【文理通用】2016届高考数学第一轮 专项强化训练(6-6)
2016年高考新课标1文数试题和答案
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ） {3,5} ( C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）13 （D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3)（C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b（9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =.（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)
题组层级快练(六十)1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2－2x －3＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 B解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.2．若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－14答案 D解析 依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)， 所以－3m ＋4－1＝0.所以m ＝1.故直线l 的斜率为－14.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.5．(2015·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案 B解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．(2015·山东青岛一模)若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.7．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2. 8．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析 设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.9．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋－2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.10．在平面直角坐标系中，若动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( )A. 2B.322C ．1－22D.5－12答案 C解析 作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－22.11．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________． 答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析 对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.12．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________．答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |.又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2.∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F .④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程． 答案 (1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40 解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1解析 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1. ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1答案 B解析 设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，∴a ＝2(舍－12)．4．圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0答案 D解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a ，a 22)．∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a 22)2＝r 2.∴x 2＋y 2－2ax －a 2y ＋a 2＋a 44－r 2＝0.对比A ，B ，C ，D 项，仅D 项x ，y 前系数符合条件．5．若方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围为( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图像，若两图像有交点，需－4≤m ≤4 2.6．若直线l ：4x －3y －12＝0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由题意知，A (3,0)，B (0，－4)，则|AB |＝5.∴△AOB 的内切圆半径r ＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.7．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－mx －2my ＝0(m ≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C 必定经过坐标原点；②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ；④直线y ＝x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心． 答案 ①②8．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．答案 4解析 圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0即点(a ，b )在直线x －y －3＝0上．过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长|DE |最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴切线长|DE |＝|CD |2－r 2＝4.9．在直角坐标系xOy 中，以M (－1,0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)如果圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求实数m 的值．(3)已知A (－2,0)，B (2,0)，圆内的动点P 满足|PA |·|PB |＝|PO |2，求PA →·PB →的取值范围． 答案 (1)(x ＋1)2＋y 2＝4 (2)m ＝1 (3)[－2,6)解析 (1)依题意，圆M 的半径r 等于圆心M (－1,0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2.∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线mx ＋y ＋1＝0必过圆心M (－1,0)． ∴－m ＋1＝0，∴m ＝1.(3)设P (x ，y )，由|PA ||PB |＝|PO |2，得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)． ∵点P 在圆M 内，∴(x ＋1)2＋y 2<4，∴0≤y 2<4，∴－1≤y 2－1<3. ∴PA →·PB →的取值范围为[－2,6)．。
2016届高三第一次六校联考数学(文)试题-Word版含答案
2016届高三第一次六校联考数学(文)试题-Word版含答案DA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等比数列}{na 的公比21=q ，前n 项和为nS ，则=33a S ( )A ．5B ．7C ．8D ．155．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．xxy 22-= B ．3x y = C ．21lnx y -=D ．1||+=x y6．已知双曲线的渐近线方程为xy 2±=，焦点坐标为）（0,6),0,6(-，则双曲线方程为（ ） A ．18222=-y x B ．12822=-y x C ．14222=-y xD ．12422=-y x7．函数）0)(3sin()(>+=ωπωx x f 相邻两个对称中心的距离为2π，以下哪个区间是函数)(x f 的单调减区间（ ）A ．]0,3[π-B ．]3,0[πC ．]2,12[ππD ．]65,2[ππ 8．曲线x x y 2ln -=在点)2,1(-处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．21B ．43 C ．1 D ．29．在边长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）A ．61B ．65C ．6π D ．6-1π 10．一个空间几何体的三视图如下图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1,2的矩形，则该几何体的侧面积为（ ） A ．43+ B ．63+ C ．432+D ．632+11．执行如右图所示的程序框图，若输出的n ＝9，则输入的整数p 的最小值是( )A ．50B ．77C ．78D ．306 12．已知抛物线xy=2上一定点B(1，1)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的纵坐标的取值范围是( ) A ．），，（∞+⋃∞-2[]2- B ．），，（∞+⋃∞-3[]1- C ．），，（∞+⋃∞-3[]0 D ．），，（∞+⋃∞-4[]1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2016全国卷Ⅰ高考理科数学试卷及答案与解析(word版)
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）(3-，23-) (B)（3-，23） (C ）（1,23） （D)（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ，y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B)2 （C)3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30，8：00,8：30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A)31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-,3) （B ）（1-,3） (C ）（0,3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A ） （B ） （C) （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A)c c b a < （B)c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= (C ）x y 4= （D)y =（10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 点．已知24=AB ,52=DE ，则C （A ）2 （B ）4 (C)6 (D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【文理通用】2016届高考数学第一轮 专项强化训练(6-3)
【文理通用】2016届高考数学第一轮专项强化训练(3)数列的综合应用一、选择题1.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6【解析】选A.设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题可得d=-1,q=错误！未找到引用源。
,于是a2=3>b2=2错误！未找到引用源。
,故选A. 【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则错误！未找到引用源。
的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
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=2+错误！未找到引用源。
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.当x,y同号时,错误！未找到引用源。
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≥2;当x,y异号时,错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
≤-2.所以错误！未找到引用源。
的取值范围为(-≦,0]∪∪-1)++1,其中代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x--1)=x--1,其中-1<x--1<0,没有这样的x.所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项a n=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=错误！未找到引用源。
(n∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.2C.1D.4【解析】选A.a n=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
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,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,a n+1>a n,故数列{a n}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=错误！未找到引用源。
2016年高考数学(文)冲刺卷(新课标Ⅰ卷) 06(解析版) 含解析
