第1课时不等式的性质及比较法
高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.
2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常 用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.
3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判 断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.
[再练一题] 1.已知A＝1x＋1y，B＝x＋4 y，其中x，y为正数，试比较A与B的大小.
【解析】 a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立.又a>b ⇒a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立.显然D成立.事实上，指数 函数y＝12x是减函数，所以a>b⇔12a<12b成立.
【答案】 D
教材整理 2 一元一次不等式的解法 关于 x 的不等式 ax>b， (1)当 a>0 时，该不等式的解集为ba，＋∞； (2)当 a<0 时，该不等式的解集为－∞，ba； (3)当 a＝0 时，若 b<0，则该不等式的解集为 R；若 b≥0，则该不等式的解 集为 ∅.
不等式组xx＞＋m9＜＋51x＋1， 的解集是{x|x＞2}，则m的取值范围是(
)
【导学号：38000000】
A.m≤2
B.m≥2
C.m≤1 【解析】
D.m≥1 原不等式组可化为xx＞＞m2，＋1. ∵解集为{x|x＞2}，∴m＋1≤2，
∴m≤1. 【答案】 C
教材整理3 一元二次不等式的解法
xx≠－2ba
ax2＋bx＋
c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
2020高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 比较法讲义 4-5
1.5.1 比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据。
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3。
通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1 比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明a〉b，只要证明a－b〉0；要证明a〈b，只要证明a－b<0.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．（2）作商比较法若a〉0，b>0,要证明a〉b,只要证明ab>1；要证明b>a，只要证明错误!〉1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2 比较法证明不等式的步骤比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( ）A．t＞s B．t≥sC．t＜s D．t≤s［解析] s－t＝（a＋b2＋1）－（a＋2b)＝（b－1)2≥0，∴s≥t.［答案] D2．已知P＝错误!，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是( ）A．P＞0 B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q［解析］∵QP＝(a2－a＋1)（a2＋a＋1）＝(a2＋1）2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴P≤Q.［答案］D作差比较法证明不等式a b a b ab a b[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答］法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝错误![(a－b）2＋（a－1）2＋（b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－（b＋1)a＋b2－b＋1。
对于a的二次三项式,Δ＝（b＋1)2－4（b2－b＋1）＝－3（b－1）2≤0，∴a2－(b＋1）a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b。
不等式的性质(第1讲)
6.1 不等式的性质学习指导1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。
因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。
就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。
由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。
依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。
对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。
不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。
2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：（1）一个公理：a <=> b ⇔ a-b <=>这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。
根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。
（2）三个基本性质：① a>b ⇔b<a ② a>b ，b>c ⇒a>c ③ a>b ⇔a+c>b+c在传递性中，称a>b ，b>c ⇒a>c ，从左向右是缩小；称a<b ，b<c ⇒a<c ，从左向右放大。
不等式证明的过程就是适度放大或缩小的过程。
因此，传递性是证明不等式的一个很重要的依据。
不等式的基本性质和证明的基本方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.1 第1课时 不等式的性质
1 ≤ + ≤ 5,
所以,由
不是等价变形,要使能成为等价变形,
⇒
-1 ≤ ≤ 3
-1 ≤ - ≤ 3
只能保持a+b,a-b各为一个整体.
正解:设 3a-2b=m(a+b)+n(a-b),
+ = 3,
则
解得
- = -2,
1
= 2,
5
= 2.
1
5
∴-6≤3a-2b≤14.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:在1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3中,a,b是通过这两个式子相互制约的变量,而由
此两式推出0≤a≤4,-1≤b≤3后,a,b不再具有彼此的制约关系,而是分别取各自
区间的值,自然就导致了取值范围的扩大.例如:当a=4,b=3时,a+b=7.
形;(3)确定符号;(4)得出结论.
对差的变形可考虑配方或因式分解的方法.
【变式训练1】 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
解:x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2).
∵m≠n,
a-b<0⇔ a<b ;
a-b=0⇔ a=b ;
a-b>0⇔ a>b .
3.通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法.
4.已知M=x2-3x+7,N=-x2+x+1,则(
A.M<N
B.M>N
C.M=N
数学课件：不等式的性质及比较法证明不等式
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。
2017-2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.1 比较法课件 新人教B版选修4-
一、选择题
1．下列关系中对任意 a＜b＜0 的实数都成立的是 ( )
A．a2＜b2
B．lgb2<lga2
C．ba>1
D．
1 2
a
2
＞
1 2
b2
解析：∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.
(－a)2>(－b)2>0.
即 a2>b2>0. ∴ab22＜1.
又 lg b2－lg a2＝lgba22＜lg 1＝0. ∴lg b2＜lg a2.
