第三节三角函数的图象和性质
高考数学一轮复习课件：三角函数的图像与性质
4．sinxcosx 与 sinx±cosx 同时存在型可换元转化． 5．y＝acssiinnxx＋＋db(或 y＝acccoossxx＋＋db)型，可用分离常数法或由 |sinx|≤1 来解决． 6．y＝cacsoinsxx＋＋bd型，可用斜率公式来解决．
求下列函数的值域： (文)(1)y＝2s1in＋x·scionsx2x，x∈[0，2π]； (2)y＝sin2x＋2sinx·cosx＋3cos2x.
(2)求三角函数定义域时，通常归结为解三角不等式或不 等式组．
求下列各函数的定义域： (1)y＝1－1cosx；(2)y＝ sinx＋ 1－tanx. [分析]
[解析] (1)函数 y＝1－1cosx有意义时，1－cosx≠0，即 cosx≠1，所以 x≠2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为{x|x≠2kπ， x∈R，k∈Z}．
(2)第(2)小题解不等式组 2
，然后利用数轴求
tanx≥0
解．
[解析] (1)要使原函数有意义，必须有：
2sinx－1>0， 1－2cosx≥0，
即csionsxx>≤12，12.
由图知，原函数的定义域为：
[2kπ＋3π，2kπ＋56π)(k∈Z)．
(2)要使函数有意义 2＋log12 x≥0，
() A．[－2,2]
B．[－ 3， 3]
C．[－1,1]
D．[－
23，
3 2]
[答案] B
[解析] 本题考查两角和的余弦公式、辅助角公式，三角 函数的值域．
由题意知，f(x)＝sinx－cosxcosπ6＋sinxsin6π＝32sinx－
3 2 cosx
＝ 3( 23sinx－12cosx)＝ 3sin(x－6π)，
数学精华课件：三角函数的图象和性质
课堂互动讲练
跟踪训练
5π π π (2)由于区间[－ ， )的长度为 ， 12 12 2 为半个周期． 5π π 又 f(x)在－ ， 分别取到函数的最 12 12 3 3 3 3 小值 －1，最大值 ＋1，所以函数 2 2 5π π 3 3 f(x)在区间[－12，12 )上的值域为[ 2 － 3 3 1， 2 ＋1)．
对称性
π 对称轴l： x＝kπ＋ (k∈Z) 2
对称轴l： x＝ kπ(k∈Z)
基础知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称中心是 正弦函数、余弦函数与x轴的交点，所以 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的对称中心就是 该函数与x轴的交点，这种说法对吗？ 【思考· 提示】 不正确，应是函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋B与直线y＝B的交点．
三基能力强化
2．(2009年高考福建卷改编)函数f(x) ＝sinxcosx的最小值是________．
1 1 解析：f(x)＝sinxcosx＝2sin2x≥－2. 1 答案：－2
三基能力强化
3．(2010 年绍兴质检)关于函数 y＝1＋ cos2x 的图象， 下面说法正确的是________． ①关于 x 轴对称 ②关于原点对称 π π ③关于点( ， 0)对称 ④关于直线 x＝ 对称 4 2
课堂互动讲练
考点二 三角函数的单调性
1．准确记忆三角函数的单调区间是求 复合三角函数单调区间的基础． 2．形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 函数的单调区间， 基本思路是把 ωx＋φ 看作 π π 一 个 整 体 ， 由 － 2 ＋ 2kπ≤ωx ＋ φ≤ 2 ＋ π 2kπ(k∈Z)求得函数的增区间， 2＋2kπ≤ωx 由 3π ＋φ≤ 2 ＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．
第3节三角函数的图象与性质.pptx
的形式后，方可利用周期 公式来求
考点三 三角函数的性质(多维探究)
考点三 三角函数的性质(多维探究)
考点三 三角函数的性质(多维探究)
命题角度2 三角函数的单调性
x的系数必须变 形为正，不然由
整理得出的结论 看看一样吗？当 然也可以由
易理解 得y=出sin正t与确结论 y=-sint单 调增减区 间对调
考点一 三角函数的定义域Y=anx的图 像考点一 三角函数的定义域
考点一 三角函数的定义域
考点一 三角函数的定义域
考点一 三角函数的定义域
y
y=sin
1x
0
π
y=cos x
x 2π
-1
考点一 三角函数的定义域
考点二 三角函数的值域(最值)
此类题，一般先化为 y=Asin(ωx+φ)+h
第3节三角函数的图象与 性质.pptx
2020/8/16
第3节 三角函数的图象与性质
01 诊断自测
02
考点一
三角函数的 定义域
例1 训 练1
03
考点二
三角函数的值域 (最值)
例2 练2
训
三角函数的性 例3-
04 考点三 质
1例3-2 训
(多维探究) 练例33-
3
诊断自测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( ) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( ) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k 只＋解(是14.)(析其y＝中si(的)n1|)x一余|是条弦偶．函函数数y＝．c(os x的) 对称轴有无穷多条，y轴 (2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函 数，但在定义域内不 是单调函数，故不是增函数． (3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
第3节 三角函数的图象与性质
y A cosx B
最小正周期: T 2
单调区间:
当ω＞0时
令: 2k x 2k 解出x的范围得递增区间
令: 2k x 2k 解出x的范围得递减区间
当ω＜0时，原函数变为: y A cos x B
令: 2k x 2k 解出x的范围得递减区间
令: 2k x 2k 解出x的范围得递增区间
2
2
当ω＜0时，原函数变为: y A sin x B
令: 2k x 2k 解出x的范围得递减区间
2
2
令: 2k x 3 2k 解出x的范围得递增区间
2
2
对称性(最值):
对称轴: 令x = k 解出x得对称轴为直线x=? 2
对称中心: 令x =k 解出x得对称中心为(x，B)
返回
第3节 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图❶
返回
在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： (0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)．
在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： y
(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．1o
3．函数y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为_－__3_，__－__π_2_∪___0_，__π2_．
返回
变式训练:
1.函数y
1 tan x
1的定义域为_x_|x≠__π4_＋_k_π_，_且_x_≠_π2_＋__kπ_，__k∈_Z__。
2.函数 y＝lg(2sin x－1)＋ cos x－12的定义域为____________.
