高中数学换底公式教学案北师大版必修1

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4.2.2 换底公式-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(北师大2019版必修第一册)

1 4.2.2 换底公式【教学目标】重点、难点1、对数换底公式的推导和应用；（重点）2、会用对数换底公式进行化简与求值；（难点）学科素养1、通过对对数换底公式推导的学习，培养逻辑推理素养；2、通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.【知识清单】1、换底公式及其推导证明：设，则，两边取以a 为底的对数，得x ,即2、换底公式的应用对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具，一般常换成以10为底.2、常见结论log a b ·log b a ＝【基础过关】1、log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92N log x b =N b x =N log b log a a =b log N log x a a =⇒b log Nlog N log a a b =2 2、已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________【经典例题】题型一利用换底公式化简求值例1、计算：（1）log 1627log 8132 （2）log 29·log 34题型二用已知对数表示其他对数例2、若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245.【课堂达标】1．（log 29）•（log 34）等于（）A ．B ．C ．2D ．42．设82log 9log 3a =，则实数a 的值为（）A ．32B ．23 C ．1 D ．23．已知lg 2a =,lg3b =,则3log 6等于( )A ．a b a +B ．a b b +C ．aa b + D ．ba b +4．计算:23log 9log 8⋅=( )A ．12B ．10C ．8D ．63 5．若3414491log 7log 27log log 8m ⨯⨯=，则m =___________．6．234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_________.7、求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.8.求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.【能力提升】1．设lg 2a =，lg3b =，则2log 6=（）A ．2abB ．2a bC ．a b a +D ．aa b +2．若lg 2,lg3a b ==，则24log 5等于（）．A ．13a a b ++B ．13aa b ++ C ．13a a b -+ D ．13aa b-+ 3．已知32m n k ==且112m n +=，则k 的值为( )4 A ．15 B 15C6 D ．64．计算25log 25log 22⋅=（）A ．3B ．4C ．5D ．65．若log 2x •log 34•log 59=8，则x =A ．8B ．25C ．16D ．46．若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则（）A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =7．（多选题）若0ab >，且1ab ≠，则下列等式中不正确的是（）A ．lg()lg lg ab a b =+B ．lg lg lg a a b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．21lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1lg()log 10ab ab =8．已知lg 2a =，lg3b =，则3log 6=__________（用含a ，b 的代数式表示）.9．设25a b m ==,且112a b +=,则m =______.10.已知35log 2,log 3a b ==，试用a ，b 分别表示下列各式：（1）2log 5；（2）lg 2；（3）20log 45．5【参考答案】【知识清单】1、log b N ＝log a Nlog a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)3、1【基础过关】1．B【解析】【分析】直接利用对数的运算性质，对选项进行逐一分析判断即可.【详解】log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.【点睛】本题考查对数换底公式，属简单题.2、9【解析】因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9.所以m ＝9.6 【经典例题】例1、（1）[解析]log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.（2）[解析]（3）[log 29·log 34＝2log 23·log 24log 23＝2log 24＝4log 22＝4.]例2、[解析]因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b .[课堂达标]1．D【解析】试题分析：利用换底公式、对数运算法则求解．解：（log 29）•（log 34）===4．故选D ．7 考点：对数的运算性质．2．B【解析】【分析】由对数函数运算性质整理分子，即可求出答案. 【详解】由题可知，322822222log 3log 3log 923log 3log 3log 33a ====故选：B【点睛】本题考查对数式的运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】应用换底公式和对数的运算公式直接求解即可.【详解】∵lg 2a =,lg3b =∵3lg 6lg 2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故选：B【点睛】8 本题考查了换底公式，考查了对数的运算公式，考查了数学运算能力.4．D【解析】【分析】根据对数换底公式,化简原式即可求得答案. 【详解】23lg9lg82lg33lg 2log 9log 86lg 2lg3lg 2lg3⋅=⋅=⋅=∴ 23log 9log 86⋅=故选:D.【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.5．4 【解析】【分析】由对数的运算性质和对数的换底公式，化简整理得32441log log 8m -=，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得344341424449log 7log log 7log 27log log 3log 3log (7)mm -⨯⨯=⨯⨯9344244444log 7log 33log 3log log log 32log 72m m m -=⨯⨯=-=-，所以32441log log 8m -=，所以3218m -=，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理利用对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．