全卷满分150分 考试时间120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．） 1．集合{}123456U =，，，，，，{}23A =，,{}2Z 650B x xx =∈-+<,()C U A B =（）A ．{}156，，B ．{}1456，，，C ．{}234，，D ．{}16， 【命题意图】本题考查不等式的解法与集合运算，容易题． 【答案】B【解析】集合{}{}26502,3,4B x Z x x =∈-+<=，{}A B 2,3⋂=,所以(){}C 1,4,5,6U A B ==，故选B ．2．已知复数23i 1i--(i 是虚数单位)，它的实部与虚部的和是（ ）A ．4B ．2C ．6D ．3 【命题意图】本题考查复数的运算与概念，容易题． 【答案】B【解析】由题意得()()()()2223i 1i 23i 5i 51i 1i1i 1i 1122-+--===---++，所以它的实部与虚部的和是2，故选B ．3．设向量(1,4)AB =,(,1)BC m =-，且AB AC ⊥，则实数m 的值为( ）A ．10-B ．13-C ．7-D ．4【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量垂直的条件，容易题．【答案】B4．已知等差数列{}na 满足14n n aa n ++=,则=1a （）A ．1-B ．1C ．2D ．3 【命题意图】本题考查等差数列通项公式，容易题． 【答案】B【解析】由已知214a a +=，328a a +=，两式相减得3124d a a =-=，2d =，所以11(2)4a a++=，解得11a =，故选B ．5．在区间]2,0[上随机地取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭"发生的概率为（ ）A ．32B ．43C ．31D ．41【命题意图】本题考查几何概型，中档题． 【答案】B 【解析】由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,可知11222x ≤+≤，解得302x ≤≤,所以12301321log 12204p x -⎛⎫⎛⎫-≤+≤== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故选B ．6．从1，2,3,4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ,执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为( ） A ．34B ．58C ．78D ．12【命题意图】本题主要考查程序框图、古典概型，中档题． 【答案】B7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ )A ．476B ．152C ．233D ．8【命题意图】本题主要考查空间几何的三视图与几何体体积计算，中档题． 【答案】C【解析】由三视图知，几何体为一个正方体截去一个底面为一个直角边为1的等腰直角三角形、高为2的三棱锥，则该几何体的体积为311232112323V =-⨯⨯⨯⨯=，故选C ．8．已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤,则函数()()11g x f x =--的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【命题意图】本题考查分段函数的零点、复合函数，中档题． 【答案】C【解析】22(1)2(1)1,1042,1()(1)1lg(1)1,10lg(1)1,1x x x x x x g x f x x x x x ⎧⎧-+---≤-+≥⎪⎪=--==⎨⎨--->--<⎪⎪⎩⎩,所以，当1x ≥时,函数()g x 有1个零点，当1x <时,函数有两个零点，所以函数的零点共有3个，故选C ． 9．已知()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><满足1()(),(0)22f x f x f π=-+=，则()2cos()g x x ωϕ=+在区间[0,]2π上的最大值为（)A ．4B ．错误!C ．1D ．－2【命题意图】本题考查诱导公式、三角函数的图象与性质，中档题． 【答案】B10．已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，60A ∠=︒,3BC =ABCPA 面⊥，23PA =）A ．163π B ．43π C ．323π D ．16π【命题意图】本题考查棱锥的外接球、球的表面积，中档题． 【答案】D11．已知11(,)A x y 是抛物线24y x =上的一个动点，22(,)B x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点,定点10N （，）,若ABx 轴,且12x x <，则NAB ∆的周长l 的取值范围是（ )A ．2(,2)3B ．10(,4)3C ．51(,4)16D ．(2,4)()4,2【命题意图】本题考查抛物线的定义与性质、直线与圆锥曲线的位置关系，中档题． 【答案】B【解析】如图,A B 分别在如图所示的实线上运动，由2221434x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得两曲线在第一象限的交点横坐标为23，则12220,233xx <<<<．由抛物线的定义，知1112pAN x x =+=+．又BN＝2222(1)x y -+＝222222212121(4)44x x x x --++=-＝21(4)2x -，所以NAB∆的周长l＝||||||AN AB BN ++＝2121211(4)322x x x x x ++-+-=+．因为2223x <<,所以2103432x <+<，故选B 。
2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。
2016年高考数学总复习模拟试卷一理
2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[0,1) 2．复数(3＋2i)i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i3．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( )A ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2<0”B ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0”C ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”D ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0”4．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( )A ．f (x )＝－x |x |B ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝ln x x5．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．76．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A.12B.45C ．2D ．9 8．某几何体的三视图如图M11，则它的体积为( )图M11A ．72πB ．48π C．30π D ．24π9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象是( ) A ．关于直线x ＝π8对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．211．在同一个平面直角坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0，且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A BC D12．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，f (x )＝cos x .若关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )A.54πB.32πC.94π D．3π 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．14．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)15．如图M12，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，AP ＝3，则AP →·AC →＝________.图M1216．阅读如图M13所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．图M13三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图M14，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．图M1420．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么范围取值时，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值？(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)．21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦AB 的中点为M .(1)若|AB |＝4 55，求实数k 的值；(2)如图M15，顶点为O ，对称轴为y 轴的抛物线E 过线段BF 的中点T ，且与椭圆C 在第一象限的交点为S ，抛物线E 在点S 处的切线m 被圆O 截得的弦PQ 的中点为N ，问：是否存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．图M15 图M16请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答量请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10)选修41：几何证明选讲如图M16，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .23．(本小题满分10)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．24．(本小题满分10)选修45：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)1.D 解析：由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝(－1,1)，得M ∩N ＝[0,1)．2．B 解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i＝－2＋3i.故选B.3．C 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．故选C.4．A5．A 解析：∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5.又∵a 1a 2a 3＝105，∴a 1a 3＝21.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2.∴a n＝9－2n .由a n ≥0，得n ≤4.故选A.6．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.7．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4a ，∴22＋2a ＝4a .∴a ＝2.8．C 解析：几何体是由半球与圆锥叠加而成，它的体积为V ＝12×43π×33＋13×π×32×52－32＝30π.9．A 解析：依题意，得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 10．A 解析：如图D129，将点(5,3)代入z ＝y －2x ，得最小值为－7.图D12911．D 解析：正弦函数y ＝sin ax 的最小正周期为T ＝2πa.对于A ，T >2π，故a <1，而y ＝a x的图象是增函数，故A 错误；对于B ，T <2π，故a >1，而函数y ＝a x是减函数，故B 错误；对于C ，T ＝2π，故a ＝1，∴y ＝a x＝1，故C 错误；对于D ，T >2π，故a <1，∴y ＝a x是减函数．故选D.12．A 解析：作函数y ＝f (x )的草图(如图D130)，对称轴为x ＝3π4，当直线y ＝a 与函数有两个交点(即方程有两个根)时，x 1＋x 2＝2×3π4＝3π2；当直线y ＝a 与函数有三个交点(即方程有三个根)时，x 1＋x 2＋x 3＝2×3π4＋3π4＝9π4；当直线y ＝a 与函数有四个交点(即方程有四个根)时，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×3π4＝3π.故选A.图D13013.12解析：从10件产品中任取4件，共有C 410种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有C 13C 37种，因此所求概率为C 13C 37C 410＝12.14．10 解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k y k ，则T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，故答案为10.15．18 解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC →＝2(AB →＋BO →)，AP →·AC →＝AP →·2(AB →＋BO →)＝2AP →·AB →＋2AP →·BO →＝2AP →·AB →＝2AP →·(AP →＋PB →)＝2|AP →|2＝18.16．－4 解析：由题意，得第一次循环：S ＝0＋(－2)3＝－8，n ＝2；第二次循环：S ＝－8＋(－2)2＝－4，n ＝1，结束循环，输出S 的值为－4.17．解：(1)∵cos C ＝34，∴sin C ＝74.∵asin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0.∴b ＝2.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2×74＝74.18．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知，P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为：X 0 100 120 220P 215 15 415 25数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.19．