f 0 1
k 2
三角函数的图像和性质
当0<A<1时，图像在y轴方向压缩。
02
周期变换
ω表示周期变换的系数，周期T=2π/|ω|。当ω>1时，周期减小，图像
在x轴方向压缩；当0<ω<1时，周期增大，图像在x轴方向拉伸。
03
相位变换
φ表示相位变换的角度，当φ>0时，图像左移；当φ<0时，图像右移。
正弦型曲线应用举例
振动问题
在物理学中，正弦函数常用来描述简谐振动，如弹簧振子 、单摆等。通过正弦函数的振幅、周期和相位等参数，可 以描述振动的幅度、频率和初始状态。
三角函数的图像和性 质
汇报人：XX 2024-01-28
contents
目录
• 三角函数基本概念 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角函数复合与变换 • 三角函数在解决实际问题中的应用
01
三角函数基本概念
角度与弧度制
角度制
01
将圆周分为360等份，每份称为1度，用度（°）作为单位来度量
角的大小。
弧度制
02
以弧长等于半径所对应的圆心角为1弧度，用符号rad表示，是
国际通用的角度度量单位。
角度与弧度的换算
03
1° = (π/180)rad，1rad = (180/π)°。
三角函数定义及关系
正弦函数
sinθ = y/r，表示单位圆上任意 一点P(x,y)与x轴正方向形成的 角θ的正弦值。
光学
在光的反射、折射等现象中，三角函数可以 帮助计算入射角、折射角等角度问题。
在工程问题中的应用
1 2
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可以帮助计算建筑物的 角度、高度、距离等参数，确保设计的准确性和 安全性。
三角函数的性质和图像
三角函数的性质和图像
三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。
五个小标题，相关内容
三角函数的性质和图形
1、定义
三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。
2、几何性质：
三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH 和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。
3、参数性质：
任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关
系，图像也保持类型不变。
4、增减性质：
在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。
5、图像特点：
三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。
三角函数的图像与性质
第三节 三角函数的图像与性质[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y ＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称． ( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1. ( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( )二、教材改编1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⊙考点1 三角函数的定义域和值域1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π6 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值． ⊙考点2 三角函数的单调性(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解．(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)(2019·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．根据函数的单调性求参数(1)(2019·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，2上单调递减，则ω＝________.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．⊙考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴” (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；③函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于T2；②两对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T2.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)三角函数的奇偶性已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性(1)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .1.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0[过关题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]2．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π3．函数f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ．则下列表述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递增C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0上单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增4．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－125. 已知函数f (x )＝(x －a )k，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( )A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cosB ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B )C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B )D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )6. (2020·无锡期末)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos 2x |；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；④y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．7. 已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．8. 已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心．10. 已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．。
第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图像与性质
最 ymax＝1(k∈Z)； 2kπ 时， 值 x＝ymin＝－1(k∈Z)
x＝2kπ 时 ， ymax＝1(k∈Z)； π＋2kπ 时， X＝ ymin＝－1(k∈Z)
无最值
函数 奇偶 性
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx 奇 对称中心 ( ，0)， k∈Z
奇
偶
对称中心
对称中心 (kπ＋ ,0) k∈Z
图 象
函 数 定 义 域
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
R
R
{x|x≠
＋2kπ，k∈Z}
值 {y|－1 ≤ y ≤ 1} 域
{y|－1≤ y ≤ 1}
R
函 数
[－
y＝sinx
＋2kπ，
y＝cosx [(2k－1)π，2kπ]
y＝tanx
(－ Kπ， Kπ) 上递增 k∈Z ＋ +
上递增，∈Z； ＋ 2kπ] 单 上递增，k∈Z； [2kπ，(2k＋1)π] 调 [ ＋2kπ， ＋2kπ] 性 上递减，k∈Z 上递减，k∈Z
＋2kπ≤ωx－ φ ≤
3.对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、 φ为常数)，其周期T＝
单调区间利用ωx＋ φ ∈(kπ－ 的取值范围，即为其单调区间. ，kπ＋
，
)(k∈Z)，解出x
[特别警示] 求三角函数的单调区间时，一定要注意A和ω 的符号.
