福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

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宁德市2014-2015学年度第一学期期末高二质量检测

（4）为了测定在某种催化剂作用下的反应速率，某科学家在某温度下用气体传感器测时间(s) 0 1 2 3 4 5 c(NO)( mol•L－1) 1.00×10－3 4.50×10－4 2.50×10－4 1.50×10－4 1.00×10－4 1.00×10－4 c(CO)( mol•L－1) 3.60×10－3 3.05×10－3 2.85×10－3 2.75×10－3 C 2.70×10－3从表中数据分析可知：①c＝mol•L－1；②前2s内的平均反应速率v(N2)＝；③该温度下反应的平衡常数K＝。

19．（14分）I.肼（N2H4）又称联氨，常温时是一种可燃性的液体，可用作火箭燃料。

（1）已知在25℃101kPa时，16gN2H4在氧气中完全燃烧生成氮气，放出312kJ的热量，则N2H4完全燃烧的热化学方程式是。

II.如下图所示，某研究性学习小组利用上述燃烧原理设计一个肼(N2H4)−─空气燃料电池（如图甲）并探究氯碱工业原理和粗铜的精炼原理，其中乙装置中X为阳离子交换膜。

根据要求回答相关问题：（2）甲装置中正极的电极反应式为。

（3）检验乙装置中石墨电极反应产物的方法是。

（4）如果电解后丙装置精铜质量增加3.2g，则理论上甲装置中肼消耗质量为g。

III.对金属制品进行抗腐蚀处理，可延长其使用寿命。

该研究性学习小组又以肼(N2H4)－空气燃料电池为电源对铝材表面进行如下处理：（5）流程⑤中以铝材为阳极，在H2SO4溶液中电解，最终可在铝材表面形成氧化膜，该电解的阳极电极反应式为__________________________________。

（6）取少量废电解液，加入NaHCO3溶液后产生气泡和白色沉淀，其反应的离子方程式是__________________________________________________________。

福建省宁德市2015届高中毕业班第二次质量检查数学(理)试题

2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a (3,)m =，b (2,1)=-，//a b ，则实数m 的值为A ．32-B ．32C ．2D ．62．若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．24D ．364．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --则该函数的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．2，，(n x x ++-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 6．已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 ABC ．2 D8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日 9．若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．010．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是侧视图正视图A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．复数1iiz +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 12．设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为．13．若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为．14．若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是． 15的ABC ∆中，3A π∠=．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(c o s s i n )A θθ，．（Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量(s i n 2,2c o s )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．17．(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18． (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．（Ⅰ）求证：1AO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．19． (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程;（Ⅱ）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ，（ⅰ）求证:直线CD 过定点;（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究20．(本小题满分14分)xyO已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()(e g x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n +=+，求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）求曲线410x y+-=在矩阵M的变换作用后得到的曲线C '的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；（Ⅱ）若正实数,a b 满足11a b +2212m a b+≥.2013年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．1112．1313．1-或0 14．(3,1)(1,3)-- 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分．解: （Ⅰ）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分 ∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（Ⅱ）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分 ∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分 17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分 ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ，则ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．331(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 213339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 3233327(20)14464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(60)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴19276020206030646464E ξ=-⨯-⨯+⨯+=．……………………………8分设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，则η所有可能的取值为60-，20-，20，60． ∵2111(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(60)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴191216602020602450502550E η=-⨯-⨯+⨯+⨯=，……………………………12分 ∵1203012024+>+，∴支持票投给甲队．…………………………………………13分18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O =…………………………………………2分 ∴22211AO AD AA += ∴1AO AD ⊥.…………………………………………3分又1CD AO ⊥，且CD AD D =，∴1AO ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ，设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(x ∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n =1),m +．……………………………8分又1AO ⊥平面ABCD ,且1AO ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .B a１a又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD . 不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ，……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分 19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分．解法一: （Ⅰ）由题意可知，HF HP =，∴点H 到点(0,1)F 的距离与到直线1:1l y =-的距离相等，……………………………2分 ∴点H 的轨迹是以点(0,1)F 为焦点，直线1:1l y =-为准线的抛物线，………………3分 ∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设0(,1)P x -，切点(,),(,)C C D D C x y D x y ．由214y x =，得12y x '=． ∴直线01:1()2C PC y x x x +=-，…………………………………………5分又PC 过点C ，214C C y x =， ∴2001111()222C C C C C y x x x x x x +=-=-， ∴01122C C C y y x x +=-，即01102C C x x y -+=．…………………………………………6分同理01102D D x x y -+=， ∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线CD 的方程为1102x y -+=. 设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQPQ PQ PA PB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭ ()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分 ()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQPQ PA PB +为定值，定值为2．…………………………………………13分解法二: （Ⅰ）设(,)H x y ，由题意可知， HF HP =，1y =+， ………………………………2分∴化简得24x y =，∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点(,),(,)C C D D C x y D x y ，直线CD 的方程为y kx t =+．联立y kx t =+与24x y =得2440x kx t --=，由根与系数的关系，得4,4C D C D x x k x x t +=⋅=-．…………………………………………5分由214y x =，得12y x '=． ∴直线1:()2C C C PC y y x x x -=-，又214C C y x =，所以211:24C C PC y x x x =-．同理211:24D D PD y x x x =-．…………………………………………6分联立两直线方程，解得1y t =-=-，∴1t =，即直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得11()22C D x x k =+=， ∴12k =， ∴直线CD 的方程为1102x y -+=．以下同解法一．20．本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解: （Ⅰ）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分（Ⅱ）2()e (2)x f x x x -=+．由()()g x f x ≥，得23()e (2)ex x x t x x ----≥+，[0,1]x ∈．当0x =时，该不等式成立; …………………………………………4分当(0,1]x ∈，不等式3e (2)ex x t x --++≥+对(0,1]x ∈恒成立，即max 3e (2)e x t x x -⎡⎤≥++-⎢⎥⎣⎦．…………………………5分设3()e (2)ex h x x x -=++-，(0,1]x ∈， ()e (2)e 1e (1)1x x x h x x x ---'=-+++=-++，()e (1)e e 0x x x h x x x ---''⎡⎤=--++=⋅>⎣⎦，∴()h x '在(0,1]单调递增，∴()(0)0h x h ''>=，∴()h x 在(0,1]单调递增， …………………………………………………………7分 ∴max 33()(1)11e eh x h ==+-=， ∴ 1.t ≥………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）∵11(1)n n a a n+=+， ∴11n n a n a n++=，又11a =， ∴2n ≥时，321121231121n n n a a a n a a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->，∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f n n ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n ，宽为1n的小矩形的面积， ∴11()()i n i ni f f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（Ⅱ），取1t =，得23()()(1)e f x g x x x ≤=-++， ∴1132100011313()()(1)32e 62ef x dxg x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦，∴11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分 21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（Ⅱ）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分 ∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分（2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分（Ⅱ）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分圆心C到直线x y+=的距离为2d，………………………6分又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即3d r+=，∴321r=-=．………………………………………7分(3)本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x=-+-≥-+-=，…………………………………2分当且仅当[3,5]x∈时取最小值2，……………………3分2m∴=．…………………………………4分（Ⅱ）22222121()[1](13a b a++≥⨯+=，222123()2a b∴+⨯≥，∴22122a b+≥.…………………………………………7分。

福建省宁德市第二中学2014-2015学年高二上学期期中考

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．:2D ．23．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01504．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-5．在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（） A ．22.5-B ．21.5-C ．20.5-D ．20-6．下列各对不等式中同解的是（） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 7．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ．ba 11> C ．2a b > D ．22a b > 8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值9．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，213110．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

宁德市2014-2015学年度第二学期高二期末质量检测理科

宁德市2014-2015学年度第二学期高二期末质量检测数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页。

考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3、考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．1. 已知复数2+z i =(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面上的对应点在（）．A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 2．用三段论推理：“对数函数y log (01)a x a a =>≠且在()0,+∞上是减函数，因为2y log x =是对数函数，所以2y log x =在()0,+∞上是减函数”，你认为这个推理（）．A .大前提错误B . 小前提错误C.推理形式错误D. 大前提和小前提都错误3．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算27.01K =，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”有（）以上的把握． 20()P K k ≥ 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A .0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%4. 由函数2y x =的图象与直线12x x ==、和x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A ．32B ．2C ．73D ．35．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（）A ． 24种B ． 60种C ． 90种D ．120种6．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在1x x =处取得极小值B ．函数()f x 在3x x =处取得极大值C ．函数()f x 的单调递减区间是23(,)x xD ．函数()f x 无极大值（第6题图） 7．某班有50名学生，一次考试后数学成绩2(110,)X N σ，若(100110)0.3P X ≤≤=，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A ．10B ．9C ．8D ．78．2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 9．若1!2!3!4!5!2014!2015!m =+++++++，则m 的个位数是（）A ．1B ．2C ． 3D ． 410. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(B |A)P =（）A ．18B ．14C ．25D ．1211．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有（）种．A ． 48B ．60C ．72D ．961x xy '2x 3x x o。