(1)证明：如图D131，连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图D131，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.图D131设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0.可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量，由题设易知，|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12.解得m ＝32(m ＝－32，舍去)． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12.故三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.20．解：f ′(x )＝ax－a (x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递增； 令f ′(x )<0时，解得x >1，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减．(2)∵函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，∴f ′(2)＝a2－a ＝1.∴a ＝－2，f ′(x )＝－2x＋2.∴g (x )＝x 3＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2－2x ＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，g ′(x )＝3x 2＋(4＋m )x －2.∵对任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值，且g ′(0)＝－2，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题知，对任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.解得－373<m <－9.(3)证明：令a ＝－1，f (x )＝－ln x ＋x －3，∴f (1)＝－2. 由(1)知，f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0. ∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立．∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1.∴0<ln n n <n －1n .∴ln22×ln33×ln44×…×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)．21．解：(1)圆O 的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2.∵OM ⊥AB ，|AB |＝4 55，∴|OM |＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝4 55.∴2k 2＋1＝4 55.∴k 2＝14.图D132又k ＝k FB >0，∴k ＝12.(2)如图D132，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，B (0,2)，T 为BF 中点，∴T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，1. 设抛物线E 的方程为y ＝tx 2(t >0)，∵抛物线E 过点T ，∴1＝t ·1k2，即t ＝k 2.∴抛物线E 的方程为y ＝k 2x 2.∴y ′＝2k 2x .设S (x 0，y 0)，则k m ＝y ′0|x x ＝＝2k 2x 0. 假设O ，M ，N 三点共线， ∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l ∥m .又k l ＝k >0，∴k l ＝k m .∴k ＝2k 2x 0.∴x 0＝12k ，y 0＝k 2x20＝k 2·14k 2＝14.∵S 在椭圆C 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1.结合b ＝2，c ＝2k ，a 2＝b 2＋c 2＝4＋4k2.得14k 24＋4k2＋1164＝1.∴k 2＝－5963.∴k 无实数解，矛盾．∴假设不成立． 故不存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线．22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PFA .又AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径．图D133(2)如图D133，连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°. 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为圆的直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB .23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为22 55.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为2 55.24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6 ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。
【金版教程】2016高考(新课标)数学(理)大一轮复习试题：解答题专项训练6
解答题专项训练(六)1. [2014·北京高考]李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B ∪A B ，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25. P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .2. [2014·广东高考]随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)1212 (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．解：(1)根据已知数据统计出n1＝7，n2＝2；计算得f1＝0.28，f2＝0.08.(2)由于组距为5，用频率组距得各组的纵坐标分别为0.024,0.040,0.064,0.056,0.016.不妨以0.008为纵坐标的一个单位长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下．(3)根据样本频率分布直方图，以频率估计概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30,35]的频率为0.2，估计其概率为0.2.所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率P＝1－C04(0.2)0(1－0.2)4＝0.5904.3. [2015·武汉模拟]由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：(1)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，∴P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)ξ的可能取值为0、1、2、3，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764；P (ξ＝2)＝C 2334⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.∴分布列为∴E (ξ)＝1×2764＋2×964＋3×164＝0.75.4. [2015·吉林模拟]某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式——“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率分布直方图：(1)求n ，a ，p 的值；(2)从年龄在[40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望E (X )．解：(1)年龄在[25,30)的总人数为1200.6＝200， 根据频率分布直方图，总人数为2005×0.04＝1000(人)年龄在[40,45)的人数为1000×5×0.03＝150(人) 所以a ＝150×0.4＝60，因为年龄在[30,35)的人数的频率为1－5×(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)＝0.3，所以年龄在[30,35)的人数为1000×0.3＝300(人)， 所以p ＝195300＝0.65，(2)依题抽取年龄在[40,45)之间6人， 抽取年龄在[45,50)之间3人， X ＝0,1,2,3P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×184＋1×1884＋2×4584＋3×2084＝2.5. [2015·宁夏模拟]为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．(1)求4人恰好选择了同一家公园的概率；(2)设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及数学期望．解：(1)设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A .每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况．事件A 所包含的基本事件的个数为3， 所以，P (A )＝334＝127.故4人恰好选择了同一家公园的概率为127.(2)设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则P (C )＝13.4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布B (4，13)．X 可取的值为0,1,2,3,4.P (X ＝i )＝C i 4(13)i (23)4－i ，i ＝0,1,2,3,4.所以X 的分布列为：X 的数学期望为E (X )＝4×13＝43.6. [2013·福建高考]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？)(附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．7. [2015·三明模拟]某单位为了提高员工身体素质，举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图(单位：分)，分数在175分以上(含175分)者定为“运动健将”，将给予特别将励，其他人员则给予“运动积极分子”称号．(1)若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取10人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；(2)若从所有“运动健将”中选3名代表，用X 表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．解：(1)根据茎叶图，有“运动健将”12人，“运动积极分子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为1030＝13， 所以选中的“运动健将”有12×13＝4(人)， “运动积极分子”有18×13＝6(人)，设事件A 为至少有1名“运动健将”被选中， 则P (A )＝1－C 46C 410＝1－114＝1314.(2)由茎叶图知，男“运动健将”有8人，女“运动健将”有4人，故X 可能的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (X ＝1)＝C 28C 14C 312＝2855，P (X ＝2)＝C 18C 24C 312＝1255，P (X＝3)＝C 34C 312＝155.X 的分布列为∴E (X )＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1.8. [2014·山东高考]乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D ，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望． 解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110. 可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望E (ξ)＝0×30＋1×6＋2×5＋3×15＋4×1130＋6×110＝9130.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练62(含解析)
