力矩分配法

1 1 S BA 4iAB 4 8 2 1 2 S BC 4iBC 4 6 3 1 2 BA 0.429 1 2 2 3 2 3 BC 0.571 1 2 2 3
C节点处：
1 2 SCB 4iBC 4 6 3 1 3 SCD 3iCD 3 8 8
M BA C M AB
CM AB M BA
式中C称为传递系数， 它只与远端约束有关。 远端为固定支座： 远端为铰支座：
1 C= 2 C =0
远端为双滑动支座： C = -1
远端为自由：
C =0
转动刚度与传递系数表
约束条件 近端固定、远端固定 近端固定、远端铰支 近端固定、远端双滑动 近端固定、远端自由
力矩分配法的基本思路
刚节点B将产生一个转角位移 固端弯矩( MF )：是被约束隔离各杆件在荷载单独 作用下引起的杆端弯矩。
M
F B
M
F BA
M
F BC
M
F BD
F M 一般地 B 不等于零，称为节点不平衡力矩。
现放松转动约束，即去掉刚臂， 这个状态称为放松状态 节点B将产生角位移，并在各杆端（包括近端和 远端）引起杆端弯矩，记作 M 则固端弯矩与位移弯矩的代数和就是最终杆端弯矩。
转动刚度S
传递系数C
1/2 0 -1 0
4i 3i
-i
0
用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 力矩分配法的计算步骤如下： 1. 确定分配结点；将各独立刚节点看作是锁 定的(固定端) ，查表13.1得到各杆的固端弯矩。 2. 计算各杆的线刚度、转动刚度S，确定刚 节点处各杆的分配系数μ。并注意每个节点处总 分配系数为1。 3. 计算刚节点处的不平衡力矩，将节点不平 衡力矩变号分配，得近端分配弯矩。 4. 根据远端约束条件确定传递系数C，计算 远端传递弯矩。
BA BC 0.4 0.6 1
3. 通过列表方式计算分配弯矩与传递弯矩 及杆端弯矩。
分配系数 MAB 固端弯矩 分配传递计算 传递弯矩 杆端弯矩 - 60 -6
（C=1/2）
0.4 MBA 60 12 48
0.6 MBC MCB
- 30
- 18
（C= 0）
0
0 0
- 66
- 48
2. 计算固端弯矩：
2 ql F M BA 8 20 42 40kN m 8
F M BC 0
F M BD Fl
50 2 100kN m
3. 力矩分配计算见 下表：
分配系数 MAB 0 固端弯矩 分配传递计算 0 杆端弯矩 0 ←
0.429 MBA 40 25.74 65.74
M BC M BD M BA S BC S BA S BD F F F ( M B ) ( M B ) ( M B ) SB SB SB
F ( M B )
而各杆的近端分配弯矩是将不平衡力 矩变号后按比例分配得到的。
3、远端传递弯矩的计算及传递系数 近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到， 而远端传递弯矩则可通过近端位移弯矩得到。 设：
0
MAB
固端弯矩 分配、 传递计算 杆端弯矩
MBA MBC
36 10
-23 -23 （C = 0）
0
0
（C= 0）
0
13
-13
20
4 .得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。
1、转动刚度(S) 定义：杆件固定端转动单位角位移所引起的 力矩称为该杆的转动刚度，(转动刚度也可定 义为使杆件固定端转动单位角位移所需施加 的力矩）。 转动刚度与远端约束及线刚度有关 远端固定： S=4i 远端铰支： S = 3i 远端双滑动支座： S = i 远端自由： S=0 (i为线刚度)
101.61
-101.61
0
4 .得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。
例17.7 用力矩分配法作连续梁的弯矩图
M图
解：1. 计算固定弯矩：
F M AB 0
F M BA
ql 2 8 62 36kN m 8 8
M
F BC
M 10kN m 2
M 20kN m
M
F CB
0.64 75 28.8 -5.54 3.55 -0.51 0.33 -0.05 0.03
0.36 -120 16.2 1.99 0.18 0.02 → → → → 0 0 0 0 0
-4.16 ← 8.32 -0.38 ← 0.76 -0.04 ← 0.07 -0.01
杆端弯矩
-84,58
70.84 -70.84
CB
2 3 3 8 3 8 0.36 2 3 3 8 2 3 0.64
CD
3. 力矩分配计算见下表：
分配系数 固端弯矩 分配传递计算
0.429 -80 80
0.571 -75 14.4 -11.08 1.78 -1.02 0.17 -0.10 0.02 -0.01 ← → ← → ← → ←
2、近端位移弯矩的计算及分配系数 AB杆：远端为固定支座，转动刚度SBA = 4i BC杆：远端为铰支座，转动刚度SBC = 3i BD杆：远端为双滑动支座，转动刚度SBD = i
