您的位置：360文档中心› 江苏镇江2020高三数学模拟考试试题

江苏镇江2020高三数学模拟考试试题

合集下载

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{1，2}．【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．设复数（其中i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：＝1﹣2i，∴|z|＝＝，故答案为：．3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是25．【解答】解：模拟执行伪代码，可得：S＝0+1+3+5+7+9＝25．故答案为：25．4．顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是y2＝16x．【解答】解：双曲线的右焦点为（4，0），抛物线的方程设为y2＝mx，m＞0，由题意可得＝4，即m＝16，可得抛物线方程为y2＝16x．故答案为：y2＝16x．5．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，若直线l1∥l2，则m＝﹣2．【解答】解：根据题意，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，若直线l1∥l2，必有（m﹣2）+m2＝0，解可得：m＝1或﹣2，当m＝1时，直线l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，两直线重合，不符合题意；当m＝﹣2时，直线l1：x+2y﹣4＝0，l2：﹣2x﹣4y﹣1＝0，两直线平行，符合题意；故m＝﹣2；故答案为：﹣26．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是．【解答】解：从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数n＝＝10，剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个，∴剩余三个数能构成等差数列的概率是p＝．故答案为：．7．若实数x，y满足条件，则z＝3x+2y的最大值为13．【解答】解：实数x，y满足条件，对应的可行域如下图所示：由，解得x＝3，y＝2时，目标函数经过A（3，2）时，目标函数取得最大值：z＝3x+2y＝13，故z＝3x+2y的最大值为：13；故答案为：13．8．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝﹣．【解答】解：将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x+）的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+）的图象，则＝﹣，故答案为：﹣．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥B﹣ECF的体积为．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，∴＝．故答案为：．10．等比数列{a n}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，则公比q＝2或．【解答】解：等比数列{a n}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，可得a1+a2+a3＝a1+a1q+a1q2＝42，a1+a3＝2（a2+3）即2（a1q+3）＝a1+a1q2，解得q＝2或，故答案为：2或．11．记集合A＝[a，b]，当θ∈[﹣，]时，函数f（θ）＝2θ的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则b﹣a的最小值是3．【解答】解：函数f（θ）＝2θ＝sin2θ+cos2θ+1＝2sin（2θ+）+1．当θ∈[﹣，]时，（2θ+）∈[﹣，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]．∴2sin（2θ+）+1∈[0，3]＝B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A．∴b﹣a的最小值是3﹣0＝3．故答案为：3．12．已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是[﹣1，﹣]．【解答】解：函数，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣2﹣x+x3＝f（x），同样x＞0，可得f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝﹣1，则f（x）为偶函数，且f（x）在x≥0上为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m﹣1+m）（m+1）≤0，且（2m+2﹣1+m）（m+1）≤0，即为﹣1≤m≤且﹣1≤m≤﹣，即有﹣1≤m≤﹣，则m的范围是[﹣1，﹣]，故答案为：[﹣1，﹣]．13．过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C：x2+y2＝1的一条切线，切点为A，若存在定点B（x0，y0），使得P A＝PB恒成立，则x0﹣y0＝2±．【解答】解：设P（a，a﹣2），由题意知B必在以P为圆心，P A为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，因为PB2＝P A2，所以（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣2）]2＝a2+（a﹣2）2﹣1即（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0，因为任意a∈R，（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0恒成立，所以解得或，所以x0﹣y0＝2±，故答案为：2±．14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A（2，1），B（1，﹣2），C（3，﹣1），点P（x，y）满足（•）×（•）＝﹣1，则的最大值为．