2020届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期高考模拟考试数学(文)试题

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2023辽宁重点中学协作体高三模拟考试语文试题(含答案解析)

辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试语文考试时间：150分钟满分：150分一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：“色”字，按照明末闵齐假在《六书通》中的考证，最早的写法，乃是一个人驮着另一个人，仰承其脸色。

而东汉许慎在《说文解字》里也注解说：“色，颜气也。

”也就是说，“色”在中文里，最初的含义，是指人们的脸色。

孔夫子讥讽喜欢作秀的人，说："君子者乎，色庄者乎？"太史公描写秦舞阳的外强中干，说他刺嬴政时"色变振恐"：乃至杜工部盛赞公孙大娘剑舞绝技，说围观群众"观者如山色沮丧"，用的都是"色"字的本义。

这个本义，显然是主观见之于客观的产物，是人们内在的情绪通过面部肌肉、眉眼口鼻这些物质的具体形态表现出来的结果。

现在我们还常说“喜形于色”、“谈癌色变”，仍用的是脸色的意思。

当然，现在说"色"，多以"色彩"这一含义为主，似乎更强调其客观性。

科学家们说，什么是色彩呢，就是物体发射或反射的光，通过视觉所产生的印象。

应该有很多人，小时候都曾经拿着三棱镜，去分解阳光的色彩吧。

事实上，人类眼睛的特殊构造，可以使我们看到可见光形成的所有色彩。

我们的祖先，虽然没有掌握物理学与人体解剖学的先进知识，无法客观地分析色彩的发生机制，但却敏锐把握到了色彩可能对人产生的影响。

老子说"五色令人目盲"，就是因为他发现人类可能因贪婪和孱弱，而在这个色彩斑斓的世界里迷失。

然而世人几乎没有睿智如老子的，所以都听不进老子的话。

人说到底是感性的动物，容易依赖感官，也容易沉溺于感官。

江淹"见红兰之受露，望青楸之离霜"，离愁别绪更重，作了黯然销魂的千古一叹；范仲淹的碧云天，黄叶地"，却衬出了大英雄羁旅思乡的寸寸柔肠。

辽宁部分重点中学协作体2020年高三数学(文)高考模拟试卷附答案解析

已知平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的方程为
x2 16
y2 2
1 ，以原点 O 为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos( ) 6
3 ．若将曲线 C1
上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得曲线 C2 ．
（1）写出直线 l 和曲线 C2 的直角坐标方程；
2，b
1
23
,
c
20.3
，则
a、b、c
的大小关系是（
）
A．a<b<c
B，a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
4．已知某企业 2020 年 4 月之前的过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如下：
由此所得回归方程为 yˆ 12x a ，若 2020 年 4 月广告投入 9 万元，可估计所获利润
分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然
暴露在高达 150 分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳
完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过 90 分贝，一般地，如果强度为 x 的声音
对应的等级为
f
( x)dB
，则有
f
(x)
10
lg
A． 4 3
B．
32 3
C．12
D．
64 3
11．已知过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长线交抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（）

2020年辽宁省高考数学(文科)模拟试卷(3) 含详细答案解析

A，且 |AF |＝ c，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（
）
A ．（ 1， √3]
B ．（1， 2）
C． [ √2 ， 2）
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
D．（ 2，+∞）
13．（5 分）如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，
第 2页（共 18页）
C． log23＜ 0.23＜ log 30.2
D． 0.23＜ log 30.2＜ log23
【解答】解：∵ log23＞ log 22＝ 1， 0＜ 0.23＜ 0.20＝ 1，
log30.2＜ log 31＝0， ∴ log30.2＜0.23＜ log 23．
故选： A．
8．（ 5 分）已知直线 m，n 分别在两个不同的平面 α，β内，则“ m⊥ n”是“ α⊥ β”的（）
第 5页（共 18页）
2020 年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（ 3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知 A＝{ x∈N*|x≤ 3} ， B＝ { x|x2﹣ 4x≤ 0} ，则 A∩ B＝（
）
A ．{1 ， 2， 3}
B ．{1 ， 2}
（当且仅当 P、 A、 M 共线时取等号），故选： A．
6．（ 5 分）在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排
6 人的座位，使他们在如图所示的 6 个椅
子中就坐，且相邻座位（如 1 与 2，2 与 3）上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这
6 人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在
1 号位置上，则 4 号位置上坐的是（

辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学文科试卷带答案

姓名：考生考号：辽南协作2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题数学（文科）时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知{}0)1(>−=x x x A ，{}1<=x x B ，则A U B=（）A ．)1,0(B ．RC ．)1(，−∞D ．),1()1(+∞−∞U ， 2．已知)2,5(−=a ，)3,4(−−=b ，若032=+−c b a ，则=c （） A ．38313(， B ．)38313(−−， C ．)34313(， D ．)34313(−−， 3．如图，复平面上的点4321Z Z Z Z ，，，到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数i z ⋅（i 为虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A ．1ZB ．3ZC ．2ZD ．4Z4．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，……，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（） A ．27 B ．26 C ．25 D ．24 5．已知a>b ．则条件“c ≤0”是条件“bc ac <”的（）条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 4设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥lD ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l 7．某个家庭有三个孩子，，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是（）A ．43 B ．83 C ．74 D ．21 8．已知函数),0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则函数)cos()(ϕω+=x A x g 图像的一个对称轴可能为（）A ．2=xB ．8=xC ．6−=xD ．2−=x9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数x x f x x cos 1212)(−+=的图象大致是（）10．已知数列{}n a 满足N n n a a n n ∈=−+,21．则∑=−ni i a a 211=（） A ．n n 111−− B ．n n 1− C ．n （n-1） D ．n2111．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（） A ．31 B ．21 C ．22 D ．4112．已知函数2)(ax e x f x −=，定义域为]2,1[，且对)2,1(21∈∀x x ，，当21x x ≠时都有212121)()(x x x x x f x f +<−−恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．),14[2+∞−eB ．),4[2+∞eC ．),2[4+∞eD ．),12[4+∞−e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。

辽宁省2020年部分重点中学协作体高考模拟数学(理科)试卷(含答案)

辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=x x f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．100007．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π 8．已知二项式nx x )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）A ．240B ．120C ．48D ．36 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（）A ．π34B ．332π C ．π12 D ．364π 11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。

