精品高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程知识导航学案新人教A版必修2
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二 线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0； 条件：A ，B 不同时为零； 简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版必修2
§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。
本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。
另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。
但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。
[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。
但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。
另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。
通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。
通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。
同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。
以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。
[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2
第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程教案
第九章解析几何初步【课题】第一节直线的倾斜角与斜率【教学目标】1．知识与技能:（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．情感、态度、价值观：（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。
（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神3．过程与方法:通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。
掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。
【教学重点难点】1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式【教法学法】启发式教学法、对话式教学法【教学准备】多媒体、实物模型【教学安排】2课时【教学过程】一、复习引入：直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。
初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。
本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。
⑴回顾一次函数的图象及性质形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。
⑵画出下列一次函数的图象①y = 2x + 4 ② y = －2x + 2小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。
研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。
由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。
高中数学第3章直线与方程32直线的方程322直线的两点式方程课件新人教A版必修2
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
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4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________． －32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
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2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由 例题知 BC 的中点为52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
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直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程， 再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确 定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
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2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
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【例 3】 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 思路探究：(1) B，C两点坐标 两――点→式 求方程 (2) 求中点坐标 两――点→式 求直线方程
2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第3课时直线的一般式方程课下能力提升含解析新人教A版必修2
课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________．4．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．(2016· 临沂高一检测)已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－106．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．67．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________．8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．[能力提升综合练]1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0 D．a ≠0且b ＝c ＝02．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠13．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝04．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 5．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x－3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．6．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？答案 [学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m ＝－13，解得m ＝4. 6．解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6. 7．解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－20－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.[能力提升综合练]1．解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0.2．解析：选D 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n ≠－1; m ＝－1时，n ≠1.3．解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.4．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53，或m ＝－2.7．解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
2019年高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课时作业(含解析)新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.。
高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第2课时直线的两点式方程讲义含解析新人教A版必修20517123.doc
第2课时 直线的两点式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 95～P 97，回答下列问题：某区商业中心O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km 和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A 、B 两处，并使区商业中心O 到A 、B 两处的距离之和最短．(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB ，那么直线AB 的方程确定后，点A 、B 能否确定？提示：可以确定．(2)根据上图知建立平面坐标系后，A 、B 两点的坐标值相当于在x 轴、y 轴上的什么量？ 提示：在x 轴、y 轴上的截距．(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？ 提示：可以．2．归纳总结，核心必记 (1)直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线l 的两点式方程，简称两点式． ②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程． (2)直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为x a ＋yb＝1，叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．②说明：一条直线与x 轴的交点 (a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．(3)中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[问题思考](1)方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的适用范围相同吗？ 提示：不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．(2)方程x 2－y 3＝1和x 2＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线的两点式方程是什么？怎样求？ ；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？ ；(3)中点坐标公式是什么？ .观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 怎样利用点P 1，P 2的坐标写出直线l 的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程．[思考2] 给定两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是否就可以用两点式写出直线AB 的方程？ 名师指津：不一定．只有在x 1≠x 2，y 1≠y 2的前提下才能写出直线的两点式． 当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1； 当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．[思考3] 直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？ 名师指津：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1所表示的图形不含点(x 1，y 1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．讲一讲1．已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(链接教材P 96—例4) (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[尝试解答] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－2－－＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．练一练1．已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解：∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 由上述条件能否求出直线的方程？