以表示为关于x轴对称的点。
4. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
对于复数z = a + bi，它的模记为|z|，可以表示为|z| = √(a^2 + b^2)。
在复平面上，模就是复数对应点到原点的距离。
5. 向量复数也可以看作是一个向量，在二维平面上表示了大小和方向。
向量的模表示了向量的长度，角度表示了向量与x轴之间的夹角。
三、复数的应用1. 几何图形复数在几何图形中有着广泛的应用。
通过复数运算可以进行平移、旋转和缩放等操作，方便地进行几何变换。
2. 向量复数可以表示向量，因此在物理学、工程学和计算机图形学等领域中广泛应用。
复数的加法和减法对应向量的平移，复数的乘法对应向量的缩放和旋转。
3. 共轭共轭复数在电路分析、信号处理等领域有着重要应用。
共轭复数可以用于表示交流电路中的功率、电流和电压关系，以及信号频谱中的共轭对称性等。
四、总结复数在几何学中有着重要的意义，可以表示复平面上的点，并且可以进行几何变换。
19-20版 第3章 3.1 3.1.1 3.1.2 第2课时 复数的几何意义
第2课时复数的几何意义一、复数的几何意义及复数的模1．复平面(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；(2)实轴：在复平面内，x轴叫做实轴，单位是1，实轴上的点都表示实数；(3)虚轴：在复平面内，y 轴叫做虚轴，单位是i ，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；(4)原点：原点(0,0)表示实数0. 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ―――→一一对应平面向量OZ→. 为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．3．复数的模向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 二、共轭复数 1．定义如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．2．表示复数z 的共轭复数用z 表示，即当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，则z ＝a －b i.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． ( ) (2)复数的模一定是正实数．( )(3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|. ( )[解析] (1)正确．根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小． [答案] (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则复数z 在复平面上所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ<0且sin θ<0，∴该复数所对应的点位于复平面上第三象限． [答案] C3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________，________.[解析] ∵x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数， ∴⎩⎨⎧ x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1. [答案] －1 1对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y2＝4x上．[思路探究]解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．[解]复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．(1)若z对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. (3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4， 解得a ＝54.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式)组.1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的值或取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.【例2】 已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，求向量BA→对应的复数．[思路探究] 复数→求向量OA →，OB →的坐标→ 计算向量BA→的坐标→确定对应的复数[解] 向量OA→，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA→＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA→对应的复数是5－5i.1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．2．在复平面内，O 是原点，向量OA→对应的复数为2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB→对应的复数；(2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数． [解] (1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2,1)．根据对称性可知：x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i. (2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知：x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.1．若z ∈C ，则满足|z |＝2的点Z 的集合是什么图形？[提示] 因为|z |＝2，即|OZ →|＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．2．若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点Z 的集合是什么图形？ [提示] 不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎨⎧|z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合， 不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．【例3】 已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i. (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ [思路探究] (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． [解] (1)|z 1|＝(－3)2＋12＝2.|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点Z 1，Z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．3．如果复数z＝1＋a i满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是________．