第16章 位移法及力矩分配法

•【例16-1】 用位移法画图（ａ）所示连续梁的 弯矩图。已知F＝３ql/２，各杆刚度EI为常数。
【解】:（１）确定基本未知量。此连续梁只有一 个刚结点θ ，转角位移个数为１，记作θ ，整个 梁无线位移，因此，基本未知量只有B结点角位移 θ 。 （２）将连续梁拆成两个单杆梁。
（3） 写出转角位移方程（两杆的线刚度相等）：
转动刚度与传递系数表
约束条件
近端固定、远端固定
转动刚度S
传递系数C
1/2 0 -1 0
近端固定、远端铰支
近端固定、远端双滑动 近端固定、远端自由
4i 3i
-i
0
16.5 用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚架
•力矩分配法的计算步骤如下： （１）将各刚结点看作是锁定的，查表１６-１得到各 杆的固端弯矩； （２）计算各杆的线刚度i＝EI/l，转动刚度S，确定 刚结点处各杆的分配系数μ ，并用结点处总分配系数 为１进行验算； 平衡力矩变号分配，得近端分配弯矩； （４）根据远端约束条件确定传递系数犆，计算远端 传递弯矩；
Fl M 8 120 4 8 60kN m
F BA
M
M
F CB
0
F BC
ql 2 15 42 30kN m 8 8
2. 计算各杆的线刚度、转动刚度与分配系数
线刚度： EI i AB 4 转动刚度：
i BC
2 EI EI 4 2
S BA 4i AB EI
16.2位移法的原理
将刚架拆为两个单杆。AB杆B端为固定支座， A端为刚节点，视为固定支座。 AC杆C端为固定铰支座， A端为刚节点，视为固定支座。
写出各杆的杆端弯矩表达式（注意到AC杆既有荷 载，又有节点角位移，故应叠加）
。
M BA 2i A M AB 4i A M AC M CA 3 3i A Fl 16 0
独立节点线 位移数为1
独立节点线 位移数为2
16.1.3 位移法的杆端内力
•（１）运用位移法计算超静定结构时，需要将结 构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点 视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆 件的弯矩与剪力时可不予考虑，从而铰支座可进一 步简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支 座的形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如 图1６-４所示。
以上各杆端弯矩表达式中均含有未知量θA， 所以又称为转角位移方程。
M
A
0
M AB M AC 0
3 i A Fl 112
把上面的表达式代入：
3 4i A 3i A Fl 0 16
M BA M AB M AC M AC 3 Fl 56 6 Fl 56 6 Fl 56 0
（１）． 转动刚度 杆件固定端转动单位角位移所引起的力矩称 为该杆的转动刚度（转动刚度也可定义为使杆件 固定端转动单位角位移所需施加的力矩），记作S。 等截面直杆的转动刚度与远端约束及线刚度 有关： 远端固定： S＝４i 远端铰支： S＝３i 远端双滑动支座： S＝i 远端自由： S＝０（i为线刚度）
16.3位移法的应用
利用位移法求解超静定结构的一般步骤如下： （１）确定基本未知量。 （２）将结构拆成超静定或个别静定的单杆。 （３）查表１６-１，列出各杆端转角位移方程。 （４）根据平衡条件建立平衡方程（一般对有转 角位移的刚结点取力矩平衡方程，有结点线位移 时，则考虑线位移方向的静力平衡方程）。 （５）解出未知量，求出杆端内力。 （６）作出内力图。
•（３）位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩， 位移法下的单杆都是超静定梁，所以不仅荷载 会引起杆端内力，杆端支座位移也会引起内力， 这些杆端内力可通过查表16-1获得。 • 荷载引起的弯矩称为固端弯矩，由荷载引 起的剪力称为固端剪力。固端剪力使杆端顺时 针转向为正，逆时针转向为负（对于结点也是 如此），表中的i称为线刚度，即i=EI/L，式 中EI——杆件的抗弯刚度 L——杆长。
S BA M BA
S BC M BC
S BD M BD
由B节点的力矩平衡条件 ΣM = 0得：
M BA M BC M BD 0
S BA M S BC M
F BA
F BCBaidu Nhomakorabea
S BD M
F BD
0
解得未知量θ为：
F F F F (M BC M BC M BC ) ( M B ) S BA S BC S BD SB
解得的未知量代回杆近端位移弯矩的表达式， 得到：
将未知量代回杆近端分配弯矩的表达式，得到：
S BA F S BA M BA ( M B ) SB
上式中括号前的系数称为分配系数，记作μ ，即： S BA S BC S BD BA BC BD SB SB SB 一个杆件的杆端分配系数等于自身杆端转动刚度 除以杆端节点所连各杆的杆端转动刚度之和。 各结点分配系数之和等于1
1 3 M AB 2i B Fl 2i B ql 2 8 16 1 3 2 M BA 4i B Fl 4i B ql 8 16 1 M BC 3i B ql 2 8 M CB 0
（4） 考虑刚节点B的力矩平衡，
M
B
0
M BA M BC 0
力法的基本未知量是未知力，位移法的基 本未知量是结点位移。 结点是指计算结点，即结构各杆件的联结 点。结点位移分为结点角位移和结点线位移两 种。 结点分为刚结点和铰结点，特点：铰结点 对各杆端截面的相对角位移无约束作用，只有 刚结点处才有作为未知量的角位移。每一个独 立刚结点就有一个转角位移，则整个结构的独 立刚结点数就是角位移数。
（５）依次对各结点循环进行分配、传递计算， 当误差在允许范围内时，终止计算，然后将各杆 端的固端弯矩、分配弯矩与传递弯矩进行代数相 加，得出最后的杆端弯矩；
（６）根据最终杆端弯矩值及位移法下的弯矩正 负号规定，用叠加法绘制弯矩图。
【例16-2 】用力矩分配法求图（a）所示两跨连续梁 的弯矩图。 【解】： 该梁只有一个刚节点B。 1. 查表求出各杆端的固端弯矩 Fl 120 4 F M AB 60 kN m 8 8
