第62课时——空间向量的坐标运算(学案)

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空间向量坐标运算教案

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3)a －b=(a 1－b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3)a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　向量的坐标运算，，232221||a a a a ++=， 232221||b b b b ++=．221221212)()()(z z y y x x d B A -+-+-=、)(21OB OA OM +=＝)2,2,2(212121z z y y x x +++；对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b 。

.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则P 点坐标为已知点A （1，―2，11），B （4，2，3），C （6，―1，4），则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形平行于垂直1.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),如果a 与b 为共线向量,则( )已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(-1，0，2)，且k a ＋b 与2a -b 互相垂直，则ｋ值是( )建系已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。

教案(空间向量运算的坐标表示)

3.1.5空间向量运算的坐标表示教案学科：数学主备人：陆艳娥日期：2013.12思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？二、新授：(一)空间向量运算的坐标表示：设a ⑻住耳)^(Rbb),A(x 「/，石月化^卫)，则(1) I b (q b i ，a 2 b 2，a 3 b ?) a b (a i Wa ? d’a ? b ?)Ia ( a i , a 2, a ?"R) a b a^ a ?b 2问题：上述法则怎样证明呢？以a b 为例进行证明教师活动教学流程:学生活动一、复习引入：平面向量的坐标运算：设 a (ai,a 2),b (bib), A(x i , y) B(d y 2)，则 I(1) a b (a i b i ,a 2 b 2) a b (a 1 b i ,a 2 b 2) J r a (a i , a 2)( R) a b a 1b 1 a 2b 2 4a2)■aP22aL»r aJ rada1y2X1>复习回顾平面向量的坐标运算为后续内容的整体把握作准备\7b 2 j b s k 代入即可)乙a3y2X1,2Z1b12aJ laMb〃 1 a oL »r aJ ra3)2y1y22XBAd 类比提升4—as o c a12323332d2b;[0,（二）应用举例课堂练习 1:已知 a ( 3,2,5),b (1,5, 1)求a b, 3a-b, 6a ，a b ，课堂练习2:如图正方体的棱长为2,试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学进行交流。

例1 •如图，在正万体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 1, F 1分别是A 1B 1,C 1 D 1的一个四等分点，求直线BE 1与DF 1所成角的余弦值。

分析：选择适当的坐标系后，建系求点坐标，向量坐标，根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值, 成角的余弦值。

空间向量的坐标与运算

空间向量的坐标与运算教案：空间向量的坐标与运算简介：本教案旨在帮助学生理解和掌握空间向量的坐标表示方法以及运算规则，通过实际例子和练习巩固知识点。

本教案适用于高中数学课程，需要学生具备一定的数学基础知识。

一、引入：给学生一个实际问题：小明从学校出发，顺着南北方向走了100米，然后向东走了50米，最后沿着高度方向向上爬了30米，请问小明的位移是多少？请用空间向量的坐标表示。

