8-1 力矩分配法的基本概念
力矩分配法
§8.1力矩分配法的基本概念力矩分配法是在位移法的基础上发展起来的一种渐近法，它主要应用于分析连续梁和无结点线位移的刚架。
杆端弯矩的正负号规定与位移法相同。
一、名词解释1.转动刚度S ij转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
远端固定：S AB=4i远端铰支：S AB=3i远端滑移：S AB=i远端自由：S AB=0其中：i=EI/l；2.分配系数μij由转动刚度的定义可知：M AB= S AB•θA=4i AB•θAM AC= S AC•θA=i AC•θAM AD= S AD•θA=3i AD•θA取结点A为隔离体，列ΣM=0，可得：M= S AB•θA+ S AC•θA+ S AD•θAM M∴θ= ──────── = ──S AB + S AC + S AD ΣSΣS表示各杆A端转动刚度之和，把θ反代入，可得：M AB=M• S AB/ΣS M AC=M• S AC/ΣS M AD=M• S AD/ΣS令μAj= S Aj/ΣS 则 M Aj=μAj•MμAj称为分配系数，等于某杆的转动刚度与交于结点的各杆的转动刚度之和的比值；同一结点各杆分配系数之间存在下列关系：ΣμAj=μAB +μAC +μAD = 13.传递系数C AjM AB =4i AB•θA，M BA =2i AB•θAM AC =i AC•θA， M CA = -i AC•θAM AD =3i AD•θA，M DA =0C AB= M BA / M AB =1/2∴远端固定：C=1/2远端滑动：C=-1远端铰支：C=0用下列公式表示传递系数的应用：M BA = C AB• M AB系数C AB称为由A端至B端的传递系数；二、力矩分配的基本概念如下图所示结构，用位移法计算时，此结构有一具未知量Z1，典型方程为：r11•Z1 + R1p = 0r11=3i12 + i13 + 4i14 = S12 + S13 + S14 =ΣSR1P =ΣM1j g =M12g +M13g =M1gR1P代表附加刚臂上反力矩，它等于汇交于结点1的各杆端的固端弯矩的代数和，用M1g表示。
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(渐近法及其他算法简述)
中的计算，进行二次分配传递。 （5）各点循环放松，每次产生的新约束力矩会越来越小，一般进行两三轮计算就能满
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足工程精度。
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l 转动刚度可由位移法中的杆端弯矩公式导出，以下列出常用转动刚度： 远端固定，S=4i；远端简支，S=3i；远端滑动，S=i；远端自由，S=0。
2．分配系数
任一杆件在某结点的分配系数等于杆件的转动刚度不汇交于该结点的各杆转动刚度之
和的比值。它起到将作用于某结点的弯矩按比例分配到汇交于该结点各杆的近端的作用，用
三、无剪力分配法 1．应用条件 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。
2．剪力静定杆件的固端弯矩
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先根据静力条件求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载。按该端滑动，另端固定 的杆件进行计算。
出附加刚臂给予结点的约束力矩，用 M 表示。约束力矩规定以顺时针转向为正。
（3）放松结点：将丌平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行 分配、传递。
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（4）结构的实际受力状态：将各杆的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆 的最后弯矩。
束力 M C 相反的力矩，由这个 M C 引起的固端弯矩，可利用力矩分配法进行计算。计算后 经过一次传递，B 点处的约束力矩变成了 M B M BC 。
（3）将结点 C 重新固定，放松结点 B，相当于在有一个反向力矩加到 B 点上，即为
第八章 力矩分配法
－22.5 0.85 27.65 0.01 0.14 -21.64 27.79 －22.5 -0.85 -0.01 -23.36
E
§8.4 迭代法