【解答】解：依题意，由（•）×（•）＝﹣1得，（2x+y）（x﹣2y）＝﹣1，令，解得，且mn＝﹣1，∴＝＝，需要求出的最大值，不妨设m+n＞0，则＝，当且仅当或时取等号．故答案为：．二．解答题（共6小题，共90分）15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD，PB⊥PD，平面PBD⊥底面ABCD．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求证：PD⊥平面P AB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，连结EO，∵四边形ABCD是平行四边形，且AC交BD于点O，∴点O为AC中点，在△P AC中，∵点E为AP的中点，∴EO∥PC，∵EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE．（2）∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PB⊥BD，PB⊂平面ABCD，∴PB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴PB⊥AB，∵AB⊥BD，BD∩PB＝B，∴AB⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AB⊥PD，∵PD⊥PB，PB∩AB＝B，∴PD⊥平面P AB．16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，．（1）若C＞B，且cos（C﹣B）＝，求角C；（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．【解答】解：（1）∵AB＝14，BD＝6，，∴•＝AB•BD•cos B＝14×6×cos B＝66，∴解得cos B＝，∵△ABC中，C＞B，且B+C+∠ABC＝π，∴B，∴sin B＝＝，∵C﹣B∈（0，π），cos（C﹣B）＝，∴cos C＝cos[（C﹣B）+B]＝cos（C﹣B）cos B﹣sin（C﹣B）sin B＝﹣＝，在△ABC中，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵△ACD的面积，∴CD•CA•sin C＝AC•CD•cos C，∴sin C＝cos C，∵△ACD中，C∈（0，π），∴sin C≠0，则cos C≠0，可得tan C＝1，可得C＝，在△ABC中，由正弦定理可得，又∵sin B＝，AB＝14，sin C＝sin＝，∴＝，解得AC＝5．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为4，左准线l 的方程为x＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G（，0），求证：A1，B，G 三点共线．【解答】解：（1）设焦距为2c，由题意可知：，解得，∴椭圆的标准方程为：；（2）①由（1）可知：F1（﹣1，0），AB＝≠4，故直线l1不与x轴重合，设直线l1方程为：x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，△＝144（m2+1）＞0，，∴|AB|＝＝＝＝，解得：m＝±1，∴直线l1的方程为：x±y+1＝0；②A1＝（﹣4，y1），由①可知：，，则k﹣k BG＝﹣＝﹣故k＝k BG，由此，A1，B，G三点共线．18．某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．（1）试将l表示为α的函数l（α），并写出α的取值范围；（2）求l最小时cosα的值．【解答】解：（1）如图所示，作ME⊥TO，垂足为E点，作NF⊥ME，垂足为F点．根据条件可得TE＝70﹣60cosα，NM＝．∴l（α）＝+60（﹣α）+60++60﹣＝120++30π﹣60α，若点N在T时，，此时α0是的最小值，又∵N不能在点T，故，若点N在P时，此时切点M为点A，且不能取，故，∴∵点G需要在R的左边，故，而，∴，∴，∴α的取值范围为．（2）l′（α）＝﹣60＝0，令l'（α）＞0，可得，令l'（α）＜0，可得．令，，则当α∈（0，α0）时，l（α）为单调递减；当时，l（α）为单调递增．∴当时，函数l（α）取得最小值．19．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x）（a∈R）．（1）当a＝0，证明：f（x）≤x﹣1；（2）如果函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且f（x1）+f（x2）＜k恒成立，求实数k的取值范围；（3）当a＜0时，求函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）证明：当a＝0时，f（x）≤x﹣1等价于lnx≤x﹣1，即证x﹣lnx﹣1≥0，令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；∴g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）≥0，即x﹣lnx﹣1≥0，得证；（2）令，则2ax2﹣ax+1＝0的两根分别为x1，x2，∴，解得a＞8，∴＝＝＝＝g（a），显然g（x）在（8，+∞）上递减，∴g（a）＜g（8）＝﹣ln16﹣2﹣1＝﹣4ln2﹣3，∴k≥﹣4ln2﹣3；（3）当a＜0时，f′（x）＝，令f′（x）＝0，则2ax2﹣ax+1＝0，∴其中只有一个正实数根，，，∴a＝，且当0＜x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞x1时，f′（x）＜0，f（x）单减，∴f（x）max＝f（x1）＝lnx1+，令h（x）＝lnx+，h′（x）＝+＝＝，令h′（x）＝0，解得x＝1，当x∈，h′（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，∴h（x）min＝h（1）＝0，∴f（x）max≥0，①当f（x）max＝0，即x1＝1时，a＝﹣1，此时f（x）只有一个零点x＝1；②当f（x）max＞0，即a＜0且a≠﹣1时，此时f（x1）＞0，注意f（1）＝0，（i）当a＜﹣1时，0＜x1＜1，而lnx+a（x2﹣x）＜x﹣1+a（x2﹣x）＝（x﹣1）（1+ax），令（x﹣1）（1+ax）＝0，解得x＝﹣，取知f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，x1）上有一个零点，另一个零点为1；（ii）当﹣1＜a＜0，即x1＞1时，此时取x0′＝，知f（x0′）＜0，∴f（x）有一个零点为1，另一个零点在（x1，x0′）上；故a＝﹣1时f（x）有一个零点，当a＜0且a≠﹣1时，f（x）有两个零点．