二、概念讲解：1. 空间向量的定义：空间中由起点和终点确定的有向线段称为空间向量，用大写字母表示，如AB。

2. 坐标表示方法：用方向余弦表示空间向量的坐标，具体表示为(a, b, c)。

其中，a、b、c分别代表向量在x轴、y轴、z轴的投影长度。

3. 空间向量的运算规则：加法、减法、数乘。

三、实例分析：以小明的位移问题为例，引导学生使用空间向量的坐标表示方法解决问题。

解题步骤：1. 确定起点和终点，假设起点为A(0, 0, 0)，终点为B(a, b, c)。

2. 求解向量AB在x轴、y轴、z轴方向的投影长度，即向量的坐标表示。

a = 50，b = 0，c = 30。

3. 根据坐标表示得出向量AB的表示为(50, 0, 30)。

四、运算规则讲解与练习：1. 向量的加法：向量AB + 向量AC = 向量BC。

练习题：已知向量A(2, -3, 1)，向量B(-1, 4, 2)，求向量C使得向量A + 向量C = 向量B。

2. 向量的减法：向量AB - 向量AC = 向量CB。

练习题：已知向量A(3, 2, -1)，向量B(-2, 1, 4)，求向量C使得向量A - 向量C = 向量B。

3. 数乘：数k乘以向量A得到一个新的向量kA。

练习题：已知向量A(1, -2, 3)，求2倍的向量A。

五、拓展应用：1. 空间向量的模：向量AB的模表示向量AB的长度，记作|AB|或AB。

练习题：已知向量A(3, -4, 5)，求向量A的模。

2. 空间向量的点积：向量AB的点积是向量A与向量B的对应坐标乘积之和，记作A·B。

高中数学教案向量的坐标运算

高中数学教案向量的坐标运算本篇教案将介绍高中数学中向量的坐标运算方法，包括向量的加法、减法、数量乘法以及内积的计算方法。

通过本教案的学习，学生将能够掌握向量坐标运算的基本概念和计算技巧，进一步提高数学解题能力。

一、向量的坐标表示向量是由大小和方向组成的，可以用坐标形式表示。

在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，称为向量的坐标。

设向量AB的坐标为(x1, y1)，其中x1为水平方向上的分量，y1为垂直方向上的分量。

二、向量的加法向量的加法满足三角形法则。

设有向量AB和向量CD，可以先将向量CD的起点和终点平移到向量AB的终点上，然后连结向量AB的起点与平移后的终点，所得的向量即为向量AB和向量CD的和向量EF。

向量EF = 向量AB + 向量CD向量的坐标加法规则为：(x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2)三、向量的减法向量的减法满足平行四边形法则。

设有向量AB和向量CD，可以以向量CD为边作平行四边形，将向量AB的起点和终点平移到平行四边形的对角线起点上，所得的对角线即为向量AB和向量CD的差向量EF。

向量EF = 向量AB - 向量CD向量的坐标减法规则为：(x3, y3) = (x1 - x2, y1 - y2)四、数量乘法向量的数量乘法是指将向量的长度与一个标量相乘，得到一个新的向量。

设有向量AB和实数k，向量kAB即为向量AB的数量乘积。

向量kAB = (k*x, k*y)五、内积的计算向量的内积是指两个向量之间的乘积。

设有向量AB和向量CD，其内积的计算公式为：AB·CD = AB * CD * cosθ其中，θ为向量AB与向量CD之间的夹角。

向量的坐标内积计算方法为：AB·CD = x1 * x2 + y1 * y2六、实际应用向量的坐标运算在实际问题中具有广泛应用。

例如，在几何问题中，可以利用向量的坐标运算来求解平面上线段的长度、角的大小等；在物理问题中，可以利用向量的坐标运算来计算物体的位移、速度、加速度等。

空间向量运算的坐标表示教案

8.3 空间向量运算的坐标表示教案一．教学目标：1、空间向量运算的坐标表示；2、能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题。

3、选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题。

二．课前知识准备提纲：1、空间向量基本定理的内容是什么？2、基底的概念？单位正交基底是怎么界定的？3、平面直角坐标系、空间直角坐标系？4、类比平面向量的坐标运算，你能得出空间向量运算的坐标表示吗？三．新课内容1.导入新课一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力为321,,F F F ，它们两两垂直，它们的大小分别为3000N ，2000N ，2000N.若以三个力的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。

请同学们分小组回答课前准备知识提纲里的习题。

并按照下列问题进行新课（1）空间向量运算的坐标表示有哪些运算公式（2）空间向量平行与垂直的条件（3）向量的坐标及两点间的距离公式新知讲授完毕，紧接着用2道小题加以巩固，通过基础自测，让学生建立知识印象，为后续例题的研析奠定基础。

2、典例精析设计三种类型的例题，分别是空间向量的坐标运算，利用向量解决平行与垂直的问题以及利用向量的坐标形式求夹角与距离。

例1 在△ABC 中，),5,2,3(),2,1,4(),3,5,2(-==-A 求顶点B 、C 的坐标，向量及角A 的余弦值。

通过题型一的分析，让学生懂得空间向量坐标的求法有以下三种情况，由点的坐标求向量的坐标，利用运算求坐标以及利用方程组求坐标。

例2 已知空间三点)4,0,3(),2,1,1(),2,0,2(---C B A ,设==,（1c ,,3求平行BC c =（2）若b a k b a k 2-+与互相垂直，求k通过题型二，介绍向量平行与垂直问题的两种类型。

例3 在长方体1AC 中，底面ABCD 是边长为4的正方形。

空间向量的坐标表示教案

空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。

2. 掌握空间向量的坐标运算规则。

3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。

二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。

2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。

三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。

2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。

3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。

4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。

四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。

2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。

2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。

3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。

六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。

2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。

七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。

同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。

希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。

八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。

同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。

但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。

高三数学第一轮复习教案：第62课时——空间向量的坐标运算

高三数学第一轮复习讲义（62）空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：，1．；；；；2．；；3．；．4．。

三．基础训练：1．已知，则向量与的夹角是（）2．已知，则的最小值是（）DC()()A()B()3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.4．设向量，若，则，。

