高一数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)》

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第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 4b －3a解析由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →，所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 C解析如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 D解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案 B解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →，所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0，即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的定义及几何意义答案 D解析显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 D解析利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 D解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的运算及运算律答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点向量共线定理及其应用题点向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量解如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点向量共线定理及其应用题点向量共线定理在平面几何中的应用证明如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

∵向量 �� 与 ��共线,∴ 设 �� = �� ,
即 λa+(1-λ)b=��
1 �� 3
+ �� =
1 �� a+μb. 3
∵a 与 b 不共线 ,
1 1 �� = �� , ∴ 3 解得�� = 4.
分析 :由于 MN�� , 则用e1 与 e2 表示 ��可得 �� ; 在△AMN 中 ,AO 是 MN 边上的中线 ,则可用 �� , ��表示�� .
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
证明 :如图 ,∵向量 �� 与 ��共线,∴ 设 �� = ��.
1 ��, 3
�� = �� + �� =b+�� =b+λ(a-b)=λa+(1-λ)b.
)
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2.向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律: 设λ,μ为实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb(分配律). 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.

2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)

O A
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和的长度和方向有什么变化？
O A B
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和的长度和方向有什么变化？
合作探究
思考
反过来，如果a 与 b 是共线向量，那么b a？
合作探究
思考
反过来，如果a 与 b 是共线向量，那么b a？
结论：如果a，b 是共线向量，那么b a .
合作探究
结论：
向量b 与非零向量a共线,当且仅当有唯一一个实数，使得b a .
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和的长度和方向有什么变化？
O
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和的长度和方向有什么变化？
合作探究
实数与向量的积的运算律：
a
5a
2a
3a
( 2 3)a 2a 3a
( )a a a
合作探究
实数与向量的积的运算律：
b
合作探究
实数与向量的积的运算律：
b
合作探究
实数与向量的积的运算律：
b
合作探究
实数与向量的积的运算律：
F E D P
合作探究
实数与向量的积的定义：
合作探究
实数与向量的积的定义：
合作探究

课件8：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

C．a与λ2a方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
【解析】∵λ≠0，∴λ2>0，∴a与λ2a方向相同．故选C.
【答案】C
2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
【解析】4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－】D
随堂练习
1．若 G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为 AB，BC，CA
的中点，则G→A＋G→B＋G→C等于( )
A．6G→D
B．－6G→D
C．－6G→E
D．0
【解析】G→A＋G→B＝2G→D，G→C＝－2G→D，G→A＋G→B＋G→C＝0.
【答案】D
2．已知点 M 是线段 AB 上的一点，点 P 是平面上任意一
2．向量共线定理共线定理有两方面的含义：向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数λ使得b＝λa；若b＝λa(λ∈R)，则向量a与b共线．注意：如果a＝b＝0，实数λ仍然存在，此时λ并不唯一，是任意数值．

(2)运算律：设μ，λ为实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．两个向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
自主演练
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的
是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
点，P→M＝53P→A＋25P→B，若A→M＝λM→B，则 λ 等于( )
3
2
A.5
B.5
3
2
C.2
D.3
【解析】用P→A，P→B表示向量A→M，M→B. ∵A→M＝A→P＋P→M＝A→P＋53P→A＋25P→B＝－25P→A＋52P→B， M→B＝M→P＋P→B＝－P→M＋P→B＝－(35P→A＋52P→B)＋P→B＝－35P→A＋ 35P→B，∴A→M＝32M→B. 【答案】D

数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)

运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是，向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$，以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义(1)

A、B、P三点共线
OP mOA nOB其中m n 1
Ａ
三向量有公共起点
OP1 OP (mOA nOB)其中m n 1
1时，P1在直线AB外O的另一侧；
0 1时，P1在直线AB与过O与AB平行的直线间；Ｏ
P1
ＰＢ
0时，P1在过O与AB平行的直线与AB异侧.
实数对向量加法的分配律
2 a b 2a 2b?
2a 2b
ab
ab b
2b