题组层级快练(六十二)1．若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝16. 知其半径r ＝4，∴长轴长2a ＝4，∴a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．已知曲线C 上的动点M (x ，y )，向量a ＝(x ＋2，y )和b ＝(x －2，y )满足|a |＋|b |＝6，则曲线C 的离心率是( )A.23B. 3C.33D.13答案 A解析 因为|a |＋|b |＝6表示动点M (x ，y )到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C 是椭圆且长轴长2a ＝6，即a ＝3.又c ＝2，∴e ＝23.4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C.15D.15或5153答案 B解析 若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m＝105.∴m ＝253. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．6．(2015²广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x 24－y 212＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A.35B.45C.54D.34 答案 B解析 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a ＝10⇒a ＝5，则c ＝4＋12＝4，e ＝c a ＝45，故选B.7．(2015²广东广州二模)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.16B.13C.36D.33答案 D解析 设PF 1的中点为M ，连接PF 2，由于O 为F 1F 2的中点，则OM 为△PF 1F 2的中位线，所以OM ∥PF 2.所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|. 由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|.由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2.所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝3|PF 2|2²23|PF 2|＝33.故选D. 8．(2015²河北邯郸一模)已知P 是椭圆x 225＋y 2b2＝1(0<b <5)上除顶点外一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP→＋OF 1→|＝8，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A ．6B ．4C ．2 D.52答案 C解析 取PF 1的中点M ，连接OM ，OP →＋OF 1→＝2OM →，∴|OM |＝4.在△F 1PF 2中，OM 是中位线，∴|PF 2|＝8.∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1|＝2，故选C.9．(2015²北京海淀期末练习)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →²F 2A →的最大值为( )A.32B.332 C.94 D.154 答案 B解析 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)， 所以F 1P →²F 2A →＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →²F 2A →的最大值为332.故B 正确．10．(2015²河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1) D ．[32，1) 答案 C解析 在椭圆长轴端点向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小，若椭圆C 1上存在点P 令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°.∴sin α＝b a ≤sin45°＝22，解得a 2≤2c 2，∴e 2≥12. 即e ≥22.而0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈[22，1)． 11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．答案x 216＋y 28＝1 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y28＝1.12．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.答案 2解析 设右焦点为F ′，由OM →＝12(OP →＋OF →)知M 为线段PF 中点，∴|OM →|＝12|PF ′→|＝12(10－6)＝2.13．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →²AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．答案3解析 ∵PM →²AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.14．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210解析 显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连接BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为 2a ＋|A 1B |＝2³5＋62＋22＝10＋210.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝ca ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2014²新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27思路 本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．(1)将M ，F 1的坐标都用椭圆的基本量a ，b ，c 表示，由斜率条件可得到a ，b ，c 的关系式，然后由b2＝a 2－c 2消去b 2，再“两边同除以a 2”，即得到离心率e 的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF 1F 2是“焦点三角形”，则可利用△MF 1F 2的三边比值快速求解，有：|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝2c ³34＝32c ，则|MF 1|＝52c ，由此可得离心率e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝12.(2)利用“MF 2∥y 轴”及“截距为2”，可得y M ＝b 2a ＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN |＝5|F 1N |”为向量形式，可得到N 的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a ，b 的值．解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点．故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2 －c －x 1 ＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 a 2－4a 4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.4．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M ，N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4³2＝8.5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12(－4≤x 0≤4)． ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.。
【全套】全国新课标通用2016年高考数学(文)专题复习：题型专训
【全套】全国新课标通用2016年高考数学（文）专题复习：题型专训目录第二部分 题型专训 (1)客观题限时练(一) (1)客观题限时练(二) (5)客观题限时练(三) (9)客观题限时练(四) (14)中档题满分练(一) (18)中档题满分练(二) (19)中档题满分练(三) (21)压轴题突破练 (24)参考答案 (25)第二部分 题型专训客观题限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，B ＝{x |x 2－x ＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1]∪(2，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，2)C ．∅D ．(1，2]2．(2015·长沙模拟)已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．(2015·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．在△ABC 中，若sin A sin A cos C ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．(2015·西安质检)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频数分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则()A ．m e ＝m o ＝x －B ．m e ＝m o ＜x －C ．m e ＜m o ＜x －D ．m o ＜m e ＜x － 6．(2015·日照调研)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34B.14C.211 D ．47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)8．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(3，6)，则向量p 与q 共线的概率为( )A.118B.112C.19D.299．(2015·武汉质检)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )10．设数列{a n }是首项为－12，公差为d (d ≠0)的等差数列，S n 是其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则公差d 的值为( )A ．－1B ．－12 C.18 D.1211．(2015·衡水中学质检)当向量a ＝c ＝(－2，2)，b ＝(1，0)时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．512．(2015·郑州一中模拟)设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.x 23－y 2＝1B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.y 212－x 24＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·巴蜀中学一模)公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．14．(2015·莱芜调研)直线y ＝x ＋1被圆x 2－2x ＋y 2－3＝0所截得的弦长等于________．15．(2015·西安调研)某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为π3的扇形，则该几何体的体积为________．16．(2015·莱芜质检)设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω＞0，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f (x )＝4x ；②f (x )＝x 2＋2；③f (x )＝2x x 2－2x ＋5；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤ 4|x 1－x 2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．客观题限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝( ) A. 2B.223 C ．2 2 D ．12．(2015·济南模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0}，N ＝{x |x ＞a }．若∁R M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x＋3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－32B ．－52C ．－72D ．－24．(2015·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，85．(2015·青岛质检)已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π12个单位后，得到函数g (x )的图象，则“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．(2015·济南调研)某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝8.5x ＋7.5，则表中的m 的值为( )A.50 B ．55 C ．60D ．65 7.如果执行右侧的程序框图，那么输出的S 的值为( )A ．1 740B ．1 800C ．1 860D ．1 9848．(2015·北京东城区质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－129．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n11．(2015·济南调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点(3，0)，且一条渐近线被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±255xC ．y ＝±663xD ．y ＝±26x12．若直角坐标系中有两点P ，Q 满足条件：(1)P 、Q 分别在函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象上，(2)P 、Q 关于点(1，0)对称，则对称点对(P ，Q )是一个“和谐点对”．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx ( －2≤x ≤4)的图象中“和谐点对”的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2014·福建高考)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________．15．在椭圆x 216＋y 29＝1内，通过点M (1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．客观题限时练(三)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，在复平面内，向量OA→对应的复数为z，则复数z2·i＝()A．－3－4i B．5＋4iC．4＋3i D．3－4i2．设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}3．(2015·莱芜调研)在数列{a n}中，已知S1＝1，S2＝2，且S n＋1＋2S n＝3S n(n≥2且n∈N*)，则此数列为()－1A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列4．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是()A．f(x)＝sin x B．