5．已知向量与向量共线，且满足，，则，。

四．例题分析：例1．棱长为的正方体中，分别为的中点，试在棱上找一点，使得平面。

例2．已知，为坐标原点，（1）写出一个非零向量，使得平面；（2）求线段中点M及的重心的坐标；的面积。

（3）求AOB例3．如图，两个边长为1的正方形ABCD与相交于AB，分别是上的点，且，（1）求证：平面；（2）求长度的最小值。

MD五．课后作业：班级学号姓名1．若向量夹角的余弦值为，则= （）()A1 ()B()C()D2．已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（）D()A()B()C()3．已知四面体ABCD中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）()A()BD()C()4．若，且与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）C()D()A()B()5．设，则与a平行的单位向量的坐标为，同时垂直于的单位向量.6．设向量，计算及a与b的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.7．矩形ABCD中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，（1）求的值；（2）M是上的一点，M在平面上的射影恰好是的重心，求M到平面的距离。

8.直三棱柱，，分别是的中点，（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：。

内容总结（1）高三数学第一轮复习讲义（62）空间向量的坐标运算一．复习目标：向量的坐标运算和建系意识．二．主要知识：，1．。

(2021年整理)空间向量运算的坐标表示学案北师大版(优秀教案)

空间向量运算的坐标表示学案北师大版(优秀教案)
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空间向量运算的坐标表示学案

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；.A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ .复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝，由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是；③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是，即a 与b 的位置关系是，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：AB .4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D 中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. ※ 动手试试练1. 已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求： ⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件．练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.三、小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.※ 知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件 2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（）A.B.C.D.4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,x y ==- D. 1,1x y ==-1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。

教学设计《空间向量的坐标运算》

各位评委、老师：大家好!今天我讲的是《空间向量的坐标运算》，下面我将从教材分析、学生情况、教学目标、教学方法、教学过程和教学设计说明六个方面来介绍我对本节课的教学设想.1教材的地位与作用空间向量及其加减运算是在学生学习了平面向量及其运算的基础上进一步学习的知识内容．是平面向量运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．2学情分析2．1学生学习本课内容的基础本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量及其运算的规律，数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构.2．2学生学习本课内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。

具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。

2．3学生学习本课内容的心理本节内容学生容易接受。

学生在学习的过程中，会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。

2．4学法分析在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．3．教学目标分析2．1知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

2．2过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力以及团队合作精神。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

（3）通过变式训练提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平2．3情感态度与价值观通过对空间向量及其运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养；通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦4．教学过程设计4．1通过探究求得新知探求1类比平面向量得到空间向量的定义问题2对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别？追问:三个或者多个向量的加减法怎么办？是否能使用结合律呢问题3类比于平面向量的推广，能不能得到空间向量的推广？问题4一般的，三个不共面的向量和这三个向量有什么关系？4．2 引导思考，自主探究（1）教学中引导学生大胆地“由旧得新”即由平面向量的定义及公式得到出空间向量相应的公式，让学生在推导的过程发现从二维到三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论（3）证明之前引导学生分析公式之间的内在联系，使学生认识到空间向量的线性运算比较简单，而夹角公式、距离公式、垂直的充要条件均由向量的数量积公式推出，因此抓住问题的主要矛盾，着重证明空间向量的数量积公式.（4）将学生的思维激活，激发引导学生会大胆的想象，思维的发散是形成知识的网络化的有效途径。

高考数学空间向量运算的坐标表示学案新人教版

3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。

2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。

3、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。

学习重点：1、利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。

2、利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。

学习难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。

学习过程：一、复习回顾1．空间向量的基本定理：温故知新若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．p xa yb zc =++{,,}a b c p 2．空间直角坐标系中的坐标：123(,,)a a a a =如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．a ,,i j k 123(,,)a a a 123a a i a j a k =++123(,,)a a a O xyz -二、新授：我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对(x ，y)表示，在空间则可用有序实数组{},,x y z 表示。

类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。

空间向量的直角坐标运算：1．设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝；⑵a －b ＝；⑶λa ＝ ()R λ∈；⑷a ·b ＝ .思考1：上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入）练习1：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求： ⑴a ＋b . ⑵3a －2b ； ⑶a ·b .2．两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔ ，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==； ⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔练习2：已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，则x ＝ .练习3：已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（） A. 1,13x y == B. 1,42x y ==- C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-3．向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝思考2：公式的几何意义？（表示长方体的体对角线）4．空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111222(,,),(,,)A a b c B a b c ，则A ，B 两点间的距离222212121()()()AB d AB a a b b c c ==-+-+- 练习4：已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.5、两个向量夹角公式cos ,||||⋅<>=⋅a b a b a b = 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．思考3：当，0<cos ＜a 、b ＞<1及-1<cos ＜a 、b ＞<0时的夹角范围？三、典型例题例2. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？.,cos )2).(2(321)1,2,1(),1,1,1(.1><-⋅+-=-=b a b a b a b a ））（（求：已知例例3 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ,1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则 111(1,1,),(,,1),222E F 所以 111(,,).222EF =-- 又1(1,0,1),(0,0,0),A D所以1(1,0,1).DA = 所以 1111(,,)(1,0,1)0.222EF DA •=--•=因此 1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥。