3【解析】【分析】直接利用换底公式计算得到答案. 【详解】原式2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln8ln8log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln 2=⋅⋅⋅⋅⋅===. 故答案为：3.【点睛】本题考查了换底公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.7、18【解析】【分析】首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.10 【详解】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换地公式，同时考查对数的运算，属于中档题.8. 18【解析】【分析】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.【能力提升】1．C【解析】【分析】把2log 6换成以10为底的对数，再利用对数的运算性质用,a b 表示lg 6lg 2即可.【详解】11 ∵lg 2a =，lg3b =，∵212lg3log 612g a b g a++==．故选：C ．【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的运算性质，注意根据题设条件中的对数的形式选择合适的底的对数去表示目标对数，此类问题属于基础题.2．D【解析】【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.【详解】由lg 2,lg3a b ==，则24lg51lg 21lg 21log 5lg 24lg8lg33lg 2lg33a a b---====+++. 故选：D【点睛】本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题.3．C【解析】【分析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解.12 【详解】∵3m =2n =k ，∵m =log 3k ，n =log 2k ，∵32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2，∵k 2=6，又0k >∵6k =故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．A【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解【详解】3222525253log 25log 22log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题13 5．B【解析】【分析】由换底公式将原式化为：lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，进而得到lgx=2lg5=lg25. 【详解】∵log 2x•log 34•log 59=8，∵lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，∵lgx=2lg5=lg25，∵x=25．故选B ．【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:log log (0,1;0,1;0)log c b c N N b b c c N b=>≠>≠>且且. 6．C【解析】【分析】根据换底公式可统一为常用对数，即可化简. 【详解】因为567895lg 6lg 7lg8lg 9lg10log 6log 7log 8log 9log 10log 10lg 5lg 6lg 7lg8lg 9p =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，14 而555log 5log 10log 25<<，所以()12p ∈，，故选C.【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题.7．AB【解析】【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．【详解】对于A ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于B ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于C ，00aab b >⇒>，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D ，由换底公式得，()()()1lg()log 1log 0log 10ab ab ab ab ab ==，该等式正确．故选AB ．【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．8．a bb +【解析】【分析】15由换底公式，可得l 3lg6lg2lg3log 6lg3lg3+==，由此能够准确地利用a ，b 表示log 36．【详解】由换底公式，3lg6lg2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故答案为a bb +【点睛】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．910【解析】【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b +==，得到答案.【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b +=+==∴=10.【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.10.（1）1ab ；（2）1+ab ab ；（3）1212++bab16 【解析】【分析】（1）根据换底公式进行换底即可得到答案；（2）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案；（3）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案. 【详解】解：（1）535233log 5115log 31log 5log 2log 2og b a ab====；（2）33335333335log 2log 2log 2log 2lg 2log 51log 10log (25)log 2log 51log 2log 3a abab a b======⨯++++；（3）()33333320333333log 45log (59)log 5log 9log 5log (33)log 45log 20log 45log 4log 5log (22)log 5⨯++⨯====⨯+⨯+ 5333553335log 512log 32log 52log 3log 312log 512log 2log 51222log 2log 3bb aba b++++====++++.【点睛】本题主要考查换底公式和对数的运算性质，考查学生的计算能力和公式的应用能力，属于基础题.171819。