一 迭代法的基本原理 二 用迭代法计算无侧移刚架 1 杆端弯矩计算公式
1 2 i 3 k
F Mik 4iiki 2iikk Mik
F M ki 2iiki 4iikk M ki
0.539 0.838 0.885 0.893
- 0.416
-13.509 -15.929 -16.327 -16.393
+20
F 4 各杆近端转角弯矩计算
' ' ' M ik ik (M iF M ki )
- 0.038
-1.111 i -1.310 ' -1.343M EC 0.038 20 (0.53913.509 [ )] -1.348
ij
S
Sij
,
1
三 单结点的力矩分配
例8-1 作图示连续梁的弯矩图
解 1 锁住结点，求固端弯矩 20kN/m 200kN 200 6 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F M AB 150 C A B 8 EI EI 200 6 F 3m 3m 6m M BA 150 8 20 6 2 F M BC 90 M FB 8 20kN/m 200kN F =150－90=60 MB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C A B 2 放松结点，相当于在 －MFB=－60 结点加上负的不平衡 力矩，并将它分给各 C A B 个杆端及传递到远端 －17.2 －34.3 －25.7 SBA=4×EI/6=2EI/3 SBC=3×EI/6=EI/2 3 叠加1、2得到最后杆端弯矩 μBA=4/7 μBC=3/7
力矩分配法计算
3、计算步骤和常用方法
考试要求为应用力矩分配法计算具有两个结点的三跨连续梁，并画出其弯矩图。计算时要注意：
计算汇交于同一结点各杆杆端的分配系数后，先利用分配系数之和应等于1的条件进行校核，然后再进行下一步的计算。
特别应注意列表进行力矩分配、传递及最后杆端弯矩的计算方法。
画内力图时，宜利用最后杆端弯矩在每个结点处都应该平衡的条件进行校核。
4、举例
试用力矩分配法作图（a）所示连续梁的弯矩图。
[解]（1）计算固端弯矩
将两个刚结点B、C均固定起来，则连续梁被分隔成三个单跨超静定梁。因此，可由表查得各杆的固端弯矩
其余各固端弯矩均为零。
将各固端弯矩填入图（b）所示的相应位置。由图可清楚看出，结点B、C的约束力矩分别为
①约束力矩应当注意的是结点B不仅有固端弯矩产生的约束力矩，还包括结点C传来的传递弯矩，故约束力矩
②计算分填入图（b）相应位置。结点B分配弯矩下的横线说明结点B又暂时平衡，同时也转动了一个转角，同样因为结点C又被固定，所以这个转角也不是最后位置。
分配时，要从约束力矩大的结点开始分配，可达到收敛快的效果。
应特别注意一定要将约束力矩先变号再进行分配。
求约束力矩时，应注意将其他结点传递过来的力矩计算在内。
当分配力矩达到所需精度时，即可停止计算（通常可以把精度控制在0.3范围内）。应注意停止计算时只分配不再传递，以免引起邻近结点出现不平衡力矩。
（8）根据各杆最后杆端弯矩和荷载用叠加法画弯矩图如图（c）所示。
（6）由于结点C又有了约束力矩O.25 kN·m，因此应再放松结点C，固定结点B进行分配和传递。这样轮流放松，固定各结点，进行力矩分配与传递。因为分配系数和传递系数都小于1，所以结点力矩数值越来越小，直到传递弯矩的数值按计算精度要求可以略去不计时，就可以停止运算。
结构力学——力矩分配法
结构力学——力矩分配法结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
其中，力矩分配法是一种求解结构梁的内力和变形的常用方法之一、本文将介绍力矩分配法的基本理论和应用。
首先，对于结构力学的研究，我们需要了解一些基本概念。
力矩是由力的作用点与旋转轴之间的距离和力的大小决定的。
在结构力学中，我们通常考虑作用在梁上的力和力矩。
梁是一种常见的结构元件，可以将其看作是在两个固定点之间作用的力的集合。
在力矩分配法中，我们将梁分割成若干个小段，然后逐段计算每个小段的内力和变形。
假设有一根长度为L，截面形状均匀的梁，并且在两个固定点之间施加了一系列分布力。
我们可以将梁分割成n个小段，每个小段的长度为Δx=L/n。
接下来，我们需要计算每个小段的内力和变形。
首先，我们可以根据材料力学的基本原理得出梁的拉伸、压缩和弯曲的力学方程。
然后，我们可以根据小段的切线方向和切线上的任意一点来推导出该小段的内力和弯曲方程。
最后，我们将内力分量在小段两端的力矩分配系数和位置矩分配系数进行合成，从而得出该小段的内力和弯曲方程。
在力矩分配法中，一个重要的概念是力矩分配系数。
力矩分配系数是一个无量纲的参数，用来表示力和力矩在小段两端分配的比例。