(a

a b)

2aa

b
，是实数，
r
r
（1）（ a) ( )a;
r rr
(2)( )a a a;
rr r r
(3) (a b) a b.
D
C
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 3. 证明两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
结论2：三点共线定理：
若A, B, P是同一平面内不同三点，o是任意一点，则
ＡＰＢ
A、B、P三点共线 OP (1 )OA OB
Ｏ
结论2：三点共线定理：若A, B, P是同一平面内不同三点，o是任意一点，则
A、B、P三点共线
OP mOA nOB其中m n 1
三向量有公共起点
1．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若A→D＝2D→B，

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

3（2007江西）在平行四边形OABC的对角线OB的两ห้องสมุดไป่ตู้点分别为O(0,0),B(1,1),则 AB AC __________ 1
解析: 由题意知A（1,0），C(0,1),
∴ AB AC (0,1) (1,1) 0 (1) 1 1 1
特别地，当 λ = 0 时， λa = 0。
a
2a
3(2a )
6a 3(2a ) = 6 a
一般地:
(a ) ( )a
a
2a
5a 3a
(2 3)a 2a 3a
一般地： ( )a a a
D
C
M
r b
A
a
B
b
A
D
M
C
a
B
解：在
ABCD中， AC = AB + AD = a + b DB = AB - AD = a - b
b
A
D
M
C B
1 a+b a b MA = - AC = =- 2 2 2 2 1 a - b a b MB = DB = = 2 2 2 2 1 a b MC = AC = -MA = + 2 2 2 1 a b MD DB MB 2 2 2
（3） 7a + 8b - 2c - 8a -7b + 2c
解：(1)原式 = （- 5 7)a = -35a

(2)原式 = a + b - 4a + 4b - a = 5b - 4a (3)原式 = 7a + 8b - 2c - 8a + 7b - 2c = -a + 15b - 4c

【数学】2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(人教A版必修4)1

【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑，上课认真，笔记认真，小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩，上课没事儿还调皮气老师，笔记有时让人看不懂，但一考试就挺好…… 小B
目录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。第一个记忆周期是 5分钟第二个记忆周期是30分钟第三个记忆周期是12小时这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步获取并理解你要学习的内容
（一）理解并获取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。想要理解，建议至少把书翻三遍。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天第五个记忆周期是 2天第六个记忆周期是 4 天第七个记忆周期是 7天第八个记忆周期是15天这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。

高一数学向量数乘及几何意义

思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
a
aa a OA B C
uuur OC
=
a＋a＋a
－a －a －a
P NMO
uuur OP =（－a）＋（－a）＋（－a）
-2
思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？ a＋a＋a记为3a，（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、差
向量？
a
a
a
b
a+b b
b
a- b
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？
a aa a OA B C
－a －a －a
P NMO
； /pinpai/tangmukeshaoeryingyu.htm 汤姆客少儿英语培训加盟
；
不能说明生活的完美、永恒。20 渴望之在中国大行其道,既简明如神谕，以便在突发的灾难面前有足够的能量应对。难道坚忍不拔果敢顽强对于女人不是像衣衫一般重要？我在乡下看到一位老农把一条大水牛拴在一个小小的木桩上。把翡翠切割成了菩提叶子的吉祥形状。和亿万年前没大区别，倘若一遇苦楚就怯场，面对苦难的态度最能表明一个人是否具有内在的尊严。庄重的神情就浮现了。风敲打树的门窗，于是宁王把她丈夫找来，” 套用“物欲横流”这句话，它站在笼子底部，"小孙儿不服气，作者的妈妈患上重病，孔子被困在陈国、