20．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n+1﹣a1；数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n+b n＝n+，b4＝4，且a1＝b2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n＝，问：数列{c n}中是否存在不同两项c i，c j（1≤i＜j，i，j∈N*），使c i+c j 仍是数列{c n}中的项？若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由S n＝a n+1﹣a1，得S n﹣1＝a n﹣a1（n≥2），∴a n＝2a n﹣1（n≥2），且a1＝a2﹣a1，即a2＝2a1，∴数列{a n}是首项为a1＝b2＝2，公比为2的等比数列，∴；（2）由T n+b n＝n+①∴当n≥2时，T n﹣1+b n﹣1＝n﹣1+（n﹣1）（1+b n﹣1）②①﹣②得b n+b n﹣b n﹣1＝﹣，∴4b n﹣2b n﹣1＝3+nb n﹣（n﹣1）b n﹣1，即（n﹣4）b n﹣（n﹣3）b n﹣1＝3，当n≥3时，（n﹣5）b n﹣1﹣（n﹣4）b n﹣2＝﹣3，∴（n﹣4）b n+（n﹣4）b n﹣2＝（2n﹣8）b n﹣1，∴b n+b n﹣2＝2b n﹣1（n≠4）．在①中令n＝1，由，得b1＝1，令n＝2，由b1+2b2＝2+1+b2，得b2＝2，令n＝3，由①可得b3＝3，又b4＝4，∴数列数列{b n}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴b n＝1+（n﹣1）×1＝n；（3）c n＝＝，假设数列{c n}中存在不同两项c i，c j（1≤i＜j，i，j∈N*），使c i+c j仍是数列{c n}中的项，即，注意到c n+1﹣c n＝＝＝，∴{c n}单调递增，由，得k＞j，∴k≥j+1，∴⇒，令j﹣i＝m（m≥1），则j＝m+i，∴＝，∵m+i≥2，∴，而，∴2m≤3（1+m），．令，则C n+1﹣∁n＝＝＝，∴{∁n}单调递增，注意到m＝3时，，，∴m只能为1，2，3，①当m＝1时，j﹣i＝1⇒j＝i+1，故i只能为1，2，3．当i＝1时，j＝2，此时，当i＝2时，j＝3，此时无整数解，当i＝3时，j＝4，此时＝，无正整数解，②当m＝2时，j＝i+2，此时⇒⇒3i2﹣i﹣6≤0，∴i＝1，此时j＝，无解，③当m＝3时j＝i+3，⇒i2+7i+12≥8i2+9i⇒7i2+9i﹣12≤0，此时无正整数解，综上，存在i＝1，j＝2满足题意．【选做题】（3选2，每题10分）21．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y ﹣2，y），求M﹣1．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，＝，∴，解得，设M﹣1＝，则＝，解得a＝﹣2，b＝1，c＝，d＝﹣，∴M﹣1＝，∴M﹣1＝＝．22．已知曲线C1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，（α为参数），求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标．【解答】解：由曲线C1的极坐标方程：，得曲线C1的直角坐标系的方程为x﹣y ＝0，由曲线C2的参数方程：，（α为参数），得曲线C2的普通方程为：x2+y＝1（﹣1≤x≤1），由，得x2+x﹣1＝0，即x＝（舍去）或x＝，所以曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为：（，）．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|的最小值为k，且a+b+c＝k，求a2+b2+c2的最小值．【解答】解：f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0，即时取等号，则k＝3，∵a+b+c＝3，∴由柯西不等式有，（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2，∴，当且仅当“a＝b＝c＝1”时取等号．故a2+b2+c2的最小值3．【必做题】（每题10）24．22．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．（1）若直线y＝﹣x+1与抛物线相交于M，N两点，且MN＝2，求抛物线的方程；（2）直线l过点Q（0，t）（t≠0）交抛物线于A，B两点，交x轴于点C，如图，设＝m，＝n，求证：m+n为定值．【解答】解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立⇒x2﹣2（1+p）x+1＝0；∵p＞0，∴△1＝4（p2+2p）＞0；则x1＝p+1﹣，x2＝p+1+；∴|MN|＝＝|x1﹣x2|＝2＝2⇒p＝1；∴抛物线的方程为y2＝2x①；（2）设A（x3，y3），B（x4，y4），C（x0，0）∵直线l过点Q（0，t）（t≠0）；故可设直线方程为y＝kx+t②；②代入①整理得ky2﹣2py+2pt＝0；∴△2＝4p2﹣8kpt＞0；y3＝，y4＝⇒y3+y4＝③y3y4＝④；∵＝（x3，y3﹣t），＝（x0﹣x3，﹣y3），＝（x4，y4﹣t），＝（x0﹣x4，﹣y4）；⇒⇒；∴m+n＝﹣2＝t×﹣2；即m+n＝t×﹣2＝﹣1；所以：m+n为定值﹣1．25．我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n可得，等式左边x k的系数为（0≤k≤n），等式右边x k项系数为，所以我们得到组合数恒等式：＝．（1）化简：（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2；（2）若袋中装有n（n∈N*）个红球和n个白球，从中一次性取出n个球．规定取出k（0≤k≤n）个红球得k2分，设X为一次性取球的得分，求X的数学期望．【解答】解：（1）由等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n可得，n＝1010时，（1+x）1010•（1+x）1010＝（1+x）2020；则等式右边含x1010项的系数为；又等式左边含x1010项的系数为+++…++；所以（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2＝；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，12，22，…，k2，…，n2，则X的分布列为：X01222…k2…n2P… …因为＝＝＝•＝， E （X ）＝k 2＝k 2＝＝＝＝＝＝＝；所以X 的数学期望为E （X ）＝．。

