专题3.4生活中的优化问题举例 2018-2019学年高二数学人教版(选修1-1)Word版含解析

合集下载

高中数学人教选修1-1课件：3.4生活中的优化问题举例

3. 4 生活中的优化问题举例Hi［提出问龜］某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐.问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢?提示：计算出圆柱的表面积即可.问题2：如何制作使用材料才能最省?提示：要使用料最省，只需柱的表面积最小.可设圆柱的底面半径为兀，列出圆柱表面积S=2&+譽(兀＞0),求S最小时，圆柱的半径、高即可.［导入新扣］1.优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.2.用导数解决优化问题的基本思路优化问题--------- > 用函数表示的数学问题优化问题的答案——用导数解决数学问题1.在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去.2.在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范pel •题型一面积、容积最值问题［例1］如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm•怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm）,能使矩形广告牌面积最小？+25. 18 000[(兀一20)—兀] (x-20)2+25 = -360 000 (x-20)2［解］设广告牌的高和宽分别为兀cm, jcm, 则每栏的高和宽分别为兀一 20, 子，其中兀>20, y>25.y —25两栏面积之和为2(兀一20)・二一=18 000,由此得尸 18 000 X —20+25. 广告牌面积为S(x)=x 匸黑+25 =+25x,令S' (x)>0,得兀>140,令W (x)<0,得20<x<140.•••函数S(x)在(140，+8)上单调递增, 在(20J40)上单调递减,A S(x)的最小值为5(140).当x=140 时，y = 175.即当x=140, y=175时，S(x)取得最小值24 500,故当广告牌的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小•［类题通法］解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表亦为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.［活学活用］用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图所示）•问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？则 V(x) =x(90 -2x)(48 一 2x)=4X 3~276X 2+4 320X (0<X <24),YF M = 12X 2-552X +4 320 = 12(x 2—46x+360) = 12(x —10)(x —36).令W (兀)=0,得曲= 10,七=36(舍去)当0<x<10时，V' (x)>0, V(;r)是增函数；解: 设容器的高为r cm,容器的容积为cm 3,当10<r<24时，V' (x)<0, V(x)是减函数.因此，在定义域(0,24)内，函数*0只有当兀=10时取得最大值，其最大值为¥(10)=10X(90-20) X (48 - 20)=19 600(cm3).故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.题型二用料最省(成本最低)问题［例2］某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距加米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为兀米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+&)兀万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.⑴试写出y关于兀的函数关系式；(2)当加=640时，需新建多少个桥墩才能使y最小?［解］(1)设需新建兀个桥墩，则(兀+1)兀=皿站加 V即兀=二_1,•/V所以，y =f(x)=256n + (n +1)(2+Jx)x=256(?_ l|+?(2+&)x256m+tn\[x+2m—256.X⑵由⑴知,2=孑(丿一5⑵.N256m | 1 1J (兀)=十尹兀3令/' (x)=0,得x2 =512,所以x=64.当0<x<64 时,j7 (x)<0,冷)在区间@64)内为减函数；当64<xv640时，f (x)>0,于(兀)在区间(64,640)内为增函数. 所以沧)在x=64处取得最小值，640此时故需新建9个桥墩才能使y最小.［类题通法］解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f (x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.［活学活用］甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（单位：元）1 1关于速度X单位：千米/时）的函数关系是p= 函而沪一俪沪+15r,（1）求全程运输成本0（元）关于速度e的函数关系式.（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.解：（1）0=P•響=j9200r4_i60p3+15r•400=<19200r3_i60r2+15，400v 5=48_2P +6 OOO(OVoWlOO).令0 =0,贝肱=0（舍去）或o=80・当0VoV80时，Q f <0；当80VoW100时，Q f >0,•••。

