结构力学6位移法和力矩分配法

△
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点 1
2△
3△
1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其
长度不变，故三个结点均有相同的水平位 移△ 。Biblioteka FP456
(a)
事将实结上构，的图刚(a结)所点示(包结括构固的定独支立座线)都位变移成数
铰目结，点与(图成(为b)铰所结示体铰系结)体,则系使的其线成位为移几数何目不 变是添相加同的的最。少因链此杆，数实，用即上为为原了结能构简的捷独地立确
线定位出移结数构目的(独见立图线b)位。移数目，可以
7
(b)
返回
ZZ1 1
Z 1Z 1
FF11
CC
DD
CC
DD
FF22
BB
BB ZZ2 2
EE Z2Z2
EE
AA
FF
AA
FF
结构有四个刚结点——四个结点角位移。
需增加两根链杆， 2个独立的线位移。
位移法的基本未知量的数目为6个。
需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件， 变形后两端之间的距离不能看作是不变的。
D l
l
1
FC
B
B
F
C
B B
l/ 2 l/2
A
l/ 2 l/ 2
三次超静定图示刚架
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
l
力法与位移法必须满足的条件：
1.力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。
位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
例如 ( 见图a) 基本未知量三个。
2
3
5
6
(a)
3
4
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
5
6
7
(b)
返9回
例：确定图a所示连续梁的基本结构。
AA
BB CC
DD
（图a）
AA BB
CC
D D
（图b）
基基本本结结构构
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
B
MBA
结构将将4的A（θElB弯6I回-矩1）代B图l/代2入。4入公再El式l式/I利2（(用B66-平-12)）衡F则8l得条各件杆0A作的出于杆剪是端力弯图矩B 和即轴可6F4力确lE2图I定。。然后可利用叠加法3作出原
以图示刚架为例予以说明 刚架在荷载FP作用下将发生如虚线所示的 变形在。刚结点1处发生转角Z1，结点没有线 位移。则12杆可以视为一根两端固定的梁 （见图）。
8
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根 1 杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，
位移法的基本结构就是把每一根杆件都
暂时变为一根单跨超静定梁(或可定杆件)
。通常的做法是，在每个刚结点上假想
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动 ),同时在有线位移的结点上加上附加支座
4
链杆(阻止结点移动)。
（2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是微小的（此即小变形假 设），直杆两端之间的距离保持不变。
注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为了减少基本未知量，简化计算。
2
二、位移法的基本思路
B
B B
FC
θB为位移法基本未知量（规 l
定顺时针转向为正）。
A
由变形协调条件知，各杆在结 点B 端有共同的角位移θB。
其受荷载FP作用和支座1发生转角Z1这两 种情况下的内力均可以由力法求。同理， 13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的 梁（见图）。 而在固定端1处发生了转角Z1，其内力同 样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未 知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即 可求出。这就是位移法的基本思路。
1
Z1
3
Z1
FP
1
Z1
2
FP
1
2
Z1
Z1 EI=常数
3
ll 22
返4回
由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：
（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的 内力。见第五章。 （2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。 （3）如何求出这些位移。 下面依次讨论这些问题。
返5回
l/ 2 l/ 2
B
B B
A
B
F
B
将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆端弯矩为：
M BC
M BA
4EI
l
B
4
EI l
B
B
F
Fl 8
C
M CB
2EI l
B
Fl 8
M
ABB
2EI l
B
（6-1）
考虑结 B点B 的B 平衡条件, 由∑MB B=0B， B
F
B
MBC
有
M BA
M BC
0（6-2）
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
独立的结点角位移数目为2。
4
5
3
6
返6回
(2)独立线位移数目的确定（观察法、换铰法。）
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但通常对受弯 杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长 度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个刚性链杆，从而减少了结 点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
EI
10
§6-3 位移法的典型方程及计算步骤
一、位移法的基本方程
1. 无侧移刚架
基本未知量——结点B 转角θB ，设其为Z1 。在结点B 附加刚臂得基本结构。
原结构 原结构
基本结构 基本结构
基本体系 基本体系
基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系。
§6—2 位移法基本未知量的确定
1.位移法的基本未知量
在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确 定独立的角位移和线位移数目。 (1) 独立角位移数目的确定
由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独 立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支 座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
§6—1 位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用 ，位移法建立于上世纪初。
力法—以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出未知力,
计算出全部的内力和相应的位移。
位移法以—某些结点位移(角位移和线位移）为基本未知量，由结点或截面的平衡
条件建立位移法方程，求出未知位移后再计算内力。
位移法主要是由于大量高次超静定 刚架的出现而发展起来的一种方法。由 于很多刚架的结点位移数远比结构的超 静定次数少，采用位移法比较简单。
F l/2
A
B
C
EI = 常数
l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。