〖2021年整理〗《空间向量运算的坐标表示》优秀教案

空间向量运算的坐标表示陈菊仙一、教学目标（一）核心素养本节课是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，通过本节课的学习，让学生经历向量坐标运算由平面向空间推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展，提高学生的空间想象能力、探索能力及科学思维素养，使学生能在空间几何体中借助图形进行空间向量的运算，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定知识和方法基础．（二）学习目标1．掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．3．掌握向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题．（三）学习重点1．空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示． 2．两个向量共线或垂直的判断．3．向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式．（四）学习难点1．向量运算到坐标运算的转化．2．应用空间向量坐标运算解决立体几何问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第95页至第96页，填空：我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对),(y x 表示，在空间中则可用有序实数组),,(z y x 表示．类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则=+b a ),,(332211b a b a b a +++，=-b a ),,(332211b a b a b a ---，=a λ),,(321a a a λλλ，=⋅b a 332211b a b a b a ++．（2）写一写：类似于平面向量的坐标表示，我们还可以得到：b a b a λ=⇔//⇔332211,,b a b a b a λλλ===)(R ∈λ；⋅⇔⊥b a b a 0332211=++b a b a b aa =||=；,cos b a b a >=<=．在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离==||AB d AB ．2．预习自测（1）已知向量)0,2,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，)1,3,0(-=c ，则向量c b a m -+=的坐标为（） A ．)3,6,4(-B ．)1,0,4(C ．)1,4,2(---D ．)1,4,2(【知识点】空间向量加减运算的坐标表示．【解题过程】c b a m -+=)0,2,1(-=)2,1,3(-+)1,3,0(--)120),3(12,031(-+-----+=)1,0,4(=．【思路点拨】熟练掌握空间向量加减运算的坐标表示．【答案】B ．（2）已知向量)3,0,1(-=a ，)2,1,0(-=b ，则向量b a 23-的坐标为．【知识点】空间向量线性运算的坐标表示．【解题过程】b a 23-)3,0,1(3-=2(0,1,2)--)2233),1(203,02)1(3(⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯=(325)=-，，．【思路点拨】熟练掌握空间向量线性运算的坐标表示．【答案】)5,2,3(-．（3）已知向量)3,1,2(-=a ，),1,2(x b --=，且b a ⊥，则=x （） A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【解题过程】∵b a ⊥，∴03)1()1()2(2=+-⨯-+-⨯=⋅x b a ，解得1=x ．【思路点拨】空间向量的垂直即数量积为0，代入公式计算．【答案】C ．（4）已知点)2,0,1(-A ，)0,1,4(B ，)1,1,0(-C ，则=∠BAC （） A ． 30B ． 45C ． 60D ． 90【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示．【解题过程】)2,1,3(=AB ，)1,1,1(-=AC ，01211)1(3=⨯+⨯+-⨯=⋅AC AB ，故AB ，AC 的夹角为 90，即=∠BAC 90．【思路点拨】空间向量的夹角可转化为数量积的计算．【答案】D ．二课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量加减、数乘、数量积的运算法则；（2）空间向量平行、垂直、长度、夹角公式；（3）空间向量基本定理． 2．问题探究探究一由平面向量的坐标运算类比空间向量的坐标运算★ ●活动① 类比提炼概念我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）同学们，我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对),(y x 表示，那么，向量a 在空间中则可用什么来表示呢？（抢答）可用有序实数组),,(z y x 表示．【设计意图】提出类比问题，由学生答出从平面到空间，从有序实数对到有序实数组的过渡，从二维拓展到三维，引出新课概念． ●活动② 巩固理解，深入探究类似于平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘以及数量积运算的坐标表示．设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则这几种运算的坐标表达式是什么呢？（抢答）加法：b a +),,(332211b a b a b a +++=，减法：b a -),,(332211b a b a b a ---=，数乘：),,(321a a a a λλλλ=，数量积：b a ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】通过学生的抢答，使学生深入探究，更深刻地理解各种运算的坐标表示． ●活动③ 深入探究，证明猜想以上结论中，前三个比较容易证明，我们只对向量的数量积运算加以证明．设i ，j ，k 为单位正交基底，则123a a i a j a k =++，123b b i b j b k =++，所以123123()()a b a i a j a k b i b j b k ⋅=++⋅++，利用向量数量积的分配率以及1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=，0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=，即可得出a b ⋅332211b a b a b a ++=．