7力矩分配法
力矩分配法
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A 2 ql / 12
B
u MB
C
M
C CB
=0
A
B
C
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 M CB = 0
B
d M BC
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
令
µ BA µ BC
S BA = S BA + S BC S BC = S BA + S BC
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
---传递系数 ---传递系数 1 1
A
i i i
B
2i C=1/2
传递弯矩
B
C=0 C=C=-1 与远端支承 情况有关
3i A 1
远端定向时: 远端定向时: i A
B
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0 放松状态: 放松状态 d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
EI
B
EI
C
力矩分配法
力矩分配法简介力矩分配法是一种常用的工程分析方法，用于计算和分析物体受到的力的分布情况以及力矩的平衡。
根据力矩分配法，物体处于平衡状态时，所有作用于物体上的力矩和为零。
利用这个原理，可以计算物体上各点的力的大小和分布。
基本原理力矩是一个力在距离某一点的作用线上产生的旋转效果。
当物体受到多个力作用时，在平衡状态下，力的合力和力矩的合力都为零。
根据力矩的定义，可以得到如下的力矩分配方程：其中，表示物体上所有力矩的代数和。
力矩分配法的步骤力矩分配法一般包括以下几个步骤：1.给定各个力的大小和作用点位置。
2.计算每个力的力矩。
力的力矩可以通过力乘以力臂得到，力臂是力的作用点到某一参考点的直线距离。
3.将各个力矩代入力矩分配方程，求解未知力的大小和作用点位置。
可以利用代数方程或者力矩图等方法进行计算。
4.验证计算结果，检查力矩的合力是否为零，以验证平衡状态。
5.如果力矩不为零，则需要重新调整力的大小和作用点位置，再次计算和验证。
力矩分配法的应用力矩分配法在工程中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用例子：1.结构平衡：力矩分配法可以用于计算结构上各个部分受力的平衡情况，如梁、桁架等结构的受力分析。
2.机械设计：力矩分配法可以用于计算机械装置中各个零件受力的分布情况，如齿轮传动、支撑结构等。
3.车辆平衡：力矩分配法可以应用于汽车、飞机等交通工具的平衡分析，确保车辆的稳定性和安全性。
4.物体悬挂：力矩分配法可以计算物体悬挂时各个支点的受力情况，如吊车、吊车臂等。
总结力矩分配法是一种常用的力学分析方法，通过计算力矩的平衡来推导出物体上各点的力的分布情况。
它在工程中的应用非常广泛，可以用于结构平衡、机械设计、车辆平衡等领域。
使用力矩分配法可以帮助工程师更好地理解和分析各种力的作用情况，从而设计出更加稳定和安全的结构和设备。
力矩分配法步骤
力矩分配法步骤
力矩分配法是一种常用的工程计算方法，用于计算多个力矩作用下的物体平衡情况。
以下是力矩分配法的步骤：
1. 确定物体的支撑点和质心位置。
支撑点是物体受力的点，质心是物体受力后所处的重心位置。
2. 根据物体的几何形状和质量分布，计算出每个力矩的大小和方向。
力矩是由力和力臂（即力作用点到支撑点的距离）组成的向量。
3. 将每个力矩沿着垂直于力臂的方向进行分解，得到平行于支撑面和垂直于支撑面的两个力矩。
4. 对于平行于支撑面的力矩，将它们相加，得到总的平行力矩。
对于垂直于支撑面的力矩，将它们相加，得到总的垂直力矩。
5. 根据平行力矩和垂直力矩的大小关系，判断物体是处于平衡状态还是失衡状态。
如果平行力矩和垂直力矩大小相等，则物体处于平衡状态；否则，物体处于失衡状态。
6. 如果物体处于失衡状态，需要调整力矩的大小和方向，直到物体处于平衡状态。
可以通过移动力作用点、改变力的大小或方向等方式来调整力矩。
通过以上步骤，可以使用力矩分配法计算物体在多个力矩作用下的平衡情况，并调整力矩使物体处于平衡状态。
- 1 -。
结构力学——力矩分配法分解
3 . 一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确 到三位有效数字，计算中取4位计算，以保证前三位的 精确度
第三节 多结点力矩分配法
计算的指导思想由两个步骤说明：
固定状态的计算（与单点固定一样）。
即刚臂→荷载→固端力矩→约束力矩；
100k0N
EI
1 EI
2 EI
0.43 0.57 0.57 0.43
-500 -1000
M3B＝1000
例题：有支座移动（已知结点线位移）E=200GPa，I = 2500cm4
绘制弯矩图。
A
B
C
D
EI
EI
=1cm
10m
10m
10m
0.429 0.571
0.571 0.429
MF
3000
3000 -1500
2 . 不相邻 点可同时 释放.