《换底公式)》赛教教学设计(北师大版必修1)

《§4.2 换底公式》教学设计设计人：张艳琴一．教学目标1．知识技能：（1掌握对数的换底公式，能推导和证明换底公式；（2）会用换底公式进行化简、求值.2．过程与方法：学生通过问题的驱动自主学习、合作探究，经历推导换底公式的过程，提高学生分析问题的能力，培养学生转化思想的能力.3．情感、态度与价值观：让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性.二．教学重、难点：重点：换底公式的推导与应用难点：会用换底公式进行化简、求值.三．学法与教法学法：通过学生的自主学习和合作探究，理解换底公式；教法：自主探究式四．教学过程（一）温故知新：一.对数的运算法则：（二）探索新知0,1,0,0,a a M N >≠>>如果则有：1log ()________________;a MN =（）(2) log ()_________________;a M N=(3) log ___________.n a M =822log 64,log 64,log 8.已知对数1.你能计算出它们各自的值吗？问题: 科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，怎么计算log 215？（三）自主学习活动：阅读课本P83 “分析理解”的内容，思考并完成下列任务：(四)合作探究4.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，则经过x 年，剩留量是y 0.84x =方法一根据函数关系式列表如下：观察表中数据，y ≈0.5时，对应有x=4.即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。

方法二以题意得0.84=0.5x822log 64log 64 log 8 2.对数的值与对数和的值有什么关系？21.log 15?=通过阅读你能知道2.1问题中的等式是通过那几个具体步骤推导出来的？823.log 64log 15log log ,log b a a N N b 由和的等式，你能猜出与的关系吗？5.你能证明问题3中的结论吗？请写出证明过程。

高中数学北师大版精品教案《换底公式》

换底公式【教学目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。

2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。

【教学重难点】1．能推导出对数的换底公式。

重点2．会用对数换底公式进行化简与求值。

难点、易混点【教学过程】一、问题引入换底公式：og b N＝错误!a，b＞0，a，b≠1，N＞0。

特别地，og a b·og b a＝1，og b a＝思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。

二、新知探究1．利用换底公式化简求值【例1】计算：og1627og8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。

[解]og1627og8132＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!。

【教师小结】（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底。

（2）换底公式的派生公式：og a b＝og a c·og c b；og an b m＝错误!og a B．2．用已知对数表示其他对数【例2】已知og189＝a，18b＝5，用a，b表示og3645．[解]法一：因为og189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以og3645＝og2×185×9＝og2×1818a＋b＝a＋b·og2×1818．又因为og2×1818＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!。

法二：∵18b＝5，∵og185＝b，∵og3645＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

法三：∵og189＝a，18b＝5，∵g 9＝a g 18，g 5＝b g 18，∵og3645＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

【教师小结】用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（3）注意一些派生公式的使用。

高中数学《换底公式》教案北师大必修

课题：对数换底公式教学目的：（1）理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；（2）掌握对数的运算性质；（3）掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法则进行数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力；（A ）教学重点：对数的定义、对数的运算性质；教学难点：对数的概念；教学过程：一、复习导入1. 对数的性质：（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零；（3）底数的对数等于1；2.对数运算性质（1）N M MN a a a log log )(log +=（2）N M NM a a a log log log -=（3）N n N a n a log )(log ⋅=引例：已知4771.03lg ,3010.02lg ==，求3log 2的值；问：更一般地，我们有a b b c c a log log log =，如何证明？二、新课教学1. 证明：ab bc c a log log log =（由脱对数→取对数引导学生证明）证明：设x b a =log ，则b a x =两边取c 为底的对数，得：b a x b ac c c x c log log log log =⇒=a bx c c log log =∴，即a bb c c a log log log =注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ；2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log = 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法。

三、例题解析例题1：求32log 9log 278⋅的值；分析：利用换底公式统一底数；解法（1）：原式=9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅解法（2）：原式=9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：求证：z z y x y x log log log =⋅分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数；证明：z yz y z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数证明：（略）注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：z xz x log lg lg =就是换底公式的逆用；例题3.已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18ab a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 强化练习（1）50lg 2lg 5lg 2⋅+（2）91log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++（4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6；四、归纳小结，强化思想1.对数运算性质2.换底公式：ab bc c a log log log = 3.两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log = 4.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；五、作业布置1、补充：（1）12527lg 81lg 6log 2+⋅ （2）41log 3log 8log 2914+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35（A ）。

