江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第二次模拟考试试题

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江苏省南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学(含答案)

南京、盐城2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC.(1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值； (3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1) 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；(2) 若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得T na n<2，求数列{a n }的通项公式；(3) 若数列{T n }的通项为T n ＝n （n ＋1）2，求证：数列{a n }为等差数列.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12. ±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ，即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分)由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分) 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分)② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2，即为1. 若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分)因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1. 将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处．由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)．则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2.由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x 1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R . 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）. 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分)19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x－g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x. 令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28. 因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分)当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分)所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)．设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分)故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分)所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4，故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋aln x 2－a. 因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2 ①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分)由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分) 由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57. 令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2. 因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12. 所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T n a n ＝a 1＋（a n －1）d 2. 由T n a n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1. 于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2. ① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d 2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2. 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分)又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②.由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分) 所以N ＝M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13 23 23－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分) 令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分) B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分) 由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a)－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分) 即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a≥2.(8分) 因为a ＋1a≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分) (证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，即t ≥2. 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分) 由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A.因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45. 答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分) (2) X 的所有可能取值为400，300，100.P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝300)＝26×C 12C 1m C 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a1＋a2＋…＋a m＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：①当n＝2时，取一个集合组(M1，M2，M3，M4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝1，满足任意i∈N*，i≤3，都有|a i－a i＋1|＝1，所以当n＝2时命题成立．(4分)②假设n＝k(k∈N*，k≥2)时，命题成立，即对于A k＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M1，M2，…，M m)满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1，其中m＝2k.当n＝k＋1时，则A k＋1＝{1，2，…，k，k＋1}，集合A k＋1的所有子集除去M1，M2，…，M m外，其余的子集都含有k＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。

南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学试题及答案

南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．4 参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n.记T n为数列{a n}的前a n项和，即T n＝a1＋a2＋…＋a n.(1) 若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2) 若数列{a n}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n}的通项公式；(3) 若数列{T n}的通项为T n＝n（n＋1）2，求证：数列{a n}为等差数列.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲)已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12.±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ，即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分)令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分) ②(解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2，即为1.若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分) 因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1.将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处．由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1. 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)．则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2. 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R .原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）.因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x －g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －ax .令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28.因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分) 当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分) 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)．设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分) 故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分) 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4，故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝ax 2x ＋aln x 2－a.因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分) 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分)由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57.令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12.所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d ，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T na n ＝a 1＋（a n －1）d 2.由T na n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1.于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2.①若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分) ②若d ∈N *，则n ＜1＋2d2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d2≤3，即1≤d 2＜2.又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分) 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②. 由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分)因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132323－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分)令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分)B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分)由直线l 的极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a )－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a 2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分)即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a ≥2.(8分)因为a ＋1a ≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分)(证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，即t ≥2.要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分)即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分)由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A. 因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45.答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分)(2) X 的所有可能取值为400，300，100.P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝300)＝26×C 12C 1mC 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝100)＝46＋26×C 2mC 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分)则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4. 所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：① 当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i ∈N *，i ≤3，都有|a i －a i ＋1|＝1，所以当n ＝2时命题成立．(4分)②假设n ＝k(k ∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M 1，M 2，…，M m )满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1，其中m ＝2k .当n ＝k ＋1时，则A k ＋1＝{1，2，…，k ，k ＋1}，集合A k ＋1的所有子集除去M 1，M 2，…，M m 外，其余的子集都含有k ＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题(含附加题)(含答案)

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。

5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3a f x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =∠BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(a n }为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a 1，a 2，a 3}={b 1,b 2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PF PA的最小值为______.11.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C:(x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC += ，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC.(1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若,求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.(1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A 向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B 在线段AC 上,且BD,BE 均与圆C 相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道 .DE记∠CBD 为θ.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长;②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点(1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值;(3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值;(2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n≥2),使得2n n T a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos(4πρθ-=.若直线1交曲线C 于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x 抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m ∈N *)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X 的数学期望不超过150元,求m 的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合A n ={1,2,…n},n ∈N *,n≥2,将A n 的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),其中m=2n .记集合M k 中元素的个数为a k ,k ∈N *,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.参考答案1.{1,3}2.53.-144.3255.126.07.π28.65π9.5 10.2211.8 12.±25513.2 14.(1,12+ln2)-515.16.-5 17.18.20.21A21B 21C。