名师指津：结合条件可知直线过点(a,0)，(0，b )，利用两点式可求出直线的方程． [思考2] 怎样理解直线的截距式方程？名师指津：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距．(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线．(3)过原点的直线可以表示为y ＝kx ；与x 轴垂直的直线可以表示为x ＝x 0；与y 轴垂直的直线可以表示为y ＝y 0.讲一讲2．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程． [尝试解答] 法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . (1)当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上， ∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. (2)当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二：设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 练一练2．求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程． 解：由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时， 设l 的方程为x 2a ＋ya ＝1，将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x ，或x ＋2y －9＝0.讲一讲3．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路点拨] 利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组，解方程组即可． [尝试解答] 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0， 设直线l 的方程为x a ＋x b＝1(a ＞0，b ＞0)，则由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4(舍去)；当a ＜b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以，直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．练一练3．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －3＝3，显然k >0时不成立． 解得k 1＝－23，k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用．难点是直线方程两点式的推导．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略，见讲1. (2)直线的截距式方程应用的注意点，见讲2. (3)应用直线截距式方程求面积问题，见讲3.3．本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况，如讲2.课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1 直线的两点式方程1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.3．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 002，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 003 B ．2 004 C ．2 005 D ．2 006解析：选C 直线l 的方程为y －－5－－＝x －－2－－，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 002，则b ＝2 005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23C.25D ．2 解析：选A 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y3＝1，则在x 轴上的截距为－32.题组2 直线的截距式方程5．(2016·淄博高一检测)过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 3－y 2＝1 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.6．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 7．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.题组3 直线方程的综合运用9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.[能力提升综合练]1．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 4－y 3＝1 C.x 3＋y4＝1 D.x 3－y6＝1 解析：选B A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为x a ＋y－3＝1，将点(4,0)代入方程得a ＝4，则该直线的方程为x 4－y3＝1.2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则 ( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0 B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0 C ．若c ＜0，则a >0，b <0 D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－ab ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a、－c b .如题图，k <0，即－a b ＜0，∴ab >0.∵－c a ＞0，－c b＞0，∴ac ＜0 ，bc ＜0.若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.3．(2016·唐山高一检测)下列命题中正确的是( ) A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示 B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示解析：选C A 中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x ＝x 0；B 中经过定点A (0，b )的直线x ＝0无法用y ＝kx ＋b 表示；D 中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程x a ＋yb＝1表示．只有C 正确，故选C.4．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由x m －y n ＝1，得到y ＝n m x －n ；又由x n －y m ＝1，得到y ＝m nx －m .即k 1与k 2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1.答案：x 2＋y3＝16．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 答案：2x －y ＋4＝07．直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程． 解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 则a ＋b ＝12.① 又直线l 过点(－3,4)， ∴－3a ＋4b＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝16.故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y16＝1， 即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
创新设计高考数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程课件新人教A版必修2
课堂小结
1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线 的斜率相同，故有 yx－－yx11＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方 程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时， 不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直 线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其 系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是 直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识梳理
知识点一 直线的点斜式方程
名称 已知条件
示意图
自主学习
方程
使用范围
点斜式 点P(x0，y0) 和斜率k
斜率存在 _y_－__y_0_＝__k(_x_－__x_0_)
的直线
答案
思考 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 答 不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线， 其方程都不能用点斜式表示.
解析答案
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解 ∵直线的倾斜角为 60°，∴其斜率 k＝tan 60°＝ 3， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为 y＝ 3x＋3 或 y＝ 3x－3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直 线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程. 解 由斜截式方程，知直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意，知l2在y轴上的截距为－2， 所以l在y轴上的截距b＝－2， 由斜截式，得直线l的方程为y＝－2x－2.
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2(2021
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3．2.3 直线的一般式方程学习目标1。
掌握直线的一般式方程；2.理解关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0）都表示直线；3。
会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0）来表示吗？答案能．思考2 关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）表示怎样的直线？B＝0呢？答案当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－错误!x－错误!，所以该方程表示斜率为－错误!,在y轴上截距为－错误!的直线；当B＝0时,A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－错误!,所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线一般式的性质例1 设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.(1）若直线l在x轴上的截距为－3,则m＝________。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
() A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
解析：－x2＋－y3＝1 为直线的截距式，在 x 轴，y 轴
上的截距分别为－2，－3.
答案：B
4．直线 l 过点(－1，2)和点(2，5)，则直线 l 的方程 为______________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：
y－2 x－（－1）
[典例 1] 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)， 在△ABC 中，求：
(1)BC 边的方程； (2)BC 边上的中线所在直线的方程．
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y－（－4） x－5
由两点式得，
＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，
－2－（－4） 0－5
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义． 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其 中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)求边 BC 所在直线的方程； (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程． 解：(1)直线 BC 过点 B(3，－3)，C(0，2)，由两点式， 得2y＋＋33＝x0－－33，整理得 5x＋3y－6＝0，所以边 BC 所在 的直线方程为 5x＋3y－6＝0.