各杆近端（B端）的杆端弯矩表达式：
M BA M BC
F F F M BA M BA 4i M BA S BA M BA F F F M BC M BC 3i M BC S BC M BC
F BC F BC F BC F B
解得的未知量代回杆近端位移弯矩的表达 式，得到：
将未知量代回杆近端分配弯矩的表达式，得到：
S BA M BA S BA F ( M B ) SB S F S BC BC ( M B M BC ) SB S BD M BD S BD F ( M B ) SB
由B节点的力矩平衡条件 ΣM = 0得：
M BA M BC M BD 0
F F F SBA M BA S BC M BC S BD M BD 0
解得未知量θ为：
( M M M ) ( M ) S BA S BC S BD SB
0.571 MBC
0 MBD MDB → 0 0 0
0 -100 34.26 0 34.26 -100
MCB 0 17.13 17.13
4、得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。
例17.6 用力矩分配法求图示连续梁的弯矩图， EI为常数。
解： 1. 计算各杆端的固端弯矩：
ql 2 15 82 M 80kN m 12 12 2 2 ql 15 8 F M BA 80kN m 12 12
5. 依次对各节点循环进行分配、传递计算， 当误差在允许范围内时，终止计算，然后将各杆 端的固端弯矩、分配弯矩与传递弯矩进行代数相 加，得出最后的杆端弯矩； 6. 根据最终杆端弯矩值及位移法下的弯矩正 负号规定，用迭加法绘制结构的弯矩图。 例17.4 用力矩分配法求图13.16（a）所示 两跨连续梁的弯矩图。
第十七章 力矩分配法
力矩分配法的基本概念 力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种数 值解法，它不必计算节点位移，也无须求解联立 方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。 力矩分配法的适用对象： 是连续梁和无节点线位移刚架。 内力正负号的规定： 同位移法的规定一致。 杆端弯矩使杆端顺时针转向为正， 固端剪力使杆端顺时针转向为正。
2. 计算各杆的线刚度、转动刚度与分配系数
线刚度： EI iAB 4 转动刚度：
iBC
2 EI EI 4 2
S BA 4iAB EI
分配系数：
SBA EI BA 0.4 SBA SBC EI 3EI 2
S Bc 3iBC
3EI 2
3EI S BC 2 BC 0.6 3 EI S BA S BC EI 2
上式中括号前的系数称为分配系数，记作μ ，即：
BA
S BA SB
BC
S BC SB
BD
S BD SB
一个杆件的杆端分配系数等于自身杆端转动刚度 除以杆端节点所连各杆的杆端转动刚度之和。 各结点分配系数之和等于1 BA BC BD 1
由此可知，一个节点所连各杆的近端杆端 分配弯矩总和在数值上等于节点不平衡力矩， 但符号相反，即：
4. 叠加计算，得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。
例17.5 用力矩分配法求图无结点线位移刚架的 弯矩图。 解 ：1. 确定刚节点B处各杆的分配系数
S BA 3 1 3S BC 4 1 4 S BD 0
这里BD杆为近端固定，远端自由，属于 静定结构，转动刚度为0。 3 BA 0.429 3 4 4 BC 0.571 3 4 BD 0
F F F M BD M BD M BD i M B S M D BD BD
式中：
F M BA
ql 2 12
M
F BC
3Fl 16
M
F BD
0
S BD M BD
显然，杆的近端位移弯矩为：
S BA M BA
S BC M BC
2. 确定刚节点处各杆的分配系数
S BA 3iAB
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3EI 1 6 2
S BC
3EI 1 3iBC 6 2
1 2 0.5
AB
1 1 2 2
BC
1 1 2 2
1 2
0.5
3. 分配弯矩、传递弯矩及最后杆端弯矩见计算表。
0.5 0.5 MCB 20
解 ： 该梁只有一个刚节点B。 1. 查表求出各杆端的固端弯矩
M
F AB
Fl 120 4 60kN m 8 8
Fl M 8 120 4 8 60kN m
F BA
F M CB 0
F M BC
ql 2 15 42 30kN m 8 8
F AB
Fl 100 6 M 75kN m 8 8 Fl F M CB 75kN m 8 2 2 ql 15 8 F M CD 120kN M 8 8
F BC
F M DC 0
2. 确定各刚节点处各杆的分配系数，(可令EI = 1) B节点处：