江苏省南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学含答案

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．4 参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；177，cos A＝－725，求b的值．(2) 设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D.已知AD＝如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n.记T n为数列{a n}的前a n项和，即T n＝a1＋a2＋…＋a n.(1) 若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2) 若数列{a n}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n}的通项公式；(3) 若数列{T n}的通项为T n＝n（n＋1）2，求证：数列{a n}为等差数列.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12.±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ，即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分)令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337.故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分) ② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2，即为1.若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分) 因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1.将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处．由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)．则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2. 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R .原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）.因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x －g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －ax .令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28.因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分) 当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分) 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4. 故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)．设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分) 故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分) 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4，故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝ax 2x ＋aln x 2－a.因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分)由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分)由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57.令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12.所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2. 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d ，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T na n ＝a 1＋（a n －1）d 2.由T na n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1.于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2.① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d2≤3，即1≤d 2＜2.又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分) 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②. 由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132323－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分)令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分)B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分)由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分) 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a )－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a 2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分)即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a ≥2.(8分)因为a ＋1a ≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分)(证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，即t ≥2.要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分)由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2.所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A. 因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45.答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分)(2) X 的所有可能取值为400，300，100. P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝300)＝26×C 12C 1mC 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2），P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：① 当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i ∈N *，i ≤3，都有|a i －a i ＋1|＝1，所以当n ＝2时命题成立．(4分)② 假设n ＝k(k ∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M 1，M 2，…，M m )满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1，其中m ＝2k .当n ＝k ＋1时，则A k ＋1＝{1，2，…，k ，k ＋1}，集合A k ＋1的所有子集除去M 1，M 2，…，M m 外，其余的子集都含有k ＋1.令M m ＋1＝M m ∪{k ＋1}，M m ＋2＝M m －1∪{k ＋1}，…，M 2m ＝M 1∪{k ＋1}，取集合组(M 1，M 2，…，M m ，M m ＋1，M m ＋2，…，M 2m )，其中2m ＝2k ＋1，(6分) 根据归纳假设知|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，m ＋1≤i ≤2m －1，(8分)所以此集合组满足|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，i ≤m －1或m ＋1≤i ≤2m －1.又M m ＋1＝M m ∪{c}，所以|a m －a m ＋1|＝1，因此|a i －a i ＋1|＝1，其中i ∈N *，i ≤2m －1，即当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，不论n 为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意i ∈N *，i ≤m －1，都有|a i －a i ＋1|＝1.(10分)。

2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.【答案】{}1,3【解析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5【解析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0xx x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________．【答案】0【解析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________. 【答案】2π 【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8．在ABC V 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，则ABC V 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________. 【答案】65π【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC V 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为()()222552255r AD ⋅===+，则所形成的几何体的表面积为()()12225565S r l l πππ=+=⨯⨯+=.故答案为：65π. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，可得2132a a a =+，所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小. 设切点()2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a⋅==，求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，22PA =， ∴2sin 2PM PAM PA ∠==.故答案为：22. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8【解析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅=+++.当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】【解析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD =Q AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13．在ABC V 中，BC 为定长，23AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．【答案】2【解析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ，由题意知，112m b +>-，12m b >-， 102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，3PE =PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，3PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，3PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >，则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 444C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭ 在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan fθπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点()0,3.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()2①337；②32. 【解析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u ru u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min d =综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围； ()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+，整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=，即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x=<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增，由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()a g x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+，整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=，且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-. 【解析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可. ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值. 【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-，即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】16【解析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22．已知a ＞01a a+-2．【答案】证明见解析【解析】利用分析法，证明a 132a +＞即可．【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2，只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值. 【答案】()135；()29. 【解析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥，即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=，且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=，综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

