Bezier曲线
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
贝塞尔曲线——精选推荐
2．2．3 Bezier曲线在工程设计中，由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。
另一方面，在一些更注重外观的设计中，型值点的精度又不很重要。
从1962年起，法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。
以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNIS-URF，1972年在雷诺汽车公司正式使用。
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（称为特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。
在多边形的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。
第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。
曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。
改变控制点与改变曲线形状有着形象生动的直接联系。
如图2．6所示。
1）Bezier曲线的定义给定 n＋ l个空间向量bi(i= 0，l，…，n），称 n次参数曲线段为Bezier曲线。
式中使用了Bernstein多项式Bi，n（u）作为基函数：u是局部参数，u∈[0，1]。
我们给出n＝3的Bezier曲线的矩阵表示：则有 P(u)=UMB2）Bezier曲线的性质Bezier曲线的基本数学表达式：这说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。
这说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关，而与其余各点的位置关。
Bezier曲线的这一特性说明，只需适当移动控制点就能获得满意的曲线位置和形状。
利用这个特性，当采用分段Bezier 曲线时，只要保证曲线在接点处的折线共线，就可以得到C1连续性。
如图2．7所示的一个公共端点的二条Bezier曲线，当两段曲线的控制折线在接点处共线时，就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。
Bezier曲线还具有凸包性，即B6zier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。
所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
Bezier曲线
x(t) a3xt 3 a2xt 2 a1xt a0x
y(t) a3yt3 a2yt2 a1yt a0y z(t) a3zt 3 a2zt 2 a1zt a0z
t [0,1]
• 矢量表示
P(t
)
a3t
3
a2t
2
a1t
a0
t [0,1]
• 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV)
一次Bezier曲线的生成
二次Bezier曲线的生成
例子：n=3时，用de Casteljeu算法 求3次Bezier曲线上的点
当n=3时，de casteljau 算法递推出的Pki呈直 角三角形，对应结果 如右图所示。从左向 右递推，最右边点P30 即为曲线上的点。
• 这一算法可用简单的几何 作图来实现。给定参数t， 就把定义域分成长度为的 两段。依次对原始控制多 边形每一边执行同样的定 比t：(1-t)分割，所得分点 就是第一级递推生成的中 间顶点。
ae中贝塞尔曲线
AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects（AE）中，贝塞尔曲线是一个非常重要的概念，它用于创建和编辑动画和运动路径。
在这篇文章中，我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家Pierre Bézier创建。
它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。
在AE中，贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。
二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点。
每个控制点都有两个“把手”，一个在控制点的左边，一个在右边。
通过调整控制点的位置和把手的角度和长度，可以改变贝塞尔曲线的形状。
三、贝塞尔曲线的类型在AE中，有两种类型的贝塞尔曲线：Bezier曲线和B-spline曲线。
1. Bezier曲线：Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。
它由两个端点和两个控制点组成。
这两个控制点定义了曲线的形状，而两个端点则确定了曲线的起点和终点。
在AE中，Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。
2. B-spline曲线：B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。
它由多个控制点组成，这些控制点可以沿着曲线移动，从而改变曲线的形状。
B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。
四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线：在AE中，可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：a. 选择一个图层或物体，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的空对象。
b. 在时间轴中选择空对象，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的贝塞尔曲线。
c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线，然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。
2. 编辑贝塞尔曲线：在AE中，可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线：a. 拖动控制点：选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。
当鼠标放在控制点的把手上时，会出现一个红色线条，表示可以调整把手的角度和长度。
B样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。
若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
bezier曲线
用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有
即多项式
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P0 并以 Pn 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：
。
TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1，并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P3 之前，走向 P2 方向的“长度有多长”。
DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(k=0; k<50000000;k++);
}
for(i=0; i<100;i++)
，
可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
（6－3－4）
bezier曲线表达式