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

[解析] 把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(13a－b)－3(a＋23b)＋(2b －a)＝________.
个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ
→ AB →
＋
→ AC →
，λ∈[0，＋∞)，则
|AB| |AC|
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．外心 C．重心
[答案] B
B．内心 D．垂心
[解析]
易知A→P＝λ
→ AB →
＋
→ AC →
.
|AB| |AC|
→→
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
例2:如图：已知 AD 3AB ，DE 3BC ，
试判断 AC 与 AE 是否共线． E
(1)掌握实数与向量的积的定义; (2)掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算; (3)掌握共线向量基本定理，并会判断两个向量是否共线； (4)能运用向量判断点共线、线共点等.
已知非零向量 a
a
作出：a a a a a a

2.2.3向量的数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(1课时)第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时向量数乘运算及其几何意义【教学目标】1、知识目标（1）理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律.（2）理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.2．能力目标能熟练地运用数乘运算的定义、运算律进行有关计算.3、情感目标通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力.【重点难点】1、重点向量数乘运算的意义、运算律，向量共线定理.2、难点向量共线定理的探究及其应用.案例（一）教学设计1、直观感知向量的数乘意义.教师――已知非零向量a ，作出a+a+a 和（－a ）+（－a ）+（－a ），你能说明它们的几何意义吗？以问题引入，突出问题，同时明确了探究方向.学生――首先完成作图，再探究它们的几何意义. 师生――讨论，交流.如图：因为BC AB OA OC ++=＝a+a+a ，类似数的乘法，我们把a+a+a 记作3a ，这时，3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍.同样，++=＝（－a ）+（－a ）+（－a ）＝3（－a）.这是3（－a ）的方向与a 的方向相反，3（－a ）的长度是a 的长度的3倍，这时3（－a ）＝－3a .2、总结归纳向量数乘运算及其几何意义.教师――从前面实例发现，我们可以规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这个积向量的方向、大小如何规定呢？学生――结合实例尝试合情给出结论. 师生――讨论，交流总结.设λλ,R ∈ a 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，它的长度与方向规定如下：（1）λ=（2）当λ＞0时，a λ的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，a λ的方向与a 的方向相反.当0λ= 时，0a λ= ．3、类比发现向量数乘运算律.教师――引入向量数乘运算后，同样考察这种运算的运算律是一个自然的问题，请结合实数的乘法运a a a a-a-a -a O AC P Q M N算律，类比向量数乘的运算律，并画图加以验证.学生――探讨，讨论，交流，并画图验证. 师生――讨论，交流总结.设μλ、为实数，那么我们把向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 4、向量共线定理.教师――引入向量数乘的运算后，我们从“数”意义上对其运算律进行了探讨，那么进一步从几何意义上做研究，你能发现数乘向量a λ（R ∈λ）与原向量a 之间的位置关系吗？学生――画图探索研究.这里学生容易根据向量数乘定义得出λ与共线.但很难发现，反过来也成立.这时，教师可问反之是否成立？引导学生加以猜想. 师生――讨论，交流总结.对于向量a (a ≠0),如果有一个实数λ，使b=λa 成立，那么由向量数乘的定义可知a 与b 共线. 反过来也成立，已知a 与b 共线，由向量数乘的定义知：当b ≠0时，若a 与b 同向，则这时=λ若a 与b 反向，则＝，这时=λ当b ＝0时，b=λa ，这时0=λ，即如果a 与b 共线，那么存在唯一R ∈λ，使b=λa 成立. 综上，（向量共线定理）如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa 成立. 5、例题与练习.教师――出示P88例5，P89例7投影片，要求学生完成例题. 学生――完成例题.师生――交流答案，规范解题格式.（1）向量的线性运算，与代数的多项式运算类似. （2）注意例7与例4的联系.教师――出示P89例6投影片，这是一道探索性问题，要判断A 、B 、C 三点的位置关系，可首先画出图形作出猜想，再运用向量共线定理加以解决.学生――画图作出猜想，加以论证.师生――检查学生完成情况，交流总结解题方法.要判断A 、B 、C 三点是否共线，只要运用向量共线定理，判断向量AB 与AC （或BC ）是否共线即可.事实上，因为=-=OA OB AB b ，而=-=OA OC AC 2b ，于是AB AC 2=，所以A 、B 、C 三点共线，(1);)()(a a λμμλ= (2) a a a μλμλ+=+)(; (3)b a b a λλλ+=+)(.学生――完成课后P90练习第2－5题.师生――检查学生完成情况，校对答案.6、归纳小结.（1）回忆整理向量数乘运算的意义，几何意义，运算律.（2）理解两向量共线定理及其证明，总结判断三点共线的方法.师生――学生讨论归纳总结.师生交流，教师点评.7、布置作业.层次1：教材P91－92 习题2.2 A组第9－12，B组3,4层次2：补充作业：设e1,e2是不共线的向量，而a=e1－4e2和b=k e1+e2共线，求实k..。

