高一(新课标)学年教案必修(4)第一章---1.6 三角函数模型的简单应用(一)

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人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案_002

1.6三角函数模型的简单应用教学目的：让学生根据三角函数的图象y=Asin(ωx+φ)求出函数表达式中的“A 、ω、 φ”，进一步理解 “A 、ω、φ”的图象中的作用。

让学生认识到，数学来源于生活，我们生活中处处有数学。

教学难点：“A 、ω、φ”求法的理解。

教学过程一、复习提问“A 、ω、φ”在y=Asin(ωx+φ)的图象中的作用分别是什么？二、新课例1、如图，某一天从6―14时的温度变化曲线满足函数y=Asin(ωx+φ)＋b 。

（1）求这一天6－14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。

解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20ºC 。

（2）A ＝21（30－10）＝10 b ＝21（30＋10）＝20 因为21·ωπ2＝14－6，所以，ω＝8π，将x ＝6，y ＝10代入上式，解得43πϕ=。

综上，所求解析式为：y ＝10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6,14］。

例2、画出函数y ＝∣sinx ∣的图象并观察其周期。

解：函数图象如右图所示。

从图中可以看出，y ＝∣sinx ∣是以π为周期的波浪形曲线。

因为，y ＝∣sin （x ＋π）∣＝∣－sinx ∣＝∣sinx ∣所以，y ＝∣sinx ∣是以π为周期的函数。

例3、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|ϕ－δ|，当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。

如果北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？解：图（课本P69），A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。

要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度的定义，有∠C ＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′MC ＝'3426tan tan 00︒=h C h ＝2h 0 即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自主预习·探新知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1610．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图162y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合作探究·攻重难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当堂达标·固双基]1．与图163中曲线对应的函数解析式是( )图163A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图164表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图164A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图165，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图165(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。

高中数学必修4《三角函数模型简单应用》教案

课题：三角函数模型的简单应用教材：新课标人教A版必修4教学目标：1，知识目标（1）.能够由函数图象模型求出求出解析式模型。

（2）.能够由函数图象获取相应函数的性质。

（3）.将简单的实际问题抽象为三角函数模型。

（4）.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。

2，能力目标让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的创新精神和实践能力。

3，情感目标通过主动探索，合作交流，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。

教学重点：1.用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．2.三角函数图象模型与解析式模型之间的相互转化。

教学难点：.将简单的实际问题抽象为三角函数模型,.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。

教学手段：多媒体辅助教学教法学法（教法）数学是一门培养人的思维，发展人的思维的学科，在教学中不仅要使学生“知其然”而且要知其“所以然”，因此教学要充分呈现获取数学知识和方法的思想过程。

因此本节课采用探究式教学法，其主要宗旨在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生知识和能力水平的提高。

该模式是以问题为纽带，使学生在提出问题、分析问题、解决问题的探究过程中发展智力、提高能力。

在教学过程中借助多媒体辅助教学。

（学法）在学法上，以探究问题为中心，给学生提供思考的机会，提供合作探究的机会，提供表达交流的机会，提供成功的机会。

让学生经历观察、思考、推理、应用的过程从而建构自己的知识体系。

学情分析本堂课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用课.学生在这之前已经系统地学习了三角函数的计算，三角函数的图象以及三角函数的性质，对三角函数有了一定的知识储备，为本堂课的顺利开展垫定了良好的基础 .教学过程：（一）复习引入提出问题问题：你能举出几个生活中具有周期变化规律的例子吗？钱塘潮。

2.波动现象。

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明

《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4知识与技能：深刻体会三角函数模型应用的三个层次，灵活运用三角函数图像与性质求解实际问题的方法；学会分析问题并创造性地解决问题。

过程与方法：在自主探究的活动中，明白考虑问题要细致，说理要明确；渗透数形结合、化归的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。