bezier曲线表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。
贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。
贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。
n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。
对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。
对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。
此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
该公式可用于绘制贝塞尔曲线。
bezier曲线
T1
T (s )
N1 B1
N0 B0
O （a） 曲率和挠率比较图
（b）
插值、拟合、逼近和光顺
插值 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点 进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
线性插值:假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的 值，用一个线形函数: y = (x) =ax+b，近似代替f(x)， (x) 称 为f(x)的线性插值函数。
抛物线插值:已知在三个互异点
x1 , x2 , x3 的函数值 为 y1 , y2 , y3，要求构造一个函数 ( x) ax2 bx c 使抛物线 (x)在结点 xi (i 1,2,3) 处与 f (x)在 xi 处的 值相等,求得a,b,c即构造了插值函数。
实例图示
对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢
P(0)、P(1)描述。 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和 P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0 t [0,1] (5-1) P1，代入
得
则有
(5-2)
参数曲线的几何形式
s 0
△s→0时，得到曲线上P(s)点的曲率k(s)，即k(s)= lim
,其几何意义是曲线的单位的切矢量对弧长的转动率，
s
与主法矢量同向。曲率的倒数1/ρ,称为曲率半径.即
是曲率反映的是曲线的弯曲程度. 对于直线它的弯曲程度处处为零,从而其曲率处处为 零.而对于圆,其上各点的弯曲程度相等,从而其曲率 为常数,其曲率半径即等于它的半径。
曲线、曲面的基本理论
曲线的表示形式
简述bezier曲线的性质
简述bezier曲线的性质一、 bezier曲线的定义1． bezier曲线的概念： bezier曲线就是函数y=f(x)， y=f(-x)，f(x)随x的变化而变化，并且所有这些随机点的集合都包含在一条直线上。
2． bezier曲线的图象： bezier曲线可以由点M(x， y)表示，由点M'(x'， y')表示，由点O(x， y)表示，因为这四个点都属于[-x，0]，这样，它们围成了一个四边形，我们称这个四边形为[-x， 0]A ∪[0， y]B ∩[0， -y]的bezier曲线图象。
3． bezier曲线的性质：①当x→0时， bezier曲线是开口向上的抛物线，②当x→0时， bezier曲线是以y轴为中心对称的双曲线，③当x→0时， bezier曲线是倾斜的;若y=f(x)， f(-x)， f(x)是直线，这是一条平行线;4． bezier曲线的拐点：曲线上某一点到x轴、 y轴的距离相等，或该点既不在x轴上，也不在y轴上，则称这一点是bezier曲线的拐点。
拐点有三类：一类是x=0， y=0;第二类是x=y=0;第三类是x=0， y=y=0。
4． bezier曲线的应用：在线性规划问题中，需要确定使得目标函数值达到最大的水平或垂直线段， bezier曲线可以帮助我们做出正确选择， bezier曲线也可以帮助我们分析解决一些实际问题，如果求极值的问题，求两条或多条实际可行线段交点的问题，通过使实际可行线段交点最小来分析问题和找到最佳点。
总之， bezier曲线是我们解决实际问题的有力工具。
5．综合练习，解答1．利用bezier曲线，讨论函数在某一点的取值范围，再由此判断函数的单调区间; 2．求已知函数f(x)的图象与其一阶导数f'(x)的图象的交点坐标; 3．利用bezier曲线及其图象求下列各函数的一阶导数; 4．已知一元二次方程x=1/2-1/3，用bezier曲线法求解; 5．讨论函数f(x)=-x-7/x是否为增函数，并说明理由。
Bézier曲线
t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t
i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在 点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理 。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
Cni ti (1 t)ni
(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i
0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =
贝塞尔曲线
8.4 Bezier曲面
利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定 义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点 可作为矩形网格。设Pij (i=0,…,n; j=0,…,m)为空间点列， 这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格， 其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的m×n次张量 积形式的Bezier曲线为
4、仿射不变性 Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这 是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点 Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择 5、凸包性 由于Ｂernstein多项式的性质， Bezier曲线落在控制点 的凸包内 6、交互能力 移动第k个结点，对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大．
13 23
P03 P(u,1) P33
P02
P12
P22 P32
P(0,v)
P11
P21 P31
P(1,v)
P01 P10 P20
P(u,0) P00 P30
是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大于4。 Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，其它许 多性质可推广到Bezier曲面。
根据上述定义， 1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点，而与坐标系 无关（几何不变性）； 2.Bezier曲面有关于参数的对称性； 3.Bezier曲面有凸包性。 P P
证明：
k (1 − t ) Bk ,n (t ) = Cn t k (1 − t ) n+1−k =
n + 1 − k ( n + 1)! k t k (1 − t ) n+1−k = 1 − Bk ,n+1 (t ) n + 1 k!( n + 1 − k )! n +1
6.Bezier曲线曲面解析
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 递推性
Jn,n-i(u)= Jn,i(1-u)