【设计意图】引导学生进行探究，证明形式最复杂的数量积的坐标表示，让学生的理解更加深刻．探究二探究空间向量性质的坐标运算★▲ ●活动① 类比探究，研究性质同学们，类似于平面向量的的性质坐标表示，我们可以得到哪些空间向量的性质？（抢答）平行、垂直、长度、夹角、距离．【设计意图】通过复习平面向量的性质，引出空间向量的性质，并转化为坐标表示，体现重点，突破难点．●活动② 巩固理解，深入探究那刚才我们得到的空间向量的性质应该怎么用坐标来表示呢？（抢答）平行：112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈；垂直：11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=；长度： 212||a a a a a a =⋅=++ 夹角：21cos ,||||a b a b a b a ⋅<>==+．距离：在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解各性质的同时，将它们的坐标表示由二维拓展到三维，从而加以应用．探究三探究空间向量坐标运算的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，空间向量的坐标表示由二维拓展到了三维．在空间中的加法、减法、数乘、数量积等运算和平行、垂直、长度、夹角、距离等关系中，我们可以利用数量的运算关系，解决立体几何中的平行、垂直和长度、角度等问题．【设计意图】归纳知识点和定理，让学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则（） A ．1=x ，1=yB ．21=x ，21-=y C ．61=x ，23-=y D ．61-=x ，23=y【知识点】空间向量平行的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-共线，∴932112=-=y x ，解得61=x ，23-=y ．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例．【答案】C ．同类训练已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设a AB =，b AC =，若向量b a k +与b a k 2-垂直，则k 的值为．【知识点】空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】由题知，a AB =)0,1,1(=，b AC =)2,0,1(-=，则b a k +)2,,1(k k -=，b a k 2-)4,,2(-+=k k ，由⋅-)2,,1(k k )4,,2(-+k k 08)2)(1(2=-++-=k k k ，得01022=-+k k ，解得25-=k 或2=k ．【思路点拨】将向量垂直转化为数量的对应相乘．【答案】25-=k 或2=k ．【设计意图】利用平行和垂直的转化，使学生对空间向量的坐标运算更加熟悉．活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间中三点A3,3,1，B1,0,5，C0,1,0，则AB 的中点M 到C 点的距离是（） A ．453 B ．253 C ．253 D ．213 【知识点】空间向量的坐标运算，空间两点的距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵AB 的中点为)3,23,2(M ，∴||(2MC ==．【思路点拨】先求出中点坐标，再利用距离公式．【答案】C ．同类训练设向量)2,,1(λ=a ，)2,1,2(-=b ，a ，b 夹角的余弦值为98，则=λ ．【知识点】空间向量夹角公式的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵,cos b a b a >=<985362=+-=λλ，∴2-=λ或552=λ．【思路点拨】利用向量的夹角公式进行计算．【答案】2-=λ或552=λ．【设计意图】利用长度和夹角的公式的运算，使学生熟练掌握空间向量的坐标运算． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是1BB ，11B D 的中点，求证：1DA EF ⊥．【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)21,1,1(E ，)1,21,21(F ，所以)21,21,21(--=EF ，又)1,0,1(1A ，)0,0,0(D ，所以)1,0,1(1=DA ，所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=，因此1DA EF ⊥，即1DA EF ⊥．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将EF 和1DA 用坐标表示出来，利用空间向量垂直的坐标表示得到数量积等于0．【答案】见解题过程．同类训练在正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是11B A ，11D C 上的点，且113EB E A =，113FD F C =，求BE 和DF 所成角的余弦值．【知识点】在空间几何体中利用坐标表示解决异面直线所成角问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方体的棱长为4，分别以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,4,4(B ，)4,3,4(E ，)0,0,0(D ，)4,1,0(F ，所以)4,1,0(-=BE ，)4,1,0(=DF ，17||=BE ，17||=DF ，⋅BE )4,1,0()4,1,0(⋅-=DF 15=，所以,cos DF BE DF BE >=<1715171715=⨯=．【思路点拨】先建立空间直角坐标系，再将BE 和DF 用坐标表示出来，利用空间向量夹角公式的坐标表示得到夹角的余弦值．【答案】见解题过程．【设计意图】在空间直角坐标系中，用向量的坐标解决平行、垂直、长度、角度等问题是立体几何的基本思想方法，需要深刻理解，熟练掌握． 3 课堂总结知识梳理（1）设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则①b a +),,(332211b a b a b a +++=，②b a -),,(332211b a b a b a ---=，③),,(321a a a a λλλλ=，④b a ⋅332211b a b a b a ++=．（2）设),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则①b a b a λ=⇔//332211,,b a b a b a λλλ===⇔)(R ∈λ；②0=⋅⇔⊥b a b a 0332211=++⇔b a b a b a ；③a =||232221a a a ++=；④,cos b a b a >=<232221232221332211bb b aa ab a b a b a ++++++=．