江苏省南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学(含答案)z

南京、盐城2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC.(1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值； (3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1) 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；(2) 若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得T na n<2，求数列{a n }的通项公式；(3) 若数列{T n }的通项为T n ＝n （n ＋1）2，求证：数列{a n }为等差数列.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12. ±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ，即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分)由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分) 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分)② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2，即为1. 若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分)因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1. 将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处．由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)．则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2.由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x 1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R . 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）. 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分)19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x－g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x. 令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28. 因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分)当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分)所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)．设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分)故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分)所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4，故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋aln x 2－a. 因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝a x 2①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分) 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分) 由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57. 令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2. 因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12. 所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T n a n ＝a 1＋（a n －1）d 2. 由T n a n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1. 于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2. ① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d 2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2. 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分)又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②.由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分) 所以N ＝M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13 23 23－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分) 令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分) B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分) 由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a)－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分) 即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a≥2.(8分) 因为a ＋1a≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分) (证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，即t ≥2. 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分) 由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A.因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45. 答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分) (2) X 的所有可能取值为400，300，100.P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝300)＝26×C 12C 1m C 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a1＋a2＋…＋a m＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：①当n＝2时，取一个集合组(M1，M2，M3，M4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝1，满足任意i∈N*，i≤3，都有|a i－a i＋1|＝1，所以当n＝2时命题成立．(4分)②假设n＝k(k∈N*，k≥2)时，命题成立，即对于A k＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M1，M2，…，M m)满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1，其中m＝2k.当n＝k＋1时，则A k＋1＝{1，2，…，k，k＋1}，集合A k＋1的所有子集除去M1，M2，…，M m外，其余的子集都含有k＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。

【精准解析】江苏省南京市、盐城市2020届高三下学期第二次模拟考试数学试题

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数学一、填空题题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B = _____________.【答案】{}1,3【解析】【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可.【详解】解：集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.【答案】5【解析】【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以()222345z =-+=.故答案为：5.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3.如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解.故答案为：14-.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解： ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5.从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.【答案】12【解析】【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==.故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________．【答案】0【解析】【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可.【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =.∴()()00f a f ==.故答案为：0.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π.故答案为：2π.【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8.在ABC 中，AB =AC =，90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.【答案】【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ==，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，可得2132a a a =+，所以22a b =-+.②根据①②得出1a =，4b =.所以5a b +=.故答案为5.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10.已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =，∴sin 2PM PAM PA ∠==.故答案为：22.【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________.【答案】8【解析】【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解： x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅-=+++.当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】5±【解析】【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可.【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD = AB OD =∴AB =.圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得5k =±.故答案为：5±.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13.在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．【答案】2【解析】【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--=，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅ ，可得2222a a y ≤=.则2BC a ==.故答案为：2.【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14.函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围.【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >.设()0f t =的负根为m ，由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e ->，∴1ln 22b <+.∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =，求证：平面PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =，可知222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解：()1证明： D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又 AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明： D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE =，则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADC b C ∠=.【解析】【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=，sin Ccos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >，则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17.如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道 DE.记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围；()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值.【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧 DE的长为2πθ-，因此，优弧 DE 的长为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=θ0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭3π,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-0+()f θ单调递减极小值单调递增故3πθ=时，()min 533f πθ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()2①7；②2.【解析】【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460kx x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b a c c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =或7-，B ，M 不重合，故437y =-，213249x =，故43327MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ==0k =时，min 2d =；综上，原点O 到直线MN距离的最小值为2.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19.已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h xg x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+，整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12a a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值.【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=，即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意；②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当10,3x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意；③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：1103x -=<，2103x +=>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增，由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+，整理得22ln ay x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=，且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20.已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ；()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-，即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】16【解析】【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22.已知a ＞0，证明：1a a+-2．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用分析法，证明a 132a +即可．【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a +≥2，∴a 1a +-2≥0，1a a +-2，只要证明a 221a +（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．23.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.【答案】()135；()29.【解析】【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值.【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C m P X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥，即m 的最小值为9.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.24.已知集合{}1,2,,n A n = ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++ 的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++= ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++= ，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N ≤∈，都有11i i a a +-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=，且()224124k k k j j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=，综上，原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题

盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题数学（І）（正题）一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置. 1.若直线1+=kx y 与直线042=-+y x 垂直，则=k ． 2.已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P I ，则整数=m ． 3.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为． 4.某校共有学生2000名，各年级人数如下表所示：年级高一高二高三人数800 600 600现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为．18.若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是． 19.某程序框图如图所示，若输出的10=S ，则自然数=a ．20.若复数z 满足1=-i z （其中i 为虚数单位），则z 的最大值为． 21.已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(e a e -⊥，则向量a 与e 的夹角大小为．19.在等比数列{}n a 中，已知1235a a a =,78940a a a =,则567a a a = ．10.函数65cos2cos 6sin 2sin )(ππx x x f -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的单调递增区间为．11.过圆922=+y x 内一点)2,1(P 作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当BD AC =时，四边形ABCD 的面积为．12.若)(x f y =是定义在R 上周期为2的周期函数，且)(x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则函数x x f x g 3log )()(-=的零点个数为．13.设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('>+x xf x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为．11.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若1512mS S nn ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为．（1）解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.12.（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，CD AB //，BC AB ⊥，1==BC AB ，2=DC ，点E 在PB 上.20.求证：平面⊥AEC 平面PAD ； 21.当//PD 平面AEC 时，求PE ：EB 的值.13.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且.212ac b =16.求证：43cos ≥B ； 17.若1cos )cos(=+-BC A ，求角B 的大小.17（本小题满分14分）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF =50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离x (cm)在区间[140,180]内.设支架FG 高为h (0<h <90)cm ，AG =100cm,顾客可视的镜像范围为CD （如图所示），记CD 的长度为y (GC GD y -=).15.当h =40cm 时，试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；16.当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h 的取值范围.（1）（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.19（本小题满分16分）在数列{}n a 中，11a =,且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D .（1）已知函数|21|1(),x a f x e -+=||12(),x a f x e x R -+=∈. 1.若a =2,求12()()()f x f x f x =+在[2,3]x ∈上的最小值；2.若[,)x a ∈+∞时，21()()f x f x ≥，求a 的取值范围； 3.求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在[1,6]x ∈上的最小值；数学（Ⅱ）（附加题）（1）选做题A .选修14-：几何证明选讲如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，D 为劣弧BC 上一点，连结BD ，CD 并延长分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F .求证：.2BC BF CE =⋅B .选修24-：矩阵与变换已知二阶矩阵A 将点)0,1(变换为)3,2(，且属于特征值3的一个特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，求矩阵.AC .选修44-：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值.D .选修54-：不等式选讲设1a ，2a ，3a 均为正数，且m a a a =++321.求证：.29111133221ma a a a a a ≥+++++（2）（本小题满分10分）甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p ，乙，丙的命中率均为q （)1,0(,∈q p ）.现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ. （1）当21==q p 时，求数学期望)(ξE ；（2）当1=+q p 时，试用p 表示ξ的数学期望)(ξE .。

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题(word版)

1南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数学参考公式；圆锥的侧面积公式：S=πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1．已知集合A={x|x=2k+1，k ∈z}，B={x|x(x-5)<0），则A ∩B=____ ． 2．已知复数z=1+2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为-l ，则输入的实数x 的值为． 4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)=x+3a，则f(a)的值为．27．若将函数f(x) =sin(2x+3π)的图象沿x 轴向右平移ϕ（ϕ> 0）个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则 ϕ的最小值为8．在△ABC 中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}= {b 1，b 2，b 3}={a ，b ，-2}，其中a>0，b>0，则a+b 的值为．10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，-1），则PAPF的最小值为11.已知x ，y 为正实数，且xy+2x+ 4y=41，则x+y 的最小值为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x-m)2+y 2=r 2(m>0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交予A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD ，则直线l 1的率为．13.在△ABC 中，BC 为定长，||3|2|BC AC AB =+．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为．14．函数f(x) =e x -x-b(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数g(x)=f(f(x)一21）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）如图，三棱锥P-ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC. (1)求证：AC ∥平面PDE;3(2)若PD=AC=2，PE=3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=bcosC +csinB. (1)求B 的值．(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD=717，cosA= -257，求b 的值．17.（本小题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道A8，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道．记∠CBD 为θ．4(1)用疗表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2)求当θ为何值时，栈道总长度最短．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222by a x =1(a>b>0)的离心率为21，且过点(0，3)． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．519.（本小题满分16分）已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x ，g(x) =alnx ，a ∈R ．函数h(x)=xx f )(-g(x)的导函数 h'(x)在[25，4]上存在零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)x=0时取得最大值，求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为-12，求实数a 的值． 20.（本小题满分16分）已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n 。

2020届南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题

旋转一周所形成的几何体的表面积为 ______________.
【答案】 6 5
【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积
S rl 计算公式可得 .
【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在 V ABC 中， AB 2 5 ， AC 5 ， BAC 90 ，如下图所示，
所以
2
z
2
2
34
5.
故答案为： 5 .
【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题 . 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数
y 的值为 1，则输入的实数 x 的值为
______________.
1
【答案】
4
【解析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可
.
【详解】
解：程序的功能是计算 y
1
解：令 f x
t ，则 f t
2
0， f x
1 t 恰有四个解 .
2
f t 0 有两个解，由 f x ex 1，可得 f x 在
,0 上单调递减，在 0,
上单调递增，
则f x min
f0
1 b 0 ，可得 b 1.
设 f t 0的负根为 m ，
1
1
由题意知， m
1 b，m
b，
2
2
1
f
b
2
1
b
0 ，则 e 2
m r
k2 1
2 r2
m2 k2 k2 1
【详解】
，求出 k 的值即可 . m2 r 2
2
解：由圆 C : x m
y2
r2 m
0 ，可知圆心 C m,0 ，半径为 r .