[解析] 由|z |<2知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝1＋a i 知z 对应的点在直线x ＝1上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合，由图可知－3<a < 3.[答案] (－3， 3)1．在复平面内，若OZ →＝(0，－5)，则OZ →对应的复数为() A ．0 B ．－5C ．－5iD ．5[解析] OZ →对应的复数z ＝0－5i ＝－5i.[答案] C2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．[答案] D3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( )A ．5B ．8C ．6 D.11[解析] |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.[答案] D4．若复数z 1＝3＋a i ，z 2＝b ＋4i(a ，b ∈R )，且z 1与z 2互为共轭复数，则z ＝a ＋b i 的模为________．[解析] ∵z 1＝3＋a i ，z 2＝b ＋4i 互为共轭复数，∴⎩⎨⎧ 3＝b ，a ＝－4，∴z ＝－4＋3i ，∴|z |＝(－4)2＋32＝5.[答案] 55．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8. ∴z ＝－15＋8i. 课时分层作业(九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i.[答案] C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( )A ．2B ．4C.10 D ．2 2[解析] |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C.[答案] C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.[答案] A4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i[解析] 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2，1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.[答案] B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i[解析] 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝(－5)2＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2， ∴z ＝－5＋2i.[答案] A二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________.[解析] 由题意知z ＝－3＋4i ，∴|z |＝(－3)2＋42＝5.[答案] 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．[解析] 由已知得⎩⎨⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴⎩⎨⎧ 1<x <5，x <2，∴1<x <2.[答案] (1,2)8．已知△ABC 中，AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．[解析] 因为AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB→＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)． 又BC→＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.[答案] －1－5i三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？[解] ∵|z |＝2， ∴(x ＋3)2＋(y －2)2＝2，即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y ＝x 上．[解] (1)由题意得⎩⎨⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎨⎧ m －3>0，m 2－5m －14>0，或⎩⎨⎧m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3，∴m 2－6m －11＝0，∴m ＝3±25，此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．[能力提升练]1．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析] ∵0<a <1，∴1－a >0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 的共轭复数z ＝a ＋(1－a )i 在复平面内所对应的点(a,1－a )位于第一象限．[答案] A2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆 [解析] 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．[答案] C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________.[解析] 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.[答案] 1＋2i 或－1－2i4．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值． [解] 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ， OZ 2→对应的复数为2a ＋i ， 所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)． 因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎨⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。
复数的几何意义
复数的几何意义引言复数是数学中一种常见的概念，用于描述带有虚部的数。
在复数的运算中，虚部通常用虚数单位i表示，其中i是一个满足i^2 = -1的数。
复数的几何意义是通过将复数表示为有序对的形式，将其在复平面上进行表示和解释。
本文将介绍复数的几何意义及其在实际应用中的作用。
复平面表示法复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面。
实数轴水平表示实部，虚数轴垂直表示虚部。
复数可以通过将其表示为实部和虚部的有序对的形式来在复平面上进行表示。
例如，复数z = a + bi可以表示为 (a, b) 的点在复平面上的位置。
在复平面中，原点表示零，实数轴上的点表示实数，虚数轴上的点表示纯虚数，而其他点表示具有实部和虚部的复数。
复数的模复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理计算。
复数z = a + bi的模可以表示为|z| = sqrt(a^2 + b^2)。
在复平面中，模可以视为复数对原点的径向距离。
由模的定义可知，复数的模为非负实数。
复数的辐角复数的辐角是复数到正实数轴的夹角，通常使用弧度制进行表示。
复数z = a +bi的辐角可以通过计算theta = arctan(b / a)获得。
在复平面中，辐角可以视为复数与正实数轴之间的倾斜角度。
需要注意的是，辐角只有在复数不等于零时才有意义。
复数的几何运算在复平面中，复数可以进行各种基本的几何运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算的结果可以用复数在复平面上的图形表示形式来解释。