福建省宁德市第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(无答案)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2D ．2:3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01504．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-5．在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（） A ．22.5-B ．21.5-C ．20.5-D ．20-6．下列各对不等式中同解的是（） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 7．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ．ba 11> C ．2a b > D ．22a b > 8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值9．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，213110．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

福建省宁德二中高二数学上学期第二次月考试卷理(含解析)

福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）下列语句中是命题的是（）A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°=1C．x2+2x﹣1＞0 D．梯形是不是平面图形呢2．（5分）在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则集合{x|ax2+bx+c＜0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真3．（5分）有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．（5分）若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．77．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对8．（5分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线9．（5分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．1010．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是．12．（4分）用“充分、必要、充要”填空：（1）p∨q为真命题是p∧q为真命题的条件；（2）￢p为假命题是p∨q为真命题的条件．13．（4分）若椭圆x2+my2=1的离心率为，则它的长半轴长为．14．（4分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是．15．（4分）抛物线y2=6x的准线方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．对于下述命题p，写出“￢p”形式的命题，并判断“p”与“￢p”的真假：（1）p：91∈（A∩B）（其中全集U=N*，A=x|x是质数，B=x|x是正奇数）．（2）p：有一个素数是偶数；．（3）p：任意正整数都是质数或合数；（4）p：三角形有且仅有一个外接圆．17．若a2+b2=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．18．k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？19．在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．20．双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程．21．k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）下列语句中是命题的是（）A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°=1C．x2+2x﹣1＞0 D．梯形是不是平面图形呢考点：四种命题．专题：阅读型．分析：分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．解答：解：A，不是，因为它是一个疑问句，不能判断其真假，故不构成命题；B，是，因为能够判断真假，故是命题；C，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；D，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题；故选B．点评：本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．（5分）在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则集合{x|ax2+bx+c＜0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真考点：四种命题的真假关系．专题：计算题．分析：题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题．在解答时，首先要判断准原命题和逆命题的真假，然后由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同，从而可得解答．解答：解：对于原命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则{x|ax2+bx+c＜0}≠φ．”可知a＜0，∴{x|ax2+bx+c＜0}≠φ”一定成立，故原命题是真命题；又因为逆命题为“{x|ax2+bx+c＜0}≠φ，则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”当a=1，b=﹣2，c=﹣3时，显然{x|ax2+bx+c＜0}={x|﹣1＜x＜3}≠φ，但是抛物线y=ax2+bx+c 的开口向上，所以逆命题不成立是假命题．又由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同．所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是假命题．故选D．点评：此题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题．在考查的过程当中与解方程相联系，深入考查了条件与结论之间的互推关系．此题值得同学们体会和反思．属基础题．3．（5分）有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：依次分析命题，a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，故①错误；a＞b＞0⇒，反之则不成立，故②错误；a＞b＞0⇒a3＞b3，反之由不成立，故③错误；综合可得答案．解答：解：a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，故①错误；a＞b＞0⇒，反之则不成立，故②错误；a＞b＞0⇒a3＞b3，反之由不成立，故③错误．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意避免不必要错误的发生．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真考点：命题的真假判断与应用．专题：推理和证明．分析：由四种命题的等价关系可判断A，D；利用等价命题的定义，可判断B；写出原命题的逆否命题，可判断C；解答：解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，D正确；“a＞b”⇔“a+c＞b+c”，故B错误；“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；故选：D点评：本题考查的知识点是四种命题，等价命题，熟练掌握四种命题的等价关系和定义是解答的关键．5．（5分）若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求得命题A，B为真时，参数的范围，再利用四种条件的定义，即可得结论．解答：解：A：a∈R，|a|＜1，可得﹣1＜a＜1；B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，所以f（0）=a﹣2＜0，所以a＜2；当﹣1＜a＜1时，a﹣2＜0，∴A是B的充分条件，当a＜2时，不能得出﹣1＜a＜1，比如a=1.5，∴A不是B的必要条件；所以A是B的充分不必要条件故选：A．点评：本题以命题为载体，考查四种条件，考查方程根的研究，利用四种条件的定义进行判断是关键．6．（5分）已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．7．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对考点：椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a 与b的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a2﹣b2=c2，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a 与b的值写出椭圆的方程即可．解答：解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，则2（a+b）=18，即a+b=9①，由焦距为6，得到c=3，则a2﹣b2=c2=9②，由①得到a=9﹣b③，把③代入②得：（9﹣b）2﹣b2=9，化简得：81﹣18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，所以椭圆的方程为：+=1或+=1．故选C．点评：此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．8．（5分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线考点：轨迹方程．专题：常规题型．分析：根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．解答：解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．点评：本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线．9．（5分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．解答：解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B点评：本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线y2=8x可知p=4，准线方程为x=﹣2，进而根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P到其准线x=﹣2的距离，求得P点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．解答：解：根据抛物线y2=8x，知p=4根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=﹣2的距离，得x p=7，把x代入抛物线方程解得y=±2故选C．点评：本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是若a，b至少有一个为零，则a•b为零．考点：四种命题间的逆否关系．专题：计算题．分析：根据逆否命题的定义，命题若p则q的逆否命题为：若¬q，则¬p，根据命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”，写出¬q与¬p，进而可以得到原命题的逆否命题．解答：解：命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”中，p：a•b不为零，q：a，b都不为零则¬p：a•b为零，¬q：a，b至少有一个为零则命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是：若a，b至少有一个为零，则a•b为零故答案：若a，b至少有一个为零，则a•b为零点评：本题考查的知识点是逆否命题的定义，已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题．逆命题：“若q，则p”；否命题：“若¬p，则¬q”；逆否命题：“若¬q，则¬p”12．（4分）用“充分、必要、充要”填空：（1）p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件；（2）￢p为假命题是p∨q为真命题的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）根据p∨q，p∧q的真假情况与p，q真假的关系及充分条件，必要条件的概念即可完成该问；（2）根据￢p，p∨q的真假情况与p，q真假的关系及充分条件，必要条件的概念即可完成该问．解答：解：（1）由p∨q为真命题，则：p，q中至少有一个为真命题；而p∧q为真命题，则：p，q都为真命题；∴由p∨q为真命题不一定得到p∧q为真命题，∴p∨q为真命题不是p∧q为真命题的充分条件；而由p∧q为真命题，能得到p∨q为真命题，∴p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要条件；∴p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件；（2）￢p为假命题时，p为真命题，所以p∨q为真命题，∴￢p为假命题是p∨q为真命题的充分条件；由p∨q为真命题，得到p，q中至少有一个为真命题，所以p可能是假命题，所以￢p是真命题，即得不到￢p是假命题，∴￢p为假命题不是p∨q为真命题的必要条件；∴￢p为假命题是p∨q为真命题的充分不必要条件．故答案为：必要不充分，充分不必要．点评：考查p∨q，p∧q，￢p的真假情况与p，q真假的关系以及充分条件，必要条件，必要不充分条件，充分不必要条件的概念．13．（4分）若椭圆x2+my2=1的离心率为，则它的长半轴长为1或2．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先将方程转化成标准方程，进而能够得出a2、b2，然后求出m，从而得出长半轴长．解答：解：椭圆x2+my2=1即，当椭圆焦点在y轴上时，∴a2= b2=1由c2=a2﹣b2得，c2=∵=1﹣m=得m=∴a=2即长半轴长为2当椭圆焦点在x轴上时，b2= a2=1∴a=1即长半轴长为1故答案为1或2．点评：本题考查了椭圆的标准方程和简单性质，此题要注意椭圆在x轴和y轴两种情况，属于基础题．14．（4分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．解答：解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）点评：本题主要考查了双曲线的定义和标准方程．属基础题．15．（4分）抛物线y2=6x的准线方程为x=﹣．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用抛物线的性质，写出准线方程即可．解答：解：抛物线y2=6x的准线方程为：x=﹣．故答案为：x=﹣．点评：本题考查抛物线的基本性质，直线方程的求法，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．对于下述命题p，写出“￢p”形式的命题，并判断“p”与“￢p”的真假：（1）p：91∈（A∩B）（其中全集U=N*，A=x|x是质数，B=x|x是正奇数）．（2）p：有一个素数是偶数；．（3）p：任意正整数都是质数或合数；（4）p：三角形有且仅有一个外接圆．考点：素数及其判别；命题的否定．专题：阅读型．分析：首先要分清楚否命题与命题的否定形式的区别，否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，而命题的否定形式只是对结论否定即可．一个命题与它的否定形式是完全对立的．两者之间有且只有一个成立．而否命题和原命题的真假没有关系．解答：解：（1）¬p：91∉A，或91∉B；p真，¬p假；（2）¬p：每一个素数都不是偶数；p真，¬p假；（3）¬p：存在一个正整数不是质数且不是合数；p假，¬p真；（4）¬p：存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，p真，¬p假．点评：此题主要考查命题的否定形式与否命题的区别，要把两者之间的概念弄清楚，以免混淆，在判断真假的时候要弄清楚它与原命题的关系．以便更好的解题．17．若a2+b2=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．考点：反证法的应用．专题：计算题．分析：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2 相矛盾．解答：证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2 相矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．18．k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线y=kx+2代入椭圆2x2+3y2=6，消去y，可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，利用△＞0、△=0、△＜0，可得结论．解答：解：直线y=kx+2代入椭圆2x2+3y2=6，消去y，可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，∴△=144k2﹣24（2+3k2）=72k2﹣48，①直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个交点，∴72k2﹣48＞0，∴k＞或k＜﹣；②②直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有一个交点，∴72k2﹣48=0，∴k=±；③直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6没有公共点，∴72k2﹣48＜0，∴﹣＜k＜．点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，直线和椭圆的交点个数的判断方法，求出△=72k2﹣48，是解题的关键．19．在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据抛物线的方程设出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P到直线y=4x﹣5的距离d，利用二次函数求最值的方法得到所求点P的坐标即可．解答：解：设点P（t，4t2），点P到直线y=4x﹣5的距离为d，则，当时，d取得最小值，此时为所求的点．点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．20．双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程．考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），设出对应的双曲线和椭圆方程，再利用点P（3，4）适合双曲线的渐近线和椭圆方程，就可求出椭圆的方程．解答：解：由共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），双曲线的过点P（3，4）的渐近线为y=x．可设椭圆方程为，点P（3，4）在椭圆上，，∴a2=40，∴椭圆方程为．点评：本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．21．k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．考点：曲线与方程．专题：分类讨论．分析：本题要确定曲线的类型，关键是讨论k的取值范围，解答：解：当k＜0时，曲线为焦点在y轴的双曲线；当k=0时，曲线为两条平行于轴的直线y=2或y=﹣2；当0＜k＜2时，曲线为焦点在x轴的椭圆；当k=2时，曲线为一个圆；当k＞2时，曲线为焦点在y轴的椭圆．点评：本题考查了几种基本的曲线方程与曲线的对应关系，从方程区分曲线也是必需的要掌握的．。