已知函数f(x)＝log2[ (1)求函数的定义域；
在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为
再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x|
＋2kπ＜x＜
＋2kπ，k∈Z}.
1.形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间， 基本思路是把ωx＋ φ 看作一个整体，由－ ＋2kπ≤ωx
三角函数的图像和性质
π x|的增区间是kπ，kπ＋2 ，k∈Z， π 减区间是kπ－2，kπ，k∈Z.
最小正周期 T＝π.
题型二
三角函数的单调性与周期性
【例 2】 写出下列函数的单调区间及周期： π (1)y＝sin－2x＋3 ；(2)y＝|tan x|.
π 5π 故所给函数的减区间为kπ－12，kπ＋12 ，k∈Z； 5π 11π 增区间为kπ＋12 ，kπ＋ 12 ，k∈Z.
最小正周期 T＝
2π ＝π. 2
题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性与周期性
【例 2】 写出下列函数的单调区间及周期： π (1)y＝sin－2x＋3 ；(2)y＝|tan x|.
题型分类·深度剖析
变式训练 2 求函数
π π y＝sin3＋4x＋cos4x－6 的周期、单调区间及最
大、最小值．
π 解：y＝2sin4x＋3，周期
2π π T＝ 4 ＝2.
π π π 当－2＋2kπ≤4x＋3≤2＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递增， 5π kπ π kπ ∴函数的递增区间为－24＋ 2 ，24＋ 2 (k∈Z)． π π 3π 当 ＋2kπ≤4x＋ ≤ ＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递减， 2 3 2 π kπ 7π kπ ∴函数的递减区间为24＋ 2 ，24＋ 2 (k∈Z)．
在确定余弦函数 y＝cos x 在[0,2π]上的图象形状时， 起关键作用的五个点 3 , 0 (0,1) 是 、 2 、 ,1 、 2 ,0 、 2 ,1 ．
要点梳理 2.三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x 性质
第三节 三角函数的图像与性质
第三章
三角函数、解三角形
对点演练 1．思考辨析(判一判) (1)正弦函数y＝sin x在其任一周期内都只有一个增区
间，一个减区间．
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴． (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (4) 若非零实数 T 是函数 f(x) 的周期，则 kT(k 是非零整 数)也是函数f(x)的周期． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
πx π y ＝ 2sin 6 －3 (0≤x≤9) 的最大值与最小值之
和为________．
第三章
三角函数、解三角形
[解析] 义，
(1)要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意
1 sin x>2， 2sin x － 1>0 ， 则 即 1－2cos x≥0， cos x≤1. 2 π 5π 解之得 2kπ＋3≤x<2kπ＋ 6 ，k∈Z.
π 5π 即函数的定义域为2kπ＋3，2kπ＋ 6 ，k∈Z.
第三章
三角函数、解三角形
π π π 7π (2)∵0≤x≤9，∴－3≤6x－3≤ 6 ，
π π 3 ∴－ 2 ≤sin6x－3≤1，
故－
π π 3≤2sin6－3≤2. π π y＝2sin6x－3(0≤x≤9)的最大值为
第三章
三角函数、解三角形
考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
[必会知识] 1．正弦、正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 2．正弦、余弦函数的最小正周期为 T＝2π，函数 y＝ 2π Asin(ωx＋φ)＋b 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b 的周期是 T＝|ω|；正 切函数的最小正周期为 T＝π， 函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋b 的周 π 期是 T＝|ω|.