2020年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|1≤x ≤3},B ={x|2<x <4},，则A ∪B =( )A. {x|2<x ≤3}B. {x|2≤x ≤3}C. {x|1≤x <4}D. {x|1<x <4}2. 若向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,−1)，c⃗ =(−1,2)，则c ⃗ 等于( ) A. a ⃗ +b ⃗ B. a ⃗ −2b ⃗ C. a ⃗ −b ⃗ D. −a ⃗ +b ⃗3. 如图，复平面上的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为Z 1，则复数z ：i(i 是虚数单位)的共轭复数所对应的点为( )A. Z 1B. Z 2C. Z 3D. Z 44. 某校高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )A. 27B. 26C. 25D. 245. 设a ，b ，c ∈R ，则“a +b >c ”是“a >c 且b >c ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为( )A. 若l//α，m ⊥β，l ⊥m ，则α⊥βB. 若l//α，m ⊥β，l ⊥m ，则α//βC. 若l//α，m ⊥β，l//m ，则α⊥βD. 若l//α，m ⊥β，l//m ，则α//β7. 某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( ) A. C 63(12)6 B. A 42(12)6 C. C 42(12)6 D. C 41(12)6 8. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (0)=( )A. −1B. √22C. 1D. −√229. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.如函数f (x )=x 4|4x −1|的图象大致是( ) A. B.C. D.10. 数列{a n }满足a 2=1，|a n+1−a n |=1n(n+2)，若a 2n+1>a 2n−1，a 2n+2<a 2n (n ∈N ∗)，则数列{(−1)n a n }的前2018项的和为 ( ) A. 20182019 B. 10092019C. 20172018D. 10082018 11. 在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左焦点，A,B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A. √22B. 12C. 13D. 14 12. 已知函数f(x)=e xx −ax ，x ∈(0,+∞)，当x 2>x 1时，不等式f(x 1)x 2−f(x 2)x 1<0恒成立，则实数a的取值范围为( )A. (−∞,e]B. (−∞,e )C. (−∞,e 2)D. (−∞,e2] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a>0且a≠1，函数y=log a(x−1)+√2的图象恒过定点P，若P在幂函数f(x)的图象上，则f(8)=______ ．14.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布4尺，半个月(按15天计算)总共织布81尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为______ ．15.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A.B.C.D.四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为______．16.已知三棱锥S−ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=c·cosB+3a·sin(A+B)．(1)若ba=√3，求角C；(2)在(1)的条件下，若△ABC的面积为√3，求c的值．18.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如表：(1)画出茎叶图；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(单位：m/s)的数据的平均数、方差，你认为选谁参加比赛更合适并说明理由．19.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，点M为棱AE的中点．(1)求证：平面BMD//平面EFC；(2)若AB=1，BF=2，求三棱锥A−CEF的体积．20.已知函数f(x)=x4+54x−lnx−32．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．21.已知点M是抛物线C1：y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，(x一1)2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．(I)求抛物线C1的标准方程；(Ⅱ)求△APB面积的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，直线l的参数方程为为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(−2,1)，求l的斜率．23.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|．(1)当a=1时，求关于x的不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤4在[0,2]上恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的并集运算，为基础题．根据题意利用并集的定义即可得到结果．解：∵A ={x|1≤x <3}，B ={x|2<x ≤4}，∴A ∪B ={x|1≤x ≤4}．故选C ．2.答案：C解析：解：向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,−1)，c ⃗ =(−1,2)，c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ，可得(−1,2)=(λ+2μ,λ−μ)，{λ+2μ=−1λ−μ=2，解得λ=1，μ=−1，则c ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ．故选：C ．利用平面向量的基本定理，列出方程求解即可．本题考查向量的基本概念的应用，考查计算能力．3.答案：D解析：解：由题意可知复数z 所对应的点为Z 1，是虚部大于0的纯虚数，则复数z i 是正实数，对应点在x 正半轴，即Z 4，共轭复数是Z 4．故选：D ．判断复数的几何意义，利用复数的除法运算法则，推出结果即可．本题考查复数的基本概念，复数的几何意义，考查计算能力． 4.答案：A解析：本题主要考查系统抽样，属于基础题，由系统抽样的概念可得．解：从48人中利用系统抽样的方法抽取6人，则系统间隔为8，所以另一位同学的学号为19+8=27．故选A．5.答案：D解析：本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由“a>c且b>c”⇒a+b>2c，不一定得出a+b>c，反之也不成立．解析：解：由“a>c且b>c”⇒a+b>2c，不一定得出a+b>c，例如取a=−12，b=−34，c=−1，反之也不成立，例如取a=1，b=3，c=2．∴“a+b>c”是“a>c且b>c”的既不充分也不必要条件．故选：D．6.答案：C解析：解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l//α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l//α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l//α，m⊥β，l//m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l//α，m⊥β，l//m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．7.答案：B解析：。

辽宁省2020年部分重点中学协作体高考模拟数学(文科)试卷(含答案)

辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（文科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=x x f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．100007．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(πD ．Z k k ∈),0,4(π 8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中“物不知数”问题叙述如下:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”，即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，设计如图所示的程序框图，则框图中的“◇”处应填入（）A ．Z t ∈-212B ．Z t ∈-152C ．Z t ∈-72D ．Z t ∈-32 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（）A ．π34B ．332π C ．π12 D ．364π 11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．已知直线l 和m 是两条不同的直线，它们都在平面α外，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，121+=+n n a S 则n S = .16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以2PF 为底的等腰三角形，42=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知m =（2cosx ，sinx ），n =（cosx ，32cosx ），且)(x f =m ·n ．（1）求)(x f 在]2,0[π上的值域；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若3)2(=Af ，且a=2， b+c=4，求△ABC的面积.。

2020届辽宁省部分重点中学协作体高三高考模拟数学(文科)试题(解析版)