在计算力矩分配系数时，我们可以根据梁的几何形状和分布力的位置，利用力矩的基本原理进行推导。
力矩分配系数是力矩分配法的核心，它可以帮助我们计算出每个小段的内力和变形。
在实际应用中，力矩分配法通常用于求解多跨梁的内力和变形。
我们可以将多跨梁分割成若干个小段，并根据力矩分配法计算出每个小段的内力和变形。
然后，我们可以将各个小段的内力和变形进行叠加，得出整个多跨梁的内力和变形。
需要注意的是，力矩分配法具有一定的局限性。
首先，它只适用于存在弯曲变形的梁，对于其他类型的结构，如框架和板，需要采用其他的分析方法。
其次，力矩分配法仅适用于分布力作用在梁的直线部分上，对于弯曲部分或非均匀分布力的情况，需要采用其他的方法进行分析。
第8章力矩分配法
1 4
传递系数
远端固定，CAB=0.5
远端简支，CAD=0
远端滑动，CAC=-1
D i
分配系数
AB
2 3
AC
1 12
AD
1 4
120kNm
A
2i
i
C
传递系数
CAB=0.5
CAD=0
CAC=-1
B
D
80kNm A 30kNm
B 40kNm
10kNm C
M图
杆端弯矩
M AB
AB M
2 *120
3
固端弯矩
分配和传 递弯矩 杆端弯矩
A -150 -17.2
-167.2
分配系数
4 7
150
3 7
B
-90
-34.3 -25.7
115.7 -115.7
167.2 A
115.7
300
90
B 32.1
158.5
M图(单位kNm)
C 0 0 0 单位kNm
C
单结点力矩分配法计算举例
3）非结点荷载作用刚架
渐近法概述
1、线性代数方程组的解法: 直接法，渐进法
2、结构力学的渐近法:
力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义。
3、位移法方程的两个特点:
(1)每个方程一般不超过五项式； (2)主系数大于副系数的总和，即 kii > kij，
适于渐近解法。
80kNm
M AC AC M 10kNm
M AD AD M 30kNm
M BA CAB M AB 40kNm
M CA CAC M AC 10kNm
渐近法——力矩分配法的基本概念
作业： 8－１，8－４
qL2 8
mB
1 8
qL2
4 56
qL2m
＝
＋
1 M (qL2 )
28
整个过程没有求解位移
q C
i
L
3 56
qL2
2 56
qL2
L
三、力矩分配法的一般概念
（1） 转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上 等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的 力矩。用符号S表示。
转动刚度只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。
第八章 渐近法
§8-1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的特点与适用条件 1. 力矩分配法与无剪力分配法是求解超静定结构
的有效方法，是在位移法基础上发展起来的渐近法。
2. 渐进法的特点
3. 力矩分配法适合求解 连续梁与无侧移刚架
4. 力矩分配法顾名思意是对结构进行力矩分配,
因此研究对象是各杆端的 杆端弯矩。
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
例5: 作图示梁的弯矩图
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
0.6 0.4
问：固端力矩＝？ 最终杆端力矩＝？
例6: 用力矩分配法计算图示刚架
100kN
40kN/m
A i
Bi
C
2i
4m
D
2m 2m
4m
46
58 74
100
80
16
M图（ kN.m ） 8
二、力矩分配法的解题思路 例1：用位移法求解图示刚架 (1) 加约束,固定结点B
mB
C
第八章力矩分配法-精品文档
φK
B
原状态
F A MAK MKA K MKB MBK
MAK
F
固定状态
F FRKF
F F F
放松状态（转动状态）
mK = - FRKF
B
C D D C
K
C
KA 图 示 结 构、、＝ M M M ？ K A K B K C
M KC
φK
l
K结点
M ＋ M ＋ M ＝ m K A K B K C K
EI＝ C B
r 4 i 3 i i K K K A K B K C
M KB
S S S K A K B K C
l
l
S
KI
如何分配？
KA KK
K
C K
φK
（ 3 ） 作 MK及 M 图 F
ห้องสมุดไป่ตู้
2iKA
3
iKB
iKC