（3）在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则A ，B 两点间的距离212212212)()()(||c c b b a a AB d AB -+-+-==．重难点归纳（1）熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算以及平行、垂直、长度、角度、距离的坐标表示．（2）合理选取单位正交基底建立空间直角坐标系是立体几何证明与运算的基础．（三）课后作业基础型自主突破1．已知)1,2,3(-A ，)3,5,4(-B ，则与向量AB 平行的一个向量的坐标为（）A ．)1,1,31( B ．)1,1,31(--C ．)1,23,21(-D ．)1,23,21(-【知识点】空间向量平行的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】)2,3,1(-=AB )1,23,21(2-=．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例．【答案】C ．2．已知向量)2,5,1(-=a ，)2,2,(+=m m b ，若b a ⊥，则m 的值为（） A ．6-B ．2C ．6D ．8【知识点】空间向量垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意，有=⋅b a ⋅-)2,5,1()2,2,(+m m 0)2(210=+-+=m m ，解得6=m ．【思路点拨】利用空间向量垂直的坐标表示列式．【答案】C ．3．已知点)2,1,(x A ，)4,3,2(B ，且62||=BA ，则实数x 的值是（）A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-【知识点】空间两点的距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵62)42()31()2(||222=-+-+-=x BA ，解得6=x 或2-=x ．【思路点拨】熟练掌握空间两点的距离公式．【答案】D ．4．已知向量)3,2,1(=a ，),2,(2y y x x b -+=，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为．【知识点】向量平行的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】由题意知b a //，∴32212yy x x =-+=，即⎩⎨⎧=-+=xy x x y 2232，解得⎩⎨⎧-=-=62y x ，或⎩⎨⎧==31y x ．当⎩⎨⎧-=-=62y x 时，a b 2)6,4,2(-=---=，向量a ，b 反向，故舍去．【思路点拨】将向量平行转化为坐标成比例，解出答案后还需验证．【答案】1=x ，3=y ．5．已知向量)1,3,2(--=a ，)4,0,2(=b ，)2,6,4(--=c ，下列结论正确的是（） A ．b a //，c a //B ．b a //，c a ⊥C ．b a ⊥，c a //D ．b a ⊥，c a ⊥【知识点】空间向量平行及垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵b a ⋅0410)3(2)2(=⨯+⨯-+⨯-=，∴b a ⊥；∵216342=--=--，∴c a //．【思路点拨】利用空间向量平行及垂直的坐标表示，将几何关系转化为坐标关系．【答案】C ．6．已知)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，则ABC ∠= ．【知识点】空间向量夹角的坐标公式．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵)4,2,0(=AB ，)3,1,0(-=BC ，∴101220=+-=⋅BC AB ，52420||222=++=AB ，103)1(0||222=+-+=BC ， ∴><BC AB ,cos BC AB =105210⨯=22=，∴4,π>=<BC AB ， ∴43,π>=<BC BA ，即43π=∠ABC ．【思路点拨】利用向量夹角的坐标公式进行计算，需特别注意所求角和向量夹角的关系．【答案】43π．能力型师生共研7．已知)sin ,1,(cos αα=a ，)cos ,1,(sin αα=b ，则向量b a +与b a -的夹角的大小为．【知识点】空间向量数量积的坐标运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵b a +)cos sin ,2,sin (cos αααα++=，b a -)cos sin ,0,sin (cos αααα--=，∴⋅+)(b a )(b a -)cos )(sin cos (sin 02)sin )(cos sin (cos αααααααα-++⨯+-+=αααα2222cos sin 0sin cos -++-=0=，∴向量b a +与b a -的夹角的大小为 90．【思路点拨】将夹角问题转化为用坐标求数量积．【答案】 90．8．已知空间中三点)2,0,2(-A ，)2,1,1(-B ，)4,0,3(-C ，设AB a =，AC b =．（1）若3||=c ，且BC c //，求c ；（2）求a 与b 夹角的余弦值；（3）若)3//()(b a b a k -+，求k 的值．【知识点】空间向量坐标表示的综合应用．【数学思想】转化思想．【解题过程】（1）∵BC c //，∴BC m c =)2,,2()2,1,2(m m m m --=--=，则3||3)2()()2(||222==+-+-=m m m m c ，∴1±=m ，即)2,1,2(--=c 或)2,1,2(-=c ；（2）∵)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，∴⋅a )2,0,1()0,1,1(-⋅=b 1-=，又2||=a ，5||=b ， ∴,cos ba b a >=<521⨯-=1010-=；（3）∵)2,,1(k k b a k -=+，)6,1,4(3-=-b a ，)3//()(b a b a k -+， ∴62141-==-k k ，∴31-=k ．【思路点拨】牢记空间向量各种运算和性质的坐标表示，再进行坐标的运算．【答案】（1）)2,1,2(--或)2,1,2(-（2）1010-（3）31-．探究型多维突破9．已知空间中三点)3,2,0(A ，)6,1,2(-B ，)5,1,1(-C ．（1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若3||=a ，且a 分别与AB ，AC 垂直，求向量a 的坐标．