第四章.第三节.三角函数的图像与性质
第三节三角函数的图象与性质重点难点重点：三角函数的图象与性质．难点：①三角函数性质的应用．②五点法画图．③三角函数图象的平移变换、对称变换和伸缩变换．知识归纳1．有向线段：一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向，若线段的方向与坐标轴的一致，就规定这条线段是正的，否则，就规定它是负的．2．三角函数线设角α的终边与单位圆交于点P，过P点作PM⊥x轴于M，作PN ⊥y轴于N，过点A(1,0)作单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．3．“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的简图五点的取法是：设X ＝ωx ＋φ，由X 取 来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图．4．图象变换：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象作如下变换得到：(1)相位变换：y ＝sin x ―→y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向 (φ＞0)或向 (φ＜0)平行移动|φ|个单位． (2)周期变换：y ＝sin(x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标 (0＜ω＜1)或 (ω＞1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)．(3)振幅变换：y ＝sin(ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标 (A ＞1)或 (0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变，相位变换见平移变换)，周期变换和振幅变换都是伸缩变换．5．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期为 . 函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期为 .6．正弦曲线y ＝sin x 的对称轴为 ．对称中心为 ； 余弦曲线y ＝cos x 的对称轴为 ，对称中心为 ；函数y ＝tan x 图象的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)．7．三角函数的图象与性质三角函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z}值域和最值[－1,1]，当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1，当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1[－1,1]，当x＝2kπ时(k∈Z)，y max＝1，当x＝2kπ＋π时(k∈Z)，y min＝－1值域R，无最大值和最小值周期2π2ππ奇偶性奇偶奇对称性对称中心(kπ，0)k∈Z对称轴x＝kπ＋π2，k∈Z对称中心(kπ＋π2，0)，k∈Z对称轴x＝kπ，k∈Z对称中心(kπ2，0)，k∈Z无对称轴单调区间增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2]减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)减区间[2kπ，2kπ＋π]增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)在(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数误区警示1．用五点法画函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0)在一个周期内的图象时，应使ωx＋φ取五个值0、π2、π、3π2、2π算出对应的x的值和y值如表.x↑ωx＋φ0π2π32π2πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0也可以先求出其一个值(如令ωx＋φ＝0)，然后依据y＝A sin(ωx＋φ)的周期，顺次列出其余各值．特别注意画出正余弦函数在某闭区间内的图象时，所取点必须在闭区间内，且必须列出区间．．．．．．的两端点．．．．．．2．在既有平移变换、又有伸缩变换的三角函数图象变换问题中，应特别注意先平移再伸缩和先伸缩再平移时平移单位数的区别．3．伸缩变换中应该乘以1m而不是m(m是伸缩的倍数)，牢记无论平移还是伸缩，都仅对坐标进行变换．4．函数y＝sin x在[2kπ－π2，2kπ＋π2]，(k∈Z)的每一个区间上都是增函数，但在k取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y ＝cos x，y＝tan x都有类似特点．如函数y＝tan x在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？5．函数y＝sin x、y＝cos x的图象的对称轴经过图象的最高点或最低点．6．y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间的确定：(1)当A>0，ω>0时，由于U＝ωx＋φ是增函数，故y＝A sin U 单增(减)时，复合函数y＝A sin(ωx＋φ)单增(减)．从而解不等式2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)求出x的取值范围，即该函数的增区间，解不等式2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)可得该函数的单调减区间．(2)当A>0，ω<0时，∵U＝ωx＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A<0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形．一般地，求y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化x的系数为正，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx＋φ的一个不等式即可求得．一、“数形结合”方法在三角函数的图象和性质中，数形结合思想的运用主要体现在用三角函数的图象和单位圆中的三角函数线解相关问题，如求函数的定义域、解三角不等式等．[例1] 函数y ＝tan x ＋lg cos x 的定义域是________________． 二、转化与化归的思想有关三角函数的图象与性质的问题，通常都是通过三角变换化归为基本三角函数，利用基本三角函数相应的性质来解决． 三、解题技巧(一)五点法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例2] 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如下图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(二)三角函数的图象变换技巧1．平移变换 与坐标轴同向为正、反向为负(向右x 取正，向左x 取负，向上y 取正，向下y 取负)．如y ＝f (x )图象上各点向左平移3个单位后再向上平移2个单位，则只须用x －(－3)代替x ，y －2代替y 即可得，∴y －2＝f (x ＋3)，即y ＝f (x ＋3)＋2.2．伸缩变换 将y ＝f (x )图象上各点的横(或纵)坐标伸长(或缩短)到原来的m 倍，则用x m 代替x (或y m代替y )即可．(推证从略) (三)注意弦函数的有界性(四)在含sin x ±cos x 与sin x 、cos x 的关系式中，常作换元sin x ＋cos x ＝t 化为代数问题解决． (五)三角函数的奇偶性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ωx ≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z ，为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2，k ∈Z.函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π＋π2，k ∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z.函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π2，k ∈Z.它不可能是偶函数．(六)直线y ＝a 与函数y ＝tan x 的图象交点中任两点距离的最小值为周期．函数y ＝sin x (y ＝cos x )相邻两个最大(小)值点之间距离为周期，与x 轴相邻两交点之间距离为半周期．三角函数图象的变换[例1] 要得到函数y ＝－2sin x 的图象，只需将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度已知三角函数的图象求解析式[例2] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则其导函数f ′(x )的解析式为( )A ．f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f ′(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π4C ．f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．f ′(x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(2x ＋π3) D ．y ＝cos(2x －π6)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)的值为( )A ．2008 B.40172 C ．2009 D.40192五点法作图[例3]f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围．三角函数的定义域函数y＝lg(sin x)＋cos x－12的定义域为________．三角函数的值域[例5] 求下列函数的值域：(1)y＝3sin x＋cos x(|x|≤π2 )；(2)y＝cos2x＋2sin x(|x|≤π4)；(3)y＝sin2x＋2sin x cos x＋3cos2x.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C ．1＋ 3 D.32已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.233 C.43 D.263三角函数的周期性 [例6]函数52sin 52cos)(xx x f +=的图象相邻两条对称轴之间的距离是( ) A ．5π B ．2π C.2π5 D.5π2设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12函数)4(sin )4(cos )(22ππ+-+=x x x f 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π 已知函数x x x f ωωcos sin 3)(+=(ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k ，k ∈Z B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππk k ，k ∈Z C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，k ∈Z D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,6ππππk k ，k ∈Z三角函数的奇偶性、单调性[例7] 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32已知函数f (x )＝sin2x －2sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3 设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数，所有正确结论的序号为 ．一、选择题1．先将函数f (x )＝2sin(2x －π6)的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．f (x )＝2sin xB ．f (x )＝2sin(x －π3) C ．f (x )＝2sin4xD ．f (x )＝2sin(4x －5π6)2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( ) A ．2,0 B ．2，π4 C ．2，－π3 D ．2，π64.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤-+=)380)(sin(2)02(1πϕωx x x kx y 的图象如下图，则( )A ．k ＝12，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝－12，ω＝2，φ＝π6D ．k ＝－2，ω＝2，φ＝π3二、解答题5.已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin2x －14.(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出？ (2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．6.已知函数f(x)＝(3sinωx＋cosωx)cosωx－12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．。