高中数学北师大版(新)必修第一册第四章对数运算与对数函数学案换底公式

2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式，得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。

高中数学必修一北师大版学案2.4 换底公式(学生版)

换底公式☆学生版☆
届数学学科组编号：编写人：高洁审核人：
班级小组姓名学习日期：
学习目标：
1、换底公式的理解.
2、换底公式的应用.
重点：换底公式的理解.
难点：换底公式的应用.
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。

将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习
.换底公式及其证明:
二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。

）
三、合作探究
★. 课本例
★. 课本例
★★. 课本例
四、课堂检测
. 课本练习第小题。

. 课本练习第小题。

北师大版高一数学必修一换底公式说课稿

《换底公式》尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是换底公式。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材从教材的地位和作用来看，本课选自北师大版高中数学必修一第四章第二节。

本课是在学生学习了对数的概念和运算性质的基础上研究换底公式，是解决对数运算的重要基础。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了对数的概念和运算性质，具有一定的分析、归纳的能力。

三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握换底公式，会用换底公式将一般对数化为常用对数或自然对数，并能进行简单的化简和证明。

2.通过换底公式的学习过程，使学生体会化归与转化的数学思想，培养学生分析、归纳的能力。

3.通过知识的形成过程，使学生体会知识之间的联系，培养学生数学运算的核心素养。

四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为换底公式的应用，我会通过例题来突出重点。

教学难点为换底公式的推导，我会通过详细板书举例论证来突破难点。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，你能说出计算器里面的对数键有哪些吗？”“我要如何用计算器算出log a b的对数呢？”我这样设计的意图是通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。

《换底公式》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《换底公式》本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式。

另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用。

教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力。

【知识与能力目标】理解从特殊类比推导对数的换底公式并掌握换底公式。

能够灵活地将换底公式与对数的运算性质结合起来进行较复杂的对数运算与实际运用。

通过阅读材料，了解对数的发展历史及对简化运算的作用，了解指数换底公式。

【过程与方法目标】通过设置问题串的方式，让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力。

在换底公式的应用的过程中，引导学生自己思考发现规律，提高学生的探索发现并总结问题的能力。

【情感态度价值观目标】让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性。

培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度。

【教学重点】换底公式得出的过程及其应用。

【教学难点】推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。

换底公式的灵活应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

1、复习对数的定义及运算性质2、思考: 我们能否直接求出2log 16、lg15、ln 2、2log 15的值呢？借助科学计算器呢?这样如果能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数。

北师大版必修一数学换底公式

安边中学高一年级 1学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：第九周集体备课一、课题： 3.4.2换底公式二、学习目标1.理解换底公式推到过程和应用的规律和方法；2. 熟练掌握换底公式，提高运算求解能力。