辽宁省部分重点中学协作体2020届高三模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析

辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（文科）试卷考试时间：120分钟考试分数：150分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1-12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =（）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【解析】【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A. i - B. iC. 1D. 1-【答案】D 【解析】【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b ，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12y x a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）A. 100万元B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【解析】【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解.【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=，所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-，当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（） A. 18 B. 24C. 48D. 36【答案】D 【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（）A. 10B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【解析】【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（） A. (2,0),k k Z π∈B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D.(,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【解析】【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈，所以函数tan 2y x =图象对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质应用，属于基础题.8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（）A.221a -∈Z B.215a Z -∈ C.27a -∈Z D.23a -∈Z 【答案】A 【解析】由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值，其中53a n =⨯+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221a -∈Z ，故选A ．9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()444f x x a x a a x x=++≥⋅=+，当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意；当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥；综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【解析】【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解. 【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =-， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22223312OA OH HA m ⎛⎫=+=+-⎪ ⎪⎝⎭，由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（） A. 3 B. 4C. 6D. 6【答案】B 【解析】【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =，则4AB AF BF =+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x =-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（）A.1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C.1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D. 1(,]4-∞【答案】D【解析】【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题. 14.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【解析】【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．【答案】3 【解析】【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+，又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知(2cos ,sin ),(cos ,23)m x x n x x ==，且()f x m n =⋅．（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）[0,3]（2 【解析】【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解；（2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得2()2cos23sin cosf x m n x x x=⋅=+1cos223sin2cos23sin212sin2126xx x x xπ+⎛⎫=⨯+=++=++⎪⎝⎭0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin2,162xπ⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()f x的值域为[0,3]；（2）因为32Af⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin136Aπ⎛⎫⎪⎝+⎭+=，sin16Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭因为0Aπ<<，所以3Aπ=，由余弦定理得：2222cosa b c bc A=+-，即224b c bc=+-∴24()3b c bc=+-，由4b c+=可得4bc=，1sin32ABCS bc A∴==△．【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C-中，12AB AA==，D是BC的中点. （1）求证：1//A B平面1ADC；（2）求三棱锥11C A AD-的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ，可证1A B ∥DM ，即可证明；（2）根据等体积法可转化为1111C A AD D AC A V V --=，即可求其体积. 【详解】证明：（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ,如图，则M 是1A C 的中点，DM 是1A BC 的中位线，所以1A B ∥DM ，又因为1A B ⊄平面1ADC ，MD ⊂平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC（2）过点作DH AC ⊥，垂足为H ，如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A AD ⊥，又∵DH AC ⊥，1A AAD A =∴CH ⊥平面11ACC A ，32DH =∴111111111332233223CA ADD AC A AC A V V SDH --==⨯=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题. 19.环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题.其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM 2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）(0,50]优；（2）(50,100]良；（3）(100,150]轻度污染；（4）(150,200]中度污染；（5）(200,300]重度污染；（6）(300,)+∞严重污染.辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图如图，经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：①若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；②该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数12 28 11 6 2 1根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：()2≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005P K kk 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】①710②计算及填表见解析；有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关【解析】【分析】(1)利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天,空气良的天气被抽取3天，分别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；（2）根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格，得出统计结论.【详解】（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为0.004:0.0062:3=按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作1A ，2A ，空气良的天气被抽取3天，记作1B ，2B ，3B ，从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ， ()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10个，记事件A 为“至少有一天空气质量优”，则事件A 所包含的基本事件有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()13,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共7个，故7()10P A =，即至少有一天空气质量优的概率为710.（2）限行前空气质量为优良的概率为（0.004+0.006）×50=0.5，则限行前空气质量为优良的天数为180×0.5=90，列联表如下：由表中数据可得22240(90204090) 5.035 3.84118060130110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题,以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆，（1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =转化条件得||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆，则1212220,2x x x x k +==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d=，则||AB =，因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题.21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =.（1）若21()()(1)2h x af x x a x =+-+，a R ∈，求函数()h x 的单调区间；（2）不等式1()12()m m g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭对于0x >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）2m e≥ 【解析】【分析】（1）求出函数的导数(1)()()x x a h x x--'=，对a 分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）不等式恒成立可转化为()()2211ln mxmx exx ++，即()()221ln 1ln mx mxe e xx ++，令()(1)ln (0)F x x x x =+>，研究其单调性即可求解. 【详解】（1）21()ln (1)2h x a x x a x =+-+，(0)x > 2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-++--'=+-+==（ⅰ）当1a >时，增区间为(0,1)和(,)a +∞，减区间(1,)a （ⅱ）当1a =时，增区间(0,)+∞，无减区间（ⅲ）当01a <<时，增区间(0,)a 和(1,)+∞，减区间(,1)a （ⅳ）当0a ≤时，增区间(1,)+∞，减区间(0,1)（2）不等式1()12()m m g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()112ln mxm e x x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭恒成立 ()()2211ln mx mx e x x +≥+，即()()221ln 1ln mx mx e e x x +≥+，设函数()(1)ln (0)x x x x ϕ=+>，1()1ln x x xϕ'=++， 1()1ln U x x x =++，22111()x U x x x x-'=-=，在(0,1)上，()0U x '<，在(1,)+∞上，()0U x '>，()x ϕ'在（(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0x ϕϕ''≥=，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，所以2mx e x ≥两边取自然对数，得ln 2m x x≥在0x >上恒成立. 设ln ()x F x x =，21ln ()xF x x-'=，在(0,)e 上，()0F x '>，()F x 在(,)e +∞上，()0F x '<，()F x 单调递减，所以1()()F x F e e≤=所以12m e ≥，即2m e≥【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所倍，得曲线2C ．（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值．【答案】（10y -=，224x y +=（2【解析】【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解；（2）写出直线的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PAPB+=即可得解.【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭∴直线l0y -=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),Px y 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PBt t t t t t +-+=+====⋅⋅.【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【解析】【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-，所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立. 所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。