1．已知 x>－1，求证： 1＋x≤1＋x2. 证明：∵x＞－1，
∴1＋x>0， 1＋x>0. ∵ 1＋x－(1＋x2)＝ 1＋x－x＋21＋1 ＝ x＋1－x＋2 1－12 ＝－12[(x＋1)－2 x＋1＋1] ＝－12( x＋1－1)2≤0， ∴ 1＋x≤1＋x2.
比较法的实际应用
[例 2] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲 有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n 行走；乙有一半路 程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走．如果 m≠n，问 甲、乙二人谁先到达指定地点？
[小问题·大思维]
作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等 式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个 数(或式子)与 0 的大小关系.
比较法证明不等式
[例 1] 求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2；
a+b
(2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) 2 .
(2)
aabb
a+b
a-b
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
第1课时不等式的性质及比较法证明不等式
能力·思维·方法
1 1 a 2 b2 2 2 4.设a 0, b 0, 求证： a b b a 1 2 1 2
1 1 a 2 b2 2 2 证：法一 (作差法） a b b a a b ( a b )2 ( a b ) 0 a b b a ab 1 1 a2 b2 2 2 故 a b b a 1 2 1 2
能力·思维·方法
1 1 a 2 b2 2 2 4.设a 0, b 0, 求证： a b b a 1 2 1 2
1 a2 2 证：法三 b 2 b 1 2
1 2
1 1 a2 2 2 b 2 a b 1 2
(2)证法二的最后一步，也可用基本不等式来完成：
a b ab 2 ab ab 1 ab ab
能力·思维·方法
5. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn (n∈N，x，y∈R+)的大 小.
解： x
n 1
y
n 1
( x y xy ) ( x y )( x y )
能力·思维·方法
6. 已知x≥0，y≥0，求证：
解题分析：不等式右边可提取因式√xy，这启发我们设法 在左边通过变换产生因式√xy.
1 1 2 x y x y x y y x 2 4
n n n n
无论 x y 0, 或 y x 0, 均有
( x n y n )( x y ) 0 故x
n 1
y
n 1
x y xy
第一讲 一 1 不等式的基本性质
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、 记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等
式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结
构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件．
[例 3]
π π (1)已知：－ ≤α<β≤ ，求 α－β 的范围． 2 2
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c >d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
解：(1)取 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即 3>2，－2>－3. 此时 ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取 a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此 a b 时c ＝d＝2.因此(2)为假命题． (3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题． (4)当 a>b>0 时，才能成立，取 a＝－2，b＝－3，当 n 为偶 数时不成立，因此(4)为假命题．
【课件】等式性质与不等式性质+第一课时不等关系与不等式高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
限时小练
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒12厘米，人跑开的速度是 每秒 4 米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到 100 米以外的安全区，导 火索的长度 x(厘米)应该满足的不等式为( )
巩固与练习(3)
例 3. 已知 a>0，求证：a＋a1≥2.
证明 法一利用 a2＋b2≥2ab.
∵a>0， ∴a＋a1＝(
a)2＋
1 2 a
≥2 a·1a＝2. 当且仅当 a＝1 时，等号成立．
法二
∵a＋a1－2＝(
a)2＋
1a2－2
＝
a－ 1a2≥0，
∴a＋a1≥2.
深化与思考
1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比 较法，其关键是作差变形，判断差的符号．
全票，其余人可享受 7.5 折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折
优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队
的收费哪家更优惠．
限时小练
限时小练
限时小练
简解答：
课堂作业