2014-2015年福建省宁德市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

15．（4 分）如图，△A0B1A1，△A1B2A2，…，△An﹣1BnAn 均为等腰直角三角形，
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其直角顶点 B1，B2，…，Bn（n∈N*）在曲线 y= （x＞0）上，A0 与坐标原点
* O 重合， A （在 x 轴正半轴上．设 Bn 的纵坐标为 yn，则 y1+y2+…+yn= i i∈N ）
．
三、解答题：本大题共 5 小题，满分 66 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（13 分）某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出 n 条鱼称其重量（单位：克），并将所得数据进行分组，得到如右频率分布表．分组（80，90] （90，100] （100，110] （110，120] （120，130] （130，140] （140，150] 合计频数 3 7 x 20 35 20 5 n 频率 0.03 0.07 0.10 y 0.35 0.20 0.05 1.00
2）．（Ⅰ）取线段 AC 的中点 Q，问：是否存在点 P，使得 PQ∥平面 AEB？若存在，求出 PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当 EP= ED 时，求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值． 19．（13 分）某供货商拟从码头 A 发货至其对岸 l 的两个商场 B，C 处，通常货物先由 A 处船运至 BC 之间的中转站 D，再利用车辆转运．如图，码头 A 与两商场 B，C 的距离相等，两商场间的距离为 20 千米，且∠BAC= 物从码头 A 至 D 处的运费为 100 元/千米，这批货到 D 后需分别发车 2 辆、4 辆转运至 B、C 处，每辆汽车运费为 25 元/千米．设∠ADB=α，该批货总运费为 S 元．（Ⅰ）写出 S 关于 α 的函数关系式，并指出 α 的取值范围；（Ⅱ）当 α 为何值时，总运费 S 最小？并求出 S 的最小值．．若一批货

福建省四地六校2014-2015学年高二上学期第二次联考数学(理)

“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2014— 2015 学年上学期第二次月考高二数学（理）试题本试卷分第 I卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）。

本试卷共8 页，满分150 分，考试时间120 分钟第 I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，满分 50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项切合要求的. ）1、命题“对x0, x2x0 ”的否认形式是()A．x00, x02x00B．x00, x02x00C．x00, x02x00D．x00, x02x002、设点 P(x， y) ，则“ x＝ 2且 y＝－ 1”是“点 P 在直线 l ：x＋ y－ 1＝ 0 上”的 () A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件3、以下说法错误的是 ()A．假如命题“P ”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q 必定是真命题B．命题“若 a＝ 0，则 ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则 ab≠0”C．若命题 p：2－ 3<0，x ∈ R，x ＋ 2x00则 P ：对x∈R，x2＋2x－3≥0D．“ sin1θ＝”是“ θ＝ 30°”的充足不用要条件24、右图给出的是计算1111的值的一个程序246100框图，此中判断框内应填入的条件是()A． i< ＝ 100B． i>100C． i>50D． i< ＝ 505、有四个游戏盘，假如撒一粒黄豆落在暗影部分，则可中奖.小明希望中奖，他应入选择的游戏盘为（） .A. B. C. D.6、若双曲点 (6,3 ) 且近方程是 y1 ）x ，条双曲的方程是（3A ． x 2 y 2 1B. x 2 y 21C. x 2 y 21D. x 2y 21369981918 37、已知正方形ABCD 的点 A, B 的焦点，点C ,D 在上，此的离心率( )A ．21B． 2 C ．2 1 D． 2 221x8、已知会合 A ＝{x ∈ R| 2＜2 ＜ 8} ，B ＝ {x ∈R| － 1＜ x ＜ m ＋ 1} ，若 x ∈ B 建立的一个充足不用要的条件是 x ∈ A ，数 m 的取范是 ()A ．m ≥2B ．m ≤2C． m ＞ 2D．－ 2＜ m ＜ 29、 x 2y 2 1 上的点到直 x2 y2 0 的最大距离是（） 164A ． 3B ． 11C ．2 2D ． 1010、x 2 y 2P , ⋯, P , 的右焦点F. 数列｛ |P F| ｝1上有 n 个不一样的点 : P ,431 2 nn是公差大于 1的等差数列 , n 的最大是（）100A ． 201B ． 200C ． 199D ． 198第 II 卷（非）二、填空：（本大共5 小，每小 4 分，分 20 分）11、若数据 x 1 ，x 2，x 3，⋯， x n 的均匀数 x ， 3x 1+5，3x 2 +5，⋯， 3x n +5 的平均数.12、已知的是短的2 倍，的离心率等于13、激学生学趣，老上在黑板上写出三个会合：A { x |[] x10} ，B { x | x 2x3x 4 0}，C{ x | log 1 x 1} ；而后甲、乙、丙三位同学到台上，2并将“”中的数告了他，要求他各用一句来描绘，以便同学能确立数，以下是甲、乙、丙三位同学的描绘，甲：此数小于6 的正整数；乙： A 是 B 建立的充足不用要条件；丙：A 是 C 建立的必需不充足条件．若三位同学的都， “”中的数．14、已知 F 是双曲x 2y 2 1的左焦点， A(1,4), P 是双曲右支上的点，PFPA412的最小15、离心率黄金比5 -1的称 “ 美 ” .x 2 y 2 1(a b 0) 是美2a 2b 2圆，F、A 分别是它的左焦点和右极点， B 是它的短轴的一个端点，则ABF 等于.三、解答题：（本大题共有 6 小题，满分80 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题13 分）某学校100 名学生期中考试语文成绩的频次散布直方图如图 4 所示，此中成绩分组区间是：50,60，60,70， 70,80， 80,90， 90,100．(1) 求图中 a 的值；(2) 依据频次散布直方图，预计这100 名学生语文成绩的众数、中位数（保存两位小数）；(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比以下表所示，求数学成绩在50,90 以外的人数．分数段50,6060,7070,8080,90x ： y1： 12： 13：44： 517．（此题 13 分）已知动点 M 到点 P( 1,3) 的距离和到直线 y5的距离相等，求动点M 的2 88轨迹方程。