(2)因为 B(3，－3)，C(0，2)，所以由中点坐标公式 可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3＋2 0，－32＋2，即 32，－12，可得直线 AM 的方程为－y－12－00＝x32－－（（－－55））， 整理得直线 AM 的方程为 x＋13y＋5＝0.
高考数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案
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题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
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谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
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C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
12345
解析答案
12345
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.
高中数学第3章直线与方程3.2.3直线方程的一般式课件新人教A版必修2
〔跟踪练习2〕 设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的 值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0. [解析] (1)∵直线 l 的斜率存在，∴直线 l 的方程可化为 y＝－k－2 3x＋2.由题
意得－k－2 3＝－1，解得 k＝5.
[解析] 分离参数得：(x－y－1)t＋2x＋y＋3＝0，
由2x－x＋y－y＋13＝＝00 得xy＝ ＝－ －5323.
∴直线过定点－23，－53.
忽视特殊情形，转化不等价致错
典例 6 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当 l1∥l2时，求m的值．
(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直 角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一 次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面 直角坐标系中的直线是一一对应的．
[归纳总结] AB>0 时，k<0，倾斜角 α 为钝角；AB<0 时，k>0，倾斜角 α 为锐 角；A＝0 时，k＝0，倾斜角 α＝0°；B＝0 时，k 不存在，倾斜角 α＝90°.
〔跟踪练习4〕
已知2a1＋3b1＝1,2a2＋3b2＝1，则过点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为 _2_x＋__3_y_＝__1.
[解析] 由条件知，点A，B的坐标满足方程2x＋3y＝1，又经过A，B两点有
且仅有一条直线，∴过A，B的直线方程为2x＋3y＝1.
2．过直线定点
典例 5 直线(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋λ－4＝0恒过定点_(_1_,3_)___.
[警示] (1)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A1B2 －A2B1＝0⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
高中数学第三章直线与方程教案理新人教A版必修2
课题： 直线与方程复习教材分析：本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化。
本章内容大致分为三个部分：（1）直线的倾斜角和斜率；（2）直线方程；（3）两条直线的位置关系。
可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识。
再此基础上，教师可对一些关键处予以强调。
比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰。
指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容。
教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位。
课 型：复习课教学要求：通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。
能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。
教学重点：1.直线的倾斜角和斜率.2.直线的方程和直线的位置关系的应用.3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力.教学难点：1. 数形结合和分类讨论思想的渗透和理解.2. 处理直线综合问题的策略.教学过程：二．知识要点:学生阅读教材113P 的小结部分．二．典例解析1．例1.下列命题正确的有 ⑤ :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.2．例2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:22=-+-+a y a x l ，则12l l 与相交时，a_________;21//l l 时，a=__________;这时它们之间的距离是________;21l l ⊥时， a=________ .答案：a 2a 1≠≠-且;a 1=-;655;2a 3=3．例3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；答案： (1)2x+3y-1=0 (2)2x-y+5=0(3)x+y-1=0或3x+2y=0 (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=04．例4．已知直线L 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B（1）求△AOB 面积为4时L 的方程；解： 设Ａ(a,0)，B(0,b) ∴a,b>0∴L 的方程为1=+by a x ∵点（1,2）在直线上 ∴121=+ba ∴=-2ab a 1 ① ∵b>0 ∴a>1 (1) S △AOB =ab 21=⋅-12a a 2a 1 =4 ∴a=2 这时b=4 ∴当a=2，b=4时S △AOB 为4此时直线L 的方程为142=+y x 即2x+y-4=0 （2）求L 在两轴上截距之和为+322时L 的方程． 2) +=+-2a a 322a 1∴=+a 21 这时=+b 22 ∴L 在两轴上截距之和为3+22时，直线L 的方程为y=-2x+2+25．例5．已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．解: ∵BH 24k 256-==- ∴AC 1k 2=- ∴直线AC 的方程为1y 2(x 10)2-=-+ 即x+2y+6=0 (1)又∵AH k 0= ∴BC 所在直线与x 轴垂直故直线BC 的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C 的坐标为C(6,-6)三．课堂小结：本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．四．作业.：P复习参考题教材114课后记:中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程
直线的点斜式方程
【例1】 (1)一条直线经过点P1(－2,3)，斜率为2，则这条 直线的方程为________．
(2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为______． (3)经过点(2,5)且倾斜角为45°的直线方程为_________．
因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
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(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即 可，要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明 显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和 b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问 题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意 义进行判断．
【解题探究】(1)写直线的点斜式方程的两个前提条件是什 么？
(2)垂直于y轴的直线的斜率存在吗？ (3)一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系？ 【答案】(1)y＝2x＋7 (2)y＝1 (3)y＝x＋3
【解析】(1)由直线的点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，即y＝ 2x＋7.