(4)求刚度系数和自由项
B
B M
K
基本系
r 4 i 3 i i K K K A K B K C
rK K
4
S S S K A K B K C
iKC
F
RKF
m
F
R K F
K
iKA
K
A K
C
S KI
m
M AK =
2iKA
mK
M
=0
mK
C
IK
B M
F
RKF
传递系数：传递弯矩与分配弯矩之比，记为：C 只与远端约束有关 一般式： M =C M C
C D IK KI KI
K I
K I
力矩分配法的基本原理
力矩分配法的基本原理1.力的平衡原理：在一个静力学平衡系统中，所有作用于该系统上的力合力矩必须为零。
这意味着系统中的每个部分都必须承受适当的力矩，以维持平衡。
2.力矩的定义：力矩是由力施加在物体上产生的旋转运动的趋势。
力矩的大小等于力的大小与其与旋转轴之间的垂直距离（力臂）的乘积。
力矩可以使物体旋转或改变其运动状态。
3.力的传递：力矩可以通过刚性连接的物体传递，例如通过杆件、杆节等。
在一个系统中，力矩可以通过连续的力传递链传递到各个部分，直至达到平衡。
4.杰克逊方法：力矩分配法的一种经典方法是杰克逊方法。
它基于以下原理：在一个静力学平衡系统中，每个部分所受到的力矩等于其负载与其力臂之积的总和。
根据杰克逊方法，力矩可以通过计算负载和力臂的乘积，并将其加总以获得每个部分所受到的合力矩。
5.多级力矩分配：力矩分配法可以按层次进行，从整体系统逐渐细分到部分系统。
这种分级方法可以使计算变得更简单明了，同时保证了结果的准确性。
6.力矩均衡：力矩分配法的目标是使系统中的力矩均衡，以确保系统中各个部分正常工作，避免超载或过载。
通过适当的力矩分配，可以优化系统的工作效率和安全性。
力矩分配法的应用领域包括机械工程、结构工程、航空航天工程等。
在这些领域中，力矩分配法可以用于计算和分配各个部分间的负载，确保系统的平衡和安全运行。
力矩分配法可以帮助工程师设计和优化机械系统和结构，提高其工作效率和寿命。
总结起来，力矩分配法基于力的平衡原理和力矩的定义，通过计算和分配各个部分间的力矩，实现系统的力矩均衡。
通过杰克逊方法和多级分配，可以有效地计算和分配力矩，保证系统的安全和可靠性。
力矩分配法是一种重要的工程设计和分析方法，在不同领域的工程问题中具有广泛的应用。
第八章力矩分配法
1
§8-1 概述 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。
为了寻求较简捷的计算方法，自上世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度
A
i=2
B
i=3 C
6m
3m
3m
40kN/m D
i=4
6m
杆端
m
MF
B1次 C1次
AB C 1 2 BA BC C 1 2 CB CD C 0 DC
0.4 0.6
0.5 0.5
100
0
0 -300
300 -180
0
40
80 120
60
-45
-90 -90
集中力偶m
逆时针为正
讨论
A A
2、静定段处理
D
Δ1 =1 B
4m
i= 3
i= 6
基本系
C
D
r111FR1F 0
3)作M1、MF图
基本系为无侧移刚架
30kN /m
A
r 11
i= 4
M1、MF图运用 力矩分配法绘制
F R 1 F 4)求系数和自由项
i= 3
i= 6
△1作用
C
D
i= 3
i= 6
荷载作用
C
D
5)求未知量 6)叠加法作M图
MM11+MF
l
EI＝ C
位移法求解
（1）建立基本体系
如何分配？
B
l
l
FRK
结构力学学习课件2
F MB
FP
F MBC F MB
A B
M
+
F CB
C
F MC ′
D
A
C MAB
MBA
B µ
MBC
F B
µ
A B
M ′
+
C MCB
C
F F MC + MC ′
D
M
C BC
+ …
µ MCB
C
D
µ MCD
C MDC
例：
用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。 用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。 80kN 30kN/m B i=2 3m 3m i=1 10m C i=1 3m 5m 160kN D
D iAD
M
A θA iAB iAB B
MAB =
SAB ⋅M ∑S
A
C
SAC MAC = ⋅M ∑S
A
µ MAj = µAj ⋅ M
MAB=SAB θA =4iAB θA MAC=SAC θA = iAC θA MAD=SAD θA =3iAD θA
（ 8-5 ） -
SAD MAD = ⋅M ∑S
CBA = MBA /MAB
µ MAj = µAj ⋅ M