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 J’n,i(u)=n{Jn-1,i-1(u)- Jn-1,i(u)} 递推性Jn,i(u)=(1-u)Jn-1,i(u)- uJn-1,i-1(u)
•不适合于外形设计
xj
1.2 提出Bezier曲线的理由
• 参数样条曲线不 适合于外形设计 • 三次样条曲线采 用Hermit基函数， 如果用其他基函 数，就可以得到 另外的曲线。
1.3 Bezier曲线的产生和发展
• Peire.Bezier(1910~2000)23岁进入法国雷诺 汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线 和数控钻床、铣床的组装调试。50岁开始 研究集合化的曲面构造方法。1962年、 1968年研制成功UNISURF和SURFAPT原型 系统。 • De Casteljau工作于Citroen公司，1959年提 出了Bezier方法。但未象Bezier一样公开发 表。所以曲线称为Bezier曲线。
i=0: Jn-1,i-1(u)=0 i=n: Jn-1,i(u)=0
2.2 Bezier曲线的几何性质
n 由r (u ) J n ,i (u )Vi , 0 u 1 有 i 0
' r (0) n(V 1 V 0 )
同理可得，当 u=1 时
' r (1) n(V n V n1 )
r (u ) J n ,i (u )Vi 0 u 1
i 0
n
i i J n,i (u) Cn u (1 u)ni
Bezier曲线
Bezier曲线的性质(II)
• 对称性：控制点位置不变次序颠倒构造出的新Bezier 曲线， 与原Bezier曲线形状相同，走向相反。
Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
• 凸包性：当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特 征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(II) • (1)和(2)带入(3)得：
– 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、 P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
– 由于
。这二次Bezier
曲 （P线0P，20P可1）以和定后义两为个分顶别点由（前P两1，个P顶2）点
决定的一次Bezier曲线的线性组合。
Bezier曲线的矩阵表示(III)
• 三次Bezier曲线
– 四个控制点P0, P1, P2,P3
– n=3,
3
C(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1 t)P2 t3P3 i0
– 矩阵表示
1 3 3 1P0
C(t) t3
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• Bezier曲线的定义
– n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
bezier曲线
n
n
P * (t) Pi*Bi,n (t) PniBi,n (t)
i0
i0
n
n
PniBni,n (1 t) PiBi,n (1 t)
i0
i0
P(1 t) , t 0,1
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(3) 凸包性
n
由于
Bi,n (t) 1,
(7) 最大值
Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(1) 端点性质
曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn ;
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。
4.2 Bézier曲线
Bézier Curves
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近 为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成 了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该 系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心 应手。
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2,,n 1)
(2) 端点性质
Bi,n(0)=
1, i=0 0, i≠0
Bi,n(1)=
1, i=n 0, i≠n
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
n
Bi,n (t) 1, t 0,1
贝塞尔曲线的理解
贝塞尔曲线的理解Bezier曲线的由来1962年，法国⼯程师贝塞尔发表，他运⽤贝塞尔曲线来为汽车的主体进⾏设计Bezier曲线的作⽤Bezier曲线是⽤⼀系列点控制曲线状态的。
主要分为数据点：确定曲线的起始和结束位置控制点：确定曲线的弯曲程度举例理解：想在AC（起始点和结束点）之间画⼀个曲线，⽤B点（控制点）控制这个曲线的弯曲程度但是控制点是可以多个的，⽐如两个控制点。
以此类推，可以有很多个。
起点和终点都只有⼀个，但是控制点可以多个，甚⾄是0，0的时候就是直线啦！Bezier曲线的原理为什么⼏个点就可以得到⼀个曲线？先说⼀个控制点的情况，如图所⽰：1. A/B/C三点是确定的2. 在AB上任取⼀点D，得到ratio = AD/AB3. 再由BE/BC = ratio 得到E点4. 连接DE，同理DF/DE = ratio得到F5. ⽽F点就是曲线上的⼀点，当然凭着这⼀点是⽆法得到整条曲线的6. 于是，再来⼀遍，重新取D点得到新的F点，以此类推，如图那么两个控制点呢？道理是⼀样的，在AB上任取⼀点E，得到曲线上的J点。
AE/AB = BF/BC = CG/CD = EH/EF = FI/FG = HJ/HI最后来个炫酷的四个控制点：理解Bezier曲线的公式⼀次贝塞尔曲线⼀次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：B(t) = (1 - t) * P0 + tP1t表⽰在 P0P1/P0P1之间任取⼀点P2，t = P0P2/P0P1，也就是⽐例，公式⾥的P0和P1同步表⽰其x轴坐标或者y轴坐标。
已知P0的坐标是（a,b），P1的坐标是（c,d），那么假设P2的坐标是（x,y）(1-t)/(c-x) = t/(x-a) => x = (1-t)a + tc同理 y = (1-t)d + tb于是简写成 B(t) = (1 - t) * P0 + tP1⼆次贝塞尔曲线⼆次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：t同上在P0P1上的点是A，在P1P2上的点是B，在AB上的点是C，C也就是曲线上的⼀点。
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Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：
k Pi
k
P 1 i 1
k 1Pi
例如： 0 Pi Pi
1Pi 0 Pi1 0 Pi Pi1 Pi
2 Pi 1Pi1 1Pi Pi2 2Pi1 Pi
Pn1
P2 n2
选择 和 的值 ，可以利用该式确定曲线段 Q (t)的特征多边形顶点 Q2，而顶点Q0 、Q1已被 G1连续条件所确
定。要达到Q2连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。
如果从上式的两边都减去Pn，则等式右边可以表示为(Pn-Pn-1)和(Pn-1-Pn-2) 的线性组合：
k(t) P' (t) 3
可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
k (0)
n 1 n
(P1
P0 ) (P2 P1 P0 3
P1 )
k (1)