(2)直线垂直于y轴，故其斜率为0，所以此直线方程为y＝ 1.
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
目标定位
1.掌握直线的点斜式方程和直线的 斜截式方程． 2．结合具体实例理解直线的方程 和方程的直线概念及直线在y轴上 的截距的含义． 3．会根据斜截式方程判断两直线 的位置关系.
重点难点
重点：直线的点斜式 方程和斜截式方程． 难点：直线的点斜式 方程和斜截式方程的 推导及应用.
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版
3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一 直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解 方法一 由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二 由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二 直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程． 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三 直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5， 即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程． 反思与感悟 直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________． 对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析 由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________． 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)， 故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析 方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时， 设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0； 当a ≠0，且截距互为相反数时， 设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ， 由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析 该直线过原点时， 设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时， 设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)， 即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________． 答案 3x ＋2y －6＝0解析 由题意知，直线在y 轴上的截距为3， 则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5， 即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5， 整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。
新课标人教A版高中数学必修2第三章《直线与方程》复习课程案例
分析：直接利用公式求解.
解：直线AB的斜率kAB
12 1; 43 7
B
直线BC的斜率
kBC0 1( 1 4)421 2;
y
A
O C
x
直线CA的斜率 kCA0132 3 31.
已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等
于( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解：选C.因为 k A B=7 4- -3 5=2 , k A C=- 又x 1 - - A5 3 ，=- Bx ，4 -5 C, 三点共线，
1
中点坐标公式
x0
y
0
x1 x 2
2 y1 y 2
2
l2:x-2y=4. l2:3x+2y-12=0.
( 2 ) ( 2 ,3 )
5、3种距离
（1).两点距离公式 |A B |(x1x2)2(y1y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
d| Ax0 By0 C| A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
直线的交点个数与直线位置的关系
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
求下列各对直线的交点坐标
(1)l1:2x+3y=12, (2)l1:x=2,
答案：( 1 ) ( 3 6 ,4 ) 77
高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程知识导航学案新人教A版必修104