f(x)＝sin x cos xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝cos 2x －sin 2x 5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．－94B.94C.274 D ．9 6．(2015·日照质检)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 7．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π49．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．510．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．211．(2015·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.1212．设函数f (x )的定义域为D ，若任取x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 满足f （x 1）＋f （x 2）2＝M ，则称M 为函数y ＝f (x )在D 上的均值，给出下列五个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝4sin x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝e x ，则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为( )A ．①③B ．①④C ．①④⑤D ．②③④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2015·南京调研)如图是某电视台青年歌手大奖赛上七位评委给某选手打出的分数茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，若这组数据的中位数与平均数相等，则m ＝________．14．(2015·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．15．已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，若关于x的方程f(x)＝|log a|x||(a＞0，a≠1)在[－2，3]上有5个根，则a的取值范围是________．16．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．客观题限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足i z＝2＋4i，则z在复平面内对应的点的坐标是() A．(4，2) B．(2，－4)C．(2，4) D．(4，－2)2．已知集合M＝{x|y＝lg(2x－x2)}，N＝{x|x2＋y2＝1}，则M∩N＝()A．[－1，2) B．(0，1)C．(0，1] D．∅3．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.23π＋6B.113πC.116πD.23＋6π5．(2015·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝1的相邻交点之间的距离为π，f (x )的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π3上单调递减 6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 2 7．(2015·湛江市调研)在△ABC 中，边a 、b 所对的角分别为A 、B ，若cos A ＝－35，B ＝π6，b ＝1，则a ＝( )A.85B.45C.165D.588．(2015·衡水调研)a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则 cos(a π－θ)的结果是( )A ．cos θB ．－cos θC ．sin θD ．－sin θ9．(2015·济南模拟)若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，5]B ．[－5，5]C ．[4，5]D ．[－5，4]10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.2＋12B.2＋1C.3＋12D.3＋111．(2015·北京海淀区调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点，则∠B 的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 12．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．已知不共线的平面向量a ，b 满足a ＝(－2，2)，(a ＋b )⊥(a －b )，那么|b |＝________．14．(2015·潍坊质检)在数列{a n }中，已知a 2＝4，a 3＝15，且数列{a n ＋n }是等比数列，则a n ＝________．15．(2015·河北石家庄二模)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0上运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是________． 16．(2015·南京调研)定义域是R 的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是R 上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②f (x )＝x 2是一个“λ的相关函数”；③“12的相关函数”至少有一个零点；④若y ＝e x 是“λ的相关函数”，则－1＜λ＜0.其中正确的命题序号是________．中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin (A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n. 中档题满分练(二)1．已知函数f(x)＝2a sin ωx cos ωx＋23cos2ωx－3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(3cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n；②若16P n＋6n3n≤40027成立，求n的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f(x)＝－2x ln x＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，半焦距为c ，B (0，1)为其上顶点，且a 2，c 2，b 2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e ；(2)P ，Q 为椭圆上的两个不同的动点，且k BP ·k BQ ＝e 2.(ⅰ)试证直线PQ 过定点M ，并求出M 点坐标；(ⅱ)△PBQ 是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ 的斜率；否则请说明理由．参考答案第二部分 题型专训客观题限时练(一)1．D [易知A ＝[0，2]，B ＝{x |x ＜0或x ＞1}．∴A ∩B ＝(1，2]．]2．A [求出z 1·z －2的虚部，令其为0，∵复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，∴z 1·z －2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，∵z 1·z －2是实数，∴4t －3＝0，∴t ＝34.] 3．D [将直线类比到平面，可知①、④正确．]4．A [∵sin A －sin A cos C ＝cos A sin C ，∴sin A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )．由于A ，A ＋C ∈(0，π)．所以A ＝π－(A ＋C )，又B ＝π－(A ＋C )，因此A ＝B ，△ABC 为等腰三角形．]5．D [由频数分布直方图知，众数m o ＝5，中位数m e ＝5＋62＝5.5，平均数x ＝2×（3＋8＋9＋10）＋3×（4＋7）＋10×5＋6×630＝17930≈5.97.因此x ＞m e ＞m o .]6．B[先画出x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a 的可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得C (a ，a )，平移直线2x ＋y ＝0，当直线过点C (a ，a )时，目标函数z ＝2x ＋y 有最小值，且z min ＝3a ；当直线过点B (1，1)时，函数z ＝x ＋y 取最大值，且z max ＝3.依题意，得3＝4×3a ，则a ＝14.]7．D [当x ＞0时，2x －1＝0，得x ＝12，依题意知，当x ≤0时，e x＋a ＝0必须有实根．∴x ＝ln(－a )≤0，则1≥－a ＞0，所以－1≤a ＜0.]8．B [抛两次骰子共有36个基本事件，由向量p 与q 共线得6m ＝3n ，即2m ＝n ，符合要求的(m ，n )有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种情况，则向量p 与q 共线的概率为336＝112.]9．C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，选C.]10．A [∵{a n }是首项为－12的等差数列，∴S n ＝－12n ＋n （n －1）2d ，又S 1，S 2，S 4成等比数列． ∴(－1＋d )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－2＋6d )，即d 2＋d ＝0，解之得d ＝0，或 d ＝－1，由于d ≠0，从而d ＝－1.]11．C [执行一次循环后，i ＝1，c ＝(－2，2)＋(1，0)＝(－1，2)； 执行两次循环后，i ＝2，c ＝(－1，2)＋(1，0)＝(0，2)；执行第三次循环后，i ＝3，c ＝(0，2)＋(1，0)＝(1，2)；执行第四次循环后，i ＝4，c ＝(1，2)＋(1，0)＝(2，2)；此时a·c ＝(－2，2)·(2，2)＝0，输出i ＝4.]12．C [抛物线x 2＝8y 的焦点为F (0，2)，∴双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝2，显然A 、B 不满足，验证选项C 、D ，方程y 2－x 23＝1满足．] 13.14 [该人能等到公共汽车的概率为20－1520－0＝14.] 14．22 [圆(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，半径r ＝2，∴圆心C (1，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1－0＋1|2＝2， 因此所求弦长为2r 2－d 2＝2 2.]15．2π [由三视图知，该几何体是底面为扇形面的柱体(如图)．∵S 底＝12·r 2·α＝12×22×π3＝2π3，∴V 柱体＝3·S 底＝2π.]16．①③④ [显然①f (x )＝4x 满足|f (x )|＝4|x |，f (x )为“条件约束函数”．②f (x )＝x 2＋2，取|x |＞ω时，|f (x )|＝x 2＋2＞ω|x |＋2＞ω|x |，∴②中f (x )不是“条件约束函数”．③中，x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，则|f (x )|≤|2x |4＝12|x |，满足条件． ④中，由于y ＝f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，令x 1＝x ，x 2＝0，则|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|⇒|f (x )|≤4|x |.综上可知①③④中函数为“条件约束函数”．]客观题限时练(二)1．D [⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 32＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝1.] 2．A [由x 2－2x －3≥0，得x ≥3或x ≤－1，∴M ＝{x |x ≥3或 x ≤－1}，则∁R M ＝{x |－1<x <3}．由于∁R M ⊆N ，得a ≤－1.]3．B [由于f (x )在R 上为奇函数，且当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x ＋3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝－52.] 4．B [由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为6，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此，其侧面积为12×（6）2－12×2×4＝45，其体积为13×22×2＝83.]5．A [依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，g (x )为偶函数⇔π6＋φ＝k π，φ＝k π－π6，k ∈Z ，所以“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．]6．C [由表格知：x －＝5，y －＝190＋m 5.又回归直线y ^＝8.5x ＋7.5过点(x －，y －)．∴190＋m 5＝8.5×5＋7.5，解得m ＝60.]7．C [由程序框图知，输出的S ＝4(1＋2＋3＋…＋30)＝4×（1＋30）×302＝1 860.] 8．D [如图作出可行域，平移l 0：y －x ＝0，过点A 时，z 取最小值，此时x ＝－2k ，y ＝0，所以0＋2k ＝－4，解得k ＝－12.]9．B [甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.]10．A [由已知得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左右分别相加，得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝2＋ln n ．故选A.]11．B [在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，c ＝3，且bx －ay ＝0是一条渐近线，又bx －ay ＝0被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，∴圆心(3，0)到bx－ay ＝0的距离d ＝8－22＝2，则|3b |a 2＋b 2＝2，即3b c ＝2，b ＝2.从而a ＝c 2－b 2＝5，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±255x .]12．