福建省宁德市普通高中2015届高三下学期毕业班第二次质量检查数学(理)试题

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量(3,)m =，(2,1)=-，b a //，则实数m 的值为A ．32-B ．32C ．2D ．6【答案】A 【解析】试题分析： //，m 23=-∴，得23-=m ，故答案为A. 考点：平面向量平行的应用.2.若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B.考点：充分条件、必要条件的判断.3.已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．24D ．36【答案】D 【解析】试题分析：61222412=⎪⎭⎫⎝⎛=+x x C T ，65=∴a ，365573=⋅=⋅∴a a a a ，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.4.若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 【答案】A考点：1、偶函数的应用；2、二次函数的最值.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：第一次执行循环体后，1,2==n S ，继续执行循环体，第二次执行循环体后，2,5==n S ，继续执行循环体，第三次执行循环体后，3,10==n S ，继续执行循环体，第四次执行循环体后，4,19==n S，在直线循环体，输出的值大于20，不符合题意，i 的最大值4，故答案为B. 考点：程序框图的应用.6.已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定【答案】C 【解析】试题分析：第一次测试的平均分90=x ，862=σ；第二次测试的平均分93=x ，792=σ，因此第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故答案为C. 考点：正态分布的应用.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为A B C ．2 D 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线的左焦点()0,1c F -，得x a b y ±=，当c x -=，得c aby ±=由于以AB 为直径的圆恰过点2F ，因此2ABF ∆是等腰直角三角形，因此211F F AF =，即c c ab2=，a b 2=∴，a b a c 522=+=∴，5==∴ace ，故答案为D. 考点：双曲线的简单几何性质.8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日【答案】C 【解析】试题分析：这12天的日期之和，()7812121212=+=S ，甲、乙、丙的各自的日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C. 考点：等差数列的前n 项和.9.若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．0【答案】B 【解析】试题分析：方程023=+--a x x x 有三个实根，函数a y =与函数x x x y ++-=23的图象有三个交点，由图象可知，直线a y =在AB 之间，有3个交点，当直线过点B 时，此时1x 最小，由于01232=++-='x x y得31-=x 或1=x ，因此点()1,1B ，令123=++-x x x 化简得()()0112=+-x x ，1x 的最小值1-.考点：方程的根和函数的零点.10.如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】试题分析：几何体如图所示，此时几何体的体积最大，322131=⋅⋅=V ，让另外两个侧面退化为光滑的曲面并且逼近两个三角形侧面时，体积逐渐趋向于0，故320≤<V ，故答案为D.考点：由三视图求体积.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）侧视图正视图11.复数iiz +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________．【答案】2. 【解析】试题分析：i i z +=1()()()i i i i i -=--+=11，在复平面上对应的点()1,1-，到原点的距离2. 考点：复数的四则运算和概念.12.设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为．【答案】31. 【解析】试题分析：a 的可能取值6,5,4,3,2,1，共有6种情况，方程02=++a ax x 有两个不等实根，042>-=∆a a ，解得4>a 或0<a ，此时5=a ，或6=a ，有2种情况，所求事件的概率3162==P . 考点：利用古典概型求随机事件的概率.13.若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为．【答案】1-或0. 【解析】试题分析：由于不等式组表示的平面区域是直角三角形，当0=k 时，平面区域是直角三角形，当01=+-y kx 与直线x y =垂直时符号题意，此时1-=k .考点：线性规划的应用.14.若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是．【答案】()()3,11,3 --. 【解析】试题分析：在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，圆()422=-+a y x 与圆122=+y x 相交，两圆的圆心距a d =，则1212+<<-a ，因此a 的取值范围()()3,11,3 --.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.15.的ABC ∆中，3π=∠A ．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为．【答案】3.考点：1、基本不等式的应用；2、余弦定理的应用.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，．（1）求点A 的坐标；（2）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos 2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．【答案】（1）⎪⎭⎫⎝⎛54,53A ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5212,512. 【解析】试题分析：(1)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如x b x a y cos sin +=化为()ϕ++=x b a y sin 22，研究函数的性质；（2）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα；（3）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定；（4）掌握两角差的正切公式及倍角公式.试题解析：（1）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分 ∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（2）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分考点：1、三角函数的化简；2、同角三角函数的基本关系. 17.(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【答案】（1）6.143；（2）支持票投给甲队. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：（1）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望. 18. (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．【答案】（1）证明略；（2）存在这样的点P ，使二面角P A A D --1为6π.【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.Bya １试题解析：（1）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O =…………………………………………2分 ∴22211AO AD AA += ∴1A O AD ⊥.…………………………………………3分又1CD A O ⊥，且CDAD D =，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（2）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ，……………………………6分设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,,)x y z ，∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n=1),m +．……………………………8分又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD . 又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ，……………………12分a１a解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何的探究性问题. 19. (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程;（2）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， ①求证:直线CD 过定点;②若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQ PQ PAPB+是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．【答案】（1）y x 42=；（2）直线CD 过定点()1,0；PBPQ PAPQ +为定值2【解析】试题分析：（1）抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决；（2）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式xyO∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分②由（2）①得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得 24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQ PQ PAPB+为定值，定值为2．…………………………………………13分考点：1、抛物线的标准方程；2、圆锥曲线中的定点、定值问题. 20.(本小题满分14分)已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2．（1）求实数a 的值；（2）设3()(eg x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（3）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n+=+，求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．【答案】（1）2=a ；（2）1≥t ；（3）证明略. 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()0,0f 处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率()20='f ；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”.试题解析：（1）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分（2）2()e (2)x f x x x -=+．（3）∵11(1)n n a a n+=+，∴11n n a n a n ++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分 ∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->， ∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f n n ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()if n，宽为1n 的小矩形的面积，∴11()()i n i nif f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a aa n f f f f f f f x dx n n nn n n nn --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（2），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++，∴1132100011313()()(1)32e 62e f x dx g x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦，∴11213()()()62e n a a a f f f n n nn -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．【答案】（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-，∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．【答案】（1）222(((0)x y r r ++=>；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分（2）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分圆心C到直线x y +=的距离为2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=， ∴321r =-=．………………………………………7分考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b满足11a b +2212m a b+≥. 【答案】（1）2=m ；（2）证明略. 【解析】试题分析：（1）不等式的b a b a b a +≤+≤-在求最值方面的应用；（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷（理）含答案

宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1iz =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 345C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合}{1A x x =≥-，1,2x B y y x A ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩，则A B =A ．}{12x x -≤≤B ．}{2x x ≥ C ．}{02x x <≤ D ．∅3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x 的值为 A ．1 B 2C 3D 6 4．设,x y 满足约束条件12324x y x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．72 B ．92 C ．132 D ．1525．将函数1sin()24y x π=+图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数2俯视图正视图2x x x()y f x =的图象，则函数()4y f x 3π=+的一个单调递增区间是 A ．(,0)2π-B ．(0,)2πC ．(,)2ππD ．3(,2)2ππ6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C 为正态分布(2,1)N 的密度曲线)与直线0,x =1x = 及0y =围成的封闭区域内点的个数的估计值为(附:若X2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=)A ．2718B ．1359C ．430D ．2157．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，P 是C 上的一点，Q 是C 的准线上一点．若ΔPQF 是边长为2的等边三角形，则该抛物线的方程为A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x = 8．已知锐角,αβ满足sin2cos αα=，1cos()7αβ+=，则cos β的值为 A ．1314 B ．1114C 53D 39．已知O 是坐标原点，12,F F 分别是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）的左、右焦点，过左焦点1F 作斜率为12的直线，与其中一条渐近线相交于点A ．若2||||OA OF =，则双曲线C的离心率e 等于 A ．54B ．53C 3D ．210．世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的《张丘建算经》中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人．用现代方程思想，可设,,x y z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的数量，则不定方程为53100,3100.z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩如图是体现张丘建求解该问题思想的框图，则方框中①，②应填入的是 A ．3?t <，257y t =- B ．3?t ≤，257y t =-开始1t =4x t=100z x y=--,,x y z输出1t t =+结束是否①②Oyx1C ．5?t <，255y t =-D ．5?t ≤，255y t =- 11．底面边长为6的正三棱锥的内切球半径为1，则其外接球的表面积为A ．49πB ．36πC ．25πD ．16π12．设函数()ln()f x x k =+，()e 1x g x =-．若12()()f x g x =，且12x x -有极小值1-，则实数k的值是 A ．1- B ．2-C ．0D ．2宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理科数学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．边长为2的正三角形ABC 中，12AD DC =，则BD AC ⋅=___________． 14．()22344(1)x x x -++的展开式中，3x 的系数是___________．（用数字填写答案）15．B 村庄在A 村庄正西10km ，C 村庄在B 村庄正北3km ．现在要修一条从A 村庄到C 村庄的公路，沿从A 村庄到B 村庄的方向线路报价是800万元/km ，沿其他线路报价是1000万元/km ，那么修建公路最省的费用是___________万元． 16．在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且满足2DAC π∠=，1sin 3BAD ∠=．若13ABD ADC S S ∆∆=，则C ∠的余弦值为___________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，若4(1)n n n c b b =+，求证：123n c c c +++<．18．（12分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间t （分）(]20,30(]30,40(]40,50(]50,60频数2182010将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，112BC DC AB ===． O 是AB 的中点，PO ⊥底面ABCD ．O 在平面PAD上的正投影为点H ，延长PH 交AD 于点E ．（1）求证: E 为AD 中点；（2）若90ABC ∠=，2PA =BC 上确定一点G ，使得HG //平面PAB ，并求出OG 与面PCD 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224:5O x y +=相切．（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．21．（12分）已知函数221()()ln ()2f x x x x ax a =++∈R ，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直．（1）求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若λ是整数，当0x >时，总有2211()(3)ln 24f x x x x x λλ-+->+，求λ的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2(4cos )4r ρρθ-=-，曲线2C 的参数方程为43cos ,3sin x r y r θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）当r 变化时，设1,C 2C 的交点M 的轨迹为3C ．若过原点O ，倾斜角为3π的直线l 与OHEDCBAP曲线3C 交于点,A B ，求OA OB -的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知实数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式225x x y -++≤；（2）若,0x y >，证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．23- 14．8 15．9800 166三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解:（1）由题设132n n S a +=-，当2n ≥时，132n n S a -=-，两式相减得13n n n a a a +=-，即14n n a a += . …………………2分又1a =2，1232a a =-，可得28a =， ∴214a a =. ………………………………3分 ∴数列{}n a 构成首项为2，公比为4的等比数列，∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分（没有验证214a a =扣一分）（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- ， ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∵2n ≥时，211n n -≥+，∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ ， ………9分∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ (11)分3<. ………………………………12分解法三：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- ， ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（1）当2040t <≤时，0.1215y t =+ ………………………………1分当4060t <≤时，0.12400.20(40)150.211.8y t t =⨯+-+=+. ………………………………2分得：0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩ ………………………………3分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分 ξ可取0，1，2，3.03032327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2232336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为ξ123P2712554125361258125……………7分27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………8分或依题意2(3,)5B ξ，23 1.25E ξ=⨯= ……………………………8分（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间21820102535455542.650505050t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟），……………10分每次上下班租车的费用约为0.242.611.820.32⨯+=（元）. ……………11分一个月上下班租车费用约为20.32222894.081000⨯⨯=<，估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分解法二：（1）（2）同解法一；（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为2182010(150.1225)(150.1235)(11.80.245)(11.80.255)20.51250505050+⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=（元）……………10分一个月上下班租车费用约为20.512222902.5281000⨯⨯=<……………11分估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（1）连结OE . 2,AB O =是AB 的中点，1CD =，OB CD ∴=，//AB CD ，∴ 四边形BCDO 是平行四边形， 1OD ∴=.………………1分PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， PO AD ∴⊥，………………2分 O 在平面PAD 的正投影为H ， OH ∴⊥平面PAD ，OH AD ∴⊥.………………3分又OH PO O =，AD ∴⊥平面POE ，AD OE ∴⊥，………………4分又1AO OD ==，E ∴是AD 的中点. ………………5分（2）90ABC ∠=，//OD BC ，OD AB ∴⊥，OP ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，………………6分(0,0,0)O ∴，(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，2PA =，OP AB ⊥， 221PO PA AO ∴=-OA OD OP ∴==，∴H ∴是ADP ∆的的外心， 2AD PD AP ===H ∴是ADP ∆的的重心，OH OP PH ∴=+23OP PE =+111(,,)333=-.………………8分设BG BC λ=，(,1,0)OG BC OB λλ∴=+=，141(,,)333GH OH OG λ∴=-=--，又(1,0,0)OD =是平面PAB 的一个法向量，且//HG 平面PAB ，OHEDCBAPz yxOHED CBP0GH OD ∴⋅=，103λ∴-=，解得13λ=，1(,1,0)3OG ∴=，………………9分设(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量，(1,0,1)PD =-，(0,1,0)CD =-， 0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即0,0,x z y -=⎧⎨=⎩ 取1,x =则1,0z y ==，(1,0,1)n ∴=.………………11分cos ,||||n PGn PG n PG ⋅∴<>=⋅1531029==⋅， ∴直线OG 与平面PCD 5.………………12分解法二：（1）同解法一；（2）过H 作HM EO ⊥，交EO 于点M ，过点M 作//GM AB ，分别交,OD BC 于,Q G ，则//HG 平面PAB ，………………6分证明如下：//,MG AB AB ⊂平面,PAB MG ⊄平面PAB ， //MG ∴平面PABPO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ABCD ，PO EO ∴⊥， ∴在平面POD 中，//PO MH ，PO ⊂平面,PAB HM ⊄平面PAB ， //MH ∴平面PABMG MH M =，∴平面//MHG 平面PABGH ⊂平面MHG ，//HG ∴平面PAB .………………7分2,OM PH OM ME HE =∴=， 21,3BG OQ ∴==………………8分在OD 上取一点N ，使23ON =，10CN OG ∴=………………9分作NT PD ⊥于T ，连结CT .∵,CD OD ⊥,CD OP OD OP O ⊥=， CD ∴⊥平面POD ， NT CD ∴⊥，PD CD D =, NT ∴⊥平面PCD ,NCT ∴∠就是OG 与平面PCD 所成的角. ………………10分DN DPNT PO =, 32NT ∴，………………11分 TNQ PAB CD E HOMG532sin 10NT OTN CN ∴∠===, 即直线OG 与平面PCD 所成角的正弦值为5.………………12分解法三：（1）同解法一.（2）过E 作//EQ AB ，交BC 于点Q ，连结PQ ，过H 作//HM EQ 交PQ 于点M ，过点M 作//GM PB ，交BC 于G ，连结HG ，则//HG 平面PAB ，………………6分证明如下：//,MG PB PB ⊂平面,PAB MG ⊄平面PAB ， //MG ∴平面PAB 同理://MH 平面PABMG MH M =，∴平面//MHG 平面PAB ．GH ⊂平面MHG ，//HG ∴平面PAB ，………………7分 2BG PM PH GQ MQ HE∴===，E 是AD 的中点，∴Q 是BC 的中点，1133BG BC ∴==，………………8分取PD 的中点N ，连结ON ，再连结OG 并延长交DC 的延长线于点T ，连结NT ， OP OD =，N 是PD 中点，ON PD ∴⊥，OB OD ⊥，,OB OP OD OP D ⊥=， OB ∴⊥平面POD OB ON ∴⊥，//OB CD ，ON CD ∴⊥，PD CD D =， ON ∴⊥平面PCD ， OTN ∴∠就是OG 与平面PCD 所成的角.BG OBGC CT=， 2CT ∴=， 2210OT OD DT ∴=+.122ON DP == ………………11分252sin 10ON OTN OT ∴∠=，即直线OG 与平面PCD 所成角的正弦值为5.………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．TNG MQ OHE DCB AP解法一：（1）根据题意，可得：221224,211225a b ab a b ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即222,5ab a b =⎧⎨+=⎪⎩，………………………………………………………2分解得2,1.a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为2214x y +=．………………………………………………………5分（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得 251nm =+，即224(1)5m n +=，………………………………6分从而[)20,4m ∈.又1121(2)2S n y y =+-，2121(2)2S n y y =--，∴1212121(2)(2)2S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………………7分将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(4)240m y mny n +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+．…………8分 ∴22221212121244()()4=m n y y y y y y y y +---+-.∴2222221216444218116555m m n m m m S S n ++-++⋅+-===4224242817+16891+58+1658+16m m m m m m m +++，当20m =时，1285S S -=；………………………………10分当2(0,4)m ∈时，xOPQCDAB y12222289891+1+21655168+28S S m m m m-==+⋅+，………………………………11分且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性，不妨设:5l x ，此时直线l 与椭圆的交点为(55，1218(2)(225555S S ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得251bk =+，即224(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.点,A B 分别到直线l 的距离为1221k b d k -+=+2221k b d k +=+.将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(14)8440k x kbx b +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -⋅=+． (7)分∴22222212121244111()4=1k b PQ k x k x x x x k +-=+-=++-+.………………………8分 ∴121212S S d d AB-=-⋅222222214411211k b k b k b k k k-+++-+++22441k b b +-=22441k b b +-=2224(1)4414(1)55k k k ++-+=22228(1)(116)5(14)k k k ++=+242481171651816k k k k ++=++2242289891121518165816k k k k k =++++++，且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭． (12)分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一: （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()(1)ln (2)12f x x x a x '=++++，……………………………………………………………1分依题意可得， (1)1f '=， 12122a ∴++=，14a ∴= .……………………………………………………………………2分 ()(1)ln (1)f x x x x '∴=+++=(1)(ln 1)x x ++令()0f x '=，即(1)(ln 1)0x x ++=，10,x x >∴=，……………………………………3分 x1(0,)e 1e 1(,)e+∞ ()f x ' - 0 + ()f x↘极大值↗()f x ∴的单调递增区间是1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e .………………………………5分（2）由（Ⅰ）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++，2211()(3)ln 24f x x x x x λλ∴-+->+ln 31x x x x λ-⇔>+，………………………………6分设ln 3()1x x xh x x -=+， ∴只要min ()h x λ>，……………………………………………7分2(1ln 3)(1)(ln 3)()(1)+-+--'=+x x x x x h x x22ln (1)x xx -+=+，…………………………………………………………………8分令()2ln u x x x =-+， 1()10u x x'∴=+>()u x ∴在(0,)+∞上为单调递增函数， (1)10u =-<， (2)ln 20=>u∴存在0(1,2)x ∈，使0()0u x =，……………………………………………………9分当0(,)x x ∈+∞时，()0u x >，即()0h x '>，当0(0,)x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<， ()h x ∴在0x x =时取最小值，且000min 0ln 3()1-=+x x x h x x ，………………………………10分又0()0u x =， 00ln 2x x ∴=-， 000min 00(2)3()1--∴==-+x x x h x x x ，……………………………………………………11分00(1,2),(2,1)x x ∈∴-∈--又min ()h x λ<，max 2Z λλ∈∴=-. …………………………………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++2211()(3)ln 24f x x x x λλ∴-+->+ln 30x x x x λλ⇔--->.…………………………6分设()ln 3g x x x x x λλ=---，∴只要min ()0g x >，………………………………………7分则()1ln 3g x x λ'=+--ln 2x λ=--令()0g x '=，则ln 2x λ=+，2x e λ+∴=.…………………………………………………8分当2(0,)x e λ+∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2(,)x e λ+∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，2min ()()g x g e λ+∴=222(2)3e e e λλλλλλ+++=+---2e λλ+=--.…………………………9分设2()h e λλλ+=--，则()h λ在R 上单调递减，………………………………………10分 (1)10,(2)120h e h -=-+<-=-+>，………………………………………………11分0(2,1)λ∴∃∈--，使0()0h λ=，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）由1C ：2(4cos )4r ρρθ-=-，得224cos 4r ρρθ-+=，即222440x y x r +-+-=， ………………………………………………………2分曲线2C 化为一般方程为：222(4)3x y r -+=，即2228163x y x r +-+=，………4分化为极坐标方程为：228cos 1630r ρρθ-+-=．………………………………5分（2）由224cos 4r ρρθ-+=及228cos 1630r ρρθ-+-=，消去2r ，得曲线3C 的极坐标方程为22cos 20()ρρθρ--=∈R ． …………………………………………………7分将θπ=3代入曲线3C 的极坐标方程，可得220ρρ--=，…………………8分故121ρρ+=，1220ρρ=-<，…………………………………………………9分故121OA OB ρρ-=+=．…………………………………………………10分（或由220ρρ--=得0)1)(2(=+-ρρ得1,221-==ρρ，…………………9分故211-=-=OA OB …………………………………………………10分）解法二：（1）同解法一；（2）由22244x y x r +-+=及2228163x y x r +-+=，消去2r ，得曲线3C 的直角坐标方程为2222x y x +-=． ………………………………………………………………7分设直线l 的参数方程为1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），………………………………8分与2222x y x +-=联立得2213244t t t +-=，即220t t --=，………………………………………………………………9分故121t t +=，1220t t =-<，∴121OA OB t t -=+=．……………………………………………………10分（或由220t t --=得，,0)1)(2(=+-t t 得1,221-==t t ，∴211-=-=OA OB ．……………………………………………………10分）23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）1,x y +=|2||1|5x x ∴-++≤，………………………………………1分当2x ≥时，原不等式化为215x -≤，解得3x ≤，∴23x ≤≤；………………………………………………2分当12x -≤<时，原不等式化为215x x -++≤，∴12x -≤<；………………………………………………3分当1x <-时，原不等式化为215x -+≤，解得2x ≥-，∴21x -≤<-；………………………………………………4分综上，不等式的解集为{}23x x -≤≤．.……………………5分（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅……………7分 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y=++225x y y x =++………………………………8分 2259x yy x≥⋅=. 当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分解法二：（1）同解法一；（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅………………………………6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y xx y ++=⋅………………………………7分 1x y xyxy +++=………………………………8分21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时，取“=”. ………………………………10分。