专题3.4 生活中的优化问题举例 2017-2018学年高二数学人教版(选修1 1) Word版含解析

第三章导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是 A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【答案】D2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为 A ．2033cm B ．100cmC ．20cmD ．203cm 【答案】A【解析】设高为x cm ，则底面半径为2400x -cm ，所以圆锥形漏斗的体积3231π(400)π(400c 3)m 3x x x x V -⋅-⋅==，2π(4003)3V x '=-，令0V '=，得2033x =或2033x =-（舍去），则当2033x =cm 时，体积最大．故选A ． 3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为348m ，高为3m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元【答案】D【解析】设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得48481615122(3)24072()(0)3l x x x x x =⨯+⨯+=++>，21672(1)l x-'=．令0l '=，解得4x =或4x =-(舍去)．当04x <<时，0l '<；当4x >时，0l '>；故当4x =时，l 取得最小值，为816．因此，当箱底是边长为4m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为______________．【答案】233和835．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万件．【答案】9【解析】由31812343y x x =-+-，得281y x '=-+，由2810x -+=，得19x =-（舍去），29x =．当(0,9)x ∈时，0y '>，函数31812343y x x =-+-为增函数；当(9,x ∈+∞)时，0y '<，函数31812343y x x =-+-为减函数，所以当9x =时，函数有极大值，也就是最大值，为3198192342523-⨯+⨯-=（万元）．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【答案】（1）40k =，800()6(010)35f x x x x =+≤≤+；（2）隔热层5cm 厚时，总费用最小为70万元．（2）22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）．当05x <<时，()0f x '<；当510x <<时，()0f x '>，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值是800(5)3070155f =+=+．故当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元．7．请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【答案】（1）15；（2）当20x =时V 取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为12．（2）23222(30)62(20)V a h x x V x x ==-+=-'，，由0V '=，得0x =(舍去)或20x =．当(020)x ∈，时，0V '>；当 (2030)x ∈，时，0V '<．所以当20x =时，V 取得极大值，也是最大值．此时1 2ha =，即包装盒的高与底面边长的比值为1 2． 8．如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．则当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大？图1 图2【答案】当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．【解析】在如题图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．由AD BC ⊥， 45ACB ∠=︒知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-．由折起前AD BC ⊥知，折起后（如题图2），AD D C ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D = ，所以AD ⊥平面BCD ．因为90BDC ∠= ，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△．于是321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△．令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<．所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．9．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为0π38立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r ．【答案】（1）2160π4π(2),02y c r r r =-+<≤；（2）3202r c =-．（2）由（1）得322160π20()(028π(2)8π))2(2c r r r r c y c r -'=--=-<≤-，因为3c >，所以20c ->，当32002r c -=-时，3202r c =-．令3202m c =-，则0m >．所以222(π(()2))8r m r rm m r c y -++-'=． ①当02m <<，即92c >时，令0y '=，解得r m =．当(0,)r m ∈时，0y '<，函数y 单调递减；当(2)r m ∈，时，0y '>，函数y 单调递增．所以3202r m c ==-是函数2160π4π(2)y c r r =-+的极小值点，也是最小值点．②当2m ≥，即932c <≤时，当(02]r ∈，时，0y '≤，函数y 单调递减，所以2r =是函数2160π4π(2)y c r r=-+的最小值点．综上所述，当932c <≤时，该容器的建造费用最小时2r =；当92c >时，该容器的建造费用最小时3202r c =-． 10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【答案】（1）3300π()54()V r r r -=，053r <<；（2）见解析．（2）因为V (r )＝π5(300r －4r 3)（053r <<），所以2()3001π(52)V r r =-'．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝5-（因为r 2＝5-不在定义域内，舍去）．当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．本学期结束。

高中数学人教A版选修1-1课件：3.4《生活中的优化问题举例》课时1

采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报的尺寸，使空白面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利润最大问题．通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力.
问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？
２.半径为６cm时，利润最大。
图1.4-4
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案。
注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。
必做题:
习题1.4 A组 2, 5, 6
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
3.4 生活中的优化问题举例（1）