【附加15套高考模拟试卷】江苏省镇江市2020届高三第一次模拟考试数学试题含答案

【附加15套高考模拟试卷】江苏省镇江市2020届高三第一次模拟考试数学试题含答案

江苏省镇江市2020届高三第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A ．100 B ．150C ．200D ．2502．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）A ．42+ B ．19C ．20D ．233．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()x f x a =（0a >且1a ≠），且12(log 4)3f =-，则a 的值为（ ） A ．32B ．3C ． 3D ．9 5．已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为 （ ）A ．22122x +=B ．2212x y += C ．22142y x += D ．22142x y +=7．已知数列{}n a 满足121111111n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈，记52n n n b a =-，则数列n b 的最大项是（ ） A ．8b B ．7b C ．6b D ．5b8．箱子里有16张扑克牌：红桃A 、Q 、4，黑桃J 、8、7、4、3、2，草花K 、Q 、6、5、4，方块A 、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ） A ．草花5 B ．红桃QC ．红桃4D ．方块59．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 10．M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．2C1 D ．611．函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．512．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．(,)a b 和(,)b c 内B ．(,)a -∞和(,)a b 内C ．(,)b c 和(,)c +∞内D ．(,)a -∞和(,)c +∞内 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟数学试题(解析版)

江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟数学试题(解析版)

江苏省镇江市2020届高三第三次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1.已知集合{}=1,2A ，{}2=1,B a-，若{}A B a =，则实数a =__________． 【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集的含义，有集合A 和B 必然含有共同元素a ，又由集合A ，B 可得2a a =，且21a =或22a =，从而求得结果.【详解】根据题意，若{}AB a =，则A 和B 必然含有共同元素a ， 又由{}=1,2A ，{}2=1,B a-，则有2a a =，且21a =或22a =，故解得1a = 故答案为：1【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的交集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2.若复数z 满足()133i z i +=+，其中i 是虚数单位，z =__________． 【答案】3455-i 【解析】【分析】由除法法则计算． 【详解】由题意23(3)(13)3933413(13)(13)1055i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-， 故答案为：3455-i ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知α，β是某个平行四边形的两个内角，命题:P αβ=；命题:sin sin Q αβ=，则命题P 是命题Q的__________条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据平行四边形性质，即可由充分必要条件的定义判断结论.【详解】α，β是某个平行四边形的两个内角，则αβ=或αβπ+=，当αβ=或αβπ+=时，命题:P αβ=可以推出命题:sin sin Q αβ=，当αβπ+=时，命题:sin sin Q αβ=不能推出命题:P αβ=，因而命题P 是命题Q 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题.4.为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的600人中，O 型血有200人，A 型血有150人，B 型血有150人，AB 型血有100人．在这600人中，为抽取一个容量为60人的样本，则应从O 型血中抽取的人数为__________．【答案】20【解析】【分析】直接根据其所占比例求解即可.【详解】解：因为在被感染的600人中，O 型血有200人，A 型血有150人，B 型血有150人，AB 型血有100人，即O 型血的人数占2001=6003， 所以应从O 型血中抽取的人数为160=203⨯ 故答案为：20【点睛】此题考查了分层抽样，解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题. 5.已知直线1:230l x y -+=，2:20x k l y k ++=，且12l l //，则直线1l ，2l 间距离为__________．【解析】【分析】根据两直线平行列关于k 的方程，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12l l //，即可得出实数k 的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解. 