C MBA = CBA ⋅ MAB
远端弯矩/近端弯矩 远端弯矩 近端弯矩
称为分配弯矩。 称为分配弯矩。 称为传递弯矩。 称为传递弯矩。
（8-10） ）
二、基本运算（单结点的力矩分配） 基本运算（单结点的力矩分配）
B MBA MAB A MAC θA C
综上所述，多结点力矩分配即为：每次只放松一个结点， 综上所述，多结点力矩分配即为：每次只放松一个结点，相当于单结 点分配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩（增量）叠加。 点分配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩（增量）叠加。
力矩分配法
CAB
M BA M 远 M AB M 近
自由
0
无意义
传递系数仅与远端支承有关。
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建筑工程学院 樊友景
二、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法
分配力矩计算
M1 j 1 j M , ( j A, B, C ) 分配系数1 j S1 j / S
5kN/m A 6m B 3m
32kN C 3m
-15 12 -3
4/7 3/7 21 15 -36 24 18 39 -18
(3)力矩的分配与传递 (4)计算杆端弯矩 (5)作M图
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思考题1：等截面直杆的弯矩传递系数C与什么因素有关。 A 荷载 B 线刚度i C 材料的性质 D 远端支承 思考题2：等截面直杆的转动刚度与下列什么因素无关。 A 近端支承 B 远端支承 C 刚度 D 杆长 思考题3：力矩分配法的计算对象是 A 多余未知力 B 支座反力 C 结点位移 D 杆端弯矩 思考题4：欲使图示梁A端发生单位转动，需在A端施加的 力矩是 A MAB=4i B MAB=3i C MAB=i D 3i<MAB<4i
B
M 1
A
注意：①∑μ=1。 ②分配力矩是杆端转动时产生的 近端弯矩。 ③结点集中力偶顺时针为正。 传递力矩计算 M j1 C1 j M1jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
C
j A, B, C
注意：①传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。 ②只有分配弯矩才能向远端传递。
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一、力矩分配法基本概念 (1)理论基础：位移法； (2)计算对象： 杆端弯矩； (3)杆端力与杆端位移正负号规定： 同位移法； (4)适用范围：连续梁和无侧移刚架。 (5)转动刚度S——杆件杆端对转动的抵抗能力。 它在数值上 等于使杆端产生单位转角时，在该杆端（近端）所需施加 的力矩。 转动刚度与远端支承条件和线刚度i=EI/l有关。 与近端支承无关。 远端支承 转动刚度 传递系数 (6)传递系数C:杆端 4i 0.5 固定端 转动时产生的远 3i 0 铰支座 端弯矩与近端弯 i 定向支座 －1 矩的比值，即：
力矩分配法的基本概念
力矩分配法的基本概念力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法，它不需要建立和求解基本方程，可直接得到杆端弯矩。
运算简单，计算方法有一定规律，便于掌握，适合手算。
理论基础：位移法；计算结果：杆端弯矩；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、正负号规定在力矩分配法中，杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。
作用在结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。
二、转动刚度S转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上等于使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
AB杆A端的转动刚度S B与AB杆的线刚度i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下：三、传递系数C杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