【数学】2020南京盐城二模数学试题及答案.

数学参考答案及评分标准
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
统计了所有女生 1 分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．
开始
输入 x
Y
x≤
N
y←log2 (2x + 1)
y←2x
输出 y 结束
（第 3 题图）
频率组距 0.035
x 0.015
0.01
O 10 20 30 40 50 60 个数（第 4 题图）
（2）因为点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DE＝1AC． 2
又因为 AC＝2，所以 DE＝1，因为 PD＝2，PE＝ 3，所以 PD2＝PE2＋DE2，因此在△PDE 中，PE⊥DE．···························································8 分又平面 PDE⊥平面 ABC，且平面 PDE∩平面 ABC＝DE，PE平面 PDE，
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分 14 分)
证明：（1）因为点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DE∥AC．·············································································2 分因为 AC平面 PDE，DE平面 PDE，所以 AC∥平面 PDE．···································································· 4 分

南京市、盐城市2020届高三数学二模试卷含答案

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{ x | x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x | x (x －5)＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回．．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )= x ＋a3，则f (a )的值为 ▲ ．7．若将函数f (x )＝sin ( 2x + π3 )的图象沿x 轴向右平移φ（φ>0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为 ▲ ．8．在ΔABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90º，则ΔABC 绕BC 所在直线旋转一周所形（第4题图）（第3题图）成的几何体的表面积为 ▲ ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ▲ ．10．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为 ▲ ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m )2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ▲ ．13．在△ABC 中，BC 为定长，且|→AB +2→AC |＝3|→BC |．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ▲ ．14．函数f (x )＝e x －x －b (e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g (x )＝f (f (x )－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，三棱锥P －ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（2）若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝cos C ＋c sin B ．（1）求B 的值．（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．（第15题图）PACDE17．(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道︵DE ．记∠CBD 为θ．（1）用θ表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ， g (x )＝a ln x ，a ∈R ．函数h (x )＝ f (x )x－g (x )的导函数h'(x )在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a a n ．（1）若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；（2）若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得T na n＜2，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{T n }的通项为T n ＝n (n ＋1)2，求证：数列{a n }为等差数列．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1， MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23．(本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n．记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0．（1）当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，3} 2．5 3．－14 4．325 5．126．0 7．π2 8．65π 9．5 10． 2211．8 12．±2 5 5 13．2 14．(1，12＋ln2)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：（1）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ． ············································································ 2分因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE ． ··································································· 4分（2）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ．又因为AC ＝2，所以DE ＝1，因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE ． ·························································· 8分又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC ， ································································ 12分又因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ························································· 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分又因为sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4． ························································································· 6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，因为cos A ＝－725，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 8分由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175． ················ 10分在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 12分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ·············································· 14分 17．(本小题满分14分)解：（1）连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ ，BC ＝1sin θ ．因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ． ····· 2分又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ ，优弧︵DE 所对圆心角为2π－(π－2θ) ＝π＋2θ，所以优弧︵DE 长l 为π＋2θ， ····························································· 4分所以f (θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ． ······························································ 6分因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围为(13，1)． ································································ 8分（2）由f (θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f '(θ)＝－2+cos θsin 2θ＋2＝cos θ(1－2cos θ)sin 2θ． · 10分令f '(θ)＝0 ，解得cos θ＝12，因为θ为锐角，所以θ＝π3． ···························· 12分设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3．当θ∈(θ0，π3)时，f '(θ)＜0，则f (θ)在(θ0，π3)单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f '(θ)＞0，则f (θ)在(π3，π2)单调递增，所以f (θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短． ·························································· 14分18．(本小题满分16分)解：（1）记椭圆C 的焦距为2c ．因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12．因为椭圆C 过点 (0，3)，所以b ＝3．因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ·································································· 2分（2）①因为点B 为椭圆C 的上顶点，所心B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称． ·········································· 4分不妨设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜3．又因为MO ⊥BN ，所以→MO ·→BN ＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0． ············································································· 6分又点M (x 0，y 0)在椭圆上，则x 024＋y 023＝1．由⎩⎨⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 024＋y 023＝1，解得y 0＝－473或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2733．故MN ＝2|x 0|＝4733，即线段MN 的长为4733． ··········································· 8分②方法1设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ······ 10分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ··································································· 12分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 14分因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32．