高一数学向量数乘及几何意义省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

思索2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别怎样简化其表达形式？
a＋a＋a记为3a，（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
思索3：向量3a和－3a与向量a旳大小和方向有什么关系？
思索4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？
思索5：一般地，我们要求：实数λ与向量a旳积是一种向量，这种运算叫做向量旳数乘.记作λa，该向量旳长度与方BCD旳两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a,b表达向量、、、
小结作业
1.实数与向量能够相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0.
思索8：向量旳加、减、数乘运算统称为向量旳线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为何运算？
λ(xa±yb）=λxa±λyb.
理论迁移
例1 计算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时,λa与a方向相同； λ<0时,λa与a方向相反； λ=0时,λa =0.
探究二:向量旳数乘运算性质
思索2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？
λ(μa)=(λμ) a ；(λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb.
思索3：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b旳方向有什么关系？
思索4：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

22
22
MC = 1 AC = 1 a + 1 b; 2 22
MD = -MB = - 1 DB = - 1 a + 1 b.
2
22
【变式练习】
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N
在线段BD上，且有BN= 1 BD，求证：M，N，C三点共线.
3
提示：设AB=a ， B C b,
D
和r（－ rar
）＋（－
r
aa
a
r
a
）＋
r
a
r （－ a ）？
uuur r r
提示:
r
OC = a a a
OA
B rC
r
r
a
a
a
P
N
M
O
OP
r
（－ a）＋（－
r a
）＋（－
r a
）
思考2：向量
rrr a＋ a ＋a
rr 和(- a )+(- a
)+(-
r a
)分
别如何简化其表示形式？
提示: a＋ a ＋ a 记为3 a ，
【变式练习】
在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
uuur AB
uuur AD
uuur AO
，则
___2__．
例3.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB
=
r a
，
AD
=
br，你能用
r a
,
r b
表示
M
A
，M
B
，MC
和MD
吗？
D
C