辽宁省部分重点中学协作体2023届高三下学期4月模拟数学试题

辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试数学第一命题校：大连市第二十四中学张宁第二命题校：辽宁省东北育才学校王成栋参与命题校：沈阳市第二十中学李蕾蕾第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}{}1,1,1,2,3A B =-=-，则()U A B ⋂=ð（）A.{}1- B.{}1,3- C.{}2,3 D.{}1,2,3-2.若复数1i2i 1i z +=+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.3B.3iC.-3D.3i -3.0.1352,log 4,log 27a b c -===，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<4.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用,,,A B C D 表示黄金分割点.若照片长､宽比例为4:3，设CAB ∠α=，则1cos2tan sin2ααα+-=（）A.18-B.18C.712-D.7125.现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（）种.A.144 B.72 C.36 D.246.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为4cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）B. C. D.6cm7.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n 中正六边形的个数记为n a ，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为,n n C S ，其中图n 中每个正六边形的边长是图1n -中每个正六边形边长的13，则下列说法正确的是（）A.4294a =B.31003C =C.存在正数m ，使得n C m ≤恒成立D.133729n n S -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭8.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ，且1224F PF S a = ，则曲线C 的离心率为（）B.5121二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若随机变量210,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的是（）A.()3731012333P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.期望()203E X =C.期望()3222E X += D.方差()3220D X +=10.已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上恰有三个零点，则（）A.ω的最大值为196B.()f x 在[]0,π上只有一个极小值点C.()f x 在[]0,π上恰有两个极大值点D.()f x 在0,5π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,A B 两点，若11225,513AF BF BF AF ==，则（）A.221:6:5AF B AF F S S =B.212tan 5AF B ∠=C.椭圆C 的离心率为12D.直线2BF 的斜率的绝对值为22912.如图，矩形ABCD 中，4,2,AB BC E ==为边AB 的中点，沿DE 将ADE 折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1AC 的中点，二面角1A DE C --大小为α，直线1A E 与平面DEBC 所成角为β，则在ADE 折起过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得1BM A D ⊥B.1A EC 面积的最大值为C.当α为锐角时，存在某个位置，使得sin 2sin αβ=D.三棱锥1A EDC -体积最大时，三棱锥1A EDC -的外接球的表面积为16π第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的90%分位数是__________.14.已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=，若()a b c +⊥ ，则t =__________.15.在平面直角坐标系xOy 中，笛卡尔曾阐述：过圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上一点()00,M x y 的切线方程()()()()200x a x a y b y b r --+--=.若22:(1)9C x y -+=，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作圆C 的切线12,l l ，设直线1l ，2l 的交点为(),P m n ；若1,4m n ==时，则直线AB 的方程是__________；若圆O ：221x y +=，且l 与圆O 相切，则m 的最小值为__________.16.关于x 的不等式221e ln 12ln 0x a x x a +-+++≥在()0,∞+上恒成立，则a 的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项的积()()()*122n n n T n N ++=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足n n b na =，求20231sin 2nn n b π=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.18.（本小题12分）某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：体育项目第一项第二项第三项第四项第五项第六项学生人数14050300200800510未达标率0.40.20.150.250.20.1未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.假设所有体育项目是否达标相互独立.（1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；（2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率；（3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“1k ξ=”表示第k 项体育运动项目达标，“0k ξ=”表示第k 项体育运动项目未达标()1,2,3,4,5,6k =.计算12,D D ξξ并直接写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系（不用写出计算过程）.19.（本小题12分）将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到()sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像.（1）设()()sin cos ,2,1,sin cos a x x b x x =-=⋅ ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()()a b h x f x ⋅= 的值域；（2）在①2cos 2B =②a =1b =三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的三条边，()2g A =，__________，__________.求ABC 的面积ABC S .20.（本小题12分）在如图的空间几何体中，ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠= ，四边形BCED 为直角梯形，,90,1,4,2,BC DE DBC BD BC DE F ∠==== ∥为AB 的中点.（1）证明：DF ∥平面ACE ；（2）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.21.（本小题12分）已知曲线Γ在x 轴上方，它上面的每一点到点()0,2Q 的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点,,A B C 分别在该曲线Γ上，且点A C ､在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC 的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点M 且满足3AM BM <，直线BC 交y 轴于点N .记,,ABC AMG CNG 的面积分别为123,,S S S （1）求曲线Γ方程；（2）求231S S S +的取值范围.22.（本小题12分）已知函数()2ln a x f x x x=+.（1）若()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()()g x xf x =，且()()()12123g x g x x x ==≠，证明：2212a x x ae <<.2022-2023学年度下学期模拟考试高三年级数学科试卷答案一､单选题1-8CCBDABDA二､多选题9.BCD10.BD11.ABD12.BD三､填空题13.2114.2315.94y =72-16.22e四､解答题17.解：（1）123n n T a a a a = ，∴当2n ≥时，()()()()112/221/2nn n n n n T a T n n n-+++===+.当11,3n a ==，满足上式，()2nn a n+∴=（3）2n n b na n ==+ ()()()20231357202120231sin(2)50610122n n n b b b b b b b π=∴⋅=-+-++-=-⨯=-∑ 18.