即:远端弯矩可表达为：M BA C AB M AB等截面直杆的传递系数与远端的支撑情况有关:远端固定: C=1/2远端铰支: C=0远端滑动: C=-1四、多结点无侧移结构的计算注意:①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。
②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。
③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。
④每次要将结点不平衡力矩变号分配。
⑤结点i的不平衡力矩M i等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。
例题；用力矩分配法画连续梁的M图，EI为常数。
2 S BA =4订人=4 X g = 1 »BA =0・43 3 S B C ==4t BC =4Xy = y P BC =O ・ 6S CB = 4/CB = 4X-|- = -|-卩CB = O ・ 6oScD = 3 2 CD = 3 X — = 1 o （2）计算固端弯矩腹=_城8 = _+ • p • Z=-jX10X8=-10kN •M D = -j - q - Z 2 = yX2X62 = -9k N ・m ・ （3）分配与传递p 解：（i ）计算分配系数（令EI=1） q“CD=0・ 4(4) 画弯矩图(kN • m)>12.39。
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q C B A
M M P M112/ 64i
引例：位移法作弯矩图
k11 φ1 +FR1P= 0
k11= 4iBA + iBC + 3iBD =∑SBj
q C B A D
FR1P = mFBA+mFBC+mFBD =∑mFBj
φ1 =-FR1P / k11 =ql 2/ 64i
M
例2.计算图示刚架,作弯矩图 解: (1)分配系数
S1B 3i
q
1 A
1B
4i 1/ 2 4i 3i i
S1 A 4i
S1C i
B
2ql
11 32
1 16
1
3 64
C
EI C
1 64
l
3i 3/8 4i 3i i
l
A
l
i 1/ 8 4i 3i i (2) 固端弯矩
远端定向支撑 S AB i
A
i
B
2. 分配系数 M BA S BAB M BC SBCB
F MB M BA M BC 0
B
F MB
A
M BA
B
F MB
C
1 F B ( MB ) S BA S BC
M BA S BA F ( MB ) S BA S BC
1/4
3 16
0
3 64
0
3 64
3 64
0 0
3 9 64 64
1 64
(4) 绘弯矩图
M
1 16
练习:作弯矩图
100 kN m
解: （1）分配系数
EI 0.3EI 10 EI S BC 0.2 EI 5 0.3 EI BA 0.6 (0.3 0.2) EI S BA 3
40 kN
10 kN/m
解:
（1）分配系数
S BA 4
S BC
A
EI
B
4m
EI
C
EI 0.5 EI 8 EI 3 0.5 EI 6
4m
6m
μ
MF
分配传递
BA
BC
0.5 EI 0.5 (0.5 0.5) EI
0.5 EI 0.5 (0.5 0.5) EI
M M P M11 M M P M1 (FR1P / k11) 1
MBA = mFBA + 4iBA (∑-mFBj)/∑SBj = mFBA - ∑mFBj (SBA / ∑SBj) MBC = mFBC - ∑mFBj (SBC / ∑SBj) MBD = mFBD - ∑mFBj (SBD / ∑SBj)
k11 4i 3i S BA S BC
FR1P ql / 12 100kN m M
2 F Z1 M B / k11 ql2 / 84i F B
B
A
128 .6
EI
B
EI
C
10 m
10 m
M M P M 1 Z1
F M BA mBA
S BA F ( MB ) 42.9kN m S BA S BC
0.571 0.571
-40
1.25
40 2.5
-45
2.5
0 0 0
（2）固端弯矩 MAB=-FPl / 8 =-40 MBA=FPl / 8 =40 MBC=-ql2 / MCB=0 (3) 列表计算 (4) 绘弯矩图 8=-45
M
-38.75 42.5
42.5
38.75
40 kN
42 .5
10 kN/m
q 12kN/m
F MB
A ql 2 / 12
F M BA
B
C
F MB
F F F MB M BA M BC 100 kN.m
B
F M BC