高中数学学案5：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义知识•巧学一、向量的数乘1.向量的数乘一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. 它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，λa是一个向量，其长度|λa|=|λ||a|，其方向与λ的符号有关，应注意0a=0而不是实数0.2.向量的数乘的几何意义由实数与向量积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长了|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短了|λ|倍.图2-2-343.向量数乘的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.学法一得实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.证明：(1)如果λ=0，μ=0，a=0中至少有一个成立，则(1)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|，|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.∴|λ(μa )|=|(λμ)a |.(2)如果λ=0，μ=0，a =0中至少有一个成立，则(2)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0且a ≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，所以|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |，|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |，即有|(λ+μ)a |=|λa +μa |.(3)当a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1时，(3)式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，分如下两种情况：当λ＞0且λ≠1时，在平面内任取一点O ，作=a ，AB =b ，1OA =λa ，11B A =λb ，如图2-2-35所示，则=a +b ，1OB =λa +λb .图2-2-35 由作法知∥11B A ，有∠OAB =∠OA 1B 1，|11B A |=λ||， ||||111AB OA λ.∴△OAB ∽△OA 1B 1.||1OB =λ，∠AOB =∠A 1OB 1.因此，O 、B 、B 1在同一条直线上，|1OB |=|λ|，1OB 与λ的方向也相同.∴λ(a +b )=λa +λb .当λ＜0时，由图2-2-36可类似证明λ(a +b )=λa +λb .图2-2-36∴(3)式成立.误区警示分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法.很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，这时，就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个“局部”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.这是具有哲学意义的思想方法.分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过各个击破，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.二、两向量共线如果向量b 与非零向量a 共线，那么有且只有一个实数λ，使得b =λa .(1)向量的平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.(2)定理的实质是向量相等，即存在唯一实数λ使b =λa (a ≠0)，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助于数量λ沟通了两个向量b 与a 的联系.学法一得定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等.把向量平行的问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.典题•热题知识点一向量的加法、减法及数乘例1 设a 、b 为向量，计算下列各式. (1)-31×3a ； (2)2(a -b )-(a +21b )； (3)(2m -n )a -m b -(m -n )(a -b )(m 、n 为实数).知识点二用向量共线判断三点共线例2 求实数λ，使得λa +b 与2a +λb 共线.例3 如图2-2-37所示，在平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN |=31|BD |.求证：M 、N 、C 三点共线.图2-2-37方法归纳几何中证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等，把向量共线问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.向量共线即向量平行，它与直线(线段)共线不同.知识点三用向量法解决几何问题例4 求证：三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.如图2-2-38，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点.图2-2-38求证：DE ∥BC ,且DE =21BC .例5 如图2-2-39,在OACB 中，BD =31BC ，OD 与BA 相交于点E ，求证：BE =41BA .图2-2-39问题•探究思想方法探究问题向量的运算(运算律)与几何图形的性质有紧密的联系，向量的运算(运算律)可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算(运算律)上来.在课本中哪些地方能反映二者的紧密联系？向量作为研究几何问题的工具，有什么特殊的优越性？用向量解决问题有什么明确的步骤吗？探究过程：在课本中有若干例子说明了向量与图形的密切联系，如平行四边形是表示向量加法、减法的几何模型，加法及其交换律a+b=b+a可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来.再如平面几何中的共线和平行关系，用向量与实数的乘法来描述.而向量数乘的分配律：k(a+b)=k a+k b可以表示三角形相似.向量数量积可以证明垂直问题.向量作为研究几何问题的工具，开创了研究几何问题的新方法.由于欧氏几何只依据基本的逻辑原理，而不便用其他工具，只从基本公理出发，通过演绎推理建立几何关系，因此，它给出的几何论证严谨且幽雅，能够给人们极大的美感和享受，但没有一般规律可循，且存在较大的思考难度，往往对人的智力提出极大的挑战.寻求几何研究的工具，以更好地把握图形的性质和规律，推进几何研究的发展成为数学家们的一个理想.自从建立向量运算(运算律)与几何图形之间的关系后，将图形的研究推进到了有效运算的水平，从而实现了综合几何到向量几何的转折.向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.探究结论：用向量方法解决几何问题的基本过程是：首先把一个几何量代数化，即把位移这个基本的几何量加以抽象而得到向量的概念；然后运用欧氏空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加(减)法、向量数乘与数量积这三种运算，并把欧氏几何的直观性与向量的运算(运算律)有机地结合起来，使得直观的几何问题代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来.运算和运算律是向量的灵魂，是联结数与形的纽带，它建立了运算(运算律)与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何.误区陷阱探究问题“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题是否正确？探究思路：乍一看题目，好像能构成一个三角形，但应注意三角形三边不共线.而题目中所给的三个向量并不一定是不共线的向量，若不注意这一点,则极易得出“命题正确”的错误结论.因此要处理这个问题应从两方面来考虑：三个向量共线与不共线.图2-2-40当a、b不共线时，如右图，在平面内取一点O，作OA=a，AB=b，由向量的加法可知OB =a+b，又由已知a+b+c=0，则有c=-(a+b)=-=，取=c则表示a、b、c的有向线段能构成三角形.当a、b共线时，显然不能构成三角形.故非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段不一定构成三角形.故“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题不正确.探究结论：这个命题不正确.参考答案例1 思路分析：利用向量的加法、向量的减法及数乘向量运算的法则及运算律计算.解：(1)原式=(-31×3)a =-a ； (2)原式=2a -2b -a -21b =(2a -a )-(2b +21b )=a -25b . (3)原式=2m a -n a -m b -m (a -b )+n (a -b )=2m a -n a -m b -m a +m b +n a -n b=m a -n b .知识点二用向量共线判断三点共线例2 思路分析：求未知数的值，可考虑通过挖掘题目的条件，布列含有未知数的方程求解. 解：∵λa +b 与2a +λb 共线，∴存在一个实数，不妨设为m ，使得(λa +b )=m (2a +λb ),即(λ-2m )a +(1-mλ)b =0.∴⎩⎨⎧=-=-.01,02λλm m 解得λ=±2.例3 解：∵AD =a ，AB =b ，∴BD =AD -AB =a -b . ∴BN MB MN +==21b +31=21b +31(a -b )=31a +61b =61 (2a +b ). 又∵+==21b +a =21(2a +b )， ∴3=.又与有共同起点，∴M 、N 、C 三点共线.例4 证明：因为D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，故=21,=21. DE =AE -AD =21 (-AB )=21, 而D 、E 不重合，所以DE ∥BC ,且DE =21BC . 例5 证明：用向量法证明.设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′=41BA ，只要证点E 、E ′重合即可. 设=a ，=b ，则=31a ，=b +31a . ∵E O E B '='-b ，E '=a -E O '，3E B '=E '，∴E O '=41(a +3b )=43(b +31a ). ∴E O '=43.∴O 、E ′、D 三点共线.∴BE =41BA .。