（1）由题意知，全校总人数是140503002008005102000+++++=第四项体育运动中达标的人数是2000.75150⨯=故所求概率为1500.0752000=.（2）设事件A 为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则()P A 估计为0.75设事件B 为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则()P B 估计为0.8.故所求概率为()(()P AB AB P AB P AB +=+()()()()()()110.750.20.250.80.35P A P B P A P B =-+-=⨯+⨯=⋯（3）120.24,0.16D D ξξ==142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>19.解：（1）()sin cos 2sin cos sin cos 1sin2sin2x x x x x xh x x x-+-==+设()sin cos ,0,,0,1444t x x x x t πππ⎛⎫⎛⎫=-=--∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 2211sin2,1111t t x y t t t=-∴=+=+--又因为y 在()0,1t ∈上单调递增，则()1,y ∞∈+，所以()h x 的值域为()1,∞+（2）()sin 323g A A A ππ⎛⎫=+=∴= ⎪⎝⎭选①②：22sin 2cos 2sin 32a B B ab A====；1163sin 22484ABC S ab C ++=== .选①③：)1116233sin 122488ABC a S ab C ++===⋅==.选②③：因为2131212c c =+-⋅⋅⋅所以220c c --=则2c =或1c =-（舍）13sin 22ABC S bc A ==20.解：（1）法一：证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ，有//FG AC ，FG ∴∥平面ACE ，又,DG EC DG ∴∥∥平面,ACE FG DG G ⋂= ，∴平面DGF ∥平面ACE .又DF⊂平面,DGF DF ∴∥平面ACE法二：取BC AC ､中点G K ､，连接,,,EK FK F K 分别是,AB AC 的中点，,FK GC FK GC ∴=∥，又,DE GC DE GC = ∥，所以,DE FK DE FK =∥，KEDF ∴为平行四边形DF EK∴∥又DF ⊄ 平面,ACE EK ⊂平面ACE ，DF ∴∥平面ACE（2）法一：四边形BCED 为梯形，2,4,DE BC G ==为BC 中点，DE CG ∴∥，即四边形GCED 为平行四边形，CE GD ∴∥.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接,GE AG由题意可知，,,AG BC GE BC BC ⊥⊥∴⊥面AGE ，又BC ⊂ 平面ABC ∴平面ABC ⊥平面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.,DE BC DE ∴⊥ ∥面,90,2,AGE AED DE AD AE ∠∴==== 又1,2GE AG == ∴点E 到AG 的距离为32在三棱锥D ABG -中，3D ABGE ABG V V --==，根据1,S 2ABD BD AD AB ====，记点G 到面ABD 的距离为h ，由1732213237D ABG G ABD V V h h --==⋅⋅==所以CE 与平面ABD所成角的正弦值为35h DG =法二：过点A 作平面ABC 的垂线AT ，以,,AB AC AT的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示设点()()())()0,0,0,,,,,,A B C GD a b c，1,BD CD AD ===222222222222(1(177BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪⎪∴=+-+=⎨⎪=++=⎪⎩,442a b c ∴==-=7223,,442D ⎛∴- ⎝⎭设平面ADB 的一个法向量为(),,n x y z =，(),,,442BD AB ⎛=--= ⎝⎭(00,0n BD n n AB ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩又,,,442GD GD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭2105sin cos co s |35n CE n GD α=⋅>=⋅=∣，故CE 与平面ADB 所成角的正弦值为21053521解（1）曲线上每一点到点()0,2Q 的距离减去到X 轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点()0,2Q 的距离与到直线2y =-的距离相等，所以曲线Γ为抛物线，248(0)p x y x =∴=≠ （2）设点()()()112233123,,,,,,0,0,0A x yB x yC x y x x x <>>32,ABGCBGAM CN S S S ABS BC==G 为ABC 的重心113ABG CBG S S S ∴== 213111,33AM CN S S S S AB BC∴=⋅=⋅由相似三角形可知311232,AMCN x x AB x x BC x x ==--且1230x x x ++=可得2331112321133AM CN S S x x S AB BC x x x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1121212132x x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪-+⎝⎭令2312111111,2312312S S x u u u x S u u u u ++⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()132312u u ⎛⎫=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭因为3AM BM <，所以123x x <-，故103u -<<，()()220122,29u u u u ⎛⎫-+=+-∈-- ⎪⎝⎭231113,660S S S +⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22.（1）函数()2ln a x f x x x =+的定义域为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求导得：()3ln 20x x x af x x '--=≥恒成立，即2ln a x x x ≤-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，令()ln h x x x x =-，则()ln h x x'=-当()1,1,0x h x e ⎡⎤⎥⎦'∈>⎢⎣，则()h x 单调递增，[]()1,,0x e h x ∈'<，则()h x 单调递减，而()()min 12,0,()0200h h e h x h e a a e e⎛⎫==∴==∴≤∴≤ ⎪⎝⎭（2）因为()g x ln a x x =+，则()2x ag x x -='，当0a ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递增，不合题意当0a >时，()0g x '<的解集为()()0,,0a g x >'的解集为(),a ∞+，即()g x 的单调增区间为(),a ∞+，单调减区间为()0,a ，依题意：()min g()1ln 3x g a a ==+<，解得()20,a e∈，设12x x <，则120x a x <<<，要证212x x a >，即证221a x a x >>，即证()221a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证()211a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，设()()()22ln 2ln ,0,a a xx g x g x a x a x x a ϕ⎛⎫=-=+--∈ ⎪⎝⎭，则()22221()0a x a x x x a ax ϕ--=--=<'，即()x ϕ在()0,a 上单调递减，有()()0x a ϕϕ>=，即()()()2g 0,a x g x a x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则()211g a x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，因此212x x a >成立.要证212x x ae <，即证221ae a x x <<，即证()221g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()211g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()11123ln ln 2,0,x x a x a e <-++∈，而()1111ln 33ln a x a x x x +=⇔=-，即证()()11121ln 3ln ,0,x x x a e<+-∈，令()()()22T ln 3ln ,0,x x x x e e=+-∈，则()()2113ln T x x x e =-+-'，设()()()2G 3ln ,0,x x x x e=-∈，求导得()2ln 0G x x =->'，即()G x 在()20,e 上单调递增，则有()()220G x G e e <<=，即()()0,T T x x '<在()20,e 上单调递减，而()()20,0,a e ⊆，当()0,x a ∈时，()()()21T x T a T e >>=，则当()0,x a ∈时，()21ln 3ln x x e <+-成立，故有212x x ae <成立，所以2212a x x ae <<.。