2018版高中数学人教版A版选修1-1课件：3-4 生活中的优化问题举例

反思与感
解析答案
跟踪训练1
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边
长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为 8 m2 ，问： x ， y 分别是多少时用料最省？ ( 精确到
x2 8－ 4 1 x 8 x ∴y＝ x ＝x－4(0＜x＜4 2)，解依题意，有 xy＋2· x· ＝ 8 ， 2 2x 3 16 于是框架用料长度为 l＝2x＋2y＋2 ＝2＋ 2x＋ x . 2 3 16 l′＝2＋ 2－ x2 ＝0，解得 x1＝8－4 2，x2＝4 2－8(舍去). 当 0＜x＜8－4 2时，l′＜0；当 8－4 2＜x＜4 2时，l′＞0，
解析答案
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解由题意s、a、b、v均为正数.
a a y′＝s(b－v2)＝0 得 v＝ b，v∈(0，c]. a a ①若 b≤c，则当 v＝ b时，全程运输成本 y 最小；
a 即 y在(0，c]上为减函数. 此时y′<0 ， ②若 b>c，则 v∈(0，c]，
解若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.
由已知条件，得k· 22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x) ＝(30－x－9)(432 ＋6x2)＝－ 6x3 ＋126x2 － 432x＋9 072， x∈[0,21].
解析答案
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解对(1)中函数求导得f′(x)的变化情况如下表：
第三章导数及其应用
§3.4 举例
生活中的优化问题
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.

高二数学人教A版选修1-1课件：3.4 生活中的优化问题举例

(1)求S以x为自变量的函数表达式,并写出其定义域; (2)求S的最大值.
案例探究
思悟升华
思路分析:
案例探究
思悟升华
解:(1) 依题意,以 AB 的中点 O 为原点,AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy,则点 C 的横坐标 x,纵坐标 y 满足方程��22 + 4��22=1(y≥0),
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析:(1)把x=5,y=11代入关系式中即可求a;(2)计算出每件的利润,求出总利润函数关系式,运用导数求
最值.
解:(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2.
�� 2
于是,当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x)
(3,4) +
4
(4,6)
0
-
f(x)
单调递增↗
极大值 42 单调递减↘
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 所以当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析:本题主要考查利用导数解决“费用最省”型的优化问题,正确建立目标函数,利用导数法求最值.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
解:如图,依题意,点 C 在直线 AD 上,设 C 点距 D 点 x km.
∵BD=40 km,AC=(50-x)km,

同步人教A高中数学选修1-1课件：3.4生活中的优化问题举例

第三章导数及其应用3・4生活中的优化问题举例第三章导数及其应用考点学习目标核心素养几何中的最值问题用料、费用最省问题利润最大问会用导数解决与面积、体（容）积有关的最值问题能利用导数解决实际生活中的用料最省，费用最低问题能利用导数解决实际问题中的利润最大问题谢犷数学建模、数学运算数学建模、数学运算数学建模、数学运算有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器•为【解】设截下的小正方形边长为X,容器容积为V(x),贝腺究点@几何中的最值问题使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少?O做成的长方体形无盖容器底面边长为。