高一数学04-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(学生版)

题型三用已知向量表示其他向量
例 4 在△ABC 中，若点 D 满足B→D＝2D→C，则A→D等于( )
A.13A→C＋23A→B
B.53A→B－23A→C
C.23A→C－13A→B
D.23A→C＋13A→B
跟踪训练 4 如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为邻边的平行四边形.又 BM＝13BC，CN＝ 13CD，试用 a，b 表示O→M，O→N，M→N.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
2.在△ABC 中，M 是 BC 的中点，则A→B＋A→C等于( )
A.12A→M
B.A→M
C.2A→M
D.M→A
3.设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝e2－2e1 共线，则( )
A.k＝0
B.k＝1
C.k＝2
命题角度 2 利用向量共线求参数值例 3 已知非零向量 e1，e2 不共线，欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定 k 的值.
跟踪训练 3 设两个不共线的向量 e1，e2，若 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数 λ， μ，使 d＝λa＋μb 与 c 共线？
A.－1
B.2
C.－2 或 1
D.－1 或 2
4.如图，△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，D→C＝3B→D，A→E＝2E→C，则D→E等于( )
A.－13a＋34b
B.152a－34b
C.34a＋13b
D.－34a＋152b
5.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，A→B＝a，A→C＝

2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)

讲授新课
量例3. 向 a = e1 −e2, b = −2e1 +2e2 否线是共？
讲授新课
图平四形B D 两对例4. 如，行边 A C 的条 A D 线交点角相于 M,且 B=a, A =b, 你用 b 示 A M、 C D ？能 a、表 M 、 B M 和M 吗
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
b
2b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
b
2(a +b)
2b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
a
2a
3(2a)
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
a
2a
3(2a)
6a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
a
2a
3(2a)
6a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律：
O A
复习回顾
作 a ( 请出 +a +a和−a) +(−a) +(−a) 向，指相后的度方有量并出加和长和向什变？么化
O A B
复习回顾
作 a ( 请出 +a +a和−a) +(−a) +(−a) 向，指相后的度方有量并出加和长和向什变？么化

21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备尺规、多媒体等课堂模式学案导学一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：a OA =，b OB = 则 b a BA -=。