3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识梳理1.由直线上一定点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.它的方程是y-y 0=k(x-x 0),应用时应注意斜率k 存在.2.由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的方程叫做斜截式方程,简称斜截式.它的方程是y=kx+b,应用时应注意斜率k 存在.3.经过两定点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线方程叫做两点式方程,简称两点式.它的方程是121121x x x x y y y y --=--,使用时应注意x 1≠x 2且y 1≠y 2.若x 1=x 2,或y 1=y 2,此时过这两点的直线方程是x=x 1或y=y 1.4.经过两定点(a,0),(0,b)的直线方程叫做截距式方程,简称截距式,它的方程是b y a x +=1.应注意a≠0且b≠0.5.把关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+c=0叫做一般式方程,简称一般式.应用时应注意A,B 不同时为零.若一般式化为点斜式、两点式,由于取点不同,得到的方程也不相同.知识导学要学好本节内容,首先要明确确定一条直线的几何要素,即直线上一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,两点也可以确定一条直线.根据所给的几何要素,明确各种形式的适用范围,确定直线的方程是本节的重点,也是难点,切记不要漏掉直线的特殊情况.直线方程的各种形式之间可相互转化,如给定两点,除了直接用两点式求直线方程外,还可用点斜式求直线的方程,若两点是直线与坐标轴的交点,还可用截距式写直线的方程.一般地,点斜式常用于求过定点的问题;斜截式常用于判定直线的位置关系;截距式常用于画方程的直线等.在直线的斜截式和截距式中的截距不是距离,而是一个数量,它可正、可负、也可为零.疑难突破1.直线的点斜式方程.剖析:若直线l 经过点P 0(x 0,y 0),且斜率为k,求直线l 的方程.设点P(x,y)是直线l 上不同于点P 0的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得k=00x x y y --,可化为y-y 0=k(x-x 0). 注意:(1)如果直线l 过点P 0(x 0,y 0)且与y 轴垂直,这时倾斜角为0°,即k=0,由点斜式得y=y 0.(2)如果直线过点P 0(x 0,y 0)且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为x=x 0.(3)经过点P 0(x 0,y 0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y 0=k(x-x 0);②斜率不存在的直线,方程为x=x 0.一般来说,以一个方程的解为坐标的点都是某一条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 由于过点P 0(x 0,y 0)的斜率为k 的直线的点都满足方程y-y 0=k(x-x 0),同时,满足该方程的点都在过点P 0(x 0,y 0),斜率为k 的直线上,且该方程是由点的坐标和直线的斜率确定的,所以该方程叫做直线的点斜式方程.2.直线方程的截距式和两点式之间有什么关系?用这两种方法表示直线时有什么局限性? 剖析:已知直线l 上两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),且x 1≠x 2,y 1≠y 2,则直线l 的方程为121121x x x x y y y y --=-- (x 1≠x 2,y 1≠y 2). 由于该方程是由直线上两点确定的,它又叫直线的两点式方程.特别地,若直线l 与x 轴的交点为(a,0),与y 轴的交点为(0,b),(其中a≠0,b≠0), 因为直线l 经过A(a,0)、B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得a a xb y --=--000, 整理得by a x +=1, 此即直线AB 的方程.我们经常称a 为直线在x 轴上的截距,b 为直线在y 轴上的截距.以上直线方程是由直线在x 轴、y 轴上的截距确定的,所以叫做直线方程的截距式.显然,截距式是两点式的特例. 直线的两点式和截距式中,要使方程有意义,必须保证其分母不为零,即直线的两点式和截距式既不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线.特别地,直线的截距式还不能表示过原点的直线.当用待定系数法求在两坐标轴上截距相等的直线方程时,若设成截距时,要注意直线过原点的情况.截距可取一切实数,即可为正数、零、负数;在此要区分开截距与距离,距离必须大于或等于零.求截距的方法:在直线l 的方程中,令x=0,解出y 的值,可得直线l 的纵截距.令y=0,解出x 的值,可得直线l 的横截距.3.如何理解直线方程的一般形式？剖析:(1)两个独立的条件可求一般式方程.求直线方程,表面上需求A 、B 、C 三个系数,由于A 、B 不同时为零,若A≠0,则方程化为x+A B y+A C =0,只需确定A B 、A C 的值;若B≠0,则方程化为B C y B A ++=0,只需确定B A 、B C 的值.因此只要给出两个条件,就可以求出直线方程.(2)直线方程的其他形式都可以化成一般形式,解题时,如果没有特殊说明,应把最后结果化为一般式,一般式也可以化为其他形式.一般式化斜截式的步骤:①移项By=-Ax-C;②当B≠0时,得y=BC x B A --. 一般式化截距式的步骤:①把常数项移到方程右边Ax+By=-C;②当C≠0时,方程两边同除以-C,得CBy C Ax -+-=1. 若已知条件告诉了我们曲线的种类和方程的具体形式,或通过分析题目的条件判断出了曲线的种类和方程的具体形式,可先设出曲线的方程,再确定方程中的参数,这种求曲线方程的方法叫做待定系数法.直线的一般式方程与其他四种直线方程的一个不同点是:直线的一般式方程能够表示平面上所有的直线,而其他四种方程都不能表示与x 轴垂直的直线.对二元一次方程应从代数与几何两个角度去理解.在代数中,我们研究方程,着重研究方程的解.建立直角坐标系后,应把方程的解看成平面直角坐标系中的一个点,这些点的集合组成一条直线.直角坐标系把直线与方程联系起来.。