情感、态度、价值观：理性描述生活中的周期现象；培养喜学数学、乐学数学、爱学数学的数学情感。

教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

教法：创设情景法、引导发现法。

学法：自主探索、尝试总结。

教学手段：借助多媒体教学，增大课堂容量、提高联系效率。

特点一：问题生活化一、创设情景，呈现问题二、描画图像，寻找规律三、分析数据，塑造模型据课前调查，我校地理老师均表示已清晰地向学生介绍了正午太阳高度角的定义和公式，学生也较好地理解和掌握了该定义和公式。

1、整个教学过程，以问题为教学的出发点，充分发挥学生的主体作用。

设计情景激发学生的学习兴趣；深入探究问题，提高学生解决同类题型的能力；突出三角函数模型的实际应用，注重与实际生活相结合；分层布置作业，重视巩固基础知识，训练发散思维。

整个教学设计中，既体现了问题生活化、探究深入化、分析渐进化三大特点，又渗透了数形结合、化归的数学思想。

2、学生参与了知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，教师努力做到使学生“听”有所思、“学”有所获。

师生之间、同学之间形成良好的互动关系。

但学生对正午太阳高度角的概念早已模糊。

如能借助多媒体课件，直接明了地复习正午太阳高度角的定义（例如几何画板制作的反映正午太阳高度角变化的课件），这将为本课教学取得更佳的效果。

《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案说明一、教学内容的本质分析“数学来源于生活，数学教学的最终目的是让学生在生活中用数学。

【优质文档】必修4教案1.6三角函数模型的简单应用(2课时)

一、复习准备：
1. 函数 y A sin( x ) ( A 0, 0,
) 最高点 D 的坐标是 (2, 2) ，由最高点运动到相
邻的最低点时，函数图象与 x 轴的交点坐标是 (4，0)，求此函数的表达式 . （答案： y 2 sin x ） 4
2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？
如何确定初相？（特殊点法）
3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等）
二、讲授新课：
1. 教学三角函数应用模型：
① 出示例：某港口水深 y（米）是时间 t（ 0≤ t≤ 24，单位：小时）的函数，记为 y= f (t) ，下
面是某日水深数据：
t（时） 0
3
6 9 12 15 18
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1
.
② 练习：如图，它表示电流 I Asin( t ) ( A 0, 0) 在一个周
期内的图象 . （ i ）试根据图象写出 y Asin( t
) 的解析式 .
（ ii ）在任意一段 3 秒的时间内，电流 100
得最小值－ A 吗？
I 既能取得最大值
A，又能取
100
33
（答案： I 3sin(
t )；由T
第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）
教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；
培养学生用已有的知识解决实际问题的能力 .
教学重点：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题
.
教学难点：选择合理数学模型解决实际问题 .
教学过程：

高中数学第一章三角函数1_6三角函数模型的简单应用教学案新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用讲一讲1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？[尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．练一练1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．讲一讲2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[尝试解答] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T＝80(次)．(3)列表：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．练一练2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h .+(1)求h 与θ间的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t s 转过的弧度数为πt30.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2＋2k π，k ∈N ，∴t min ＝30(s)．即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．讲一讲3．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据．(1)(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[尝试解答] (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f (t )＝A cos ωt ＋b ，并且周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1.∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪爱好者开放， ∴12cos π6t ＋1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤： (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．练一练3．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________．解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，ω＝T ＝0.8＝π2，又由4sinφ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .答案：y ＝－4cos 5π2t——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．(3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案．3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用 (1)三角函数在物理中的应用，见讲1；(2)三角函数在实际问题中的应用，见讲2； (3)建立三角函数模型解决实际问题，见讲3.课下能力提升(十二) [学业水平达标练]题组1 三角函数在物理中的应用1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A ．5 B.52C ．2D ．－5解析：选B 直接将t ＝1200代入计算即可．当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1200＋π3＝5sin 5π6＝52.故选B.2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________； (2)振动频率为________．解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz. 答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz题组2 三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：选A 周期T ＝15秒，ω＝2πT ＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A ＝3.5．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.解析：根据题意得28＝a ＋A ，18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（12－6）＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（10－6）＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.56．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量．解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800. 又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750. 题组3 建立三角函数模型解决实际问题7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t 与水深y 的关系：φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A y ＝f (t )的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k ＝12，A ＝3. 周期T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝12，t ＝3时，y ≈15. 所以φ＝0.因此，y ＝12＋3sin π6t ，故选A.[能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝π－2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝2x －π，故选A.3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：选C ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )解析：选C 令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1，则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.5．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．解析：T ＝2πga＝2π·ag.答案：2π·a g6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析：由条件可知，B ＝7，A ＝9－7＝2. 又T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0.所以f (x )的解析式为f (x )＝2sin π6x ＋7.答案：f (x )＝2sin π6x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N )7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：依题意，有A ＝23，T4＝3，即T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4，3)．又P (8，0)，∴MP ＝（8－4）2＋（0－3）2＝42＋32＝5(km)．即M 、P 两点间的距离为5 km.8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6<－12，因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8，12)；令k ＝1，得t ∈(20，24)．故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.。