【详解】直线1:230l x y -+=，2:20x k l y k ++=，且12l l //，则()122k ⨯=-⨯，解得4k =-当4k =-时，直线1:230l x y -+=，2:2440x y l --=，化简得2:220x y l --=，此时，12l l //，两直线平行，满足题意，因此，4k =-，则直线1l ，2l 间的距离为d ==【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，最后再利用两直线平行的距离公式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.一周后的6月25日为端午节，国家规定调休放假3天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为__________． 【答案】12 【解析】【分析】首先根据题意列出甲、乙、丙三人值班的全部情况，再列出甲在乙前面值班的情况，最后利用古典概型公式计算即可.【详解】甲、乙、丙三人每人值班一天，每天一人值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），6种情况.其中甲在乙前面值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（丙甲乙），3种情况. 所以甲在乙前面值班的概率为3162=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.7.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．【答案】184【解析】【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列，若以第8个儿子分的绵得斤数为首项则公差d =-17，即可根据等差数列的和求出答案.【详解】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d =-17的等差数列，其中 n =8，S 8=996,所以()188********a ⨯-+⨯-=（），解得a 1=184，故答案为：184【点睛】本题主要考查了数学文化,考查等差数列的定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线22212x y a -=(a ＞0)的左准线,则实数a 的值是_______．【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线22212x y a -=(a ＞0)的左准线,故21-=,即()()24222210a a a a +=⇒-+=,因为0a >故解得a ．【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题.9.竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式为2136V l h =.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中π取的近似值为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中π取的近似值. 【详解】由题知圆锥体的体积113V S h =⋅⋅， 因为圆锥的底面周长为22l l R R ππ=⇒=， 所以圆锥的底面面积224l S R ππ==， 所以圆锥体的体积211312l h V S h π=⋅⋅=， 根据题意与近似公式2136V l h =对比发现， 公式中π取的近似值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.10.已知圆()()221:24C x a y -++=与圆()()222:11x b y C +++=外切，则ab 的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由圆心距等于半径之和得出,a b 的关系式，然后由基本不等式可得最值．【详解】圆心为1(,2)C a -，2(,1)C b --21=+，∴2()8a b +=，所以228222a ab b ab ab =++≥+，所以2ab ≤，当且仅当a b =时等号成立， 故答案为：2．【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断． 11.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾（短直角边）BC 长5步，股（长直角边）AB 长12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF 边长为多少？在如图所示中，求得正方形DEBF 的边长后，可求得tan ACE ∠=__________．【答案】144229【解析】【分析】首先设正方形DEBF 的边长a ，利用相似比求出a ，再求出tan ECB ∠和tan ACB ∠，利用两角差正切公式计算即可.【详解】设正方形DEBF 的边长a ，由题知：12512a a -=，解得6017a =. 所以601217tan 517ECB ∠==，12tan 5ACB ∠=. 1212144517tan tan()12122291517ACE ACB ECB -∠=∠-∠==+⨯. 故答案为：144229【点睛】本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.12.已知在OAB中，OA =2OB =，135AOB ∠=︒，P 为平面OAB 上一点，且() O P OA OB λλ=+∈R ，当OP 最小时，向量OP 与OB 的夹角为__________． 【答案】2π 【解析】【分析】由 O P OA OB λ=+得AP OP OA OB λ=-=，因此有//AP OB ，这样作出图形后易知OP 最小时P 点位置，从而得向量夹角．【详解】∵ O P OA OB λ=+，∴AP OP OA OB λ=-=，作//AC OB ，如图，则P 在AC 上，易知OP 最小时，OP AC ⊥，所以OP OB ⊥，所以向量OP 与OB 的夹角为2π． 故答案为：2π．【点睛】本题考查平面向量的夹角，解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解，减少了计算，结果一目了然．13.