衡水中学2020届高三理科数学上册四调理数试题卷(含答案)

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河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题

…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学（理）试题题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题本大题共12道小题。

1.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）. A. 1 B. 2C. 3D. 42.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为6，点D ，E 分别在线段A 1C 1，B 1C 上，A 1C 1=3DC 1，B 1C =4B 1E .点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC 的面积为6，则较大部分的体积为A. 22B. 23C. 26D. 273.已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6C. 9D. 124.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF△答案第2页，总22页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 32B.52C.72D.925.在△ABC 中，点P 满足3BP PC =u u u v u u u v ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r，()0,0AN AC μλμ=>>u u u r u u u r，则λμ+的最小值为（）A. 212+ B.31+ C.32D.526.已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是 ( ) A. 2 B.32C.12D.527.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A. 3B.5 C.30 D.68.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围为（） A.(－∞,0) B. (－∞,0]C. (1,+∞)D. [1,+∞))9.已知α、β都为锐角，且217sin α=21cos β=，则α﹣β＝（）…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 3π- B.3π C. 6π-D.6π 10.如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1//A P 平面1ACD ； ③1DP BC ⊥；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设()()2222xD x a e aa =-+-+,其中e ≈2.71828，则D 的最小值为( )A. 2B.3 C.21D.3112.过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1,－7)的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（） A. 23 B. 43 C.13 D. 13评卷人得分一、填空题本大题共3道小题。

河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-，且α、β都为锐角，所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ，故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（）A. B. D. 【答案】B 【解析】【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积．【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ，延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下．故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==，故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜，当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-，【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -，设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ；（2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=，由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+，可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0；（ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。

【100所名校】河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

名校精编卷第1页（共6页）名校精编卷第2页（共6页）河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 4= A．52 B ．3 C ．72 D ．4 3．已知双曲线my 2−x 2=1(m ∈R)与抛物线x 2=8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A ．y =±√3x B ．y =±3x C ．y =±13x D ．y =±√33x 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有A ．40条B ．60条C ．80条D ．120条 5．函数f(x)=x 2−2|x|的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．若tan(x 2+π4)+tan(x 2−π4)=32，则tanx = A ．−2 B ．2 C ．34 D ．−34 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B 两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为 A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 8．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．96π+36 B ．72π+48 C ．48π+96 D ．24π+48 9．已知函数f(x)=cosxsin2x ，下列结论不正确的是 A ．y =f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 B ．y =f(x)既是奇函数，又是周期函数 C ．y =f(x)的图象关于直线x =π2对称 D ．y =f(x)的最大值为√32 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号名校精编卷第3页（共6页）名校精编卷第4页（共6页） 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A ．2000π9B ．4000π27C ．81πD ．128π11．已知y 2=4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2=4x 于A,B ，∠AFB =600，则|AB|=A ．4√76B ．4√73C ．4D ．312．已知f (x )={x 2,x ≤0−x (e 1−x +ax 2−a),x >0 是减函数，且f (x )+bx 有三个零点，则b 的取值范围为A ．(0,ln22)∪[e −1,+∞)B ．(0,ln22)C ．[e −1,+∞)D ．{ln22}∪[e −1,+∞)二、解答题13．数列{a n }满足a 1=6，a n+1=6a n −9a n （n ∈N ∗）.（1）求证：数列{1a n −3}是等差数列；（2）求数列{lga n }的前999项和.14．在四棱锥P −ABCD ，AB//CD ，∠ABC =900,BC =CD =PD =2，AB =4,PA ⊥BD ，平面PBC ⊥平面PCD ，M,N 分别是AD,PB 中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值. 15．在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA . （1）求角A 的大小；（2）若ΔABC 的面积S ΔABC =25√34，且a =5，求sinB +sinC . 16．如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形，四棱锥的顶点P 在平面α上，AB =√7，AD =√3，AD ⊥DB ，AC ∩BD =O,OP//AQ,AQ =2，M,N 分别是AQ 与CD 的中点. （1）求证：MN//平面QBC ；（2）求二面角M −CB −Q 的余弦值. 17．如图，椭圆C 1：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为√32，过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M,N 两点，当|MF|=74时，M 点在x 轴上的射影为F 1，连接NO,MO)并延长分别交C 1于A,B 两点，连接AB ，ΔOMN 与ΔOAB 的面积分别记为S ΔOMN ，S ΔOAB ，设λ= S ΔOMN S ΔOAB . （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）求λ的取值范围. 18．已知函数f(x)=ax 32−lnx −23的图象的一条切线为x 轴.（1）求实数a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f′(x)|，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g(x1)=g(x2)，求证：x1x2<1.三、填空题19．已知向量m⃑⃑ ,n⃑夹角为600，且|m⃑⃑ |=1，|2m⃑⃑ +n⃑ |=√10，则|n⃑ |=_______.20．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=1200,AB=2,BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC为正三角形，外接球表面积为12π，则三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的最大值为______.名校精编卷第5页（共6页）名校精编卷第6页（共6页）名校精编卷答案第1页（共16页）名校精编卷答案第2页（共16页）河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，代入S 8=4S 4即可求出a 1=12，再利用等差数列通项公式就能算出a 4.【详解】∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×7×12=4×(4a 1+4×3×12)解得a 1=12，则a 4=12+3×1=72，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。

