第四章_二阶线性偏微分方程的分类与总结
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
二阶线性偏微分方程的分类
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与 是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．为了化简，不妨令源自从而有(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
偏微分方程(1)
对于固定时刻 t0 , G( x at0 )
只是自变量x的函数。
考虑时刻 t0 1, 由于 G( x at0 ) G( x a a(t0 1))
这说明弦上点x在时刻 t0 的振幅和弦上点x+a在时刻 t0 1 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 t0 的振幅在时刻 t0 1
2 2i u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
例1.化标准形式并求通解 例2.化标准形式
uxx uxy 2u yy 0.
auxx 2auxy au yy bux cu y u 0. uxx 4uxy 5u yy ux 2u y 0.
新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(2)当 0 时，特征线 ( x, y ) c.
令 ( x, y ), ( x, y ).
其中 ( x, y )是与 ( x, y )线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新 变量方程（1）化为标准形 u
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
第17讲第四章,二阶线性方程的特征理论
y0
i ydy dx 0
2 3 x i y2 c 3
故
有
x
2 3 和 y2 3
原方程化为
2u 2u 1 u 2 0 2 3
在椭圆区域 解得
y0
ydy dx 0
3 2 x ( y ) 2 c 3 3 2 x ( y ) 2 3 3 2 和 x ( y ) 2 3
n 2u aij biui cu f xi x j i 1 i , j 1 n
(2.1)
其中
aij ,bi (i, j 1,n),c 及 f 为已知函数。
问：在什么条件下一个超曲面
( x1 , x2 ,, xn ) 0
可以成为方程（2.1）的某个弱解u的弱间断面？
其特征为
x at c
作变换
和
x at c
x at
x at
有
和
2u 0
u F ( x at ) G( x at )
解得
例2 特里科米方程
2u 2u y 2 2 0 x y
其特征方程为
ydy 2 dx2 0
弱间断解 对于一个具有n个自变量的二阶方程来讲，若有一个函数u在某个n 维区间内有一阶连续偏导数，且在此区域内除一个（n-1）维光滑曲面 S外，有二阶连续偏导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上 的左右极限存在，那么称这个函数u为方程的弱间断解。
例如，对弦振动方程。其解为
f1 ( x at ) 和 f 2 ( x at )
(1.16)
其雅可比行列式为
x y a11a22 a12 2 2 2 ( y y ) 0 x y a11
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
数学物理方程 第四章练习题
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 10 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.4
证明: 两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量 及未知函数的可逆变换
u = eλξ+µηv,
将它化成
vξξ ± vηη + cv = f
.的形式.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
在椭圆型时, 取 λ = A1/2, µ = −B1/2 就可将方程化成 vξξ ± vηη + cv = f 的简 单形式.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 39
1. 二阶线性方程的分类 2. 二阶线性方程的特征理论 3. 三类方程的比较 4. 先验估计
齐海涛 (SDU)
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 5 / 39
二阶线性方程的分类
.E.xample 1.2
判定下列方程的类型: 1. x2uxx − y2uyy = 0; 2. uxx + (x + y)2uyy = 0; 3. uxx + xyuyy = 0; 4. sgn yuxx + 2uxy + sgn xuyy = 0;
(1) ∂x21 + ∂x22 = ∂x23 + ∂x24
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 13 / 39
二阶线性方程的特征理论
.E.xample 2.1
.求下列方程的特征方程和特征方向:
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (1) ∂x21 + ∂x22 = ∂x23 + ∂x24
(整理)二阶线性偏微分方程的分类与小结.