已知函数()e ,?13x x f x x ⎧≤⎪=<<，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭ 【解析】【分析】先作图，再求分界线对应k 的值，结合图象确定取值范围.【详解】作()e ,?13x x f x x ⎧≤⎪=<<与2y k x =+图象，(2),0,2k x k x =+>>-得2222(1)(44)430k x k x k ++-++=由2222(44)4(1)(43)0k k k ∆=--++=得21015k k k =>∴=; 由(2),0,2y k x k x =+>>-过点(1,)e 得3e k =，对应图中分界线②； 当(2),0,2y k x k x =+>>-与x y e =相切于00(,)x x e 时，因为e x y '=，所以0001(2)01,x k e k x k x k e==+>∴=-=，对应图中分界线③；因为函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，所以实数k 的取值范围是1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭故答案为：1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭ 【点睛】本题考查根据图象交点求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属中档题.14.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()sin cos sin cos b C A A C -=，且2a =，则tan tan tan A B C的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得sin cos B A b=，结合正弦定理可求得tan A ，从而可得tan()B C +，利用两角和的正切公式与基本不等式可得tan tan B C 的最小值，从而得题设结论．【详解】由()sin cos sin cos b C A A C -=得cos sin cos sin cos sin()sin()sin b A C A A C A C B B π=+=+=-=，所以sin sin sin cos 2B A A A b a ===，所以tan 2A =， ∴tan()tan()tan 2BC A A π+=-=-=-即tan tan 21tan tan B C B C+=--，又,B C 为锐角，∴tan 0,tan 0B C >>，所以tan tan 2tan tan 2B C B C +=-≥tan tan =B C 时等号成立，解得tan tan B C ≥，所以tan 3tan tan A B C ≤=-故答案为：3【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点，AB BC =，11A D AC ⊥．求证：（1）1//B C 平面1A BD ；（2）平面1A BD ⊥平面11AB C ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，利用中位线的性质得出1//OD B C ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出BD ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BD ⊥，再由11A D AC ⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC ⊥平面1A BD ，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以1//OD B C ，OD ⊂平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥．又BD AC ⊥，1AC C C C =，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，又11A D AC ⊥， 1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ．又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.16.在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A =，sin B C =． （1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【答案】（1）3；（2）3【解析】【分析】（1）由同角关系求得sin A ，由诱导公式及两角和的正弦公式化sin B C =为C 的关系，从而可求得tan C ；（2）由tan C 可得sin C ，cos C ，由已知得sin B ，再由正弦定理得c ，最后由面积公式得结论．【详解】解：在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos 5A =，得sin A===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sinC B A C A C A C A Cπ==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，55C C C=+．所以sin3cosC C=②．如果cos0C=，则sin0C=与22sin cos1C C+=③矛盾，所以cos0C≠．所以sintan3cosCCC==．（2）因为0Cπ<<，由tan30C=>，得02C<<π，则sin0C>，cos0C>．将（1）中②代入（1）中③解得：sin C=，cos C=．于是sin B C===将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==，得3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，两准线间距离为8，圆O的直径为12F F，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C 交于点N（N点在T点上方），且OM ON=．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求直线l 的方程；（3）求直线l 上满足到1F ，2F距离之和为【答案】（1）22184x y +=（2）0x y --=．