课时28.等腰三角形与直角三角形

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新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△；（2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立．故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==，得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=，所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°；如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°，故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =，又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ．答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ），故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ），则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°．（2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形在数学中，三角形是一种基本的几何形状，根据其边长和角度的关系，可以分为不同的类型。

其中，等腰三角形和直角三角形是两个常见的三角形类型，它们在几何学和实际应用中都具有重要的意义。

一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角的大小相等。

等腰三角形有很多性质和特点，下面我们来介绍几个重要的性质：1. 等腰三角形的底角相等。

无论等腰三角形的顶角是多少，只要两边相等，底角就会相等。

这是等腰三角形的一个重要性质。

2. 等腰三角形的高线相等。

等腰三角形的高线是从顶角到底边上的垂直线段，对于等腰三角形来说，高线的长度相等。

3. 等腰三角形的内角和为180度。

等腰三角形的两个底角相等，所以三角形的内角和为180度，这是三角形的基本性质。

二、直角三角形直角三角形是指具有一个角是90度的三角形。

直角三角形中最常用的性质就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

除此之外，直角三角形还有以下性质：1. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。

直角三角形中，最大的一个角是90度，所以其余两个角的和等于90度。

2. 直角三角形的两个直角边的比值为斜边的正切值。

直角三角形中，直角边与斜边的比值可以用正切函数计算，即tan(θ) = 对边/邻边。

3. 直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半。

直角三角形的面积可以通过两直角边的乘积再除以2来计算。

三、等腰三角形与直角三角形的联系等腰三角形和直角三角形在几何学中有一些联系和共同点。

首先，对于一个等腰直角三角形来说，它既是等腰三角形又是直角三角形。

其次，在等腰三角形中，如果顶角等于90度，那么这个等腰三角形就成为直角三角形。

此外，在计算等腰三角形和直角三角形的面积时，也可以使用相同的公式。

对于等腰三角形，可以使用底边和高线的乘积再除以2来计算面积；对于直角三角形，可以使用两条直角边的乘积再除以2来计算面积。

综上所述，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形类型，它们在数学和几何学中具有重要的作用。

人教版初中数学中考考点系统复习第19讲等腰三角形与直角三角形

60°
的三角形是等边三角形；
⁠
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
⁠
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
⁠
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的等腰三角形；（3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
⁠
⁠
质（4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线所在的直线（如图中AD所在的直线） ⁠
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等，那么这两个角所对的边也 ⁠

初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形

课时26 等腰三角形与直角三角形课前热身1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°4．（06怀化）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA′等于（）A．25° B．50° C．60° D．130°（第2题图）（第3题图）（第4题图）知识整理1．等腰三角形的性质与判定：（1）等腰三角形的两底角__________；（2）等腰三角形底边上的高，底边上的________，顶角的_______，三线合一；（3）有两个角相等的三角形是_________．2．等边三角形的性质与判定：（1）等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；（2）三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．3．直角三角形的性质与判定：（1）直角三角形两锐角________；（2）直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．（3）直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______；（4）勾股定理：a2+b2=c2．（5）有一个角等于90°的三角形是直角三角形；（6）勾股定理的逆定理：若c2=a2+b2，则∠C=90°例题讲解例1．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2．（06常德）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例3．（06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．•一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O ”，•测得该车从北偏西60°的A 点行驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A 点到B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．（例1图）（例2图）P D C BA课堂练习1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB•的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为________米．2．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD=2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 处，则∠EAB=_________度．3．如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为（）A ．aB ．2aC ．32aD ．52a（第1题图）（第2题图）（第3题图）4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．⑴若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；⑵若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．5．（选做题）已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．•试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由．。