1、练习1,2,3 2、预习 本节剩余部分。
本节内容结束 THANKS
代数复习 等式
数式 不等式
复习引入 方程(组)
一元一次不等式(组)
函数
解不等式（组）的理论依据是什么？ 方程（组）、不等式与函数之间有什么联系？
复习引入
常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言 表述吗？
文字语言 大于 小于
大于或等于（不小于） 小于或等于（不大于）
符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤
选修4-5不等式知识点
第1课时课时 不等式的性质不等式的性质 [探索研究]1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 0>-Û>b a b a0=-Û=b a b a 0<-Û<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质（、不等式的基本性质（66个）： [参考习题]1、若a 、b 、x 、y ∈R ，则()()0x y a b x a y b +>+ìí-->î是x a y b>ìí>î成立的（成立的（ ））A. A. 充分不必要条件充分不必要条件充分不必要条件B. B. B. 必要不充分条件必要不充分条件必要不充分条件C. C. 充要条件充要条件充要条件D. D. D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2、已知2()f x ax c =+，且4(1)1f -££-，1(2)5f -££，求f(3)f(3)的取值范围。
的取值范围。
的取值范围。
3、已知a>0a>0，，2220a ab c -+=，2bc a >，试比较a 、b 、c 的大小。
的大小。
第2课时课时 基本不等式基本不等式 [探索研究]1、定理1：如果R b a Î,，那么ab b a 222³+（当且仅当b a =时取“时取“==”） 2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ³+2（当且仅当b a =时取“时取“==”） 3、已知x, y 都是正数。
则都是正数。
则（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2p ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值214s[参考习题]1、当x 取什么值时，函数2294xx y +=有最小值？最小值是多少？有最小值？最小值是多少？ 2、求函数1622++-=x x x y （0³x ）的最小值。
不等式的性质与基本不等式
投资组合优化
在金融领域，利用不等式 性质可以优化投资组合， 使得风险和收益达到最佳 平衡。
资源分配问题
在生产或项目管理中，通 过应用不等式性质，可以 合理分配资源，提高效率。
信号处理与通信
在信号传输过程中，由于 受到噪声干扰，可以利用 不等式性质对信号进行优 化处理，提高通信质量。
06
总结与展望
总结不等式的性质与基本不等式的主要内容
算术-几何平均不等式
对于任意非负实数a和b，有 (a+b)/2 ≥ √(ab)。这个不等式 表明算术平均值总是大于或等 于几何平均值。
柯西不等式
对于任意实数a_i和b_i （i=1,2,...,n），有(∑a_i^2 * ∑b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2。这 个不等式在数学分析和线性代 数中有广泛应用。
性质的应用
解决不等式问题
利用不等式的性质可以解决各种不等式问题，如比 较大小、求解未知数等。
解决最优化问题
不等式的性质在解决最优化问题中也有广泛应用， 如最大值、最小值、最优解等。
证明不等式
利用不等式的性质可以证明一些数学命题和不等式 。
03
基本不等式
常见基本不等式
算术平均数-几何平均数不等式
详细描述
综合法是通过综合已知的不等式性质和基本不等式来证明不等式的一种方法。它通常用于证明一些较为复杂的不 等式，如平方和与平方差的关系等。通过综合已知的不等式性质和基本不等式，我们可以推导出新的不等式，从 而证明其正确性。
05
实例分析
代数实例
代数不等式
例如，对于任意实数a和b，有 a^2 + b^2 ≥ 2ab。这个不等 式表明两个数的平方和总是大 于或等于它们的两倍乘积。
不等式的证明(1)--比较法
法，因式分解法，有时把差变 2 (a b)(a b) (a b )(a b) 形为常数或变形为常数与几个 数的平方和的形式或变形为几 a, b是正数, 且a b, 2 个因式积的形式.变形到可判断 a b 0, (a b) 符号为止. 0,
三、例题讲解
作商比较法是将问题 a b 转化为商与1的关系， a b (ab) 故变形时要注意1的几 a b a b b a 种情形，如 a b 2 (ab) a0 2 2 2 同理 b a a b ( ) a 1 1=a =log a=a/a等，对 ab b 商的变形目的常为 a b an,logan等形式，以利 b a 2 (ab) a b 于利用指数函数和对 数函数的单调性作出 a b a b b a 判断. 2 a b (ab) a b
a b a b 0 a b a b 0 a b ab 0
作差比较法的步骤： 作差——变形（化简）——定号 （差值 的符号）
一、复习引入 2.作商比较法的原理及步骤：
a, b R a a b 1 b a a b 1 b a a b 1 b
(a 2) 2 0 2 4a
4a 1. 2 4a
四、练习
a b 4.已知 c a b 0, 求证 . c a c b
a b ( a b )c 证明: c a c b (c a)(c b) c a b 0,
( a b)c 0 (c a)(c b) a b . ca cb
作差法：作差—变形—定号.变形常用因式分解，分组配 方等；作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与 实数1的大小关系），对商的变形常有约分化简，合并等. 3.一般情况下，多项式比较用作差法，而积商幂的形式用 作商法.