【知识点】空间向量的运算，垂直的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】（1）由题中条件可知，AB )3,1,2(--=，AC )2,3,1(-=， ∴><AC AB ,cos ACAB =21=，则><AC AB ,sin 23=，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积||||S AB AC =><AC AB ,sin 37=；（2）设),,(z y x a =，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=111z y x ，则)1,1,1(=a 或)1,1,1(---=a ．【思路点拨】采用合理的向量公式，再转化成坐标进行运算．【答案】（1）37；（2）)1,1,1(或)1,1,1(---．10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：CD EF ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ，使⊥GF 平面PCB ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明及计算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】不妨设正方形ABCD 的边长为2，分别以DA ，DC ，DP 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，)1,1,1(F ，)2,0,0(P ，（1）)1,0,1(-=EF ，），02,0(=DC ．∵⋅EF 0=DC ，∴CD EF ⊥；（2）设点),0,(z x G ，则)1,1,1(---=z x FG ，由题意，要使⊥GF 平面PCB ，只需CB FG ⋅)1(2-=x 0=，CP FG ⋅)1(22-+=z 0=，解得1=x ，0=z ，故)0,0,1(G ，即G 为AD 中点．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将几何性质转化为坐标运算，并由解方程组得到点G 的具体位置．【答案】见解题过程．自助餐1．已知向量)5,0,2(=a ，)1,1,1(--=b ，)2,2,1(-=c ，则=-+c b a 32（） A ．)3,5,2(- B ．)3,5,2( C ．)3,5,0(- D ．)3,5,2(-【知识点】空间向量线性运算的坐标表示．【数学思想】转化思想．【解题过程】=-+c b a 32)1,1,1()10,0,4(--+)6,6,3(--=)3,5,2(．【思路点拨】空间向量线性运算就是将坐标独立地进行相应的运算．【答案】B ．2．已知)5,4,3(A ，)1,2,0(B ，)0,0,0(O ，若OC =C 的坐标是（） A ．)58,54,56(--- B ．)58,54,56(-- C ．)58,54,56(-- D ．)58,54,56( 【知识点】空间向量的坐标运算．【解题过程】)4,2,3(---=AB ，则OC ===---)4,2,3(52)58,54,56(---．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算法则．【答案】A ．3．已知向量)1,0,1(=a ，)1,1,2(--=b ，)0,1,3(=c ，则|2|c b a +-等于（）A ．103B ．102C ．10D ．5【知识点】空间向量的坐标运算，长度公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵c b a 2+-)0,3,9(=，∴|2|c b a +-103039222=++=【思路点拨】利用空间向量线性运算的坐标公式得到所求向量的坐标，再计算长度．【答案】A ．4．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 和AN 所成角的余弦值为（）A ．101B ．52C ．22D ．1030 【知识点】空间向量夹角的坐标公式求异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以1C 为原点，11A C ，11B C ，C C 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz C -1，不妨设2=CA ，则)2,0,2(A ，)0,0,1(N ，)2,2,0(B ，)0,1,1(M ．∴)2,1,1(--=BM ，)2,0,1(--=AN ，3401=++-=⋅AN BM ，6211||222=++=BM ，5201||222=++=AN ，><AN BM ,cos ANBM =563⨯=1030=，即BM 和AN 所成角的余弦值为1030．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为向量夹角的坐标公式进行计算．【答案】D ．5．已知向量)1,sin ,(cos θθ=a ，)2,1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值为．【知识点】空间向量的线性运算及长度公式的坐标表示．【解题过程】∵=-b a 2)0,1sin 2,3cos 2(+-θθ， ∴|2|b a -22)1sin 2()3cos 2(++-=θθθθcos 34sin 48-+=)3sin(88πθ-+=488=+≤，即|2|b a -的最大值为4．【思路点拨】熟练掌握空间向量的坐标运算，再使用辅助角公式求出最值．【答案】4．6．在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H 分别是1CC ，BC ，CD ，11C A 的中点．证明：（1）GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）⊥G A 1平面EFD ．【知识点】用向量的坐标进行空间几何体中的证明．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以A 为原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，设正方体棱长为1则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(1A ，)1,0,1(1B ，)1,1,1(1C ，)1,1,0(1D ，∴)21,1,1(E ，)0,21,1(F ，)0,1,21(G ，)1,21,21(H ．（1）)1,0,1(1=AB ，)21,0,21(=GE ，)21,21,21(--=EH ， ∵GE AB 21=，01=⋅EH AB ，∴GE AB //1，EH AB ⊥1；（2）∵)1,1,21(1-=G A ，)0,21,1(-=DF ，)21,0,1(=DE ，∴⋅G A 10=DF ，⋅G A 10=DE ，即⊥G A 1DF ，⊥G A 1DE ，又DF DE D =，则⊥G A 1平面EFD ．【思路点拨】通过建立空间直角坐标系，将向量关系转化为坐标的运算．【答案】见解题过程．。