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A
EI
10m
1 EI
10m
100k0N 2 EI 3 B 3B是悬臂梁，
转动结点3 时，
10m 1m 悬臂可自由转
0.43 0.57 0.5 0.5 1 0
动，固其转动
MF
1000 刚度为零
或A
MF
100k0N
放松状态的计算（与单点放松不同）。
力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的， 因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能 放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个 放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。
第三节 多结点力矩分配法
力矩分配法计算
3、计算步骤和常用方法
考试要求为应用力矩分配法计算具有两个结点的三跨连续梁，并画出其弯矩图。计算时要注意：
计算汇交于同一结点各杆杆端的分配系数后，先利用分配系数之和应等于1的条件进行校核，然后再进行下一步的计算。
特别应注意列表进行力矩分配、传递及最后杆端弯矩的计算方法。
画内力图时，宜利用最后杆端弯矩在每个结点处都应该平衡的条件进行校核。
4、举例
试用力矩分配法作图（a）所示连续梁的弯矩图。
[解]（1）计算固端弯矩
将两个刚结点B、C均固定起来，则连续梁被分隔成三个单跨超静定梁。因此，可由表查得各杆的固端弯矩
其余各固端弯矩均为零。
将各固端弯矩填入图（b）所示的相应位置。由图可清楚看出，结点B、C的约束力矩分别为
①约束力矩应当注意的是结点B不仅有固端弯矩产生的约束力矩，还包括结点C传来的传递弯矩，故约束力矩
②计算分填入图（b）相应位置。结点B分配弯矩下的横线说明结点B又暂时平衡，同时也转动了一个转角，同样因为结点C又被固定，所以这个转角也不是最后位置。
分配时，要从约束力矩大的结点开始分配，可达到收敛快的效果。
应特别注意一定要将约束力矩先变号再进行分配。
求约束力矩时，应注意将其他结点传递过来的力矩计算在内。
当分配力矩达到所需精度时，即可停止计算（通常可以把精度控制在0.3范围内）。应注意停止计算时只分配不再传递，以免引起邻近结点出现不平衡力矩。
（8）根据各杆最后杆端弯矩和荷载用叠加法画弯矩图如图（c）所示。
（6）由于结点C又有了约束力矩O.25 kN·m，因此应再放松结点C，固定结点B进行分配和传递。这样轮流放松，固定各结点，进行力矩分配与传递。因为分配系数和传递系数都小于1，所以结点力矩数值越来越小，直到传递弯矩的数值按计算精度要求可以略去不计时，就可以停止运算。
力矩分配法
注意：μ12+μ13+μ14=1 C13=1/2
C12=0
C14=-1 结论
计算简图
远端支承
转动刚度
传递系数
A MAB
θ=1
B MBA B MBA B
固定 铰支
SAB=4i
SAB=3i
CAB=1/2
θ=1 A M
AB
CAB=0
A MAB
θ=1
滑移
MBA
SAB=i
CAB=-1
A MAB
θ=1
B MBA
例2．如图连续梁，用力矩分配法计算并绘弯矩图。
2）加约束确定固端弯矩 和不平衡力矩
M M M
f BC
f
CB
f
CD
1 pl 60kNm 8 1 pl 60kNm 8 1 2 ql 90kNm 8
例2．如图12所示，用力矩分配法计算并绘弯矩图。
1）计算各结点的分配系数 结点B：
第6章 力矩分配法
学习目标
1．牢记力矩分配法的使用条件是没有结点 线位移。 2．掌握力矩分配法计算连续梁和无结点线 位移刚架。
学习重点
力矩分配法计算连续梁 1）计算转动刚度、分配系数和传递系 数； 2）计算各杆固端弯矩和不平衡力矩。 3）不平衡力矩的分配和传递 4）最后杆端弯矩的计算。
第一节 力矩分配法的基本概念
80kN A 3m 3m 80kN A
120 15
B 6m
C 6m
10kN D
10kN 120 120kNm
B C 6m
3m 分配系数 固端弯矩 分配弯矩
3m
单位:kNm
0.5 0 0 90 -75
0.5 60 -75 120 0
力矩分配法课后习题答案