高中数学必修四教案-1.6 三角函数模型的简单应用(1)-人教A版

4-1.6 三角函数模型的简单应用【学情分析】：（适用于平行班）学生学习了三角函数的图像及其性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维活跃，学习积极性高，已经形成对数学问题进行合作探究的意识与能力。

【教学目标】：（1）能够从实际问题中抽取基本的数学关系，把实际问题抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题；（2）让学生体验的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的解题能力；（3）让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用.【教学重点】：从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型解决问题.【教学难点】：从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．【教学突破点】：引导学生观察日常生活，通过对实际问题进行建模练习，从简单熟悉的问题入手，循序渐进，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而提高学生应用三角函数解决实际问题的能力．【教法、学法设计】：教学方法——启发式、讲练相结合式；学习方法——小组讨论探究、合作交流式；教学手段——使用多媒体辅助教学．【课前准备】：课件二、引入问题情景教师展示问题情景：假如你想在该小区购买一套房子，你选购房子应该考虑哪些因素?学生活动：分小组探讨影响购房的因素，然后小组派代表说明选择的理由．说明：此题主要是为下面的例1作铺垫，故平行班对本题作简单的讨论即可，以便有更多的时间对例1进行学习．让学生了解生活常识，增加学生的学习兴趣；同时为例1作铺垫．三、师生共同探究新知例1 设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系δϕθ--︒=90，当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在某地区（纬度数为北纬24°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新房，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？教师引导（问题1）：太阳光线正午能不能直射该地区？若不能，太阳光线从该地区哪个方位的上空照射过来？学生活动：各小组合作探讨，然后派组员试回答．（学生边回答，教师边引导）教师引导（问题2）：该实际问题中，两楼之间的距离只应满足什么条件？学生活动：讨论之后作出回答．（学生边回答，教师边引导，明确答案）教师引导（问题3）：楼房h0与太阳高度角θ及楼房影长h三者之间是什么关系？学生活动：根据老师的分析（分析等量关系），学生找出三个量之间的关系．教师引导（问题4）：太阳光线直射地球什么位置时，楼房的影子最长？学生活动：认真观察几何画板演示，然后师生讨论得出结论．解：略．（详细解答可参看课本）说明：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题．应当注意在复杂的背景中抽取，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．在教学中，教师要注意分析清楚相关学科知识以帮助学生明白基本的数学关系，使学生对三角函数的应用有进一步的了解．问题1使学生充分调动相关学科的知识来理解题意，从而为建立数学模型作准备问题2让学生找出所求问题的等价问题问题3建立数学模型，利用解三角形来解决实际问题问题4培养学生的观察分析、归纳能力。

高一数学人教A版必修4第一章1.6 三角函数模型的简单应用教学设计

1.6 三角函数模型的简单应用（人教A版高中课标教材数学必修4）教学设计一、教学内容解析：（一）本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.6《三角函数模型的简单应用》的第一课时，学生已经学习了三角函数图像和性质，在这个基础上来学习三角函数模型的简单应用相关问题。