辽宁部分重点中学协作体2020年高三数学(理)高考模拟试卷附答案解析

A．18
B． 24
C．48
D．36
6．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，30~40 分贝是较理想的
安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90
1
分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达 150 分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳
x
1
，若
f
(x)
的最小值为
f
(1) ，则实数
a
的值不可能
是（）
A． 1
B．2
C．3
D．4
10．已知三棱锥 A—BCD 中，侧面 ABC⊥底面 BCD，△ABC 是边长为 3 的正三角形，△
BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（）
A． 4 3
B．
32 3
C．12
6
7
8
9
10
11
12
（2）设点 P(1,0) ，
直线 l 与曲线 C2 的两个交点分别为 A，
B，求
1 PA
1 PB
的值．
23．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) ln( x 1 x 2 m) ．（1）当 m=2 时，求函数 y f (x) 的定义域；（2）己知函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．
A．(2k ,0), k Z
B．(k ,0), k Z
C．(
k 2
,0), k
Z
D．(
k 4
,0), k

2020年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷(文科)

2020年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知{|(1)0}A x x x =->，{|1}B x x =<，则(A B =U ) A ．(0,1) B ．RC ．(,1)-∞D ．(-∞，1)(1⋃，)+∞2．（5分）已知(5,2)a =-r ，(4,3)b =--r ，若230a b c -+=r r r ，则(c =r )A ．138(,)33B ．138(,)33-- C ．134(,)33D ．134(,)33-- 3．（5分）如图，复平面上的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数(z i i g 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为( )A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z4．（5分）某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，⋯，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为( ) A ．27B ．26C ．25D ．245．（5分）已知a b >，则条件“0c …”是条件“ac bc <”的( )条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7．（5分）某个家庭有三个孩子，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A．34B ．38C ．47D ．128．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ωϕ=+图象的一个对称轴可能为( )A ．2x =B ．8x =C ．6x =-D ．2x =-9．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数21()cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=，*n N ∈．则211(ni i a a ==-∑ )A ．111n n-- B ．1n n- C ．(1)n n -D ．12n11．（5分）在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A ．22B ．12 C ．13D ．1412．（5分）已知函数2()x f x e ax =-，定义域为[1，2]，且对1x ∀，2(1,2)x ∈，当12x x ≠时都有121212()()f x f x x x x x -<+-恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．2[1,)4e -+∞B ．2[,)4e +∞C ．4[,)2e +∞D ．4[1,)2e -+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点P ，且点P 在函数()g x x α=的图象上，则α= ．14．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为．15．（5分）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线于圆22:5O x y +=交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为．16．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E 为PA中点，BE ，则球O 的表面积为．三、解答题17．（12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 12B CA ++=．（1）求角A 的值．（2）若ABC ∆面积为7()b c b c +=>，求a 及sin B 的值．18．（12分）数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动．某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如表：（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成下面茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；（2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力．你认为主教练应选哪位球员？并说明理由．19．（12分）已知矩形ABCD ，22AB BC ==，E 、F 分别为DC 、AB 中点，点M 、N 分别为DB 的三等分点，将BCD ∆治BD 折起，连结AC 、AE 、AM 、ME 、CF 、CN 、FN ．（1）求证：平面//AEM 平面CNF ；（2）当AE BC ⊥时，求三棱锥C ABD -的体积． 20．（12分）已知函数()x f x e lnx a =--．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程：（2）若3a =，证明函数()f x 有且仅有两个零点．21．（12分）已知点M 是抛物线21:2(0)C y px p =>的准线与x 轴的交点，点P 是抛物线1C 上的动点，点A 、B 在y 轴上，APB ∆的内切圆为圆222:(1)1C x y -+=，且2||3||MC OM =，其中O 为坐标原点．（1）求抛物线1C 的标准方程；。

2020年辽宁协作体-文数答案

3, 2
VC1 A1AD
VD AC1A1
1 3
S AC1 A1
DH
1 1 22 32
3 2
3 ………………12 分 3
19.解：（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为 0.004 : 0.006 2 : 3，…………………………………………………………1 分
按分层抽样从中抽取 5 天，则空气质量优的天气被抽取 2 天，记作 A1， A2 ，
x
x
x
（i）当 a 1 时，增区间为 (0,1) 和 (a, ) ，减区间 (1, a)
(ii)当 a 1 时，增区间 (0, ) ，无减区间
(iii)当 0 a 1时，增区间 (0, a) 和 (1, ) ，减区间 (a,1)
(iiii)当 a 0 时，增区间 (1, ) ，减区间（0,1） ………………………4 分
（2）不等式 m[gm (x) 1] 2(x 1) f (x) ，即 m(emx 1) 2(x 1) ln x 恒成立
，所以椭圆
C
y2 x2 1…………4 分 2
（II）当直线斜率不存在时，圆 M 过原点，符合题意， r 2 。
当直线斜率存在时，设直线 l 方程为： y kx ，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
由直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，
y kx
则
y2 2
x2
2
)
2, 3
所以 r 2, 3 ，……………………………………………11 分
综上， r 的取值范围为 2, 3 ……………………………………………12 分
21．（1）解： h(x) a ln x 1 x2 (a 1)x,(x 0) 2

辽宁省辽南协作体2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷答案(PDF版)

（2）由（1）知 |TF|=
1+m2,|PQ|=
1+m2|y1-y2|=
24(1+m2) 3+m2 ……8分
|TF|
所以 |PQ|=
214(mm22++31)2 =
214(m2+1+m24+1+4)≥
33……10分
当且仅当
m2+1=m24+1，即
m=?1时等号成立，此时
|TF|
|PQ|取得最小值
T点的坐标为 (-3,1)或 (-3,-1)……12分
2
所以曲线 C1和 C2相离 .……5分
{ （2）将 xy==3ts+intαcosα代入 x2+y2+2x=0，整理得 t2+8tcosα+15=0
由 Δ>0得 cos2α>1165
设交点 M，N对应的参数分别为 t1,t2
{则 tt11t+2=t21=5-8cosα……7分
因为 |PM|+|PN|=5|MN|所以 |t1|+|t2|=5|t1-t2| 又 t1t2>0 所以 |t1+t2|=5|t1-t2| 即（t1+t2）2=25（t1-t2）2=25（t1+t2）2-100t1t2 所以 24(-8cosα)2=100?15 解得：cos2α=112285>1165
故 sinα=166……10分
选修 4－5：不等式选讲来自?-3x-2,x<-2 23.解：（1）因为 f(x)=|x-2|+|2x+4|=??x+6,-2≤x≤2……2分
??3x+2,x>2 当 x<2时,不等式无解当 -2≤x≤2时,不等式解集为[-1 2,2] 当 x>2时,不等式解集为[2,+∞) 综上:{x|x≥-12}……5分（2）根据函数图像可知，函数的最小值为 f(-2)=4 ∴a=4

2020届辽宁省协作校高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)