三角函数的图像与性质
第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了][归纳·知识整合]正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π∪⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 解析：选B 由函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图象可知，该函数在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数． 3．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R解析：选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .4．(教材习题改编)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________． 解析：函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的最小正周期为 T ＝2π12＝4π.答案：4π5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )[例1] (1)求函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域．[自主解答] (1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎨⎧π6＋2k π<x <5π6＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，(k ∈Z )，即π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π(k ∈Z )． 故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )． (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ———————————————————1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的求法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．(1)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域；(2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．解：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x ＞0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z). 利用数轴可得：所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4.(2)f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x －cos 2x .由于f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)， 所以a 2·sin ⎝⎛⎭⎫－2π3－cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－1， 即－34a ＋12＝－1，得a ＝2 3. 于是f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4， 因此当2x －π6＝π2即x ＝π3时f (x )取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π3＝2， 当2x －π6＝3π4即x ＝11π24时f (x )取得最小值f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.[例2] 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x . [自主解答] (1)由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．(2)把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z . 故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．若将本例(1)改为“y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4”，如何求解？ 解：画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )．———————————————————1．三角函数单调区间的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；②A ＞0(A ＜0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间． 2．复合函数单调区间的求法对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性判定方法是：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．3．含绝对值的三角函数单调区间的求法求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．3B ．2C.32D.23解析：选C ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时．y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，故ω＝32.[例3] (1)(2012·福建高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2(2)(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4(3)(2012·大纲全国卷)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3 C.3π2D.5π3[自主解答] (1)法一：(图象特征)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.法二：(验证法)x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． (2)由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<φ<π，所以φ＝π4.(3)若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．只有C 项符合．[答案] (1)C (2)A (3)C本例(1)中函数f (x )的对称中心是什么？ 提示：令x －π4＝k π，k ∈Z ，则x ＝π4＋k π，k ∈Z .故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0(k ∈Z )．———————————————————函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性及对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断.3．(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. (2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.解析：(1)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )． 又|φ|＜π2，所以k ＝0，故φ＝π4.(2)由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2，(k ∈Z )．答案：(1)π4 (2)k π＋π2，k ∈Z2个性质——周期性与奇偶性 (1)周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象．(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x 系数的正负．(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题1．高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题．2．解决此类交汇问题的关键有以下两点：(1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论．(2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题．[典例] (2012·上海高考)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100[解析] ∵函数f (x )＝sin πx7的最小正周期为T ＝14，又sin π7＞0，sin 27π＞0，…，sin 67π＞0，sin 77π＝0，sin 87π＜0，…，sin 137π＜0，sin 147π＝0，∴在S 1，S 2，S 3，…，S 13，S 14中，只有S 13＝S 14＝0，其余均大于0.由周期性可知，在S 1，S 2，…，S 100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数． [答案] C [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题表面是考查数列求和问题，其实质考查了三角函数f (x )＝sin πx7的周期性．(2)本题巧妙将三角函数值的符号、三角函数的诱导公式、三角函数的周期性及数列求和融为一体，考查了考生的数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力，难度较大．2．解决本题的关键有以下两点(1)正确构造函数f (x )＝sin πx7，并求得其周期；(2)正确利用诱导公式求出一个周期内S 1，S 2，…，S 14中是0的个数． [变式训练]1．(2013·郑州模拟)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15PP |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15PP |＝2π.2．若三角函数f (x )的部分图象如图，则函数f (x )的解析式，以及S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin πx2＋1，S ＝2 012B ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012C ．f (x )＝12sin πx2＋1，S ＝2 012.5D ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012.5解析：选A 根据已知图象，可设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1(ω＞0，A ＞0)．∵由T ＝4得2πω＝4，∴ω＝π2.A ＝f (x )最大值－f (x )最小值2＝1.5－0.52＝12，又f (0)＝12sin φ＋1＝1，∴sin φ＝0得，φ＝0，∴f (x )＝12sin πx2＋1.又f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，∴S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝503×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝503×4＝2 012.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0B.22C ．－1D ．1解析：选D 不妨设a ＝－π2，b ＝π2，则cos a ＋b 2＝cos 0＝1.2．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 (x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 解析：选C f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4不对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，D 正确． 3．