河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题理(含解析)

数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.【题文】一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）【题文】1．已知向量=【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+=，又(2,1),10a a b =⋅=，∴()250520255b b =--=⇒=，故选C. 【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2．已知的共轭复数，复数A ．B ．c．1 D ．2【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案】【解析】A解析：∵114i z i-====+，∴144z i =--，∴221144z z ⎛⎛⎫⋅=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得z ，进而求得结论.【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种【知识点】排列与组合. J2 【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有 213453902C C A =种，∴共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4．曲线处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+，故选A.【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5．等比数列A ．62B ． 92 C ．152 D ．122【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '====，故选D.【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【知识点】直线与双曲线. H6 H8 【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条.【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.【题文】7．设函数，则A ．在单调递增B ．在单调递减 C ．在单调递增 D ．在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】【解析】D解析：())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验在单调递增，故选 D.【思路点拨】根据已知条件求得函数()f x x =，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8．某产品的广告费用x 与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =，所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故选C.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a 值，从而求得广告费用为10万元时销售额. 【题文】9．椭圆C 的两个焦点分别是F1，F2若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是【知识点】椭圆的性质. H5【答案】【解析】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴223PF a c=-，由三角形中，两边之和大于第三边得232311223342c c a c c c a c c a +≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故选C.【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O 的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径AB=AC=1，ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯=B.【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果.【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A．4 B．6 C．8 D．12【知识点】几何体中的距离求法. G11【答案】【解析】 B解析：若点P在棱AD上，设AP=x，则()222212 CP PD DC x=+=-+，所以2x=，解得12x=，同理点P可以是棱,,,,AB AA C C C B C D''''''的中点，显然点P不能在另外六条棱上，故选B.【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P 的个数.【题文】12．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t函数”的结论：①()0f x=是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x=是一个“关于t函数”.其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：①不正确，()0f x c=≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c=≠是一个“关于-1函数”；②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=，若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在. 故选A.【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把2()f x x =代入新定义得t 不存在，所以③不正确.【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案

2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分（2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ，根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。

2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(理)试题及答案

2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤ (){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A 【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2B ．32C ．12D ．52【答案】B【解析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．3B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4．已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（）A ．3π-B ．3π C ．6π-D ．6π 【答案】C【解析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】因为α、β都为锐角，且21sin α=、21cos β=，所以27cos α=，57sin β= ，由()21212757491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-，且α、β都为锐角，所以6παβ-=-故选：C 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5．设，.若对任意实数x 都有，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：，，又，，注意到，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.6．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（）A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ==，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=g ，故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。

【KS5U解析】河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题 Word版含解析【KS5U 高考】

2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（） A. (),0-∞B. (],0-∞C. ()1,+∞D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( ) A. 2 B.32C.12D.52【答案】B 【解析】【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A.3B.5 C.30 D.6【答案】D 【解析】【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,6226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 4.已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以27cos α=，57sin β=，由()21212757491sin sin cos cos sin 982αβαβαβ-=-==-=-，且α、β都为锐角，所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=g ，故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（）A.21+ B.31+ C.32D.52【答案】B 【解析】【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r，AN AC μ=u u u r u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+31+，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（）A. B. D. 【答案】B 【解析】【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABCV的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积．【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ，延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下．故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养． 12.设()()22D 22xx a e aa =-+-+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A. 2B. 3C. 21+D. 31+【答案】C 【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 取得最小值，即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ +==，则D 的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0xx x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4 【解析】【分析】先求18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】因为函数()2log ,042,0xx x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10， A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==，故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，则A DB '∠=_________.图（1）图（2）【答案】23π【解析】【分析】5分析即可解决．【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=，∴A 'F 2251R OF =-=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =-=-=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e 【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f xg x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭ 当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减，∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜，当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE . 【答案】（1）60C =o ；（2）2CE = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=， 60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以192CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2, 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；(2)12-．【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=.（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =.结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1294x k =+．由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（25【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD 3=，继而得到BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得3BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，6AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=， ∴5sin 3ADE ∠=，∴53AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，5sin 6AH ABH AB ∠==， ∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值56.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点. （1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =- 【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p+），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2pA -，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF；（2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=，由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+，可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）[7,1]-. 【解析】试题分析：求导数后因式分解根据1a ≤，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，求出()f a 的范围，得出b 的范围.试题解析：（I ）由()()32634f x x x a a x b =---+，可得()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.由1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.（II ）（i ）因为()()()()''xg x e f x f x =+，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.（ii ）因为()xg x e ≤，[]001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在[]001,1x x -+上恒成立.由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令()32261t x x x =-+，[]1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-，令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-. 所以，b取值范围是[]7,1-.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。