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn1)
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
•
恰好是二项式[t+(1-t)]n的展开式。：其中，当i=0，t=0时，ti=1，i！=1，即00=1,0！=1
Pi代表空间的很多点，t在0到1之间，把t代入进去可以算出一个数，即平面或空间一个点。 随着t值的变化，点也在发生变化。当t从0到1时，就可以得到空间的一个图形，这个图形就是Bezier曲线。
Q2
Pn
2
2
n
1
(
Pn
Pn 1 )
2 (Pn1
Pn2 )
这表明Pn-2、Pn-1 、Pn=Q0、Q1和Q2五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致， 我们还可以断定：Pn-2和Q2位于直线Pn-1Q1的同一侧。
谢谢大家
（2）对称性
由控制顶点 Pi* Pni , (i 0,1,..., n),
构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
n
n
n
n
C * (t) Pi*Bi,n (t) Pni Bi,n (t) Pni Bni,n (1 t) Pi Bi,n (1 t),
a) 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。 由此可见，Bezier曲线的起点，终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
b) 切矢量
因 为 ，
n1
P' (t) n Pi[Bi1,n1(t) Bi,n1(t)]
别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1 )次Bezi er 曲线 Pn-10与Pn-11的线性组合：
P0n (1 t)P0n1 tP1n1
t [0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
Pi k
(1
t
)
Pi Pik 1
tPik11
k 0 k 1,2,...,n, i 0,1,...,n k
i0
i0
i0
i0
t [0,1]
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
(3) 凸包性
n
由于 Bi,n (t) 1 且 i0
这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次
是 Bi,n (tt) [0,1]。在几何图形上，意味着 Bezier 曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在 Pi
i0
当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，
当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，
这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。
c) 二阶导矢
n2
P'' (t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
心应手。 • Bezier曲线广泛地应用于很多图像软件，例如Flash，PhotoShop等等。
2.Bezier曲线的定义
• 针对Bezier曲线，给定空间n+1个的位置矢量Pi（i=0,1,...,n)，则Bezier曲线段的参数方程表示如下：
• 其中Pi（xi,y,zi）,i=0,1,..,n是控制多边形的n+1个顶点，即构成该曲线的特征多边形；Bi，n(t)是Bernstein 基函数，有如下形式：
运用该算法具体获得某一点： 以二次Bezier曲线为例（该曲线有三个控制点），求曲线上t=1/3的点。
p1
p11 p20
p
p0
2
P0P01 P1P11 1/ 3 P0P1 P1P2 P01P02 1/ 3 P01P11
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)， 即有：
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
(5) 递推性 即n次Bernstein基函数可由两个n-1次的Bernstein基函数线性组合而成。因为：
(6) 导函数 (7) 最大值 (8) 积分
(9) 升阶公式
(1
t
)
Bi,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi
,n1
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代
入第三式得： P02 (1 t)2 P0 2t(1 t)P1 t 2P2
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier
• 该方法的大体思路是：在进行汽车外形设计时，先用折线勾画出汽车外形的大致轮廓，然后用 光滑的曲线去逼近这个折线多边形。
光滑的曲线逼近这个折线多边形
• 这个折线多边形被称作特征多边形。逼近该特征多边形的曲线成为Bezier曲线。 • Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得
Bezier曲线介绍
杨仁杰 2019.10.16
1.Bezier曲线背景
• 因为几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。
• 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方 法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入 了应用。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)和Qj(j=0,1,..., m)，
Pn-2
Pn-1
an
Pn
an-1
Q0
如左图，要使P(t)பைடு நூலகம்Q(t)拼接需要满足什么
b1
Q1
条件：
Pn-2 b2
Q2
P(t)
Q(t)
（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0； （2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q0，Q1三点共线
根据Bezier曲线的定义确定参数方程绘制Bezier曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。然而，使 用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 看一下该算法的演示过程：
Bezier曲线上任意一点P(t)，都是其他相邻线段的同等比例(t)处的连线，再取同等比例(t)处的点在连线，一 直取到那条线段的同等比例(t)处，该点就是Bezier曲线上的点P(t)。
当t=0时, P" (0) n(n 1)( P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)( Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
将上面三个式子代入曲率公式，
P' (t) P"(t)
曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组 合。
依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的
二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
4.Bezier曲线性质
(1) 端点性质
共同规律是都只经过了p0 ，pn 所以p0、pn分别位于实际曲线段的起点和终点，其它点就不在Bezier曲线上，只是逼近而已。
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分便捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算 法。
6.Bezier曲线的拼接