力矩分配法课后习题答案力矩分配法课后习题答案力矩分配法是一种常用的力学分析方法，用于计算物体上的力矩分布。
在工程学和物理学中，力矩分配法被广泛应用于解决各种问题，包括结构力学、机械设计和静力学等。
下面将通过几个具体的习题来介绍和解答力矩分配法的应用。
习题1：一个均匀的杆AB长为L，质量为m，放置在两个支点A和B上。
支点A距离杆的左端点的距离为a，支点B距离杆的右端点的距离为b。
求支点A和B所受的力。
解答：根据力矩分配法，我们可以先计算出杆的重心位置。
重心位置可以通过以下公式计算得出：x = (m1 * x1 + m2 * x2) / (m1 + m2)其中，m1和m2分别是杆上两个质点的质量，x1和x2分别是这两个质点的位置。
在本题中，我们可以将杆分为两个部分：左侧的部分质量为m1，右侧的部分质量为m2。
左侧部分的质心位置为a/2，右侧部分的质心位置为L - b/2。
代入公式，我们可以得到：x = (m1 * a/2 + m2 * (L - b/2)) / (m1 + m2)接下来，我们可以计算出支点A和B所受的力。
根据平衡条件，支点A所受的力的大小应该等于杆上重心位置处的力矩与杆的重力矩之和。
支点B所受的力的大小应该等于杆上重心位置处的力矩与杆的重力矩之差。
因此，我们可以得到以下两个方程：Fa = (m1 + m2) * g - (m1 * a/2 + m2 * (L - b/2)) * gFb = (m1 + m2) * g + (m1 * a/2 + m2 * (L - b/2)) * g其中，g是重力加速度。
通过解这两个方程，我们可以求解出支点A和B所受的力。
习题2：一个悬挂在墙上的杆，杆的质量为m，长度为L。
杆的左端点与墙壁接触，右端点悬挂在墙上的钩子上。
求杆的重心位置和墙壁对杆的支持力。
解答：首先，我们可以计算出杆的重心位置。
由于杆是均匀的，重心位置就在杆的中点。
因此，杆的重心位置为L/2。
力矩分配法
§7-2 力矩分配法的基本概念
1.正负号的规定
力矩分配法中对杆端弯矩、固端弯矩的正负号规
﹑ 定，与位移法相同，即假设对杆端顺时针转为
正，反之为负；对结点则以逆时针转为正，反之 为负。
MB B MFBC=0
MB
M
F BA
M
F BC
M BFA
（顺时针为正）
A M’AB
MB 放松约束
C
B
(c)
M’BA M’BC
②放松B点的约束，使之由MB到零（原结构没有这
个约束）。
方法：在B点施加力矩-MB
-MB单独作用： 分配力矩： M'BA , M'BC
传递力矩：
M
' AB
③叠加: (b)、 (c)相加后与原结构受力相同。
i AC
1 3
iCE
1 3
AG
4/3 4/3 41/3
0.5
AC
41/ 3 4/3 41/3
0.5
20kN/m A 2I G
I
CI H
I
E
基本结构
CA
41/
3
41/ 3 2/ 3
41/
3
4/3 10 / 3
0.4
CH
2/3 10 / 3
0.2 ,
CE
4/3 10 / 3
0.4
(2)固端弯矩
则: M Aj Aj M 即: M AB AB M
M
D
A
B
A
M AC AC M
M AD AD M
7 力矩分配法 结构力学
第7章 力矩分配法
Moment Distribution Method
工程技术学院土木教研室
主要内容:
§9-1
力矩分配法的基本概念 点线位移刚架
§9-2 力矩分配法计算连续梁和无结
§9-3 超静定结构超静定结构小结
§9－1 力矩分配法的基本概念
一、转动刚度：
（3）计算分配弯矩 A 和传递弯矩
3m
40KN B EI 3m
16KN/m C EI 3m
1.分配系数 2.固端弯矩 -30 3.分配弯矩 传递弯矩 -2.4
' M BA 0.4 ( 12) 4.8 KNm
0.4 0.6 30 -18 －4.8 -7.2
0
0
' M BC 0.6 ( 12) 7.2 KNm
1 j
S1 j
S
(1)
M1 j 1 j M
ij
S ij
S
(i )
ij
S ij
S
(i )
M ij ij M
各杆的分配弯矩 Mij 各杆在i端的分配系数之和等于1。 校核分配系数的计算是否正确？
ij 1
(i )
三、传递系数：
• 传递系数：远端弯矩与近端（转动端）弯矩的 比值称为近端向远端的传递系数，简称传递系 数。用Cij表示。 • 传递弯矩：远端弯矩