一加，高为小V(x) = (a—2X)2X ,0<xV务即V(x)=4x3—4ax2+a2x, 0<x<|.实际问题归结为求V(x)在区间［0,勺上的最大值点• 为此，先求V3)的极值点.在开区间［o,自内，V f(x) = 12x2—8ax+a2.令0（兀）=0,得12x2—8ax+a2=0.解得xi=|a, x2=|a（舍去）.兀i=|a在区间（0,号内，初可能是极值点.且当0<r<xi时, V r（x）>0；当xj<x<^时，V r（x）<0.因此M是极大值点，且在区间［0,另内，可是唯一的极值点, 所以X=^i是V(x)的最大值点.即当截下的小正方形边长为务时，容积最大.解决面积、容积的最值问题的方法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.［注意］(1)在求最值时，往往建立函数关系式, 若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的.(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.Ill2S 圆柱侧= 2itrh ，所以圆柱的表面积S = 27tr 2-\-2nrh.圆柱的体积v= nr 2h=^(S —2nr 2) =又F(r)=S —6nr 2El解析：设圆柱的底面半径为厂，则S所以方=S —2nr 22nr圆柱底:探究点：用料（费用）最省问题令V f(r) = 0 得S=6nr\所以h=2r9因为V")只有一个极值点，即当圆柱的容积“最大时，圆柱的高力为鴛.答案:6TI S 3n故当h=2r时圆柱的容积最大.III所以h=2某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场兀块时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用幷r）=800”+£lnx|来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该网球中心应建几个球场?:探究点：用料（费用）最省问题【解】设建成兀个球场，则IW X WIO,每平方米的购地费128 X 104 1 780用为lOOOx= x -因为每平方米的平均建设费用(单位元)可近似地用/(x)=800 l+|lnx来表示,I n 丿1 280所以每平方米的综合费用为g(x) =f(x)+—^―=800+1601n x1 280+=-(兀>0),所以g f(x) =160 (x—8)2X(x>0),令 g'(x)=O ，则兀=8，当 0<x<8 时,g'(r)vO,当兀>8时，g©)〉。

3.4-生活中的优化问题举例解析

课堂讲义
3．4 生活中的优化问题举例
要点一用料最省问题例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
解设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元，那么由题设的比例关系得 p＝k·v3，其中 k 为比例系数，它可以由 v＝10， p＝6 求得，即 k＝1603＝0.006，于是有 p＝0.006v3.
预习导学课堂讲义当堂检测
课堂讲义
3．4 生活中的优化问题举例
又设当船的速度为每小时 v 海里时，行 1 海里所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总费用是 0.006v3＋96(元)，而行 1 海里所需时间为1v小时，所以，行 1 海里的总费用为： q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋9v6. q′＝0.012v－9v62＝0.v0212(v3－8 000)，令 q′＝0，解得 v＝20.∵当 v<20 时，q′<0；
预习导学课堂讲义当堂检测
当堂检测
3．4 生活中的优化问题举例
4．(2013·重庆卷)统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距 100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
预习导学课堂讲义当堂检测
课堂讲义

高二数学选修1、3-4生活中的优化问题举例

第三章导数及其应用
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物
线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的
长和宽．
人
教
A
[解析]
如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示
版数
学
出面积S，然后利用导数求最值．
设AD＝2x(0<x<2)，
则AB＝y＝4－x2，
则矩形面积为
S＝2x(4－x2)(0<x<2)，
得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30)
＝4x3－240x2＋3600x.
人教
A
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，
版数
学
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当0<x<10时，V′(x)>0，
当10<x<30时，V′(x)<0.
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的
A 版数
学
当140＋0ππ<x<100 时 S′>0，
∴当 x＝41＋00ππ时 S′取极小值，这个极小值也就是函数
的最小值，
故当弯成圆的铁丝长为140＋0ππcm 时，面积之和最小．
第三章导数及其应用
[点评] 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个
量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
第三章导数及其应用
人
教
A
3．4 生活中的优化问题举例
版数
学
第三章导数及其应用
人教 A 版数学
第三章导数及其应用
1．知识与技能

专题3-4 生活中的优化问题举例-2017-2018学年高二数学选修1-1 含解析精品

，高为3m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元【答案】D【解析】设箱底一边的长度为x 错误！未找到引用源。

m ，箱子的总造价为l 错误！未找到引用源。

元，根据题意，得48481615122(3)24072()(0)3l x x x x x=⨯+⨯+=++>错误！未找到引用源。

，21672(1)l x -'=错误！未找到引用源。

．令0l '=，解得4x =错误！未找到引用源。

或4x =-错误！未找到引用源。

(舍去)．当04x <<错误！未找到引用源。

时，0l '<；当4x >时，0l '>错误！未找到引用源。

；故当4x =错误！未找到引用源。

时，l 错误！未找到引用源。

取得最小值，为816．因此，当箱底是边长为4m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为______________．【答案】233错误！未找到引用源。