第四章第三节等腰三角形与直角三角形

(2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
_____．相等 (3) 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的_______ _____上．垂直平
分线
考点一等腰三角形的性质与判定命题角度❶
(5年2考)
等腰三角形的性质与判定
例1 (2017·昌乐一模)在正方形网格中，网格线的
交点称为格点．如图是3×3的正方形网格，已知A， B是两格点，在网格中找一点C，使得△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有( A．6个 B．7个 ) D．9个
第三节等腰三角形与直角三角形
知识点一等腰三角形 1．等腰三角形：有_______相等的三角形叫做等腰三角形．两条边
2．等腰三角形性质 (1)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的___________．垂直平分线 (2)等腰三角形的底边上的___、底边上的中线及顶角的_____ 高平分 ___重合．线等腰三角形的两个底角_____． (3) 相等
则BC的长为____________．
17
【分析】首先由旋转变换的性质得CD＝CB，运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于CB的方程，求出CB即可．
【自主解答】由题意得CD＝CB，在Rt△ABD中，AB＝
2 2 BD AD 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋AD2＝DC2，
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于 1 AB)为半径作弧，两弧相交于点M
2 D，交BC于点E.若AC＝3，AB＝和点N，作直线MN交AB于点
5，则DE＝____ 15 ．
8
，AD＝
考点三例4
直角三角形的性质

等腰三角形与直角三角形.

考点4
勾股定理及其逆定理
等于 1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________
斜边的平方． 2．勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等平方，则这个三角形是直角三角形．于第三边的________
【学有奇招】 1．“等角对等边”应用极为广泛，但一定要注意前提条件是在同一个三角形中． 2．等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理(1)
60° (2)等边三角形的三个角都是______________ ．
轴对称图形，有_______ 三 (3)对称性：等边三角形是____________ 条对称轴．
考点3
直角三角形的判定与性质
1．判定．直角的三角形是直角三角形． (1)有一个角是________ (2)勾股定理的逆定理． 2．性质．互余． (1)直角三角形的两个锐角________ 一半． (2)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的_______ 一半． (3)直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的_______
考点 1 等腰三角形的判定与性质
1．判定．
相等的三角形是等腰三角形，即“等边对 (1)有两条边________
等角”．
相等的三角形是等腰三角形，即“等角对 (2)有两个角________ 等边”．
2．性质．相等，即“等边对等角”． (1)等腰三角形的两个底角________ (2)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、重合．底边上的高互相________ (3) 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(中线)或顶角的角平分线 _________________________________________ 所在的直线．

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。

一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。

2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。

（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。

等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。

2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。

2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1（2015•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．对应训练1．（2015•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．考点二：线段垂直平分线例2 （2015•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC=．对应训练2．（2015•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm考点三：等腰三角形性质的运用例3（2015•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°对应训练3．（2015•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．考点四：等边三角形的判定与性质例4（2015•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．对应训练4．（2015•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．考点五：三角形中位线定理例5（2015•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°对应训练5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．考点六：直角三角形例6 （2015•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．D．对应训练6．（2015•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．C D考点七：勾股定理例7（2015•扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．对应训练7．（2015•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．【备考真题过关】一、选择题1．（2015•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4D．52．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50D．40°3．（2015•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．64．（2015长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．5．（2015•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2015•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）A．∠B=48°B．∠AED=66°C．∠A=84°D．∠B+∠C=96°二、填空题13．（2015 徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A．80°B．50°C．40°D．20°14．（2015•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．15．（2015•广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．16．（2015•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm．17．（2015•宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD=20m，则A、B之间的距离是 m．三、解答题27．（2015•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．28．（2015•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．。

第二部分第四章第2讲第2课时等腰三角形与直角三角形

的平分线 AD 交 BC 于点 D，若 DE 垂直平
分 AB，求∠B 的度数．
图 4－2－14
解：∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.
∵DE 垂直平分 AB， ∴AD＝BD，∠B＝∠BAD.
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B. ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°. ∴∠B＝30°.
A．16 B．18
C．20 D．16 或 20
2．(2010 年广东清远)等腰三角形的底角为 40°，则这个等
腰三角形的顶角为( C )
A．40° B．80° C．100° D．100°或 40°
3．(2012 年广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，
BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( A )
图 4－2－11
解：(1)∵DE 垂直平分 AC， ∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°. (2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°. ∵∠ECD＝36°， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°， ∠BEC＝72°＝∠B. ∴ BC＝EC＝5. 小结与反思：利用等腰三角形的性质可以得到两角相等，从而解决问题.
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件．
2．了解等边三角形的概念及其性质． 3．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件． 4．会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．
1．等腰三角形 (1)判定： ①有两条边__相__等____的三角形是等腰三角形； ②有两个角__相__等____的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”． (2)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相__重__合____． (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是_底__边__上__的__中__线__(_答__案__不__唯__一__) _(结论开放)．