又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分方法2设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)．因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)． ·························································· 10分因为x 23 4＋y 23 3＝1，所以(x 1＋x 2)24＋(y 1＋y 2)23＝1．将x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12． ·································· 12分若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处，由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1．若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0．(*)则△＝(8kn )2－4(3＋4k 2) (4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34． ······ 14分又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R ．原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n |k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14(k 2＋1) ．因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32，又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为h (x )＝f (x )x －g (x )＝x 2－x －(a －16)－a ln x ，所以h'(x )＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x，令h'(x )＝0，得2x 2－x －a ＝0．因为函数h'(x )在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×(52)2－52－a ≤0， 2×42－4－a ≥0．解得10≤a ≤28．因此，实数a 的取值范围为[10，28]． ······················································· 2分（2）方法1因为当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，f (0)≥f (x )恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0 对任意x ∈[0，b ]都成立． ········································· 4分当x ＝0时，上式恒成立； ········································································ 6分当x ∈(0，b ]时，存在a ∈[10，28] ，使得x 2－x ＋16≤a 成立， ······················· 8分所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分方法2由f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f '(x )＝3x 2－2x －(a －16)．设△＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)，若△≤0，则f '(x )≥0恒成立，f (x )在[0，b ]上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，于是△＞0， ··········· 4分故f '(x )＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)，若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f '(x )＞0，f (x )在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0． ························································································· 6分又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f (0)≥f (b )成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0． ························ 8分所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分（3）设直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点A (x 1 ，f (x 1))，与曲线y ＝g (x )相切于点B (x 2 ，g (x 2))．过A (x 1 ，f (x 1))点的切线方程为y －[x 13－x 12－(a －16)x 1]＝[3x 12－2x 1－(a －16)]( x －x 1)，即y ＝[3x 12－2x 1－(a －16)]x －2x 13＋x 12．过B (x 2 ，g (x 2))点的切线方程为y －a ln x 2＝a x 2( x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋a ln x 2－a ．又因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎨⎧3x 12－2x 1－(a －16)＝a x 2 ①，－2x 13＋x 12＝－12 ②，a ln x 2－a ＝－12 ③，························································· 12分由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2， a ln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0． ·············· 14分则（1）知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57．令p (x )＝ln x ＋ 1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p' (x )＝1 x －1 2x 2＝2x －1 2x 2，因为p' (x )＞0，所以函数p (x )在[57，＋∞)上为增函数．又因为p (1)＝0，且函数p (x )的图像是不间断的，所以函数p (x )在[57，＋∞)有唯一零点1，所以方程ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12，所以实数a 的值为12． ········································································· 16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q )＝4 a 1(1＋q )．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15． ···························································· 2分（2）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z ．若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N ． ··········································································· 4分因为S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n (a n －1)d 2，因此T n a n ＝a 1＋(a n －1)d 2．由T n a n ＜2，得a 1＋(a n －1)d 2＜2． ································································ 6分因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋(a n －1)d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1．于是1＋(n －1)d 22＜2，即(n －1)d 2＜2． ①若d ＝0时，则存在无穷多个n (n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意； ········································································· 8分②若d ∈N *时，则n ＜1＋2d 2．因为存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2．又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． ······························· 10分（3）因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即S a n ＋1＞S a n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n ． ················································· 12分又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n （n ≥2），又a 1≥1，所以a n ≥n ． ① ····································· 14分由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得a a n ＋1＋a a n ＋2＋…＋a a n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ． ②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列． ································································· 16分南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案和评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，N= M －1． ············································· 2分因为|M |＝1×1－2×2＝－3， ·································································· 4分所以N= M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －2 －3 －2 －3 －13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 3 2 3 －13． ············································ 6分（2）N 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ + 13－2 3－2 3λ + 13＝(λ＋13)2－(－23)2＝( λ－13)(λ＋1)． ·· 8分令f (λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1． ········································································ 10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2． ······················································· 2分由直线l 极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2． ···································· 4分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0， ····································································· 6分则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋(－1)2|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(－8)2－4×(－16) ＝16． ···················································································· 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：方法1因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，。