2020届辽宁省协作校高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知{}(1)0A x x x =->，{}|1B x x =<，则A B =( )A ．(0,1)B ．RC ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】先求出集合A ，再求并集即可. 【详解】{}{}(1)001A x x x x x =->=<<，故(,1)A B ⋃=-∞.故选：C. 【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.2．已知()5,2a =-，()4,3b =--，若230a b c -+=，则c =( )A ．138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．138,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．134,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先由230a b c -+=，可得()123c a b =--，进而代入点的坐标进行计算即可. 【详解】解：230a b c -+=，∴()123c a b =--. ()()()25,28,613,4a b -=----=.∴()11342,333c a b ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算能力，属于基础题.3．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数•z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z【答案】B【解析】试题分析：z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B. 【考点】复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +、共轭为.a bi - 4．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（） A ．27 B ．26C ．25D ．24【答案】A【解析】试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A. 【考点】随机抽样.5．已知a b >，则条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的( )条件. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：若0c ≤，又a b >，当0c时，ac bc <不成立，故充分性不成立；再判断必要性：若ac bc <，又a b >，所以0c <，可得0c ≤，故必要性成立，所以条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的必要不充分条件条件. 故选：B. 【点睛】本题主要充分条件和必要条件的判定，同时考查不等式的性质，属于基础题. 6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//l α，l β//，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．某个家庭有三个孩子，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A ．34B ．38C ．47D ．12【答案】D【解析】利用独立重复实验分有2女孩和3女孩可求出结果. 【详解】解：因为每次生女孩的概率是12，所以家庭有三个孩子相当于3次独立重复事件，故该家庭至少有两个孩子是女孩的概率232333111112222P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，属于基础题.8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图象的一个对称轴可能为( )A ．2x =B ．8x =C ．6x =-D ．2x =-【答案】D【解析】由函数图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，再结合图象求出ϕ的值，可得()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】解：由函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象，可得3A =()1126222T πω=⋅=--，∴8πω=. 再结合图象可得()208πϕ⨯-+=，求得4πϕ=.∴()2384f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则函数()()cos 2384g x A x x ππωϕ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭.令84x k πππ+=，求得82x k =-，k Z ∈，当0k =时，2x =-.故函数()g x 的一条对称轴为2x =-. 故选：D.【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式，考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先根据函数的奇偶性的判断得()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，再由当0x >时，0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，可排除D选项，可得选项. 【详解】因为()21cos 21x x f x x +=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，在0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B. 【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题. 10．已知数列{}n a 满足12,n n a a n n N +-=∈.则211ni i a a ==-∑( )A ．111n n-- B ．1n n- C ．(1)n n -D ．12n【答案】B【解析】首先利用累加法求出()11n a a n n -=-，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为12,n n a a n n N +-=∈，所以2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，……，()121n n a a n --=⨯- 所以()()()()()213212122211n n a a a a a a n n n --+-++-=⨯+⨯++⨯-=-所以()11n a a n n -=-所以()21111111223341ni i a a n n==++++-⨯⨯⨯-⨯∑11111111223341n n=-+-+-++-- 11n =-1n n-= 故选：B 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.11．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A ．2B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】由题意结合几何性质找到a ,c 的关系即可确定椭圆的离心率．【详解】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF =∠QBF ，∠EAB =∠EBA ，所以∠EAB =∠QBF ，所以ME //BQ . 因为△PME ∽△PQB ，所以PE PM EB MQ =，因为△PBF ∽△EBO ，所以OF EP OBEB=，从而有PM OF MQOB=，又因为M 是线段PF 的中点，所以13OFPM c e a OB MQ ====. 本题选择C 选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()2x e x f x a =-，定义域为[]1,2，且对1x ∀，()21,2x ∈，当12x x ≠时都有()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．21,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．41,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】不妨设12x x >，题目可转化为()()221122f x x f x x -<-，令()()2x F x f x x e =-=22x ax --，则()()12F x F x <，可得()F x 在()1,2上为减函数，对1x ∀，()21,2x ∈，都有()0F x '≤恒成立，对1x ∀，()21,2x ∈，都有()21x ea x≤+恒成立，只需()max21x e a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭即可得出结果. 【详解】解：不妨设12x x >，对1x ∀，()21,2x ∈，当12x x ≠时都有()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，等价于()()221212f x f x x x -<-，即()()221122f x x f x x -<-.令()()222xe F x x x xf x a =-=--，则()()12F x F x <，可得()F x 在()1,2上为减函数.所以对1x ∀，()21,2x ∈，都有()0F x '≤恒成立，即对1x ∀，()21,2x ∈，都有()21xe a x≤+恒成立，令()xe h x x =，()1,2x ∈，()()210x e x h x x-'=>. 所以函数()h x 在()1,2上单调递增，所以()()222e h x h <=. 所以()212x e a ≤+.即214e a ≥-.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，导数的综合应用，属于中档题.二、填空题13．已知函数()4log (23)a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，且点P 在函数()g x x α=的图象上，则α=______. 【答案】2【解析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，即为定点P 的坐标，再代入函数()g x 的解析式即可求出α的值．【详解】解：令231x -=得：2x =，此时()24f =，∴函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点(2,4)，即(2,4)P ，又点P 在函数()g x x α=的图象上，24α∴=，2α∴=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______. 【答案】429【解析】设第n 天织布的尺数为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果. 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则15a =，1n a =，90n S =，则()13902n n n a a S n +===，解得30n =，301295291a a d d ∴=+=+=，解得429d =-，因此，每天比前一天少织布的尺数为429. 故答案为：429. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知双曲线:C 22221x y a b-=（0a b >>）的两条渐近线与圆:O 225x y +=交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为______. 【答案】12y x =±【解析】设点M 的坐标为(),x y ，联立圆与渐近线的方程求解x ，y ，再根据双曲线的对称性及四边形MNPQ 的面积求出12b a =，即可得出结论. 【详解】解：设M (),x y ，在第一象限，联立225x y by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （其中222c a b =+），可知四边形MNPQ 为矩形，且根据双曲线的对称性，可知1824c c ⋅=⨯=.即()222252c ab a b ==+，解得12b a =或2ba=（舍去）. 故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的性质及渐近线方程，属于中档题.16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PA 中点，BE =，则球O 的表面积为______. 【答案】6π【解析】由题意画出图形，证明三棱锥P ABC -为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的表面积．【详解】解：如图，由PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，取AB 的中点F ，连接BO 并延长，交AC 于G ，连接PG ，则AC BG ⊥，又PO AC ⊥，PO BG O =，BG ⊂平面PBG ，PO ⊂平面PBG ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，又2BE PB =，所以222PB PE BE +=，即PB PA ⊥，AC PA A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径，2R =所以R =，则球O 的表面积为22446S R πππ===⎝⎭．