三、落实目标【自主预习】1、对数的运算性质：如果 0,0,1,0>>≠>N M a a 有：（1）；（2）；（3）。

2、求值。

（1）852l g (42)o ⨯= ；（2）lg 4lg 25+= ；（3）()=⨯52339log ；（4）3lg 3000lg -= 。

3、求下列各式中的x 。

（1）91log 27=x ；（2）327log -=x ；（3）363=x ；【合作探究】阅读教材P 83-P 85页。

1、你能用计算器计算下列对数吗？（1）3ln )4(;33lg )3(;4log )2(;15log 412。

2、换底公式：。

3、b a log 与a b log 有什么关系吗？例1、⑴27log 9； ⑵81log3； ⑶32log 9log 278⨯。

例2、见P85页例9。

【检测反馈】1、计算：（1）()3lg 2lg 3log 3log 84+；（2）()()32log 32-+。

2、若,7log ,3log 32b a ==用b a ,表示（1）27log 4；（2）56log 142、 P 86页练习1、2（选做3、4）。

反思栏。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《换底公式》教学设计二

《换底公式》教学设计二教学设计一、复习导入1.复习对数的定义及运算性质.（1）对数定义：一般地，如果a （01a a >≠，且）的b 次幂等于N ，即b a N =，那么数b 称为以a 为底N 的对数.（2）对数的运算性质：如果0100R a a M N b >≠>>∈，，，，，则有：（1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（2）log log log a a a M M N N=-；（3）log log b a a M b M =.2.思考：我们能否直接求出log25的值呢？借助科学计算器呢？有些计算器上只有常用对数键“LOG”（即“lg”）和自然对数键“LN （即“ln”），对一般底数的对数没法直接计算.3.如果能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出以任意不等于1的正数为底数的对数值那么，如何转换呢设计意图：以问题引导学生复习回顾前面学习的对数的定义及对数的运算性质，思考能否用计算器直接计算出2log 5的值，引入本节课的学习内容，让学生体会学习这节内容的必要性.二、研探新知，建构概念阅读教材，回答以下问题：（通过投影仪提出问题，提供5分钟时间让学生自学探究，适时引导）问题1：如何使用科学计算器计算对数？问题2：你能把2log 5用以10或以e 为底的对数来表示吗?问题3：更一般地，上述结论成立吗？如何证明?问题4：你能用自己的话概括出换底公式吗？问题5：换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的自学能力与创造性思维能力.对于问题1，考虑利用对数的定义，转化成指数方程再两边取常用对数或自然对数来求解.对于问题2，考虑参考问题1的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示. 对于问题3，借助问题1、2的思路，利用对数的定义来证明.问题4抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式.一个数的对数，等于同一底数的原对数真数的对数与原对数底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商换底公式的意义就在于把对数的底数改变，把不同底对数问题转化为同底对数问题，为使用对数的运算性质创造条件，更方便化简求值.设计意图：设计5个问题，引导学生由特殊到一般地思考得出换底公式，体现了数学的由特殊到一般的思维方法，这也是我们得出数学结论常用的方法.探究1 设2log 5x =，根据对数的定义，写成指数式得25x =.①对①式两边取常用对数，得到lg 2lg5x =，所以lg 5lg 2x =. 这样我们可以用科学计算器中常用对数键“LOG”算出2log 5的值：2lg5log 5 2.32192809489lg 2=≈. 如果对①式两边取自然对数，得到ln 2ln5x =，所以ln 5ln 2x =. 这样我们可以用科学计算器中的自然对数键“LN”算出2log 5的值.探究2 如果对①式两边取以c （01c c >≠，且）为底的对数，得log 2log 5c c x =所以log 5log 2c c x =. 探究3 证明：设log a b x =，根据对数定义，写成指数式，得x a b =.根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以c （01c c >≠，且）为底的对数，得log log c c x a b =，所以log log c c b x a=. 由于log a b x =，所以log log log c a c b b a =. 换底公式：一般地，若000a b c >>>，，，且11a c ≠≠，，则log log log c a c b b a=，这个结论称为对数的换底公式. 设计意图：探究过程体现了由特殊到一般的思维过程，探究1是取常用对数，探究2取更一般的字母c ，探究3全部换成字母，得出一般结论.三、质疑答辩，发展思维例1 用科学计算器计算（精确到0.001）：（1）2log 3；（2）3log 2；（3）2log 7；（4）3log 5.分析：先利用换底公式改写成自然对数或常用对数的商的形式，再利用计算器计算.解：（1）2lg 3log 3 1.585lg 2=≈. （2）3lg 2log 20.631lg 3=≈. （3）2lg 7log 7 2.807lg 2=≈. （4）3ln 5log 5 1.465ln 3=≈. 设计意图：让学生通过合作学习，使用计算器完成.看谁算得快，增强合作与竞争意识.例2 计算：（1）27log 81；（2）165log 25log 8⋅；（3）log log a b b a ⋅（00a b >>，，且11a b ≠≠，）.分析：（1）利用换底公式换成以3为底的对数；（2）（3）换成以10为底或以e 为底的对数进行计算（当然也可以换成其他底数）.解：（1）3273log 814log 81log 273==. （2）165lg 25lg82lg 53lg 23log 25log 8lg16lg 54lg 2lg 52⋅=⋅=⋅=. （3）ln ln log log 1ln ln a b b a b a a b ⋅=⋅=. 例3 计算：（1）420.5251log log 3log 95+-；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--. 分析：（1）先利用换底公式换成同底的对数，化简之后利用对数的运算性质（逆用）计算；（2）利用换底公式换成同底对数，然后化简.