(3)转动弯矩 将不平衡力矩反号乘以各杆的 分配系数即得近端的分配弯矩 将分配弯矩乘以传递系数,便得 远端的传递弯矩
B
F MB
A
B
C
二、几个概念
C=1/2 C=0 C=-1
2i
4i
1
A
i i
B
B
3i A
1
i A i B 与远端支承情况有关
三、计算步骤
固定状态 F M AB ql2 / 12 100kN. m F M BA 100kN. m F F M BC M CB 0 放松状态
F M BA μBA (M B ) 57.1kN m F Μ ΒΧ μΒΧ ( Μ B ) 42.9kN m
100 kN m
20
练习: 作图示梁的弯矩图 注意：不平衡力矩
M ql / 12 40 60 40 100 kN m
F B 2
83.5
20 kN/m
53
40 kN m
A
9/17
EI
B
40 kN m
F MB
EI
C
6m
4m
分配系数 固端弯矩 -60
8/17 60
分配与传递 -23.5 -47 -53
M BC S BC F ( M B ) S BA S BC
B
M BC
令 BA 则
S BA S BA S BC
BC
S BC S BA S BC
F M BA μBA ( M B )
F MBC μBC ( MB )
M BA M BC
-分配弯矩 -分配系数
BA BC
1. 转动刚度：使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需 施加的杆端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
A端称为近端（本端）B端一般称为远端（它端）
对于等直杆，SAB 即与杆件线刚度有关，也与B端的支撑条件有关。
远端固支
1 AB
S
1
S AB 4i
远端简支
A
A
i
i
B
B
4i
A
i
B
S AB 3i
1C
(3)列表计算（乘子ql2)
结点 杆端
B
B1
A A1 1A 1/2 -1/4
3 32
11 32
1
1B 3/8 1/8
C 1C 1/8 C1
M1A=FPl/8=ql2/4 MA1=-FPl/8=-ql2/4 M1B=ql2/8 M1C=0 MB1=0 MC1=0
MF 0
分配 传递
q 12kN/m
A
EI
B
EI
C
10 m
10 m
q 12 kN/m
F MB
A 2 ql / 12
B
F MB
C
M AB CM BA 28.6kN m
M CB 0
最终杆端弯矩
A
128 .6
q 12 kN/m
B
42 .9
C
M AB 100 28.6 128.6kN m M BA 100 57.1 42.9kN m
令
MAB = mFAB + mZBA /2 MCB = mFCB + mZBC × (-1) MDB = mFDB + mZBD × 0
mZBi =– (∑mFBj ) (SBi / ∑SBj) MBi = mFBi + mZBi
引例：位移法作弯矩图 M M P M11
其中 φ1 =-FR1P / k11 = Fpl / 8/ 12i
M M P M1 (1FR1P / k11)
k11= 4iBA + 4iBC + 4iBD =∑SBj FR1P = mFBA+mFBC+mFBD =∑mFBj
MBA = mFBA + 4iBA (∑-mFBj)/∑SBj = mFBA - ∑mFBj (4iBA / ∑SBj) MBC = mFBC - ∑mFBj (4iBC / ∑SBj) MBD = mFBD - ∑mFBj (4iBD / ∑SBj)
一个结点上各杆端的 分配系数总和恒等于1
3. 传递系数C
传递系数 C 远 端 弯 矩 近端弯矩
传递弯矩
B
u MB
A
B
C
M AB CM BA 0.5 (57.1) 28.6 MCB CM BC 0 (42.9) 0
1
远端固定时: 远端铰支时: 远端定向时:
借助分配系数、传递系数计算
A ql 2 / 12
F M BA
B
F MB
C
B
F M BC
B
F MB
各杆端的最后弯矩等于 固端弯矩与转动弯矩之和
A
B
C
(1)固端弯矩
F M AB ql2 / 12 100kN.m F M BA 100kN.m
F F MBC MCB 0 (2)结点不平衡力矩
作弯矩图
一、力矩分配法计算要点(解题思路)
第1步: (固定状态) 在刚节点B上加附加刚臂
原结构分成若干个单跨超静定梁
q 12kN/m
B
A
EI
B
EI
C
各杆端产生固定弯矩
F 附加刚臂承受不平衡力矩 M B
10 m
q 12kN/m
10 m
F MB
第2步: (放松状态) 将不平衡力矩反号施加 于刚臂上，使B 结点转动 各杆端产生转动弯矩
最后弯矩 -83.5 13 -53