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数解析：选B 由已知可得f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3，T 2＝π2，得T ＝π，ω＝2.又x ＝0是对称轴，故cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝±1，由|φ|＜π2得φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：选A 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.5．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |解析：选B 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②. 6．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⃘⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝1tan x －3的定义域为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠3，即⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，x ≠k π＋π3，k ∈Z .故所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z 8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]，且当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1,1]π129．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．解析：∵由已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当f (x )＝0时，2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π2＋π6，则当x ∈[0,2π]时f (x )有4个零点．答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.11．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围； 解：(1)f (x )＝sin 2π＋2x4·4sin x ＋(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＝4sin x ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2＋cos 2x＝2sin x (1＋sin x )＋1－2sin 2x ＝2sin x ＋1， 故函数解析式为f (x )＝2sin x ＋1. (2)f (ωx )＝2sin ωx ＋1，ω>0. 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，得f (ωx )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . ∵f (ωx )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，∴ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 12．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2≤2－2，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．1．求下列函数的定义域：(1)y ＝lg sin(cos x )；(2)y ＝sin x －cos x . 解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0.∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1. 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1，∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＋2k π＜x ＜π2＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .2．写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解：(1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π.3．求下列函数的值域：(1)y ＝cos x ＋52－cos x ； (2)y ＝sin 2x －4sin x ＋5.解：(1)由y ＝cos x ＋52－cos x ，得cos x ＝2y －5y ＋1.因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －5y ＋1≤1，解得43≤y ≤6.因此，原函数的值域为⎣⎡⎦⎤43，6. (2)y ＝sin 2x －4sin x ＋5＝(sin x －2)2＋1. 因为－1≤sin x ≤1，所以2≤y ≤10. 因此，原函数的值域为[2,10]．4．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝32.(2)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.。
第三节 三角函数的图象与性质
第三节三角函数的图象与性质一、基础知识批注——理解深一点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上是递减函数 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数 在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是递增函数周 期周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π性2π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论汇总——规律多一点1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．()(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．()(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．()(4)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(5)y＝sin|x|是偶函数．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(二)选一选1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析：选D 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.3．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6()x ∈[0，π]的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，2π3 C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选C 由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)，又x ∈[0，π]，所以令k ＝1，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π6，π.(三)填一填4．函数y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)． 答案：5π4＋2k π(k ∈Z ) 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象对称中心为________．解析：令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z第一课时 三角函数的单调性考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[解题技法] 求三角函数单调区间的2种方法[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.[答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)， 则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π[解题技法] 三角函数值域(最值)的3种求法[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． [解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2， 又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54 [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π 解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( )A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2，又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|； (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3考点三 三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称 (2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. [答案] (1)B (2)－π6[解题技法]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再把(ωx ＋φ)整体看成一个变量，若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .[题组训练]1．若函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z. 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.2．(2018·长春质检)函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.⎝⎛⎭⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心 C ．φ＝π3D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：选A 由f (0)＝1且0<φ<π2，可得φ＝π6，故选项C 错误；可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，把x ＝π6代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得f (φ)＝2，选项A 正确；f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f (x )取得最大值，选项B 错误；而f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1，非最值，选项D 错误，故选A. 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：2或－2 [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A.2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A 令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9. 因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9.3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A 选项；当x ＝π3时，对于B ，y＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝32，因为图象关于直线x ＝π3对称，所以排除B 、D 选项，对于C ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π6＝0，且在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数，故C 满足条件．4．