《空间向量运算的坐标表示》示范教案

3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识．运用新知已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2，整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角；方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维．布置作业课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21，由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线．证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ，则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。

〖2021年整理〗《空间向量运算的坐标表示》参考优秀教案

空间向量运算的坐标表示教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。

二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。

（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>≤≤===<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，,A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=OB OA OM ．∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。

空间向量运算的坐标表示教学设计

空间向量运算的坐标表示教学设计讲课人：宋海阳指导人：韩红松一、教学内容分析课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，提供了新视角。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

”本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础上进行的，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础，让学生初步体会向量法在解决立体几何问题中的优越性，帮助空间想象能力较弱的同学顺利解题。

二、学生学情分析1学生学习本节内容的基础本节的学习对象是高二学生，他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构。

2、学生学习本节内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。

具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。

3、学生学习本节内容的心理本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。

三、教学目标分析1知识与技能：（1）会运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；（2）熟记空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；（3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；（4）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。

2、过程与方法：（1）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；（2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从“定性推理”到“定量计算”，从而提高分析问题和解决问题的能力3、情感态度价值观：（1）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；（2）通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力。

高二数学空间向量运算的坐标表示导学案

学【（自主学习）预习案】复习平面向量坐标运算：
习
过
程
1、给定点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 AB ( 若
)
a ( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) 则

2、 a b 若 R ，则

a b

，

a
例5

cos a , b

探究二：应用【当堂检测】

Hale Waihona Puke 1、设a (1,5,1),

b (2,3,5) 。

（1）若 (k a b) // (

a 3b) ，求 k 的值； a 3b) ，求 k 的值。

（2）若 (k a b) (
2、课本 38 页练习【当堂小结】请写出本节课你学到的知识。【课后巩固（布置作业）】38 页 5、6 【纠错反思（教学反思）】

a
，
3、 a b 4、若 a b ，则坐标满足若 a // b ，则坐标满足

cos a , b

【（合作学习）探究案】小组合作完成下列问题探究一：阅读教材内容，完成下列问题：空间中，设 1、 a b

a ( x , y , z ), b ( x , y
1 1 1 2

2
, z 2 ) ，则
，
，a b

若 R ，则
a
) ，

2、给定点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 AB ( 3、 a b 4、若 a b ，则坐标满足若 a // b ，则坐标满足 5、

空间向量运算的坐标表示精品教案

空间向量运算的坐标表示【教学目标】1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； 2．掌握空间向量坐标运算的规律；3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4．会用中点坐标公式解决有关问题。

【教学重点】空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。

【教学难点】空间向量的坐标的确定及运算。

【授课类型】新授课。

【课时安排】1课时。

【内容分析】本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。

在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。

要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理。

【教学过程】：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0= 2．平面向量的坐标运算若),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a+),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠)的充要条件是x1y2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。