C [依题意，若P (x ，y )，则Q (2－x ，－y )，(P ，Q )为“和谐点对”．∵点P 、Q 分别在y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)，y ＝11－x 的图象上．∴y ＝2sin πx ，－y ＝1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫即y ＝－1x －1， 在同一坐标系中，作y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)与y ＝－1x －1的图象，可知，两图象有4个交点，故“和谐点对”(P ，Q )有4个．] 13．0.18 [依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S阴影＝0.18.]14．－29 [如图所示，∵CM →＝13CB →＋12CA →，∴MA →＝CA →－CM →＝12CA →－13CB →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →.又CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 60°＝12，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →－13CB → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－14CA →2－29CB →2＋12CA →·CB →＝－29.]15．9x ＋16y －25＝0 [设过点M (1，1)的弦交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减（x 1－x 2）（x 1＋x 2）16＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9.又x 1＋x 2＝2，且y 1＋y 2＝2， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9（y 1＋y 2）16（x 1＋x 2）＝－916. 故所求直线的方程为y －1＝－916(x －1)， 即9x ＋16y －25＝0.]16．－3 [由曲线y ＝ax 2＋bx 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b2 (1)．又y ′＝2ax －b x 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)． 由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]客观题限时练(三)1．C [由复数的几何意义，OA →对应复数z ＝－2＋i ，∴z 2·i ＝(－2＋i)2·i ＝(3－4i)·i ＝4＋3i.]2．B [A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]3．D [∵S n ＋1＋2S n －1＝3S n (n ≥2)，∴S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1), 即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 2－S 1＝1≠0，∴当n ≥2时，{a n }为等比数列，且公比为2，又a 1＝1，a 2＝1，则a 2a 1≠2，因此D 正确．]4．D [由f (x )＝f (－x )知f (x )为偶函数，又f (x －π)＝f (x )，∴f (－x －π)＝f (－x )，则f (x ＋π)＝f (x )，∴y ＝f (x )的最小正周期为π.在选项D 中，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 为偶函数，且最小正周期为π.]5．C [由于|AB →|＝|BC →|，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．∴|AD →|＝|AB →|sin 60°＝332，且〈AD →，AC →〉＝30°，因此AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 30°＝332×3×32＝274.]6．C [由程序框图知，S ＝lg 13＋lg 35＋lg 57＋…＋lg k k ＋2＝lg 1k ＋2，令S＝lg1k ＋2＜－1，解得k ＞8(k ∈N *)，此时k ＋2＞10，即k ＝11(k ∈N *)．] 7．B [当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能．当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a ，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a .所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a 之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 是不可能的．故选B.]8．B [根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.]9．D [不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又2|PF 1|＝|PF 2|＋2c ，② 联立①，②得|PF 1|＝2c －2a ，则|PF 2|＝2c －4a ，依题意∠F 1PF 2＝90°， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，即4(c －a )2＋4(c －2a )2＝4c 2.则(c －a )(c －5a )＝0， ∴c ＝5a ，故离心率e ＝ca ＝5.]10．B [法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.]11．B [由图形知C (1，2)，D (－2，2)， ∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32. ∴P ＝326＝14.]12．B [由于y ＝x 2，y ＝e x 的值域分别为[0，＋∞)和(0，＋∞)， 当f (x 1)＞4时，则f (x 2)＝4－f (x 1)＜0，x 2不存在．因此②y ＝x 2，⑤y ＝e x 不满足均值为2.又③y ＝4sin x 为周期函数，则x 2不唯一，③不满足．由于①y ＝x 与④y ＝ln x 的值域为R ，且在(－∞，＋∞)上单调，因此①④满足．]13．0 [由茎叶图知，中位数为86.根据题意，有 78＋84＋85＋86＋87＋92＋90＋m7＝86，解得m ＝0.] 14．－14 [因为2sin B ＝3sin C ，所以2b ＝3c ，联立b －c ＝14a ，解得b ＝3c2，a ＝2c ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]15.⎝⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞) [由f (x －1)＝f (x ＋1)知y ＝f (x )的最小正周期T＝2，在同一坐标系中作y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象，由于方程f (x )＝|log a |x ||在x ∈[－2，3]上有5个根，∴y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象有5个交点．根据图象特征，应有|log a 3|≤1，则a ≥3或0＜a ≤13.]16．3 [f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a ＝3.]客观题限时练(四)1． D [∵z ＝2＋4i i ＝4＋2i ＝4－2i ，∴复数z 对应的点的坐标是(4，－2)．]2．C [由2x －x 2＞0，得0＜x ＜2，则M ＝(0，2)． 又N ＝{x |x 2＋y 2＝1}＝{x |x 2≤1}＝[－1，1]， 所以M ∩N ＝(0，1]．]3．C [由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C.]4．C [由三视图可知，该几何体为半圆柱与半圆锥的组合体(如图)．∵S 底＝12×π×12＝π2，所以几何体的体积V ＝3×π2＋13×2×π2＝116π.]5．C [由T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，则f (x )＝sin 2x ，依题意，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0≠±1， ∴选项A 、B 不正确．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上是增函数．]6．D [对平均数和方差的意义深入理解可巧解．因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D.] 7．A [由题意得，0＜A ＜π，sin A ＞0， 故sin A ＝1－cos 2A ＝45.由正弦定理知，a sin A ＝b sin B ⇒a ＝sin A ×b sin B ＝45×1sin π6＝85.]8．B [根据执行语句a ＝11－a 及a ＝2知，a 的取值具有周期性，且最小正周期T ＝3.当i ＝2 014时，执行循环体，a ＝－1，则i ＝2 015， 这时i ＝2 015不满足条件i ＜2 015，输出a ＝－1， 因此cos(a π－θ)＝cos(－π－θ)＝－cos θ.] 9．A [若m ＝－5时，由x 2≤4－|2x －m |(x ≥0)，得 x 2≤4－(2x ＋5)，则x 2＋2x ＋1≤0，∴(x ＋1)2≤0在[0，＋∞)上无解，m ＝－5不满足． 若m ＝－4时，由条件，得x 2≤4－(2x ＋4)，∴x 2＋2x ≤0，则－2≤x ≤0在[0，＋∞)上有解x ＝0. ∴当m ＝－4时，满足题设要求，比较选项，可知A 正确．] 10．D [∵(OP →＋OF →2)·F 2P →＝0，且F 2P →＝OP →－OF →2， ∴OP→2－OF →22＝0，则|OP →|＝|OF →2|.在△F 1PF 2中，|OP →|＝|OF →2|＝|OF →1|， 则∠F 1PF 2＝90°.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|，得|PF 2|＝2a3－1＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a .由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴[(3＋1)2＋(3＋3)2]a 2＝4c 2，则c 2＝(4＋23)a 2.因此e ＝c a ＝4＋23＝3＋1.]11．C [f ′(x )＝x 2＋2bx ＋a 2＋c 2－ac ，且f (x )有极值点，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等实根，Δ＝4b 2－4(a 2＋c 2－ac )＞0， 则ac ＞a 2＋c 2－b 2.由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＜12，又y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，因此π3＜B ＜π.]12．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1无解； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]13．22 [∵(a ＋b )⊥(a －b )，且a ＝(－2，2)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0， 则a 2＝b 2，|b |＝|a |＝2 2.]14．2·3n －1－n [由a 2＝4，a 3＝15， 得a 2＋2＝6，a 3＋3＝18. 又数列{a n ＋n }是等比数列， ∴公比q ＝a 3＋3a 2＋2＝3，首项a 1＋1＝63＝2. 因此a n ＋n ＝2·3n －1， 故a n ＝2·3n －1－n .]15．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [画出可行域如图，w ＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以w ＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]16．③④ [①不正确，设f (x )＝c (常数)，则c ＋λc ＝0. ∴当λ＝－1时，f (x )＝c 均是R 上的“λ相关函数”．②不正确，假设f (x )＝x 2是“λ的相关函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即x 2(1＋λ)＋2λx ＋λ2＝0对x ∈R 恒成立，应有1＋λ＝0且2λ＝0，无实解．③正确，当λ＝12时，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0.若f (x )＝0，则y ＝f (x )有零点． 若f (x )≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝－12f (x )，∴f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0. 从而y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫x ，x ＋12内有零点．④当f (x )＝e x 时，依题意e x ＋λ＋λe x ＝0对x ∈R 恒成立． ∴λ＝－e λ，则λ＜0，从而－e λ＞－1， 因此－1＜λ＜0，命题④正确． 综合①②不正确，③④正确．]中档题满分练(一)1．解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝csin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.2．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.3．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .4．解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 中档题满分练(二)1． 解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)(其中cos φ＝a a 2＋3，sin φ＝3a 2＋3)， 由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1， 由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，则有cos φ＝12，sin φ＝32，取φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 2．