等腰三角形与直角三角形

例3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°，则该等腰三角形的底角的度数为 .
体现了数学分类讨论思想
考点三直角三角形的性质及判定例 4.如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC， AB=1，BC=CD=2，AD=3，求四边形 ABCD 的面积.
考点四折叠问题
例5：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8c，且点C与点E重合，求CD的长.
2 2 2
2．判定 (1)有一个角是 90°的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边长为 a，b，斜边是 c 满足 a ＋b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形．
2 2 2
典例分析
等腰三角形的性质与判定例 1：如图， ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O．给出下列三个条件： ① ∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，选两个条件______可判定 ABC 是等腰三角形；
等腰三角形的边角问题例 2.等腰三角形的两边长分别是 4cm 和 8cm，则它的周长是（）cm. A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm 或 20cm
变式 1．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等腰三角形的顶角为( A．40° C．40° 或 100° ) B．100° D．70° 或 50°
考点五最短距离问题例6 ：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺. B
20
转化思想
尺
A
15尺

等腰三角形与直角三角形

(1)OA=OB=OC. (2)△OMN是等腰直角三角形.
【例2】如图4-3-2所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8， ∠A=60°，∠D=150°已知四边形的周长为32，求四边形ABCD的面积.
S四边形ABCD=16
3 +24.
【例3】已知：如图4-3-3所示，等腰△ABC的底边长8cm，腰长 5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间?
3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为( D ) A.30° B.60° C.150 ° D.120° 4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是( D) ①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两腰上的高相等 ③等腰三角形两底角的平分线相等 ④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合. (4)互逆命题与互逆定理. 2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理.如图4-4-2所示. 性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】这里不可说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
典型例题解析
【例1】 (2003· 广东省)如图4-3-1所示，在Rt△ABC中， AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点. (1)写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系 .(不要求证明) (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

等腰三角形和直角三角形

等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形1．定义：有相等的三角形叫做等腰三角形．2. 性质：（1）等边对等角：等腰三角形的两条腰，两个底角。

符号语言：（2）“三线合一”:等腰三角形的顶角的，底边上的及底边上的互相重合。

符号语言：（3）对称性：等腰三角形是对称图形，有条对称轴3．判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．符号语言：考点二等边三角形1．定义：都相等的三角形叫做等边三角形2．性质(1)三边相等；(2)三角相等，且每一个角都等于；(3)它是对称图形，有条对称轴.3．判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的三角形是等边三角形．考点三直角三角形1．性质(1)直角三角形两个锐角之和等于；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的；符号语言：(3)直角三角形30°角所对的直角边等于；符号语言：(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有；(5)常用勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(8,15,17)，(7,24,25)．2．判定(1)有一个角为的三角形是直角三角形；(2)有两个角的三角形是直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．3．面积计算公式：S ＝ , 其中a ，b 为两条直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高，常用等积法求线段长．三、典型例题例1 （1）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝58°，则∠ABD 的度数为 .（1）变式变式：如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=30°,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E,连接BE ，则∠CBE 的度数为。

（2）等腰三角形的一边长为2，另一边长为5，则这个等腰三角形的周长为______题后反思：跟踪练习一1、一个等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A. 12B. 15C. 13D.12或152、若等腰三角形的一个内角为80°，则它的底角为( )A ．80°B ．50°C ．20°D ．50°或80°3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°例2（1）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )（2）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，AC ＝12，F 是DE 上一点，连接AF ，CF ，DF ＝1，若∠AFC ＝90°，则BC 的长度为( )A ．12B ．13C ．14D ．15（2）（3）（3）[2015·青岛]如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC 等于( )题后反思：跟踪练习二1、如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝4，则CD ＝ . 29180x x -+=A.3,4,5 B.1,2,3 C.6,7,8 D.1,2,32、[2017·青岛]如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ， AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为( )第1题第2题第3题3、[2017·青岛]如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为度．题后反思：拓展延伸1、如图，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝3，AB ＝6，∠BCA ＝90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为( ) A ．6 B ．32、（2018青岛）如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE=DF=2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为．第1题第2题题后反思：四、回顾反思通过今天的学习，你有什么收获？用你自己的话说说吧！五、课堂检测1、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为 __________2、如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A. 4B. 23C. 4.5D. 53321221A. B. C. D.22773.D 32.C第1题第2题第3题第4题3、如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=72°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4、[2016·青岛] 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积cm.为3六、课后作业1．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 .2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为()3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，对角线CA平分∠BCD，E，F 分别是底边AD，BC的中点，连接EF.点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB 的最小值为.第1题第2题第3题。