复数的加法和减法复数的加法可以通过将两个复数对应的点在复平面上进行相加来实现。
例如，复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的和为z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
类似地，复数的减法也可以通过复数在复平面上的点相减来实现。
复数的乘法和除法复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘、辐角相加来实现。
例如，复数z1 = |z1| (cos(theta1) + i * sin(theta1))* 和z2 = |z2| (cos(theta2) + i * sin(theta2))* 的乘积为z = |z1| |z2| * (cos(theta1 + theta2) + i * sin(theta1 + theta2))*。
复数的几何意义及其应用案例
复数的几何意义及其应用案例复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数有着丰富的几何意义，它在几何学中有广泛的应用。
本文将探讨复数的几何意义以及一些应用案例。
一、复数的几何意义1. 复平面复数可以用平面上的点来表示。
将复数a+bi对应于平面上的点P(a, b)，这个平面就是复平面。
复平面上的点P可以表示为向量OP，其中O是平面上的原点。
复数的实部a对应于点P在x轴上的投影，虚部b对应于点P在y轴上的投影。
这样，复数的加法、减法、乘法和除法运算都可以用向量运算来表示。
2. 模和幅角复数a+bi的模定义为它与原点的距离，即|a+bi|=√(a²+b²)。
模表示了复数的大小。
复数的幅角定义为它与x轴的夹角，可以用反三角函数来表示，即θ=arctan(b/a)。
幅角表示了复数的方向。
3. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi，可以用符号∼表示。
共轭复数在复数的乘法和除法运算中有重要的应用。
二、复数的应用案例1. 电路分析复数在电路分析中有着广泛的应用。
例如，交流电路中的电压和电流可以用复数来表示。
通过对复数电压和电流进行运算，可以得到电路中的功率、阻抗、电感和电容等重要参数。
2. 信号处理在信号处理中，复数被用来表示信号的频谱。
通过对复数频谱进行运算，可以实现信号的滤波、调制、解调等操作。
复数的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 几何变换复数可以表示平面上的几何图形。
通过对复数进行平移、旋转、缩放等几何变换，可以实现图形的变换和组合。
复数的乘法运算可以实现图形的旋转和缩放，复数的加法运算可以实现图形的平移。
4. 分形图形分形是一种特殊的几何图形，具有自相似性和无限细节等特点。
复数可以用来生成分形图形，例如著名的朱利亚集合和曼德博集合。
通过对复数进行迭代运算，可以生成具有丰富结构和美丽形态的分形图形。
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§3.1复数的概念及几何意义
学习目标：学习复数的代数形式，虚数、纯虚数、实部、虚部等概念和复数相等的条件等内容
学习重点: 复数的概念
复习：回顾从自然数系扩充到实数系的过程
知识梳理：
1．把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R}中的数，即形如________的数叫做复数，其中i 叫做_____． 2．复数的代数形式：________________，其实部为________，虚部为________． 当且仅当________时，z ＝a ＋b i 为实数；当且仅当________时，z ＝a ＋b i 为虚数；当________时，z ＝a ＋b i 为纯虚数．
3．两复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R)．特例a ＋b i ＝0⇔________. 4．复数集记作：C ，则C ，R ，Q ，Z ，N 之间包的含关系为________________． 5．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点________一一对应．
6．复平面内，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示________． 7．复平面a ＋b i 与平面向量OZ →
________(其中O 是原点，Z (a ，b ))．
8．向量OZ →
的模r 叫做复数Z ＝a ＋b i 的________，记作：________，并且|Z |＝___________ 9．相等的向量表示________复数． 典例精讲
例：实数m 取什么值时，复数()i m m z 11-++=是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数
例2：实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()i m m m m z 14515822--++-=的点 (1)位于第四象限 (2)位于第一、三象限(3)位于直线x y =上
例3：求适合下列条件的复数z 在复平面上表示的图形． (1)2≤|z|<3； (2) 121=--i z (3) 432≤-+i z
达标检测：
1. 有下列几个数:2+3i,-4i,2,5-3,37
,-2,其中实数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2．在复平面内，写出下列复数对应的点的位置(所在象限或坐标轴)
（1）2＋5i （2）-3＋2i （3）2-4i （4）-3-i （5）5 （6）-3i
3.（1）如果()()()()i y y x i y y x 12321+++=-++，则x = ，y = （2）若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.
4.设a ∈R,复数z=
2
a 6
a a 2
+-++(a 2-3a-10)i,当______ ____时,z 为实数;当_____ _____时,z 为
虚数;当_______ ___时,z 为纯虚数.
5.设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴的右侧，则()
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．b＞0，a∈R D．a>0，b∈R
6.如果复数a＋bi在复平面内的对应点在第二象限，则() A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
拓展延伸：
1.若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则() A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2
2.已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.
3.已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
4.m取何实数时，复数z＝m2－m－6
m＋3
＋(m2－2m－15)i，
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数实数a分别取什么数值时，复数z＝
a2－a－6
a＋3
＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z，(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面的x轴上方；(3)在直线x＋y＋7＝0上．
若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是()
A．2 B．3 C．4 D．5
总结：
课后作业。