整节课堂中渗透数学建模的思想，为学生接下来的第二课时的学习做好铺垫。

大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，现实生活中的周期现象是无处不在的。

而我们刚刚学习的三角函数就具有明显的周期特征，所以我们常常利用三角函数的模型来解决现实生活中存在的一些实际问题。

本节课堂的内容具有显著的现实意义，选用的两个例题都是采用课本中的原题，再进行深加工。

通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题的过程，使学生进一步巩固所学的知识，体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想。

再这个过程中可以提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。

（二）本节课的教学重点：1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；3.利用多样化信息技术手段解决现实生活中的数据统计、方程求解等问题。

（三）本节课的教学难点：1.体会数学建模过程，对数学模型中相关量的求解。

如例题1中的求解二、教学目标设置：（一）教学目标：1.会对信息进行利用，分析与整理。

体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用信息技术手段进行计算求解——回到实际应用问题的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2.通过三角函数图像求解参数值的过程，使学生初步学会由图象求解析式的方法。

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案(1)

《三角函数模型的简单应用》的教学设计一．教学设计1、思路：依据《课标》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。

依据学生的认知规律和水平，本节课将例1与例2调整了一下顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图，即由数到形。

既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法。

复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决例2打下一个良好的基础和准备工作，在讲解例2中，着重要注意以下几个方面的问题。

A、要和学生共同体验并总结求y=Asin(ωx+ )+B函数的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验。

B、注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由高中数学知识到数学本质的理解。

C、注意实际问题与数学问题的相匹配。

之后本节课设有一道与学生学习相关的人体节律问题，通过解决可用三角函数模型描述出自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，并教会学生如何使用多媒体手段来模拟或解决生活中遇到的一些问题，为下一节的学习做一个准备工作。

2、设置：在每一个例题中都设置一个小结，养成一个边学、边练、边体验、边总结的学习习惯，并及时纠正在学习中出现的错误，总结经验。

3、本节设置了一些实际应用情景的练习题目，旨在加强和巩固。

第②问是为讲解下一节做准备。

二．教案：三角函数模型的简单应用〈一〉课本要求会用三角函数来解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的高中数学模型。

〈二〉⒈知能目标（目标设计）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。

⒉情感目标：切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

⒊智育目标：体会和感受高中数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。

〈三〉知能要点梳理学习本节课的目标是加强用三角函数模型刻画周期变化现象，本节课从四个层次介绍三角函数模型的应用。

《三角函数模型的简单应用》的教学设计

1.6 三角函数模型的简单应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学过程：三角函数模型的简单应用一、导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.（互动探究）图5表示的是电流I与时间t的函数关系图5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.例2 做出函数y=|sinx|的图象并观察其周期例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC＝=≈2.000h0,即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.例4货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?。

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。

【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。

【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。

【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。

例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。

正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。

2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。

（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。

（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。

三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。

（1）分析题意，选用何种三角函数模型。

设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。

高中数学必修四学案：1.6三角函数模型的简单应用Word版

1.6 《三角函数模型的简单应用》导学案
【知识链接】 1、三角函数可以作为描述现实世界中
_________现象的一种数学模型 .
2、 y | sin x | 是以 ____________ 为周期的波浪型曲线 .
【学习过程】
自主探究；
问题一、如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数
2 sin( x 4
3 ) 8,
4
则利润函数为 : y m( y2 y1 )
3
m[ 2 sin( x ) 8 2sin( x
44
4
) 6] 4
m(2 2 2 sin x) 4
所以，当 x=6 时， Y=（ 2+ 2 2 ） m，即 6 月份盈利最大 .
【拓展提升】 1、 A 2、 A
t1
3、解：（ 1）由图知 A＝ 300，
厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元， 7 月份
出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的，
并已知 5 月份销售价最高为 10 元， 9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商
Байду номын сангаас品 m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由
俯角为 45 ，则此时两船间的距离为（
）.
A ． 2hm B ． 2hm C． 3hm D． 2 2hm
3、如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式： I = Asin( t ) 在
同一周期内的图象。
（1）根据图象写出 I = Asin( t ) 的解析式；
（2）为了使 I = Asin( t
1 ) 中 t 在任意－段 100 秒的时间内电