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )满足( ) A ．在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增 B ．图象关于直线x ＝π6对称C ．f ⎝⎛⎭⎫π3＝32D ．当x ＝5π12时有最小值－1 解析：选D 由函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，得ω＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，显然此时f (x )不单调递增，故A 错误；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos π2＝0，故B 错误；f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos 5π6＝－32，故C 错误；当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝cos π＝－1，故D 正确．5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，4π3内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，4π3内单调递增解析：选A 由题意知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. ∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .当0<2x <π，即0<x <π2时，f (x )单调递减．故选A.6．(2018·昆明调研)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6解析：选A 因为函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以2ω3π＝k π(k ∈Z)，即ω＝32k (k ∈Z)，①又因为函数f (x )＝sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数， 所以π4≤π2ω且ω>0，所以0<ω≤2，②由①②得ω＝32.7．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6ω＋π6＝0， 即πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，故ω＝2＋6k (k ∈Z)， 又因为ω∈N *，故ω的最小值为2. 答案：28．若函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2图象的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 解析：因为y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又因为|φ|<π2，所以k ＝0，故φ＝π4.答案：π49．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.答案：3210．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (1)求函数的最大值及相应的x 值集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴与对称中心．解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2. 故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z . (2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z ，即函数f (x )的图象的对称轴为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z.由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎫π8＋12k π，0，k ∈Z.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )的最小正周期为π，得T ＝2πω＝π， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，有φ＝π2＋k π(k ∈Z)．因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)，故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)．B 级——创高分自选1．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称， 所以8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－13π6，k ∈Z.又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ， 所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递减，故选D. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0，x ∈R )．若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为( )A.12 B ．2 C.π2D.π2解析：选D 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.3．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z)， 得t ＝k π2＋π3(k ∈Z)， 又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1,2]． 又|f (x )－m |<3， 即f (x )－3<m <f (x )＋3， 所以2－3<m <1＋3， 即－1<m <4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。
第三节 三角函数的图象与性质
第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图❶在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质❷正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．判断三角函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．写单调区间时，不要忘记k ∈Z.(1)y ＝tan x 无单调递减区间；(2)y ＝tan x 在整个定义域内不单调.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期都是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期是π|ω|.[熟记常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，则： (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π6＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D 由3x ≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z.2．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最大值和最小正周期分别是( )A ．2,3πB ．1,6πC ．3,6πD ．3,3π解析：选C 由y ＝2－cos x 3知，y max ＝2－(－1)＝3，最小正周期T ＝2π13＝6π.3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， ∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为______________，对称中心为________________．解析：由x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π4＋k π，k ∈Z ；由x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x ＝3π4＋k π，k ∈Z ，对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.答案：x ＝3π4＋k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z 5．函数f (x )＝32cos x －12sin x ()x ∈[0，π]的单调递增区间为________． 解析：f (x )＝32cos x －12sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)．∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增． 答案：⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域[基础自学过关][题组练透]1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z解析：选D 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z)，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z)，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上函数y ＝sin x 和函数y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期性，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z) 3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [名师微点]求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域(最值) [师生共研过关][典例精析](1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_________________________________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22， ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. [答案] (1)⎣⎡⎦⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 [解题技法]求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[过关训练]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C. 3D.3＋1解析：选C f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为－π3≤x ≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值为3，故选C.2．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.考点三三角函数的单调性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求三角函数的单调区间[例1] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为________________．(2)函数y ＝|tan x |的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．[解析] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. (2)作出函数y ＝|tan x |的图象，如图．观察图象可知，函数y ＝|tan x |的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ；单调递减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z.[答案] (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z (2)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z 考法(二) 已知三角函数的单调性求参数[例2] (2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0＜a ≤π4， ∴a 的最大值为π4.