解 (1) ∵b n ＝3n ，则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3，由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3.(2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，∴c n ＋1－c n ＝－2n (n ∈N *)，则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，…∴c n －c n －1＝－2n －1(n ≥2)，以上式子累加得c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)，其中c 1＝－1也满足上式．因此c n ＝1－2n (n ∈N *)，则c n ＋1＝1－2n ＋1＝2(1－2n )－1＝2c n －1，{c n }是“M 类数列”．3．(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 4．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x －甲＝1015＝23； 方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29.乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x －乙＝915＝35； 方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625. 因为x －甲＞x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1， ∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4·sin π3＝ 3.2．解 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为p＝110. 3．(1)证明设E为BC的中点，连接AE，A1E，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC ⊥AE ，AE ∩A 1E ＝E ，所以BC ⊥平面AA 1DE . 所以BC ⊥A 1F ，又DE ∩BC ＝E ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4.DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80， ∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1.(2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n＝n ＋14·3n －1. ∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**) (*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1. 因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ， 解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1．(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)证明 由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0， 解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2 ＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0，。
【文理通用】2016届高考数学第一轮 专项强化训练(6-4)
【文理通用】2016届高考数学第一轮专项强化训练(4)立体几何的综合问题1.如图,在边长为1的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=错误！未找到引用源。
.(1)证明:DE∥平面BCF.(2)证明:CF⊥平面ABF.(3)当AD=错误！未找到引用源。
时,求三棱锥F-DEG的体积V F-DEG.【解析】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥FC,BF=CF=错误！未找到引用源。
.因为在三棱锥A-BCF中,BC=错误！未找到引用源。
,所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF.因为BF∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.V F-DEG=V E-DFG=错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
·DG·FG·GE=错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.【加固训练】(2015·佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=错误！未找到引用源。
AB=2,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D -ABC,如图2所示.(1)求证:AD⊥BC.(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB.【解析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2错误！未找到引用源。
,从而AC2+BC2=AB2, 所以AC⊥BC.因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面ADC.又AD⊂平面ADC,所以AD⊥BC.(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,因为E,F分别为AC,DC的中点,所以AD∥EF,EF⊂平面EFB,AD⊄平面EFB,所以AD∥平面EFB.2.(2015·南阳模拟)如图所示,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,AE⊥平面CDE.(1)求证:AB⊥平面ADE.(2)在线段BE上存在点M,使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为错误！未找到引用源。
2016年高考数学(理)冲刺卷(新课标Ⅰ卷) 06(考试版) 无答案
绝密★启用前2016年高考冲刺卷（6）(新课标Ⅰ卷）理科数学试卷全卷满分150分 考试时间120分钟第Ⅰ卷(共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合{}220,A x xx x =∣--≤∈R，{}lg(1)1,B x x x =∣+<∈Z ，则AB =（ )A.(0,2) B 。
[]0,2 C.{}0,2 D 。
{}0,1,2 2．在复平面内，复数12i+ （其中i 是虚数单位）对应的点位于（ )A 。
第一象限 B.第二象限 C 。
第三象限 D.第四象限3．若命题21:(0,),log ()1p x x x ∀∈+∞+≥ ，命题200:,10q xx x ∃∈-+≤R ，则下列命题为真命题的是（ ）A 。
p q ∨B 。
p q ∧C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知,sin 2cos 0ααα∈+=R 则tan 2α=（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．43-5．从0，2中选一个数字,从3，5,7中选两个数字，组成无重复数学的三位数,其中奇数的个数为( )A ．18B ．16C ．12D ．106．从1,2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ,执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为（ ） A ．34B ．58C ．78D ．127．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A ．476B ．152C ．233D ．88．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为(）A ．23B ．25C ．43D ．459．已知()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><满足1()(),(0)22f x f x f π=-+=，则()2cos()g x x ωϕ=+在区间[0,]2π上的最大值为（ ） A ．4 B ．3C ．1D ．－210．在ABC ∆中,ACAB ACAB -=+， 2, 1AB AC =＝，, E F 为BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝（)A ．89B ．109C ．259D ．26911．已知三棱锥ABC P -中,4=PA ，32==AC AB ，6=BC ，ABC PA 面⊥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π32C ．π64D ．π128 12．已知函数2()ln f x x x =-与3()g x xax =-的图象上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,e)-∞B ．(,e]-∞C ．1(,)e-∞ D ．1(,]e-∞第Ⅱ卷(共90分）二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13．二项式621(2)x x+的展开式中,常数项的值是___________． 14．若变量,x y 满足约束条件4,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且2z x y =+的最小值为6-，则k =___________．15．在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150xy x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是___________． 16．在ABC∆中,cb a ,,分别为内角CB A ,,所对的边，,c b =且满足sin 1cos sin cos B BA A-=．若点O 是ABC ∆外一点，,22),0(==<<=∠OB OA AOB πθθ则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分)已知数列{}na 的前n 项和nS 和通项na 满足21n n S a +=,数列{}n b 中，11b =,212b =，()*12211n n n n N b b b ++=+∈．(1)求数列{}{},nna b 的通项公式；(2)数列{}nc 满足nnna cb =，求证：12334n c cc c +++⋅⋅⋅+<．18．(本小题满分12分）如图,在四棱锥ABCDP -中,平面⊥PAD 平面ABCD ，CD AB //,在锐角PAD∆中PD PA =,并且82==AD BD ，542==DC AB 。
云南省昆明市第一中学2016届高三第六次考前基础强化理数试题 含解析
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1。
已知集合{0,1,2}M =，集合{|2,}N y y x x M ==∈,则（ ) A ．{0,2}MN =B ．{0,2}M N =C ．M N ⊆D ．M N ⊇【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}|2,0,2,4N y y x x M ==∈=，所以{}0,2M N =，选A ．考点：集合的运算．2.已知复数1()1ai z a R i+=∈-,若z 为纯虚数,则a 的值为（ ）A ．—1B ．0C ．1D ．2 【答案】C考点:复数的运算与复数的概念．3.双曲线22:1916x y C -=的离心率为（）A ．34B ．35C ．43D ．53【答案】D 【解析】试题分析：因为29a=,216b =，所以22225c a b =+=，离心率53c e a ==,选D ．考点：双曲线的几何性质．4.学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示)，根据图中所给的数据可知a b +=()A ．0.024B ．0。
036C ．0.06D ．0。
6【答案】C 【解析】试题分析：由图得,(0.010.0180.012)101a b ++++⨯=，得0.06a b +=,选C ． 考点：频率直方图的应用．5。
41()x x-的展开式中常数项为( ）A ．-4B ．-1C ．1D ．6 【答案】D考点：二项式定理的应用． 6.已知命题1:,222xx p x R ∀∈+>；命题:[0,]2q x π∃∈，使1sin cos 2x x +=,则下列命题中为真命题的是（）A．p q∧B．p q⌝∧⌝∧⌝D．p q⌝∧C．p q【答案】D【解析】试题分析：因为命题p为假命题,命题q为假命题，所以p q⌝∧⌝为真命题，选D．考点：命题的真假判定．7。
若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ）A．420π++B．1612π+D．1620π+C．1616π【答案】C考点：几何体的三视图与几何体的表面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、三棱锥的体积的计算公式，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐"的原则,还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积(表面积）或体积公式求解,同时准确计算也是解答的一个易错点． 8。
2016届高考数学理科一轮复习(北师大版)课件第6章高考专题突破三
c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N＋均有b ＋b ＋…＋b ＝an＋1 成立，求 n 1 2 c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
c1 c2 cn 解 由b ＋b ＋…＋b ＝an＋1，得 n 1 2 cn－1 c1 c2 当 n≥2 时，b ＋b ＋…＋ ＝an. b 1 2 n－1 cn 两式相减得，b ＝an＋1－an＝2. n
a1 a2 4 4 4
1 1 1 当 n≥3 时，a ＝n2< n－1n n 1 1 ＝ － ， n－1 n 1 1 1 1 此时a ＋a ＋a ＋…＋a n 1 2 3
解析
思维升华
例 3 (3)证明：对一切正整数 n， 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ＝1＋4＋32＋42＋…＋n2<1＋4 有a ＋a ＋…＋a <4. n 1 2
1 1 an 所以{ n }是以2为首项，2为公比的等比数列.