专题34生活中的优化问题举例-学易试题君之K三关2019学年高二数学(文)人教版(选修1-1)

1
1．利用导数解决优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．______是求函数最值问题的有力工具．
解决优化问题的基本思路是：
K 知识参考答案：
1．导数
K
—重点
利用导数解决生活中的优化问题 K —难点利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题 K —易错求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义
最大值问题实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值．
如图所示，在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
【答案】箱子底边长为40cm 时，容积最大，最大容积为16000cm 3．
【解析】设箱子的底边长为x cm ，则箱子高602x h -=
cm ，箱子容积23260()2
x x V x x h -== (060)x <<，。

2019年高中数学人教版选修1-1习题：第三章3.4生活中的优化问题举例-Word版含答案

2019年高中数学人教版选修1-1习题：第三章3.4生活中的优化问题举例-Word版含答案立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2且0≤x≤8,y′＝48x－192.令y′＝0,即48x－192＝0,解得x＝4.当0≤x＜4时,y′＜0；当4＜x ≤8时,y′＞0,所以当x＝4时,y取得极小值,也是最小值．答案：B4．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( )A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m解析：设底面边长为x m,高为h m．则有x2h ＝256,所以h＝256x2.所用材料的面积设为S m2,则有S＝4x·h＋x2＝4x·256x2＋x2＝256×4x＋x2.S′＝2x－256×4x2,令S′＝0得x＝8,因此h＝25664＝4(m)．5．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为( )A.3V B.32VC.34V D．23V解析：设底面正三角形的边长为x,侧棱长为l,则V＝12x2·sin 60°·l,所以l＝4V3x2,所以S表＝x2·sin 60°＋3·x·l＝32x2＋43Vx.令S′表＝3x－43Vx2＝0,得x＝34V,又当x∈(0,34V)时,S′表<0；x∈(34V,＋∞)时,S′表>0,所以x＝34V时,表面积最小．二、填空题6．某商品每件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x 元出售,可卖出(200－x )件,当每件商品的定价为________元时,利润最大．解析：由题意知,利润S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000(30≤x ≤200),所以S ′(x )＝－2x ＋230,令S ′(x )＝0,解得x ＝115.当30≤x ＜115时,S ′(x )＞0；当115＜x ≤200时,S ′(x )＜0,所以当x ＝115时,利润S (x )取得极大值,也是最大值．答案：1157．已知某矩形广场面积为4万平方米,则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x 米,则宽为40 000x米,于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x ＞0),所以y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2, 令y ′＝0,解得x ＝200(x ＝－200舍去),这时y ＝800.当0＜x ＜200时,y ′＜0；当x ＞200时,y ′＞0.所以当x ＝200时,y 取得最小值,故其周长至少为800米．答案：8008．做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径R ,母线长为L ,则V ＝πR 2L ＝27π,所以L ＝27R2.要使用料最省,只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R,令S ′表＝2πR －54πR2＝0,得R ＝3,即当R ＝3时,S 表最小．答案：3三、解答题9.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8 m2,问x,y分别为多少(精确到0.001)时用料最少？解：依题意,有xy＋12·x22＝8,所以y＝8－x24x＝8x－x4(0<x<42),于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2·2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫32＋2x＋16x.l′＝32＋2－16x2.令l′＝0,即32＋2－16x2＝0,解得x1＝8－42,x2＝42－8(舍去)．当0<x<8－42时,l′<0；当8－42<x<42时,l′>0,所以,当x＝8－42时,l取得最小值．此时,x＝8－42≈2.343,y≈2.828.即当x约为2.343,y约为2.828时,用料最省．10．现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地到B 地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y ＝500x(960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ,且由题意知函数的定义域为(0,35],即y ＝480 000x＋300x (0＜x ≤35)．(2)由(1)得y ′＝－480 000x2＋300,令y ′＝0,解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点．又当0＜x ≤35时,y ′＜0,所以函数y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减,故当x ＝35时,函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小,轮船应以35海里/时的速度航行．B 级能力提升1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x ),且f ′(100)＝－1,这个数据说明在第100天时( )A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加C．公司的盈利在逐渐减少D．公司有时盈利有时亏损解析：因为f′(100)＝－1,所以函数图象在x＝100处的切线的斜率为负值,说明公司的盈利在逐渐减少．答案：C2．某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝k1x,每月库存货物的运费y2＝k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数．于是由2＝k110,得k1＝20；由8＝10k2,得k2＝45 .因此,两项费用之和为y＝20x＋4x5(x＞0),y′＝－20x2＋45,令y′＝0,得x＝5或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时,y′＜0；当x＞5时,y′＞0.因此,当x＝5时,y取得极小值,也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小．答案：53．某公司生产某种产品的固定成本为20 000元,每生产1吨该产品需增加投入100元,已知总收益满足函数R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400 x －12x 2（0≤x ≤400），80 000（x ＞400），其中x 是该产品的月产量(单位：吨)．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )； (2)当月产量为何值时,该公司所获利润最大？最大利润为多少元？解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000（0≤x ≤400），60 000－100x （x ＞400）.(2)当0≤x ≤400时,f ′(x )＝－x ＋300, 当0≤x ＜300时,f ′(x )＞0,f (x )是增函数；当x ＞300时,f ′(x )＜0,f (x )是减函数；所以当x ＝300时,f (x )取得极大值,也是最大值,且最大值为25 000.当x ＞400时,f (x )＝60 000－100x ,易知f (x )是减函数,所以 f (x )＜60 000－100×400＝20 000＜25000,综上,当x＝300时,f(x)有最大值25 000.即当月产量为300吨时,利润最大,最大利润为25 000元．。