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
二阶偏微分方程的分类
§3 二阶偏微分方程的分类一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程(1)式中a ij(x)=a ij(x1,x2,…,x n)为x1,x2,…,x n的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,a n是某些参数，且有.如果点x︒=(x1︒,x2︒,…,x n︒)满足特征方程，即则过x︒的平面的法线方向l:(a1,a2,…,a n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1︒,x2︒,…,x n︒)，根据二次型(a i为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P作自变量的线性变换可将：椭圆型：双曲型：超双曲型：抛物型：式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为(2)a 11,a 12,a 22为x,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a11dy 2a 12dxdy+a 22dx 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.在某点P(x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类：当Δ>0时，方程为双曲型；当Δ=0时，方程为抛物型；当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将：（i）（i）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和或（ii）（ii）抛物型:因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，（iii）（iii）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设为的积分，不同时为零，作变量替换，,。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
二阶线性偏微分分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简
§1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形象 地反映了不同类型方程的解的光滑性。
2） 解的极值性质
热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采 取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于 边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初 始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原 理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。
3） 影响区和依赖区
从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方 程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥 体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速， 某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整 个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因 此不存在扰动传播的问题。
二阶线性偏微分方程的分类与小结6页word文档
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fu c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+= xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶线性方程的分类
利用（3），即可得 1 ( x, y) 满足（2）。 为了得到（3）的特征线，对此拆解成两个方程
2 a a dy 12 12 a11a22 , dx a11 2 a a dy 12 12 a11a22 . dx a11
a11U 2a12U a22U bU 1 b2U cU f , a11dy2 2a12dxdy a22dx2 0. d1 ( x, y) 1x ( x, y)dx 1y ( x, y)dy 0,
两族不同的实曲线，分别记为 i ( x, y) c, i 1,2. 假设 i 关于 ( x, y ) 偏导数均不为零，则变换 1 ( x, y), 2 ( x, y) 是可逆变换：因为
2 2 a a a a a a 1x dy1 dy2 12 12 11 22 2 x 12 12 a11a22 , , 1 y dx a11 2 y dx a11
为了避免引入复函数，作变换
Re ( x, y) 1 ( x, y), Re( x, y) 2 ( x, y),
则上述两函数是线性无关的。事实上，因 2 a11 x (a12 i a12 a11a22 ) y , 则分离实部与虚部，有 2 a a a a a 11 x 12 y 11 22 12 y , 2 a a a a a 12 y 11 22 12 y 11 x
第四章 二阶偏微分方程与分离变量法
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
ⅲ) 当＞0时，方程通解具有如下形式
X (x)c 1cox s c2si nx
由边界条件X(0) = 0知c1 = 0, 再由
X(l)c2sinl0
为了有非零解c2≠0，必须sin= 0，由此确定出参数
n2l22
(n1,2,)
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
由此得变量分离解
n1
n
1
n
0a(r)J0(
nr)rdr
第四章二阶偏微分方程——特征值理论
2、球坐标系与Legendre函数 问题——球形区域的稳态传热与传质
r r 2 u r s1 i n si u n 0(0 r a , 0 ) u (a ,) (),u (0 ,)
分离变量，令 得到
第四章二阶偏微分方程——方程的分类
➢ 定解问题的提法——方程与初、边值的组合 初值问题(Cauchy问题) 边值问题 混合问题
第四章二阶偏微分方程——分离变量法
§2 分离变量法
——试探问题的变量分离形式的解
例1
ut x2u2 (0xl)
u(0,t)u(l,t)0
u(x,0)(x)
设
u(x,t)X(x)T(t)
a1y(a)a2y(a)0, b1y(b)b2y(b)0
➢ 定理一 存在着无穷多个实特征值 ➢ 定理二 当q(x)≥0时, 所有特征值非负 ➢ 定理三 不同的所对应的特征函数带权ρ(x)正交 ➢ 定理四 任意函数f (x) 可展开为特征函数yn(x)的级数
第四章二阶偏微分方程——特征值理论
➢ 说明 1、S-L特征值方程具有一般性； 2、四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性、完 整性问题，可据此判断分离变量法的可行性，给出解 的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果 我们能选择到方程
a11x2 2a12xy a22y2 0 4.8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类 §3 三类方程的比较
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、
热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
dy dx
(a12
dy dx
(a12
a122 a11a22 ) / a11 a122 a11a22 ) / a11
4.10 4.11
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122 a11a22 的符号不同，我们可以选取相应的
变换入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
a122 a11a22 0,
u u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的 主部可以得到简化。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。
为此我们作下面的自变量变换
(x, y), (x, y) 4.3
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形 式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成 如下的形状
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 4.1
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的 二阶线性偏微分方程的分类问题。
u u Au Bu Cu D
4.12
4.13 4.14
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
x x( ,), y y( ,) 4.5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a11u 2a12u a22u b1u b2u cu f 4.6
运用复合函数的求导法则
a11 a112x 2a12xy a222y a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 4.7 a22 a112x 2a12xy a222y
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手 段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的， 把不易求解的方程转化为容易求解的。
方程(4.1)的二阶导数项 a11uxx 2a12uxy a22u yy 4.2
a11
(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
J D( ,) x y
4.4
D(x, y) x x
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
Q(l, m) a11l 2 2a12lm a22m2 0
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；