解：根据对数的换底公式，得（1）420.5251log log 3log 95+- 22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+- 2225log log 3log 53=+- 225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭. （2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+-- 2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 2222ln 2ln 3ln 2ln 32ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2=师生活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，使用换底公式统一底数在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程分析解答情况.师指出：在对数运算中，要特别注意观察对数的特点，若是同底数对数的加减运算，通常运用对数的运算性质，先将对数之间的加减运算转化为真数之间的乘除运算，然后再进行对数运算；若不是同底数对数，则要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算.设计意图：让学生体会要根据题目的特点，底数不同，要考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或自然对数当然以2为底或以3为底的对数也可，灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键.例4 分别计算下列各式，你能得出什么结论？（1）25log 5log 16⋅；（2）369log 6log 9log 4⋅⋅；（3）715317log log 5log 3⋅⋅⋅ 分析：利用换底公式化为同底数对数然后进行计算.解：（1）25lg54lg 2log 5log 164lg 2lg5⋅=⋅=. （2）3693lg 6lg9lg 4log 6log 9log 4log 4lg3lg 6lg9⋅⋅=⋅⋅=. （3）71531lg1lg537log log 5log 113lg 7lg5lg 3⋅⋅⋅=⋅⋅=. 师生活动：让学生先计算，然后分析、观察，教师引导总结规律.结论：log log log a b a b c c ⋅=.例5 设00a b >>，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：（1）1log log a a b b a α=；（2）log log a a a b b ββα=. 分析：（1）利用换底公式换成以b 为底的对数；（2）利用换底公式换成以a 为底的对数.解：（1）log1loglog logabab bbba aαα==.（2）log loglog loglog loga aa aa ab bb ba aαββαββαα===.设计意图：从例题的解答过程中，引导学生思考一般性结论，强调底数的次方数为分母，真数的次方数为分子.四、巩固练习教材第104页练习第2，4，6题.五、课堂小结1.换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可以正用，也可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简所以在对数的运算中，应尽量化为同底的对数，以便用于运算.2.不论是指数和对数的互化，还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数，都用到了转化与化归的思想、方程思想.板书设计教学研讨本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数计算问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算，在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式，本案例的设计以问题引导教学，问题的设计由易到难，由特殊到一般，层次性强.让学生在问题的引导下不断地深入思考，发现问题的本质，得出数学结论.由特殊到般的思维方法，也就是归纳一猜想一证明的思维方法是我们发现数学结论常用的方法，在这一节里，换底公式的推导、重要结论的得出，都体现了这一数学思想方法，这一点要让学生认真体会本案例例题设计得比较多，例4、例5实际上是课后的练习题，通过这两个题目，主要让学生发现、总结两个重要的结论，这两个结论在今后解题时可以直接运用.这种安排是否合理，教师们可以交流、研讨.。

北师大版高中数学必修一数学必修第一册：4.2.2《换底公式》学案

换底公式【学习目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。

2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。

【学习重难点】1．能推导出对数的换底公式。

(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。

(难点、易混点)【学习过程】一、预习提问思考：换底公式的作用是什么？[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。

二、合作探究【例1】计算：log 1627log 8132．[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。

[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516。

【例2】已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645．[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ，又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818．又因为log 2×1818＝1log 1818×2 ＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a。

法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185×9log 184×9 ＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b 2log 18189＋log 189＝a ＋b 2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a。

法三：∵log 189＝a ，18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 9×5lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a。