人教a版数学【选修1-1】作业：3.4生活中的优化问题举例(含答案)

§3.4 生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A ．3V B ．32V C ．34V D ．23V5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ．33 cmB ．1033 cmC ．1633 cmD ．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400)，则总利润最大时，年产量是( )7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升 12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案．§3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题导数导数优化问题作业设计1．B [V ′(x )＝60x －3x 2＝0，x ＝0或x ＝40.x (0,40) 40 (40,60)V ′(x ) ＋ 0 －V (x )极大值可见当x ＝2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h .体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a 2，表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a 2＝32a 2＋43Va ，S ′＝3a －43V a 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ，所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400)，p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)－100 (x >400)，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，p ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．] 7．5解析依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx2.由L ′＝0，得x ＝2S π＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0，所以当x ＝ 2Sπ＋4时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．极小值12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值．所以产量q 为84时，利润L 最大．。

人教版高中数学选修一课件《生活中的优化问题举例》课时3

本课采用例题与变式结合的方法巩固新知，例1是磁盘的最大储存量问题；例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，尝试数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体会导数的工具性．通过对生活中优化问题的探究过程，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣．
24
25
3.4 生活中的优化问题举例（2）
1
生活中的优化问题举例内容：生活中的优化问题应用: 1.磁盘的最大储存量问题 2.成本最省问题
2
本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新课。通过合作交流，使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成本最省问题，感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变式，通过解决这些问题，使学生熟悉利用导数解决生活中最优化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题，根据问题问题：（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？（3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题．
5
6
7
8
9
10
11
成本最省问题
12
13
变式训练2：一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为480元/小时，在 20km航程中，船速多少时船行驶总费用最省？此时每小时费用等于多少？
14
15
1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
16
17
18
19
20
21
22
23
3．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加 10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大