故答案为：6π．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且cos cos 12B CA ++=. （1）求角A 的值. （2）若ABC 面积为337()b c b c +=>，求a 及sinB 的值.【答案】（1）3π；（2）13a =239. 【解析】（1）利用三角恒等变换与三角形的内角和公式，即可求得A 的值；（2）由三角形的面积公式和余弦、正弦定理，即可求得a 与sin B 的值．【详解】解：（1）ABC ∆中，coscos 12B CA ++=，所以cos()1cos 22AA π-=-，所以2sin 2sin 22A A = 因为sin02A ≠，所以1sin 22A =因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π= （2）由ABC 面积为113sin 3322S bc A bc ===12bc =；又7()b c b c +=>，所以4b =，3c =；由余弦定理得，2221 2cos169243132abc bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，所以13a=；由正弦定理得，sin sina bA B=，解得34sin2392sin13b ABa⨯===．【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题．18．数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：场次第一场第二场第三场第四场第五场甲2833363845乙3931433933（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；（2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.【答案】（1见解析；（2）36,37x x ==甲乙，231.6s =甲，219.2s =乙；（3）见解析.【解析】（1）根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数，将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图，进而画出散点图．（2）利用平均数公式，方差公式即可求解．（3）由（2）可知，x x <甲乙，且22x x >乙甲，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，可知选择乙比较好．【详解】解：（1）茎叶图如图散点图如图：（2）2833363845365x ++++==甲，3931433933375x ++++==乙，222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s -+-+-+-+-++++====甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s -+-+-+-+-++++====乙（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，x x <甲乙，且22s s >甲乙，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好. 【点睛】本题考查了茎叶图，平均数，方差，考查了学生的计算能力和数形结合思想，属于基础题．19．已知矩形ABCD ，22AB BC ==，E 、F 分别为DC 、AB 中点，点M 、N 分别为DB 的三等分点，将BCD 沿BD 折起，连接AC 、AE 、AM 、ME 、CF 、CN 、FN .（1）求证：平面//AEM 平面CNF ；（2）当AE BC ⊥时，求三棱锥C ABD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）36.【解析】（1）由已知证明//EM CN ，//AM FN ，再由平面与平面平行的判定可得平面//AEM 平面CNF ；（2）由题意可知，BC CD ⊥，AE BC ⊥，证明BC ⊥平面ADC ，得到BC AC ⊥，BC AD ⊥，再证明AD ⊥平面ABC ，然后由C ABD D ABC V V --=可求三棱锥C ABD -的体积．【详解】解：（1）证明：因为点M 、N 分别为DB 的三等分点，所以DM MN NB ==，又因为E 为DC 中点，所以DE EC =，所以在DNC △中，//EM CN ，同理可证//AM FN ，又因为AM EM M ⋂=，AM ，EM ⊂平面AEM ，FN CN N =，FN ，CN ⊂平面FNC ，所以平面//AEM 平面CNF ；（2）由题意可知，BC CD ⊥，AE BC ⊥，AE CD E ⋂=，AE ⊂平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AC 、AD ⊂平面ADC ，所以BC AC ⊥，BC AD ⊥，因为AD AB ⊥，AB平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，所以AD ⊥平面ABC ，所以13C ABD D ABC ABC V V S AD --==⋅△，在ABC 中，BC AC ⊥，22221113211222ABC S AC BC AB BC BC =⋅=-⋅=-⨯=△，所以1133133C ABD ABC V S AD -=⋅=⋅⋅=△.【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题． 20．已知函数()ln xf x e x a =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若3a =，证明函数()f x 有且仅有两个零点. 【答案】（1）()11y e x a =--+；（2）证明见解析. 【解析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系先分析函数的单调性，再结合函数的性质及零点判定定理即可证明．【详解】解：（1）因为()ln x f x e x a =--，所以函数的定义域为()0,+∞且()1xf x e x'=-，()1f e a =-，所以()11k f e ='=-切点为()1,e a - 切线方程为()()()11y e a e x --=--即()11y e x a =--+（2）当3a =时，()ln 3xf x e x =--()1x f x e x '=-，令()1x g x e x =-，则()210xg x e x=+>'， ()f x ∴'在定义域上单调递增121202f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，()110f e -'=>， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00010x f x e x '=-=()00,x x ∴∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增所以()()0000min 01ln 33x f x f x e x x x ==--=+- 又()0f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，()012302f x <+-<33113311ln 30e e f e e e e ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭∴在()00,x 上有且只有一个零点又()2ln 34240eef e e e e =--=->-=所以在()0,x +∞上有且只有一个零点综上，函数()f x 有且仅有两个零点【点睛】本题综合考查了利用导数及函数的性质求解曲线的切线方程及函数零点的判定，属于中档题．21．已知点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点，点P 是抛物线1C 上的动点，点A 、B 在y 轴上，APB △的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=，且23MC OM =，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线1C 的标准方程；（2）求APB △面积的最小值. 【答案】（1）22y x =；（2）8. 【解析】（1）由()22,0,1,0,32p M C MC OM ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出1p =，可得抛物线1C 的标准方程；（2）设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ，写出直线,PA PB 的方程，根据圆2C 与直线,PA PB 相切，得到,b c 的关系，写出APB △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值. 【详解】（1）点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点，,02p M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()221,0,3C MC OM =，13122p p p ∴+=⨯∴=，. ∴抛物线1C 的标准方程为22y x =.（2）设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ，则0bc <，直线PA 的方程为()0000y b x x y bx --+=，直线PB 的方程为()0000y c x x y cx --+=.APB 的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=，1==，整理得()()22000000220,220x b y b x x c y c x -+-=-+-=.,b c ∴是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，00002,22y xb c bc x x ∴+=-=---. 000,0,2bc x x <>∴>，()()()22222000002000244844222y x x y x b c b c bc x x x ⎛⎫⎛⎫+-∴-=+-=---== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.()()2220002042,2x y x b c x =∴-=-,00002222x x b c x x ∴-==--.所以APB △的面积2000122x S b c x x =-=-. 令002,2,0t x x t t =-∴=+>，()224448t S t tt +∴==++≥=，当且仅当4,2t t t ==时，等号成立，此时04x =.所以APB △面积的最小值为8. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题，考查基本不等式和学生的运算化简的能力，属于较难的题目.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）. （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m .【答案】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =.【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果．【详解】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=，消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=. （2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=，因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2，即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）.【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．设函数()()40f x x a x a =-+-≠．（1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集；（2）若()41f x a≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()3,5；（2）()[),01,-∞+∞．【解析】（1）把1a =代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，然后求解关于a 的不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()f x x <，无解；当14x <<时，()f x x <可得34x <<；当4x ≥时，()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5．（2）()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-， 4441a a a a-∴-≥-=．当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a≤，则14a ≤<．故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.第 21 页共 21 页。