2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第2课时直线的两点式方程课下能力提升含解析新人教A版必修2
课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组直线的两点式方程．过点()，()的直线方程是( )．＋＋＝．＋－＝．－＋＝．－－＝．已知△三顶点()，()，()，为中点，为中点，则中位线所在直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－－＝．直线过点(－，－)和()，点( ，)在直线上，则的值为( )．．．．．过两点(－)和()的直线在轴上的截距为( )．－．－．题组直线的截距式方程．(·淄博高一检测)过()、()两点的直线方程是( )＋＝－＝＋＝－＝．直线－＝在两坐标轴上的截距之和为( )．．－．．－．直线－＝的截距式方程是( )－＝－＝－＝＋＝．求过点(，－)，且在轴上的截距比在轴上的截距大的直线方程．题组直线方程的综合运用．已知在△中，，的坐标分别为(－)，()，的中点在轴上，的中点在轴上．()求点的坐标；()求直线的方程．．三角形的顶点坐标为(，－)，(－)，()，求直线和直线的方程．[能力提升综合练]．在轴上的截距是－，且经过(，－)，()中点的直线方程为( )＋＝－＝＋＝－＝．已知直线＋＋＝的图象如图，则( )．若＞，则＞，＞．若＞，则<，＞．若＜，则>，<．若<，则>，＞．(·唐山高一检测)下列命题中正确的是( )．经过点(，)的直线都可以用方程－＝(－)表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示．经过任意两个不同点(，)，(，)的直线都可用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝表示．两直线－＝与－＝的图象可能是图中的( )．过点()，且在两坐标轴上截距之和等于的直线方程是．．直线过点(－)，分别与，轴交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为．．直线过点(－)，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．．一条光线从点()发出，经轴反射后，通过点(－，)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．答案[学业水平达标练]题组直线的两点式方程．解析：选由直线的两点式方程，得＝，化简得－－＝.．解析：选点的坐标为()，点的坐标为()，由两点式方程得＝，即＋－＝.．解析：选直线的方程为＝，即＝＋，令＝，则＝ .．解析：选直线方程为＝，化为截距式为＋＝，则在轴上的截距为－.题组直线的截距式方程．解析：选由截距式得，所求直线的方程为＋＝.．解析：选直线在轴上截距为，在轴上截距为－，因此截距之和为－.．解析：选求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝的形式，即右边为，左边是和的形式．．解：设直线方程的截距式为＋＝.则＋＝，解得＝或＝，则直线方程是＋＝或＋＝，即＋－＝或＋－＝.题组直线方程的综合运用．解：()设点(，)，中点在轴上，的中点在轴上，由中点坐标公式得(\\((－)＝，,(＋)＝，,))解得(\\(＝，＝－.))∴点的坐标为(，－)．()由()知：点、的坐标分别为、，由直线方程的截距式，得直线的方程是＋＝，即＝－.．解：∵直线过点(，－)，(－)两点，由两点式方程，得＝.整理，得＋＋＝.∴直线的方程为＋＋＝.又∵直线过(，－)，()两点，由截距式得＋＝，整理得－－＝，∴直线的方程为－－＝.[能力提升综合练]．解析：选(，－)，()的中点坐标为()，即可设直线的截距式方程为＋＝，将点()代入方程得＝，则该直线的方程为－＝.．解析：选由＋＋＝，得斜率＝－，直线在、轴上的截距分别为－、－.如题图，<，即－＜，∴>.∵－＞，－＞，∴＜，＜.若<，则>，>；若>，则＜，＜.．解析：选中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为＝；中经过定点(，)的直线＝无法用＝＋表示；中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程＋＝表示．只有正确，故选.．解析：选由－＝，得到＝－；又由－＝，得到＝－.即与同号且互为倒数．．解析：设直线方程为＋＝，则(\\(＝，＋＝，))解得＝，＝，则直线方程为＋＝.答案：＋＝．解析：设()，(，)．由(－)为的中点，∴(\\((＋)＝－，,(＋)＝，))∴(\\(＝－，＝.))由截距式得的方程为＋＝，即－＋＝.答案：－＋＝．解：设直线的方程为＋＝，则＋＝.①又直线过点(－)，∴＋＝.②由①②解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝.))故所求的直线方程为＋＝或＋＝，即＋－＝或－＋＝.．解：如图所示，作点关于轴的对称点′，显然，′坐标为(，－)，连接′，则′所在直线即为反射光线．由两点式可得直线′的方程为＝，即＋－＝.同理，点关于轴的对称点为′(－，－)，由两点式可得直线′的方程为＝，即－－＝，∴入射光线所在直线方程为－－＝，反射光线所在直线方程为＋－＝.。
高中数学第三章直线与方程3-2直线的方程3-2-2直线的两点式方程优化练习新人教A版必修2【2019-2020学年度】
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
解析：令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1，
∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，
即x＋y－1＝0.