福建省宁德二中2014_2015学年高二数学上学期第二次月考试卷理(含解析)

福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣22．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：13．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣206．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值D．最大值1而无最小值9．（5分）设集合（）A．B．C．D．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=．12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为．15．（4分）当x=时，函数y=x2（2﹣x2）有最值，且最值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用c=，b=atan30°分别求得c和b，则答案可得．解答：解：c==4，b=atan30°=2∴c﹣b=4﹣2=2故选C点评：本题主要考查了解三角的实际应用．属基础题．2．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．解答：解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．解答：解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．点评：本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10考点：等差数列；等比数列．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．解答：解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣20考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件所给的两个等式相减，得到数列的公差，再根据前50项的和是200，代入求和公式做出首项，题目给出的这样的条件，可以解决等差数列的一系列问题．解答：解：∵a1+a2+…+a50=200 ①a51+a52+…+a100=2700 ②②﹣①得：50×50d=2500，∴d=1，∵a1+a2+…+a50=200，∴na1+n（n﹣1）d=200，∴50a1+25×49=200，∴a1=﹣20.5，故选C．点评：等差数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等差数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．6．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：A、后式x大于等于0，与前式不是同解不等式，本选项错误；B、两不等式是同解不等式，本选项正确；C、前不等式x﹣3大于1或x﹣3小于﹣1，与后不等式不是同解不等式，本选项错误；D、后不等式中x与x+1不为0，故两不等式不是同解不等式，本选项错误．解答：解：A、2x＜7，解得x＜，2x+＜7+，解得：0≤x＜，不是同解不等式本选项错误；B、（x+1）2＞0与x+1≠0为同解不等式，本选项正确；C、|x﹣3|＞1化为x﹣3＜﹣1或x﹣3＞1，与x﹣3＞1不是同解不等式，本选项错误；D、（x+1）3＞x3变形得：x+1＞x，即1＞0恒成立，而＜，x+1≠0且x≠0，不是同解不等式，本选项错误，故选B点评：此题考查了其他不等式的解法，熟练掌握同解不等式的意义是解本题的关键．7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．解答：解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C点评：想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值D．最大值1而无最小值考点：二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：观察到sin2θ+cos2θ=1，则可做三角代换令x=sinθ，y=cosθ，利用二倍角的正弦与降幂公式即可求得答案．解答：解：∵x2+y2=1，∴x=sinθ，y=cosθ，∴（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2=1﹣（sinθcosθ）2=1﹣解答：证明：∵在△ABC中，A+B=120°，∴C=60°，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴c2+ab=a2+b2，∴c2+ab+ac+bc=a2+b2+ac+bc，∴（c+a）（c+b）=a（a+c）+b（b+c），∴1=+，则+=1．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及等式的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2化为等价的不等式组，求出解集即可．解答：解：不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2可化为8＞x2+2x+3＞4，它等价于；解①得，x2+2x﹣5＜0，∴﹣1﹣＜x＜﹣1+；解②得，x2+2x﹣1＞0，∴x＜﹣1﹣，或x＞﹣1+；综上，﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+；∴不等式的解集为{x|﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+}．点评：本题考查了一元二次不等式组的解法与应用问题，也考查了集合的运算问题，是基础题目．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．考点：简单线性规划．专题：作图题．分析：作出可行域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入计算可得．解答：解：作出约束条件所对应的区域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入可得z=2×2﹣1=3故z=2x+y的最大值为：3点评：本题考查简单的线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：证明题．分析：（法一）利用作差法：只要证明=＞0即可（法二）作商法：只要证明＞1即可解答：证明（法一）：∵=．因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，log a（a﹣1）•log a（a+1）=所以，log（a﹣1）a﹣log a（a+1）＞0，命题得证．证明2：因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，由法1可知：log a（a﹣1）•log a（a+1）=∴＞1．故命题得证点评：本题主要考查了不等式的证明方法的常用方法：作差证明差大于0，作商证明商大于1．21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设3x﹣4y=b，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．解答：解：设3x﹣4y=b，即3x﹣4y﹣b=0，则圆心到直线的距离d=，即|b|≤5，解得﹣5≤b≤5，故3x﹣4y的最大值5．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，比较基础．。