M BC M BD M BA S BC S BA S BD F F F ( M B ) ( M B ) ( M B ) SB SB SB
F ( M B )
而各杆的近端分配弯矩是将不平衡力矩变号后 按比例分配得到的。
（3）远端传递弯矩的计算及传递系数
刚节点B将产生一个转角位移 固端弯矩( MF )：是被约束隔离各杆件在荷载单独 作用下引起的杆端弯矩。
M M
F B
F B
F BA
M
F BC
M
F BD
一般地 M 不等于零，称为节点不平衡力矩。
现放松转动约束，即去掉刚臂， 这个状态称为放松状态 节点B将产生角位移，并在各杆端（包括近端 和远端）引起杆端弯矩，记作 M 则固端弯矩与位移弯矩的代数和就是最终杆端弯矩。
近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到， 而远端传递弯矩则可通过近端位移弯矩得到。 设： M BA CM C M BA AB
M AB
式中C称为传递系数， 它只与远端约束有关。 远端为固定支座：
远端为铰支座：
1 C= 2 C =0
远端为双滑动支座： C = -1 远端为自由： C =0
M M BC M BC
F BC
3i M
F BC
S BC M
F BC
M BD
F F F M BD M BD i M BD S BD M BD
式中：
F M BA
ql 2 12
M
F BC
3Fl 16
M
F BD
0
显然，杆的近端位移弯矩为：
（2）近端位移弯矩的计算及分配系数 AB杆：远端为固定支座，转动刚度SBA = 4i BC杆：远端为铰支座，转动刚度SBC = 3i BD杆：远端为双滑动支座，转动刚度SBD = i
各杆近端（B端）的杆端弯矩表达式：
M BA
F F F M BA M BA 4i M BA S BA M BA
1 4i B 3i B ql 2 0 16
1 i B ql 2 112
（负号说明
B 逆时针转）
（5） 代回转角位移方程，求出各杆的杆端弯矩： 3 2 23 2 M AB 2i B ql ql 16 112 3 2 17 2 M BA 4i B ql ql 16 112 1 2 17 2 M BC 3i B ql ql 8 112 M CB 0 （6）根据杆端弯矩求出杆端剪力， （7）并作出弯矩图、剪力图。
。
•= （２）位移法规定杆端弯矩使杆端顺时针转向 为正，逆时针转向为负（对于结点就变成逆时 针转向为正），如图16-5所示。这和前面梁的 内力计算中规定梁弯矩下侧受拉为正是不一样 的，因为对于整体结构来说，杆件不仅仅有水 平杆件，还有竖向、斜向杆件。对于剪力、轴 力的正负规定，则和前面的规定保持一致。
分配系数：
S BA BA S BA S BC EI 0 .4 3EI EI 2
S Bc 3i BC
3EI 2
3EI 2 0.6 3EI EI 2
S BC F S BC M BC ( M B ) SB S BD F S BD M BD ( M B ) SB
BA BC BD 1
由此可知，一个节点所连各杆的近端杆端分配 弯矩总和在数值上等于节点不平衡力矩，但符 号相反，即：
第16章 位移法及力矩分配法
第16章 位移法及力矩分配法
16.1 位移法的基本概念 16.2 位移法的原理 16.3 位移法的应用 16.4 力矩分配法的基本概念 16.5 用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚 架
学习目标
• 通过本章的学习，熟悉位移 法的基本概念、力矩分配法 的概念；掌握位移法的原理， 能进行位移法的应用； 能够用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚架。
每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)， 是整个结构的独立刚节点总数。
角位移数为1
角位移数为6
对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。 这两个节点线位移中只有一个是独立的， 称为独立节点线位移。 独立节点线位移为位移法一种基本未知量。 独立节点线位移的数目可采用铰接法确定 (即将所有刚性结点改为铰结点后， 添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法) 。 “限制所有节点线位移所需添加的链杆数 就是独立节点线位移数”。
弯矩图
剪力图
16.4力矩分配法的基本概念
力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一 种数值解法，它不必计算结点位移，也无须求解 联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。 计算时，逐个结点依次进行，和力法、位移法相 比。力矩分配法的适用对象是连续梁和无结点线 位移刚架。在力矩分配法中，内力正负号的规定 同位移法的规定一致。 杆端弯矩使杆端顺时针转向为正， 固端剪力使杆端顺时针转向为正。
16.1位移法的基本概念
16.1.1 位移法基本变形假设
位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系 结构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然 符合小变形假定。同时位移法假设： （１）各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变； （２）刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。
16.1.2 位移法基本未知量
再把iθA代回各杆端弯矩式得到：
位移法的基本思路就：选取结点位移为基本 未知量，把每段杆件视为独立的单跨超静定梁， 然后根据其位移以及荷载写出各杆端弯矩的表达 式，再利用静力平衡条件求解出位移未知量，进 而求解出各杆端弯矩。该方法称为位移法。 力法则以多余未知力为基本未知量，故名为力法。 在建立方程的时候，位移法是根据静力平衡条件 来建立，而力法则是根据位移几何条件来建立， 这是两个方法的相互对应之处。