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式比较实数大小的能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容：1. 不等式的概念与基本性质2. 比较实数大小的方法3. 不等式的解法4. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念，不等式的基本性质，比较实数大小的方法。
2. 教学难点：不等式的解法，不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际例子学会比较实数大小。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解不等式的解法。
4. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神。
五、教学准备：1. 教师准备教案、PPT、教学案例及实数大小比较的素材。
2. 学生准备笔记本、文具、计算器等学习用品。
教案第一课时：不等式的概念与基本性质一、导入新课1. 复习相关概念：实数、有理数、无理数。
2. 提问：如何表示两个实数之间的大小关系？二、新课讲解1. 引入不等式概念：用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个实数的式子称为不等式。
2. 讲解不等式的基本性质：性质1：不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
性质2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
性质3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、课堂练习1. 判断下列不等式是否正确，并说明理由：2x > 3, 5(x 1) < 2x + 4, -3y ≤92. 解不等式：3x 7 > 2, 4(x 2) ≥12四、总结本节课内容1. 学生总结不等式的概念及基本性质。
2. 教师点评课堂练习，指出优点与不足。
第二课时：比较实数大小的方法一、导入新课1. 复习上节课的内容：不等式的概念及基本性质。
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标：1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质比较实数的大小。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 不等式的性质2. 比较实数大小方法三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的性质，比较实数大小的方法。
2. 教学难点：不等式性质在比较实数大小中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会比较实数大小。
3. 运用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活实例，引导学生思考如何比较实数的大小。
2. 讲解不等式的性质：介绍不等式的概念，讲解不等式的基本性质。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用不等式的性质比较实数大小。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习题评价：对学生的练习作业进行批改，评估学生对不等式性质和实数大小比较方法的掌握程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力和问题解决能力。
七、教学资源：1. 教材：使用权威的数学教材，提供基本的教学内容和案例。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示不等式的性质。
3. 练习题：准备一定量的练习题，用于巩固所学知识和评估学生掌握情况。
八、教学进度安排：1. 第1周：介绍不等式的概念和基本性质。
2. 第2周：讲解不等式的性质在比较实数大小中的应用。
3. 第3周：通过案例分析，让学生熟练运用不等式性质比较实数大小。
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质-比较实数大小的方法(教案)第一章：引言教学目标：1. 了解不等式的概念和实数大小的比较方法。
2. 掌握不等式的基本性质。
教学内容：1. 不等式的定义：介绍不等式的概念，例如a < b 表示a 小于b。
2. 实数大小的比较：介绍实数的大小比较方法，例如a < b 表示a 小于b，a >b 表示a 大于b。
教学活动：1. 引入不等式的概念，让学生通过实例理解不等式的含义。
2. 介绍实数大小的比较方法，让学生通过比较练习来掌握。
练习题：1. 判断下列不等式是否正确：2 < 3, 5 > 4, -1 < 0。
2. 比较下列实数的大小：-3, -2, 1, 2。
第二章：不等式的基本性质教学目标：1. 掌握不等式的基本性质，如传递性、反射性和同向不等式的可加性。
教学内容：1. 传递性：如果a < b 且b < c，a < c。
2. 反射性：对于任意实数a，有a < a 和a ≥a。
3. 同向不等式的可加性：如果a < b 且c < d，a + c < b + d。
教学活动：1. 通过实例讲解传递性，让学生理解不等式传递性的含义。
2. 引导学生通过观察和推理来发现反射性的性质。
3. 通过具体例子讲解同向不等式的可加性，让学生掌握这个性质。
练习题：1. 判断下列不等式是否正确，并解释原因：a < b 且b < c →a < c。
2. 根据反射性，判断下列不等式是否正确：-2 < -2, 3 ≥3。
3. 应用同向不等式的可加性，判断下列不等式是否正确：a < b 且c < d →a + c < b + d。
第三章：比较实数大小的方法教学目标：1. 学习比较实数大小的方法，如比较绝对值、比较分数和比较指数函数。
教学内容：1. 比较绝对值：如果|a| > |b|，a > b 或a < b。
不等式的性质比较实数大小的方法(教案)
不等式的性质——比较实数大小的方法一、教学目标：1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够运用这些性质比较实数的大小。
2. 培养学生运用数学思维分析问题、解决问题的能力。
3. 提高学生对数学学科的兴趣，培养学生的逻辑推理能力。
二、教学内容：1. 不等式的性质：（1）不等式的定义及表示方法。
（2）不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。
2. 比较实数大小的方法：（1）利用不等式的性质比较实数大小。
（2）利用数轴比较实数大小。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）不等式的基本性质。
（2）利用不等式的性质比较实数大小。
2. 教学难点：（1）不等式性质3的证明及应用。
（2）利用数轴比较实数大小。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现不等式的性质，培养学生独立思考的能力。
2. 利用数轴直观展示实数的大小关系，帮助学生理解不等式的性质。
3. 设计具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：（1）复习相关知识点，如实数、数轴等。
（2）提问：如何比较两个实数的大小？2. 讲解：（1）介绍不等式的定义及表示方法。
（2）引导学生发现不等式的性质，讲解性质1、性质2、性质3。
（3）利用数轴展示实数的大小关系，讲解如何利用不等式的性质比较实数大小。
3. 练习：（1）设计具有针对性的练习题，让学生运用不等式的性质比较实数大小。
（2）让学生利用数轴比较实数大小，巩固所学知识。
4. 总结：回顾本节课所学内容，强调不等式的性质及比较实数大小的方法。
5. 作业布置：设计一些课后练习题，让学生进一步巩固不等式的性质及比较实数大小的方法。
六、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对不等式性质的理解程度，观察其在课堂上的参与度和思考问题的能力。
2. 练习题：通过学生完成的练习题，评估其对不等式性质的掌握情况以及运用能力。
3. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对所学知识的巩固程度。
七、教学反思：在课后，对教学过程进行反思，分析教学方法的适用性，以及学生的学习效果。