等腰三角形与直角三角形 PPT课件人教版

温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点一等腰三角形的性质例 1(2014·南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为( )
∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD，
∴△BOE≌△COD.
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
考点三等边三角形的性质与判定例 3(2014·温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
答案： C
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2 ≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等腰直角三角形．
6．如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据以上性质可以进行相关的计算与证明.

等腰三角形与直角三角形_1PPT课件

∵∠DEC=∠BFC=90°,
2
AE CE,
在△AEF和△CEP中,∵ AEF CEP,
EF EP,
∴△AEF≌△CEP.
∴∠FAE=∠ECP=45°,CP=AF=3-DP.
∴∠FAD=90°,∴CD∥FA,
∴△BPD∽△BFA.
∴ PD = BD .∴ PD = 3 .∴PD=1.
FA BA 3 PD 6
故选A.
关键提示三角形的重心是三条中线的交点.
∴BG= 1 BC= 1 AC=3,
22
∴在Rt△ABG中,AG= 3 BG=3 3 .
∵BF⊥EC,∴BF∥AG.∴ AF = BG .
EF EB
∵AF∶EF=3∶2,∴BE= 2 BG=2.
3
∴EG=BE+BG=2+3=5.
∴在Rt△AEG中,AE= AG2 EG2 = (3 3)2 52 =2 13 .
BE=
2x
1 2
BE.
∴在Rt△AHE中,tan∠EAD= EH =
3 BE 2
=3.AH Nhomakorabea2x
1 2
BE
4x 1
∴y= 3 .
4x 1
②如图2,过点O作OM⊥EC于点M,过点E作EH⊥BD于点H,过点A作AG⊥BC于点G.
图2 设BE=a,
∵ BG = AF =x,
EB EF
∴CG=BG=xBE=ax. ∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.
∴OE'=2( 6 -1)=(2 6 -2)分米, 作FN⊥OB,交OB于N, 则FN=OFsin 60°=2 3 分米,NE= 62 (2 3)2 =2 6 分米,

中考数学一轮复习：等腰三角形与直角三角形

【解析】∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B＝60° ， ∴∠C＝30° ， ∴BC＝2AB＝2×2＝4， ∴AC＝ BC2－AB2＝ 42－22＝2 3. ∴△ABC 的周长为 AB＋BC＋AC＝2＋4＋2 3＝6＋2 3.
如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90° ，AB＝AD，若四边形 ABCD 的面积是 24 cm ，则 AC 的长是________cm.
知识点三
线段的中垂线
1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质线段中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3．判定到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
知识点四
直角三角形的性质与判定
1．性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)勾股定理：a2＋ b2＝c2(在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90° )； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 30° ； (5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．判定 (1)有一个角是 90° 的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形； (4)有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA＝CQ 时，连结 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为( )
1 1 2 A. B. C. D．不能确定 3 2 3 解析：过点 P 作 PF∥BC，由已知△ABC 为等边三角形可证△APF 也为等边三角形，于是 AP＝PF，又因为 AP＝CQ，则 PF＝CQ，于是可证△PFD≌△QCD，于是 FD＝DC； 1 另一方面，因为△APF 为等边三角形，且 PE⊥AC，则 AE＝EF，于是可得 EF＋FD＝ AC 2 1 ＝，故选 B. 2