河北衡水中学2020-2021学年度高三上学期新高考第四次调研考试-数学试题及答案

19解：（1）取中点，连结， .
∵ ，是，的中点，
∴ ，且 .
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又，
∴ ，
∴ 为平行四边形，
∴ .
又平面，且平面，
∴ 平面；
（2）取中点，连接，取的中点，连接， .设，
由（1）得，
∴ 为等边三角形，
∴ ，同理∴ ，
∵平面平面，平面平面，平面，
【详解】
设，则，，
，即在上单调递减，
，即，
即，故选项A不正确；，
即，即，故选项D不正确；
，即，即．
故选项B不正确；故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．A
设椭圆方程为，
双曲线方程为，
20【答案】（1）；（2）过定点（2，-1）.
【分析】
（1）设点，根据MA，BM的斜率之积为，可得，又M在椭圆上，所以，联立方程，可解得，又根据题意，即可求得椭圆方程.
（2）设，，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可得的表达式，根据题意，代入求解可得，代入直线，即可求得定点坐标.
3．若双曲线 ( )的离心率为，则（）
A． B． C．4D．
因为 ( )可化为 ( )，
所以，则，即 .故选：D.
4．B由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为，
底面积为，所以，该正四棱锥的侧面积为，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为，则有，所以，，设内切球的半径为，则如图，

河北省衡水中学2020届高三数学(理)试卷及答案

D．
0,
12、定义在
上的单调函数 f x ， x 0,
， f f x log2 x 3 ，则方程
fx f x 2
的解所在区间是（
）
1 0, A． 2
1 ,1
B． 2
1,2
C．
2,3
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
1
tan
13 、若
tan
为
．
10 3，
2
,
sin 2
其中正确命题的个数是
．
a7 ．
16、已知函数 f x 为偶函数且 f x
fx f x 4 ，又
x2 3 x 5,0 x 1 2
2x 2 x,1 x 2
，
gx
函数
x
1
2
a
Fx
，若
f x g x 恰好有 4 个零点，则 a的取值范围
是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（）
1 A． 2
y
4、已知函数
B． 1
C． 2
D． 3
sin x
m 的最大值为 4 ，最小值为 0 ．两个对称轴间最短距离为
x
2 ，直线
6 是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（
）
y 4sin 2x
A．
6
y 2sin 2x
2
B．
6
y
C．
2sin x 3
y 2sin 2x
2
D．
3
5、在
C 中，三个内角，，C 所对的边为 a ， b ， c ，若 S C 2 3 ， a b 6 ，

2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷(理科)

【解答】解：设第七层有 a 盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数
构成一个以 a 为首项，以 2 为公比的等比数列，
∴由等比数列的求和公式可得
=381，解得 a=3，
∴顶层有 3 盏灯，故选： B．
4．（5 分）（2013?新课标 Ⅰ）已知双曲线 C：
（a＞ 0， b＞ 0）的离心
率为，则 C 的渐近线方程为（
其中真命题的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．10 B．20 C．40 D．60 9．（ 5 分）已知 A，B 是椭圆
长轴的两个端点， M，N 是椭圆
上关于 x 轴对称的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2（ k1k2≠0），若椭圆
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后利用
复数模的计算公式求模．【解答】解：∵ z（1+i）=i，
∴ z= =
=﹣ ，
∴ | z| =
=，
故选： A．
3．（5 分）（2019?河南二模）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：
“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯
6．（5 分）（2019?洛阳模拟）已知函数 f （x）=Acos（ωｘ+φ）（ω＞0）的部分图
象如图所示，下面结论错误的是（
）
A．函数 f （x）的最小周期为 B．图象 f（x）的图象可由 g（ x） =Acos（ωｘ）的图象向右平移个单位得到
C．函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称
D．函数 f （x）在区间（，）上单调递增【分析】由函数图象可求函数的周期，利用正确公式可求 ω，又由题图可知（f ）

衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试理科数学(含答案)

象限．若 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
21．（本题满分 12 分）设抛物线的方程为 y2 2 px ，其中常数 p 0 ， F 是抛物线的焦点．
（1）设 A 是点 F 关于顶点 O 的对称点， P 是抛物线上的动点，求 | PA | 的最大值； | PF |
D． 5 2
9.如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：
A．
B． C． D．
4．已知、都为锐角，且 sin 21 、 cos 21 ，则 ( )
7
14
A． 3
B． 3
C． 6
D． 6
5. 设 a R ， b [0 ， 2 ) ，若对任意实数 x 都有 sin(3x ) sin(ax b) ，则满足条件的有序实数 3
h(x) g(x) 0 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数 y h(x) 的“类对称中心点”，则函数 x x0
f
(x)
x2 2e2
lnx 的“类对称中心点”的坐标是
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分 10 分）在平面四边形 ABCD 中， A C ， AB 1 ， BC 3 ， CD DA 2 ．
由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD 2 CG ． 3
由题设可得 PC 平面 PAB ，DE 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此 PE 2 PG ，DE 1 PC ．
3
3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA 6 ，可得 DE 2 ， PG 3 2 ， PE 2 2 ．