江苏镇江2020高三数学模拟考试试题

2020届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

锥体的体积公式：V ＝1

3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．

2. 设复数z ＝1＋2

i (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．

3. 如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是________． Read S ←0

For i from 1 to 9 step 2 S ←S ＋i End for Print S End

(第3题)

4. 顶点在原点且以双曲线x 212－y 2

4

＝1的右焦点为焦点的抛物线方程是________．

5. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x －my ＋m －2＝0，l 2：mx ＋(m －2)y －1＝0.若直线l 1∥l 2，则m ＝________．

6. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是________．

7. 若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，

则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．

8. 将函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π

6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函

数y ＝g(x)的图象，则g(π

4

)＝________．

9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥BECF 的体积为________．

10. 已知等比数列{a n }的前三项和S 3＝42.若a 1，a 2＋3，a 3成等差数列，则公比q ＝________．

11. 记集合A ＝[a ，b]，当θ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π

4时，函数f(θ)＝23sin θcos θ＋2cos 2θ的值域为B.若“x ∈A ”

是“x ∈B ”的必要条件，则b －a 的最小值是________．

12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（12）x ＋x 3，x ＜0，

－2x －x 3，x ≥0.

若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f(1－x)≤f(x ＋m)恒成立，则

实数m 的取值范围是________．

13. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A.若存在定点B(x 0，y 0)，使得PA ＝ PB 恒成立，则x 0－y 0＝________．

14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，点P(x ，y)满足(OP →·OA →)×(OP →·OB →

)＝－1，则OP →·OC

→

|OP →|

2的最大值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)

在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是AP 的中点，AB ⊥BD ，PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD.求证：

(1) PC ∥平面BDE ； (2) PD ⊥平面PAB.

16. (本小题满分14分)

如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA →·BD →

＝66. (1) 若C ＞B ，且cos(C －B)＝

13

14

，求角C 的大小； (2) 若△ACD 的面积为S ，且S ＝12

CA →·CD →

，求AC 的长度．

17. (本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝－4.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点． ①若AB ＝24

7

，求直线l 1的方程；

②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(－5

2

，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．

18. (本小题满分16分)

某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，点T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N 在线段PT 上(不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N)，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA ︵

到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处(设计要求M ，O ，G 三点共线)，最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R.记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．

(1) 试将l 表示为α的函数l(α)，并写出α的取值范围； (2) 求l 最小时cos α的值．

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－x)(a∈R)．

(1) 当a＝0，求证：f(x)≤x－1；

(2) 如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)＋f(x2)≤k恒成立，求实数k的取值范围；

(3) 当a<0时，求函数f(x)的零点个数．