等腰三角形和直角三角形

等腰三角形和直角三角形
一、等腰三角形的判定与性质 1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的相等简写为“___________ 等角对等边 ”). 边也_____(
2.性质：
相等简写为“___________ 等边对等角 ”). (1)等腰三角形的两个底角_____( 平分线、底边上的高和底边上的_____ 中线 (2)等腰三角形顶角的_______ 互相重合(简写成“三线合一”). 轴对称图形，底边上的中线(或底边上的高 (3)等腰三角形是_______ 或顶角的平分线)所在的直线是它的对称轴.
性质：1.两锐角之和等于90°； 2.斜边上的中线等于斜边的一半；
3. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ，
b，斜边为c，那么a2 +b2=c2
；
4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的锐角等于30°
三、线段的垂直平分线 1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等 _____.
2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ___________
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.等腰三角形一定有两个角相等. (√) (√)
2.有两个相等的三角形是等腰三角形. 3.等腰三角形的一个底角是钝角. 4.等腰三角形两腰上的高相等. (×) (√)
二、等边三角形的判定与性质
1.判定：
都相等的三角形是等边三角形. (1)三个角_______ 等腰三角形是等边三角形. (2)有一个角等于60°的_____ 2.性质：相等，并且每一个角都等于 (1)等边三角形的三个内角都_____ 60° ______. 三条对称轴. (2)等边三角形是轴对称图形，并且有___

等腰三角形与直角三角形的关系

等腰三角形与直角三角形的关系引言
等腰三角形与直角三角形是几何中常见的两种特殊三角形。

本
文将探讨这两种三角形之间的关系。

等腰三角形的特点
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

它的特点是有两个角
度相等，即两个底角相等。

直角三角形的特点
直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。

它
的特点是边长满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。

等腰三角形与直角三角形的关系
等腰三角形和直角三角形之间有一种特殊的关系。

当等腰三角
形的底边等于直角三角形的斜边时，等腰三角形的两腿的长度相等，即等腰三角形的两腿也等于直角三角形的两直角边。

此外，当等腰三角形的两腿等于直角三角形的直角边时，等腰
三角形的底边也等于直角三角形的斜边。

结论
因此，等腰三角形和直角三角形之间存在一种特殊的对应关系，当等腰三角形的底边与直角三角形的斜边或等腰三角形的两腿与直
角三角形的两直角边相等时，它们可以互相转化。

这为解决几何问
题提供了一种有用的方法。

参考文献
- 无
注释
- 无- 无。

北师大八年级下册-第1讲-等腰三角形与直角三角形(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）等腰三角形的性质与判定：掌握等腰三角形的底角相等、底边相等、高相等、中线相等、角平分线相等等性质，以及如何根据这些性质判断一个三角形是否为等腰三角形。
举例：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C，BC为底边，AD为高，AE为角平分线，其中AD、AE、BC三条线段相等。
举例：在直角三角形HIJ中，若IJ为斜边，IJ²=IH²+HJ²。
（4）勾股定理的应用：能够运用勾股定理解决实际问题，如计算三角形的不定边长、判断一个三角形是否为直角三角形等。
举例：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边长。
2.教学难点
（1）等腰三角形的判定：学生需要理解并掌握多种判定方法，如两边相等、两角相等、对角线相等等，并能灵活三角形与直角三角形这一章节，整体来看，学生的学习态度非常积极，课堂氛围也不错。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，对于等腰三角形和直角三角形的基本性质，大部分学生能够掌握，但在运用到实际问题中时，部分学生还是显得有些吃力。这说明我在教学中需要更注重培养学生的实际应用能力，将理论知识与生活实际相结合，让学生更好地理解几何知识在实际生活中的重要性。
同学们，今天我们将要学习的是“等腰三角形与直角三角形”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过一些三角形，比如在建筑物的设计中，或是家具的形状？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形与直角三角形的奥秘。
突破方法：通过画图、实际操作等方式，让学生直观感受等腰三角形的特点，加深对判定方法的理解。
（2）等边三角形的判定：学生容易混淆等边三角形与等腰三角形，需要强调等边三角形三条边都相等的特点。

课时28.等腰三角形与直角三角形

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第二部分第四章第2讲第2课时等腰三角形与直角三角形

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