福建省宁德市普通高中2015届高三数学毕业班5月质检试卷理

2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学〔理科〕试卷本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕，第II 卷第〔21〕题为选考题，其它题为必考题．总分为150分，考试时间120分钟．须知事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、某某号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I 卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设向量a (3,)m =，b (2,1)=-，//a b ，如此实数m 的值为A ．32-B ． 32C ．2D ．62．假设集合{|21}xA x =>，集合{|lg 0}B x x =>，如此“x A ∈〞是“x B ∈〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件，，(n x x ++-C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．等比数列{}n a的第5项是二项式41xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的常数项，如此37a a⋅=A．6B．18C．D．364．假设函数2()1f x ax bx=++是定义在[1,2]a a--如此该函数的最大值为A．5 B．4 C．3 D．25．阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序．假设该程序运行后输出的结果不大于20，如此输入的整数i的最大值为A．3 B．4 C．5 D．66．某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)Nξ和22(93,79)Nξ，如此以下结论正确的答案是A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，过点1F作直线l x⊥轴交双曲线C的渐近线于点,A B．假设以AB为直径的圆恰过点2F，如此该双曲线的离心率为A B．2 D8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班;乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ． 2日和5日B ． 5日和6日C ． 6日和11日D ． 2日和11日9．假设关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根 1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，如此1x 的最小值为A ．2-B ．C ．13-D ．010．如下列图为某几何体的正视图和侧视图，如此该几何体体积的所有可能取值的集合是 A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭第II 卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每一小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．复数1ii z +=〔i 为虚数单位〕在复平面上对应的点到原点的距离为__________．12．设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，如此方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为．13．假设关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，如此k 的值为．14．假设在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，如此实数a 的取值范围是．15．面积为的ABC ∆中，3A π∠=．假设点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，如此当AD 取最小时，BD 的长为．三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题总分为13分) 将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，．侧视图正视图〔Ⅰ〕求点A 的坐标；〔Ⅱ〕假设向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．17．(本小题总分为13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛〞的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．〔Ⅰ〕估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；〔Ⅱ〕将进入第二阶段的学生分成假设干队进展比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规如此：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．假设这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18． (本小题总分为13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．假设O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．〔Ⅰ〕求证：1A O ⊥平面ABCD ；〔Ⅱ〕线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？假设存在，求出BP 的长；不存在，说明理由． 19． (本小题总分为13分)点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．〔Ⅰ〕求曲线Γ的方程;〔Ⅱ〕过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ，〔ⅰ〕求证:直线CD 过定点;〔ⅱ〕假设(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点，试探究PQPA假设是，求出该定值；不是，说明理由．20．(本小题总分为14分)函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2．〔Ⅰ〕求实数a 的值；〔Ⅱ〕设3()(e g x x x t t =---∈R ）()，假设()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；BC１xy O〔Ⅲ〕数列{}n a 满足11a =，11(1)n na a n +=+，求证：当2,n n ≥∈N 时11213()()()62e n a a af f f n nn n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭〔e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．21．此题有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，总分为14分．如果多做，如此按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．〔1〕〔本小题总分为7分〕选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．〔Ⅰ〕求矩阵的逆矩阵1M -；〔Ⅱ〕求曲线410x y +-=在矩阵的变换作用后得到的曲线C '的方程．〔2〕〔本小题总分为7分〕选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数〕, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．〔3〕〔本小题总分为7分〕选修4—5：不等式选讲函数()|5||3|f x x x =-+-. 〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小值m ；〔Ⅱ〕假设正实数,a b 满足11a b +.2013年宁德市普通高中毕业班质量检查数学〔理科〕试题参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细如此．二、对计算题，当考生的解答在某一局部解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解答应给分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：此题考查根底知识和根本运算，每一小题5分，总分为50分． 1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：此题考查根底知识和根本运算，每一小题4分，总分为20分．11 12．13 13．或0 14．(3,1)(1,3)-- 15三、解答题：本大题共6小题，总分为80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．此题考查三角函数、平面向量等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，总分为13分．解: 〔Ⅰ〕设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，如此1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分 ∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分〔Ⅱ〕()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分17．本小题主要考查概率、概率与统计等根底知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力与应用意识，考查或然与必然的思想，总分为13分．解法一：〔Ⅰ〕设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分〔Ⅱ〕设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，如此3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分 ∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分 ∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分解法二：〔Ⅰ〕同解法一． ……………………………4分〔Ⅱ〕设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ，如此ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．331(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 213339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 3233327(20)14464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(60)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴19276020206030646464E ξ=-⨯-⨯+⨯+=．……………………………8分设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，如此η所有可能的取值为60-，20-，20，60． ∵2111(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(60)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴191216602020602450502550E η=-⨯-⨯+⨯+⨯=，……………………………12分∵1203012024+>+，∴支持票投给甲队．…………………………………………13分18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等根底知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，总分为13分．〔Ⅰ〕证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1AO =…………………………………………2分∴22211A O AD AA +=∴1AOAD ⊥.…………………………………………3分又1CD AO ⊥，且CDAD D =，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分〔Ⅱ〕解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -〔如图〕，如此(0,1,0)A -，1A ，……………………………6分设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,x ∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n =1),m +．……………………………8分又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD . 又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ……………………12分解得1m =或3m =-〔舍去〕．xB１∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分19．此题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，总分为13分．解法一: 〔Ⅰ〕由题意可知，HF HP =，∴点H 到点(0,1)F 的距离与到直线1:1l y =-的距离相等，……………………………2分∴点H 的轨迹是以点(0,1)F 为焦点，直线1:1l y =-为准线的抛物线，………………3分∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕证明:设0(,1)P x -，切点(,),(,)C C D D C x y D x y ．由214y x =，得12y x '=． ∴直线01:1()2C PC y x x x +=-，…………………………………………5分又PC 过点C ，214C C y x =， ∴2001111()222C C C C C y x x x x x x +=-=-， ∴01122C C C y y x x +=-，即01102C C x x y -+=．…………………………………………6分同理01102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分〔ⅱ〕由〔Ⅱ〕〔ⅰ〕得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A Bx x x---同号，∴11 PQ PQPQPA PB PA PB⎛⎫+=+⎪⎪⎝⎭11111QA Bxx x⎛⎫=-+⎪⎪--⎭()11111QA Bxx x⎛⎫=-⋅+⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A BA Bx xkk x x+-+⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭5422215kk-=⋅=-，∴PQ PQPA PB+为定值，定值为2．…………………………………………13分解法二: 〔Ⅰ〕设(,)H x y，由题意可知，HF HP=，1y+，………………………………2分∴化简得24x y=，∴点H的轨迹方程为24x y=．…………………………………………4分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕证明:设切点(,),(,)C CD DC x yD x y，直线CD的方程为y kx t=+．联立y kx t=+与24x y=得2440x kx t--=，由根与系数的关系，得4,4C D C Dx x k x x t+=⋅=-．…………………………………………5分由214y x=，得12y x'=．∴直线1:()2C C CPC y y x x x-=-，又214C Cy x=，所以211:24C CPC y x x x=-．同理211:24D DPD y x x x=-．…………………………………………6分联立两直线方程，解得1y t=-=-，∴1t=，即直线CD过定点(0,1)．…………………………………………8分〔ⅱ〕由〔Ⅱ〕〔ⅰ〕，解得11()22C D x x k =+=， ∴12k =， ∴直线CD 的方程为1102x y -+=．以下同解法一．20．此题考查函数、导数等根底知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，总分为14分．解: 〔Ⅰ〕22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分〔Ⅱ〕2()e (2)x f x x x -=+．由()()g x f x ≥，得23()e (2)e x x x t x x ----≥+，[0,1]x ∈．当0x =时，该不等式成立; …………………………………………4分当(0,1]x ∈，不等式3e (2)e x x t x --++≥+对(0,1]x ∈恒成立，即max 3e (2)e x t x x -⎡⎤≥++-⎢⎥⎣⎦．…………………………5分设3()e (2)e x h x x x -=++-，(0,1]x ∈，()e (2)e 1e (1)1x x x h x x x ---'=-+++=-++，()e (1)e e 0x x x h x x x ---''⎡⎤=--++=⋅>⎣⎦，∴()h x '在(0,1]单调递增，∴()(0)0h x h ''>=，∴()h x 在(0,1]单调递增， …………………………………………………………7分 ∴max 33()(1)11e e h x h ==+-=，∴ 1.t ≥………………………………………………………………………………8分〔Ⅲ〕∵11(1)n n a a n +=+， ∴11n n a n a n ++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a n a a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立，∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->，∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f nn ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n ，宽为1n 的小矩形的面积， ∴11()()i n i n i f f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由〔Ⅱ〕，取1t =，得23()()(1)e f x g x x x ≤=-++， ∴1132100011313()()(1)32e 62e f x dx g x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62e n f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦， ∴11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分21．〔1〕此题主要考查矩阵与变换等根底知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．总分为7分．解：〔Ⅰ〕设点(),P x y 在矩阵对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，如此2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-， ∴1103213M -⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分〔Ⅱ〕设点(),A x y 在矩阵对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，如此1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，即…………………………………………5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分〔2〕此题主要考查直线的参数方程与极坐标方程等根底知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．总分为7分．解：〔Ⅰ〕直线l的直角坐标方程为x y +=………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +=>．………………………… 4分〔Ⅱ〕∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分圆心C到直线x y +=的距离为2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴321r =-=．………………………………………7分(3)此题主要考查绝对值不等式和均值不等式等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．总分为7分．解：〔Ⅰ〕∵()|5||3|532f x x x x x =-+-≥-+-=，…………………………………2分当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2，……………………3分 2m ∴=．…………………………………4分〔Ⅱ〕22222121()[1](13a b a ++≥⨯=，222123()2a b ∴+⨯≥，∴22122a b +≥.…………………………………………7分。