(1) (1)
M1 j
S1 j
S14 M S
(1)
S
(1)
M
M1 j
S1 j
S
(1 )
M
各杆在1端的弯矩与该杆在1端的转 动刚度成正比。 下标 j 为汇交于1点的各杆之远端， j＝ 2、 3、 4、 5 各杆在1端的弯矩等于外力矩乘上 一个相应的系数 1j－－分配系数。 下标 i 为近端、j 为汇交于 i 点的 各杆之远端。
结构力学第七章力矩分配法
§7-1 引言
➢ 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的 近似方法。
➢ 力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精 度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。
➢ 从数学上说，是一种异步迭代法。
➢ 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
➢ 力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法 中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号 规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。
1
远端铰支时: 3i A i B
C=0
1
远端定向时: i A i B
C=-1
与远端支承 情况有关
§7-2 力矩分配法的基本原理
例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图
所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
(a)
B
C
A EI
EI
EI l
D
l
l
(b) A
B EI
EI
θB C
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；
可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。 例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
近端弯矩MBA、MBC为
§7-2 力矩分配法的基本原理
利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得
A
B
k=EI/l 3 l
A
θ =1
B
Δ =θ l
FyB=k
SAB
A
B
FyB EI/l
解:当A 端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产
生向下的竖向位移Δ=l×θ=l ，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2 。则
力矩分配法的适用条件
力矩分配法的适用条件
力矩分配法是结构分析中常用的一种方法，它适用于以下条件：
1. 静定结构，力矩分配法通常适用于静定结构，即结构的未知
支反力与未知弯矩的数量相等，这样才能通过力矩方程求解未知支
反力和未知弯矩。
2. 简支梁或梁柱系统，力矩分配法通常用于简支梁或梁柱系统
的分析，因为这些结构比较容易确定支座反力和弯矩的分布。
3. 单一荷载作用下的结构，力矩分配法适用于单一荷载作用下
的结构，因为在这种情况下可以比较容易地确定支座反力和弯矩的
分布情况。
4. 材料线性弹性，力矩分配法通常假设结构材料为线性弹性材料，这样才能使用弹性理论进行力矩分配。
5. 结构几何形态简单，力矩分配法适用于结构几何形态相对简
单的情况，复杂结构的力矩分配会变得较为困难。
总的来说，力矩分配法适用于静定结构、简支梁或梁柱系统、单一荷载作用下的结构，材料为线性弹性材料，以及结构几何形态相对简单的情况下。
当然，在实际工程中，我们还需要综合考虑结构的具体情况和分析的准确性来确定是否使用力矩分配法进行结构分析。
结构力学 第7章力矩分配法
结构力学
式中i=EI/l。
(2) 分配系数