故选C.
答案：C
5．已知M ，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为( )
A．－2B．2
C. D．－
解析：AB的中点坐标为 ，
即 ，又点M ，故所求直线的斜率k＝ ＝2.
答案：B
6．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________．
解析：平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝ x.
解析：由题意可得0<a<3，S△ABC＝ ×3×3＝ .
若a<2，则x＝a与AC交于点 ，
∴ × a2＝ ，得a＝ ；
若a>2，则x＝a与BC交于点(a,3a－6)，
∴ ×(3－a)×(9－3a)＝ ，得a＝3－ ，与a>2矛盾，舍去．故a＝ .
6．已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4，－2)、C(－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解析：(1)设顶点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式： 解得
∴C点的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知：点M、N的坐标分别为M 、N ，
由直线方程的截距式得直线MN的方程是 ＋ ＝1，即y＝ x－ ，即2x－10y－5＝0.
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高中数学第三章直线与方程3-2直线的方程知识导航学案新
人教A版必修2
3.2.1 直线的点斜式方程
3.2.2 直线的两点式方程
3.2.3 直线的一般式方程
知识梳理
1.由直线上一定点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.它的方程是y-y0=k(x-x0),应用时应注意斜率k存在.
2.由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的方程叫做斜截式方程,简称斜截式.它的方程是y=kx+b,应用时应注意斜率k存在.
3.经过两定点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程叫做两点式方程,简称两点式.它的方程是,使用时应注意x1≠x2且y1≠y2.若x1=x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是x=x1或y=y1.
4.经过两定点(a,0),(0,b)的直线方程叫做截距式方程,简称截距式,它的方程是=1.应注意a≠0且b≠0.
5.把关于x、y的二元一次方程Ax+By+c=0叫做一般式方程,简称一般式.应用时应注意A,B不同时为零.若一般式化为点斜式、两点式,由于取点不同,得到的方程也不相同.
知识导学
要学好本节内容,首先要明确确定一条直线的几何要素,即直线上一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,两点也可以确定一条直线.
根据所给的几何要素,明确各种形式的适用范围,确定直线的方程是本节的重点,也是难点,切记不要漏掉直线的特殊情况.直线方程的各种形式之间可相互转化,如给定两点,除了直接用两点式求直线方程外,还可用点斜式求直线的方程,若两点是直线与坐标轴的交点,还可用截距式写直线的方程.
一般地,点斜式常用于求过定点的问题;斜截式常用于判定直线的位置关系;截距式常用于画方程的直线等.在直线的斜截式和截距式中的截距不是距离,而是一个数量,它可正、可负、也可为零.
疑难突破
1.直线的点斜式方程.
剖析:若直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得k=,可化为y-y0=k(x-x0).
注意:(1)如果直线l过点P0(x0,y0)且与y轴垂直,这时倾斜角为0°,即k=0,由点斜式得y=y0.
(2)如果直线过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为x=x0.
(3)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:。