福建省宁德市高考数学二模试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015年某某省某某市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．若向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，则实数m的值为（）A．﹣B．C．2 D．62．若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lgx＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{a n}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3•a7（）A．5 B．18 C．24 D．364．若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），则以下结论正确的是（）A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x 轴交双曲线C的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日9．若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a 的取值X围为（）A．a＞B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣110．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（）A．{， } B．{，， } C．{V|≤V≤} D．{V|0＜V≤}二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为．12．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为．13．若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=．14．若在圆C：x2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点O距离为1，则实数a的取值X围是．15．已知面积为的△ABC中，∠A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，BD的长为．三、解答题（共5小题，满分66分）16．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．（Ⅰ）求点A的坐标；（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．17．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．19．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（ⅰ）求证：直线CD过定点；（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．阿啊阿20．（14分）已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）某某数a的值；（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t 的取值X围；（Ⅲ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n，求证：当n≥2，n∈N时 f（）+f（）+L+f（）＜n•（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．选修4—2:矩阵与变换21．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．选修4-4：坐标系与参数方程22．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．选修4—5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证： +≥m．2015年某某省某某市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．若向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，则实数m的值为（）A．﹣B．C．2 D．6【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线，向量的坐标运算求解即可．【解答】解：因为向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，所以﹣3=2m，解得m=﹣．故选：A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．2．若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lgx＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|lgx＞0}={x|x＞1}，则B⊊A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．3．已知等比数列{a n}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3•a7（）A．5 B．18 C．24 D．36【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，即得a5的值，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．【解答】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x4﹣2r，令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，∴a3a7=a52=36，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用二次函数的性质，判断求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．故选：A．【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19，输入的整数i的最大值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4满足条件n＜i，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），则以下结论正确的是（）A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】应用题；概率与统计．【分析】确定μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，即可得出结论．【解答】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x 轴交双曲线C的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设两个焦点坐标，由于直线l⊥x轴，则可表示出l的方程，进而表示出AB点坐标，根据圆的半径相等，求出a与b的关系，容易得到离心率的答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c，双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c， c）B（﹣c，﹣ c）∵AB为直径的圆恰过点F2∴F1是这个圆的圆心∴AF1=F1F2=2c∴c=2c，解得b=2a∴离心率为==故选D．【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日【考点】进行简单的合情推理；分析法和综合法．【专题】综合题；推理和证明．【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a 的取值X围为（）A．a＞B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，构造函数f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数求出函数f（x）的极值，即可得到结论．【解答】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，则﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．10．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（）A．{， } B．{，， } C．{V|≤V≤} D．{V|0＜V≤}【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，得出该几何体的俯视图为正方形时其体积最大，俯视图为一线段时，不表示几何体；从而求出几何体的体积可能取值X围．【解答】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简目的地复数的对应点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．12．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】本题可以按照等可能事件的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式写出概率【解答】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，∴试验发生包含的事件数6，∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，∴a2﹣4a＞0，解得a＞4，∵a是正整数，∴a=5，6，即满足条件的事件有2种结果，∴所求的概率是=，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．13．若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k= ﹣1或0 ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足约束条件的可行域，结合kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）和已知可得：直线kx﹣y+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，进而求出满足条件的k值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1综上k=﹣1或0故答案为：﹣1或0【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx﹣y+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键．14．若在圆C：x2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点O距离为1，则实数a的取值X围是﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，因此两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，列出不等式，解此不等式即可．【解答】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题．15．已知面积为的△ABC中，∠A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，BD的长为．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】先建立合适的平面直角坐标系，借助平面向量根据两种不同的面积公式进行求解．【解答】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系，根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0），则=（﹣2x，﹣y），=（x，﹣y），∵△ABC的面积为，∴⇒=18，∵=cos=9，∴﹣2x2+y2=9，∵AD⊥BC，∴S=••=⇒xy=3，由得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．三、解答题（共5小题，满分66分）16．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．（Ⅰ）求点A的坐标；（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．再由两角和的正切公式和同角的基本关系式，计算即可得到；（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可计算得到值域．【解答】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．∴tanθ=tan（α+）==，∴由解得，∴点A的坐标为（，）．（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴函数f（x）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．17．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图中x两侧的矩形的面积相等列式求得x值，则中位数可求，再由200×（0.003+0.0015）×20求得进入第二阶段的学生人数；（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则ξ服从B（3，）分布，由此求得Eξ，进一步求得最后抢答阶段甲队得分的期望，然后求出Eη，再求出最后抢答阶段乙队得分的期望，比较期望后得答案．【解答】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，（0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5，解得：x=143.6．∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则ξ～B（3，），∴E（ξ）=．∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[]×20=30，∵P（η=0）=，P（η=1）=，P（η=2）=，P（η=3）=，∴Eη=．∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[]×20=24．∴120+30＞120+24，∴支持票投给甲队．【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥AD，A1O⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1O⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，求出平面A1AP的法向量，平面A1ADD1的法向量，利用二面角与向量的数量积求解m 即可．【解答】满分（13分）．（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，∴A1O==，…（2分）∴+AD2=AA12，∴A1O⊥AD．…（3分）又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A1（0，0，），…（6分）设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），∵=， =（1，m+1，0），且取z=1，得=．…（8分）又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面A1ADD1．不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）由题意得==，…（12分）解得m=1或m=﹣3（舍去）．∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．19．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（ⅰ）求证：直线CD过定点；（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意推出|HF|=|HP|，利用抛物线定义，求解点H的轨迹方程．（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．求出函数的导数，推出切线方程，然后求出直线CD的方程，说明直线CD过定点．（ⅱ）求出直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），求得x Q=，设A（x A，y A），B（x B，y B）．联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，利用韦达定理，化简+推出定值．【解答】满分（13分）．解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．由y=，得．∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）又PC过点C，y C=，∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，∴y C+1=，即．…（6分）同理，∴直线CD的方程为，…（7分）∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，得x1=1，直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），与方程联立，求得x Q=．…（9分）设A（x A，y A），B（x B，y B）．联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，∴+=|PQ|==…（11分）==，∴+为定值，定值为2．…（13分）【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．20．（14分）已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）某某数a的值；（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t 的取值X围；（Ⅲ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n，求证：当n≥2，n∈N时 f（）+f（）+L+f（）＜n•（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；从而可得f′（0）=﹣（﹣a）=2，从而解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），从而化简g（x）≥f（x）得﹣x（x﹣t﹣）≥e ﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；从而分x=0与x∈（0，1]讨论，再化恒成立问题为最值问题求解即可．（Ⅲ）由a n+1=（1+）a n，及a1=1可得a n=n；再由当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0知f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0；故f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），从而化简 [f（）+f（）+…+f（）]= [f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx；再由f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x得f （x）dx≤g（x）dx=+，从而证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），由g（x）≥f（x）得，﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；当x=0时，该不等式成立；当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x•e﹣x＞0，∴h′（x）在（0，1]单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]单调递增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，∴=，又a1=1，∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；对n=1也成立，∴a n=n．∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），∴ [f（）+f（）+…+f（）]= [f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx．又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴f（x）dx≤g（x）dx=+，∴ [f（）+f（）+…+f（）]＜+，∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．选修4—2:矩阵与变换21．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），通过可得M=，进而可得结论；（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），通过=M ﹣1可得，代入曲线4x+y﹣1=0，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），则即=，∴M=．又det（M）=﹣3，∴M﹣1=；（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），则=M﹣1=，即，∴代入4x+y﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接根据互化公式消去相应的参数即可；（Ⅱ）结合点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，得x+y﹣=0，直线l的直角坐标方程为x+y﹣=0，∵圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．∴（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．∴圆C的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．（Ⅱ）∵圆心C（﹣，﹣），半径为r，…（5分）圆心C到直线x+y﹣=0的距离为d==2，又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，∴r=3﹣2=1．【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．选修4—5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证： +≥m．【考点】不等式的证明；基本不等式．【专题】选作题；不等式．【分析】（Ⅰ）利用f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）∴m=2．…（4分）（Ⅱ）证明：∵（ +）[]≥（）2=3，∴（+）×≥（）2，∴+≥2．…（7分）【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。