图7.2(a)所示3杆AB、AC和AD在刚结点A连接在一起。为了 便于说明问题，设B端为固定端，C端为滑动支座，D端为铰支座 。设有力偶荷载M作用于结 点A，使结点A产生转角θA ，然后达到平衡。求杆端
弯矩MAB、MA和平衡方程得到
表示各杆A端的转动刚度之和 。 由此看来，各杆A端的弯矩与各杆A端的转动刚度成正比。可 以用下列公式表示其计算结果：
这里μAj称为分配系数。
结构力学
同一结点各杆端的分配系数之间存在下列关系：
总之，加于结点A的力偶荷载M，按各杆的分配系数分配于各杆 的A端。
(3) 传递系数
传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。 用下列公式表示传递系数的应用：
结构力学
【例7.3】试用力矩分配法计算如图7.3所示等截面连续梁的各杆 端弯矩并作弯矩图。 解：将该外伸部分去掉，而将 和 作为外力作用于结点E处，则结 点E即转化为铰支端，整个超静定部分的计算可按图7.3(b)所示 来考虑。 (1)计算分配系数。其结果见图7.4的表格 (2)计算固端弯矩。
图7.3
结构力学
对于杆DE，相当于一端固定而另一端为铰支的单跨梁，除跨中 受集中力作用外，还在铰支座E处受一集中力和集中力偶的作用 。其中作用于E端的集中力由支座直接承受，在梁内不引起弯矩 ，而其余的外力则将使杆DE引起固端弯矩，其值为
图7.4 分配系数
结构力学
(3)分配与传递。 求得分配系数和固端弯矩后，即可循环交替进行分配与传递，计 算过程列于图7.4的表格中。 (4)计算各杆端弯矩，作弯矩图，如图7.5所示。
系数CAB称为由A端至B端的传递系数 。
结构力学 2. 力矩分配法的基本概念
力矩分配法
CAB
M BA M 远 M AB M 近
自由
0
无意义
传递系数仅与远端支承有关。
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建筑工程学院 樊友景
二、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法
分配力矩计算
M1 j 1 j M , ( j A, B, C ) 分配系数1 j S1 j / S
5kN/m A 6m B 3m
32kN C 3m
-15 12 -3
4/7 3/7 21 15 -36 24 18 39 -18
(3)力矩的分配与传递 (4)计算杆端弯矩 (5)作M图
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建筑工程学院 樊友景
思考题1：等截面直杆的弯矩传递系数C与什么因素有关。 A 荷载 B 线刚度i C 材料的性质 D 远端支承 思考题2：等截面直杆的转动刚度与下列什么因素无关。 A 近端支承 B 远端支承 C 刚度 D 杆长 思考题3：力矩分配法的计算对象是 A 多余未知力 B 支座反力 C 结点位移 D 杆端弯矩 思考题4：欲使图示梁A端发生单位转动，需在A端施加的 力矩是 A MAB=4i B MAB=3i C MAB=i D 3i<MAB<4i
B
M 1
A
注意：①∑μ=1。 ②分配力矩是杆端转动时产生的 近端弯矩。 ③结点集中力偶顺时针为正。 传递力矩计算 M j1 C1 j M1jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
C
j A, B, C
注意：①传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。 ②只有分配弯矩才能向远端传递。
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建筑工程学院 樊友景
建筑工程学院 樊友景
一、力矩分配法基本概念 (1)理论基础：位移法； (2)计算对象： 杆端弯矩； (3)杆端力与杆端位移正负号规定： 同位移法； (4)适用范围：连续梁和无侧移刚架。 (5)转动刚度S——杆件杆端对转动的抵抗能力。 它在数值上 等于使杆端产生单位转角时，在该杆端（近端）所需施加 的力矩。 转动刚度与远端支承条件和线刚度i=EI/l有关。 与近端支承无关。 远端支承 转动刚度 传递系数 (6)传递系数C:杆端 4i 0.5 固定端 转动时产生的远 3i 0 铰支座 端弯矩与近端弯 i 定向支座 －1 矩的比值，即：