[答案] A[规律探求]1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减 B ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减 D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增 解析：选C 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3，所以函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，所以函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎡⎦⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤4π3，5π3，所以函数f (x )先减后增．故选C.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：323．若函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，则ω的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω＜0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增，则⎩⎨⎧ω＜0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＜0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，k ∈Z ，解得－4≤ω＜0.答案：[－4,0)考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 三角函数的周期性[例1] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. [答案] A考法(二) 三角函数的奇偶性[例2] (2019·抚顺调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．[解析] ∵函数f (x )为偶函数，∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)．又θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意． [答案] π6考法(三) 三角函数的对称性[例3] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称 (2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12， 即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)． 令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π－π6(k ∈Z)． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. [答案] (1)B (2)－π6[规律探求][过关训练]1．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是________． 解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，又图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，所以2×π2＋θ＋π6＝k π(k ∈Z)，所以θ＝k π－7π6(k ∈Z)，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6， 所以f (x )＝－2sin 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6， 所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，f (x )∈[－3，2]， 所以f (x )的最小值是－ 3.答案：－ 32．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，得－14＜k ＜1， 而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π。
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第三节三角函数的图象和性质【例1】试求函数(12cos )()log (2sin 1)x f x x -=+的定义域。
【例2】（1）求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域；（2）求函数()2cos()2cos 3f x x x π=++的值域；（3）已知2sin cos sin cos (0)y θθθθθπ=+-≤≤，求y 的最大值和最小值。
【例3】判断下列函数的奇偶性： （1）()cos(2)2f x x π5=+； （2）()sin(cos )f x x =； （3）1sin ()1sin xf x x-=+。
【例4】下列四个函数中以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是（ ）A 、2cos y x = B 、2|sin |y x = C 、cos 1()3x y = D 、cot y x =- 【例5】比较下列各组数的大小： （1）sin194与cos160；（2）3cos2、1sin 10、7cos 4-； （3）3sin(sin )8π与3sin(cos )8π。
【例6】已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[,]22ππ-上的图象。
【例7】（1）指出经过怎样的图象变换，函数sin y x =的图象可以变换成为函数3sin(2)16y x π=-+的图象？（2）指出经过怎样的图象变换，函数3sin(2)16y x π=-+的图象可以变换成为函数sin y x =的图象？（3）由（1）、（2）可以受到怎样的启示？【例8】（1）已知函数sin()(0,0,y A x A ωϕω=+>>)22ππϕ-<<图象上的一个最高点为P ，由这个最高点到相邻最低点间的曲线与x 轴相交于点(6,0)Q 。
①求这个函数的表达式； ②求这个函数的单调区间。
（2）如下图：某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++①求这段函数的最大温差； ②写出这段曲线的函数解析式。
【例9】如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a ＝_____双基训练1、函数tan ()44y x x ππ=-<≤的值域为______________________2、函数y =__________________3、函数24cos sin 1cos x xy x=+的值域是________________4、若22cos sin θθ>，则θ的取值范围是____________ 5、函数|cos |cos y x x =-的值域为________________ 6、cos cos()3y x x π=++的最大值为_________________7、函数cos (,y a x b a b =+为常数），若71y -≤≤，则cos sin a x b x +的最大值为_____ 8、已知如右图：是函数2sin()(||)2y x πωϕϕ=+<的图象。
（1）求ω、ϕ的值；（2）求函数图象的对称轴的方程。
9、试求函数lgcos y x =的定义域。
10、如下图：为正弦函数1sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的一个周期的图象。
（1）写出1y 的解析式；（2）写出2y 的解析式，使得1y 与2y 的图象关于直线2x =对称。
知识升华1、设02θπ≤≤，若sin 0θ<，且cos 20θ<，那么θ的取值范围是______2、函数1sin y x =-的最大值为__________3、对于函数sin()y A x ωϕ=+，其中,,A ωϕ均为不等于零的常数，以下有四种说法：①最大值为A ；②最小正周期为||πω2；③在[0,2]π内，可以找到至少一个值x ，使0y =；④由2222k x k πππωϕπ-≤+≤+(k Z ∈）解得x 的取值区间即为函数y 的单调递增区间。
那么以上说法（ ）A 、全对B 、有且只有一个是对的C 、全错D 、至少有两个是对的 4、要得到函数cos(3)6y x π=-的图象只需将cos3y x =的图象（ ）A 、向右平移6π B 、向左平移6π C 、向右平移18π D 、向左平移18π5、若()tan()4f x x π=+，则（ ）A 、(0)(1)(1)f f f >->B 、(0)(1)(1)f f f >>-C 、(1)(0)(1)f f f >>-D 、(1)(0)(1)f f f ->>6、函数2sin(2)y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是（ ） A 、22k πθπ=+ B 、2k θππ=+C 、2k ππ+D 、k θππ=+ 其中（k Z ∈）7、设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （小时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象。
下面的函数中最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是： A 、123sin 6y t π=+，[0,24]t ∈ B 、123sin()6y t ππ=++，[0,24]t ∈ C 、123sin12y π=+，[0,24]t ∈ D 、123sin()122y t ππ=++，[0,24]t ∈8、将函数cos y x =的图象向左平移4π个单位得到曲线C ，又曲线C 与/C 关于原点对称，则曲线/C 的解析式是______________________9、设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出下列关于()f x 的四个论断：①()f x 的图象关于直线12x π=对称；②()f x 的图象关于点(,0)3π对称；③()f x 的最小正周期是π；④()f x 在区间[,0]6π-内是单调递增。
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论构造命题，其中一个正确的命题是___________________10、某港口水的深度y （米）是时间t （小时）(024)t ≤≤的函数，记作()y f t =，下面是某日水深的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象 （1）试根据以上数据，求出函数()y f t =的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？11、已知函数()sin()(0,0)f x t ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在[0,]2π上是单调函数，求ω和ϕ的值。
12、已知函数()sin cos 1f x a x a x a =++-，a R ∈，[0,]2x π∈。
若定义在非零实数值上的奇函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0g =，求当[()]0g f x <时，数a 的取值范围。
挑战高考1、函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是（ ）A 、2(,32π- B 、5(,62π- C 、2(,32π- D 、(,3π2、若()cos y f x x =是周期为π的奇函数，则()f x 可以是（ ） A 、sin x B 、cos x C 、tan x D 、cot x3、设()f x 是定义在R 上的最小正周期为53π的函数，2sin [,0)()3cos [0,)xx f x xx ππ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则16()3f π-的值为（ ） A 、12-B 、12 C、 D4、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π＝_____________5、函数|sin |2xy =的最小正周期是______________6、已知函数tan(2)y x ϕ=+的图象过点(,0)12π，则ϕ的值可以是( ) A 、6π- B 、6π C 、12π- D 、12π7、函数()|sin |f x x x a b =⋅++是奇函数的充要条件是________________ 8、函数2tan cot y x x=-的图象关于（ ）A 、点(,0)8π-对称 B 、点(,0)4π对称 C 、直线4x π=-对称 D 、直线2x π=对称9、函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两条对称轴的距离是__________ 10、关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意的α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数又是偶函数； ③存在α，使()f x 是偶函数； ④对任意的α，()f x 都不是奇函数。
其中一个假命题的序号是______________，因为当α＝_________时，该命题的结论不成立。