解析
思维升华
例2 (2)求通项an与前n项的
和Sn.
解析
思维升华
解
1 1 an 由{ n }是以2为首项，2
例2 (2)求通项an与前n项的
和Sn.
为公比的等比数列， an 1 1 n－1 得 n ＝2×(2) ， 1n 所以 an＝n×(2) . 1 12 13 ∴Sn ＝ 1· ( 2 ) ＋ 2· ( 2 ) ＋ 3· (2) 1n ＋…＋n· (2) ，
解析
思维升华
例1
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝
(1) 正确区分等差数列和等
比数列，其中公比等于 1的
1,2，…，求数列{bn}的前n项
等比数列也是等差数列.
(2) 等差数列和等比数列可
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【文理通用】2016届高考数学第一轮专项强化训练(6)
概率与统计的综合问题
1.(2015·桂林模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:后得到如图的频率分布直方图.
(1)求图中实数a的值.
(2)若该校高一年级共有学生500人,试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数.
(3)若从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
【解析】(1)由0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,可得a=0.03.
(2)数学成绩不低于60分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,数学成绩不低于60分的人数为500×0.85=425(人).
(3)数学成绩在的学生人数:40×0.1=4(人).
设数学成绩在的学生为A3,A4,A5,A6.
两名学生的结果为:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},
{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6}.共15种,其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有
{A1,A2},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4, A5},{A4,A6},{A5,A6}共7种,因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为错误！未找到引用源。
.
2.(2015·长沙模拟)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加A,B,C三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目A,B,C测试的概率为分别为错误！未找到引用源。
,且通过各次测
试的事件相互独立.
(1)若甲选手先测试A项目,再测试B项目,后测试C项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由.
(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列和期望(用p1,p2,p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.
【解析】(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为
故甲选手能通过海选的概率为
若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,
因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为
即无论按什么顺序,其能通过海选的概率均为错误！未找到引用源。
.
(2)依题意,ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ=1)=p1,P(ξ=2)=(1-p1)p2,P(ξ=3)=(1-p1)(1-p2)p3.
故ξ的分布列为
E(ξ)=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3,
分别计算当甲选手按C→B→A,C→A→B,B→A→C,B→C→A,A→B→C,A→C→B的顺序参加测试时,E(ξ)的值,得甲选手按C→B→A的顺序参加测试时,E(ξ)最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛,故该选手选择将自己的优势项目放在前面,即按C→B→A的顺序参加测试更有利于进入正赛.
3.(2015·重庆模拟)某单位实行休年假制度三年以来,50名职工休年假的次数进行的调查统计
结果如表所示
根据上表信息解答以下问题:
(1)该单位任选两名职工,用η表示这两人休年假次数之和,记“函数f(x)=
x2-ηx-1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率P(A).
(2)从该单位任选两名职工,用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).
【解析】(1)函数f(x)=x2-ηx-1过(0,-1)点,在区间(4,6)上有且只有一个零点,则必有错误！未找到引用源。
,即错误！未找到引用源。
所以,η=4或η=5.
η=4与η=5为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式,
所以P(A)=P1+P2=错误！未找到引用源。
(2)依题设可知ξ的可能取值为0,1,2,3.
故ξ的分布列为:
4.(2015·西安模拟)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有L1,L2两条巷道通往作业区,L1巷道有A1,A2,A3三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是错误！未找到引用源。
;L2巷道有B1,B2两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为错误！未找到引用源。
.
(1)求L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率.
(2)若L2巷道中堵塞点个数为X,求X的分布列及数学期望E(X),并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.
【解析】(1)设“L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A,则
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.
所以,随机变量X的分布列为:
(方法一)设L1巷道中堵塞点个数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3. P(Y=0)=
错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
,P(Y=1)=错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
,
所以,随机变量Y的分布列为:
E(Y)=0×错误！未找到引用源。
,因为E(X)<E(Y),所以选择L2巷道为抢险路线为好.
(方法二)设L1巷道中堵塞点个数为Y,则随机变量Y～B错误！未找到引用源。
,所以E(Y)=3×错误！未找到引用源。
.
因为E(X)<E(Y),所以选择L2巷道为抢险路线为好.
5.为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图:
规定:当产品中的此种元素含量不小于18毫克时,该产品为优等品.
(1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率.
(2)从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望E(ξ).
(3)从甲厂的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回地随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.
【解析】(1)甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为:错误！未找到引用源。
乙厂抽取的样本中优等品有5件,优等品率为:错误！未找到引用源。
.
(2)ξ的取值为0,1,2,3.
ξ的分布列为
ξ的数学期望为E(ξ)=0×错误！未找到引用源。
.
(3)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即A=“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件”,B=“抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件”.则
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为:P(A)+ P(B)=错误！未找到引用源。
6.某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费1.1万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域A,B,C,D,E所对应的圆心角的比值为1∶2∶3∶4∶5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域C,可获得价值3元的学习用品).
(1)预计全校捐款10元者将会达到1500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?
(2)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.
【解析】(1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E.
则其概率分别为
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ξ,则ξ的分布列为:
若捐款10元者达到1500人次,那么购买学习用品的款项为1500E(ξ)=
3500(元),
除去购买学习用品的款项后,剩余款项为1500×10-3500=11500(元),故剩余款项可以帮助该
生完成手术治疗.
(2)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F,则P(F)=错误！未找到引用源。
×
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为错误！未找到引用源。
.。