（3）()和,33⎛- ⎝⎭． 【解析】 【分析】(1) 根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：2c a =①，228a c =②，222a b c =+③，然后求解即可.(2) 法一：设切点()00,T x y ，则22004x y +=⑤, 利用0x 和0y 为核心参数，依次表示直线OT 的斜率，直线l 的方程，以及N 点的坐标，然后列方程求解即可求出0x 和0y ，进而即可求解.法二：设()0,M m ，(),N N N x y ，然后，以m ，N x ，N y 为核心参数，列出直线l 的方程，又因l 与22:4O x y +=相切，则列出圆心距d 的方程，最后根据(1)中的方程，联合求解即可.(3) 因为到1F ，2F距离之和为C ， 所以满足题意的点为直线l 与椭圆C 的公共点，联立22184x y+=④和0x y --=⑨得：220184x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，然后求解即可. 【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c，因为离心率为2c a =①，两准线间距离为228a c=②，又222a b c =+③，由①②③解得a =2b =．则椭圆C 的标准方程为22184x y +=④（2）法一：设切点()00,T x y ，则22004x y +=⑤，因T 在第四象限，所以00x >，00y <，直线OT 的斜率00OT y k x =，因为OT l ⊥，所以直线l 的斜率0x k y =-，直线()0000:x l y y x x y -=--，由⑤得：004x x y y +=⑥， 令0x =，得040,M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为OM ON =，OT MN ⊥，所以，T 为MN 中点，所以00042,2N x y y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代入（1）中④得：()22000422=184y y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+，解得：0x0=y 代入⑥式得：直线l的方程为0x y --=．法二：设()0,M m ，(),N N N x y ，则2228N N x y +=⑤，设直线:l y kx m =+⑦，因为切点T 在第四象限，所以0N x >，0k >，0m <． 因l 与22:4O x y +=相切，则圆心距2d ==，2244m k =+⑧，因为OM ON =，则22OM ON =，所以222N N x y m +=⑨， 联立⑤⑨解得：2228N x m =-，228N y m =-，因为0N x >，所以N x =N y =则0N N y m k x -=-，由⑧得2=m =-2m =±． 当2m =±时，0N x =，与0N x >矛盾．则m =-1k =， 所以直线l方程为0x y --=⑨．（3）因为到1F ，2F距离之和为C ， 所以满足题意的点为直线l 与椭圆C 的公共点，联立④⑨得：220184x y x y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，得2380x -+=，即0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以满足条件的点的坐标为()和,33⎛- ⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，离心率，准线的定义，以及如何利用核心参数根据椭圆的图像性质进行数形结合，进而列方程求解，难点在于列方程和运算，属于难题.18.镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图1），塑像总高度为12米，塑像由两部分组成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图2所示．设计要求正棱台的水平横柱长度为4米，下底面边长为8米，设斜柱与地面的所成的角为θ．（1）用θ表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin θ的取值范围？（2/米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造价都为2千元/米，问当θ为何值时，塑像总造价最低？【答案】（1）()12θ-米，sin θ的范围为0,19⎛ ⎝⎭．（2）当3πθ=时，塑像总造价最低． 【解析】 【分析】（1）在平面AEGC 内作AM EG ⊥，利用面面垂直性质定理可得AM ⊥平面EFGH ，AEM ∠为斜柱与地面所成的角，由10sin sin 19A EM θ<<∠=即可求解. （2）设总造价为y ，则()()1442412y AA AE AB θ=⨯⨯+⨯=-442cos θ⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，利用导数即可求解.【详解】解：（1）由正四棱台定义，平面AEGC ⊥平面EFGH ， 在平面AEGC 内作AM EG ⊥，交EG 于M ， 平面AEGC 平面EFGH EG =，则AM ⊥平面EFGH ，则AEM ∠为斜柱与地面所成的角，即AEM θ∠=． 显然1A ，A ，M 三点共线，在等腰梯形AEGC中，AC =EG =则EM =，AM θ=，立柱112AA θ=-，因为10sin sin 19A EM θ<<∠=，所以sin 0,19θ⎛∈ ⎝⎭．答：塑像上半部分的高度()12θ-米，sin θ的范围为0,19⎛ ⎝⎭．（2）cos AE θ=，设总造价为y ，则()1442y AA AE AB =⨯⨯+⨯，的()412442cos y θθ⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭)(2162cos θθ=++， 记()2cos f θθθ-=，则()22sin cos f θθθ-'=， 令()0f θ'=，则sin θ⎛= ⎝⎭，所以3πθ=， 列表：所以当3πθ=时，()fθ有最小值．答：当3πθ=时，塑像总造价最低．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、利用导数求函数的最值，属于中档题. 19.各项为正数的数列{}n a 如果满足：存在实数1k，对任意正整数n ，11n na k k a +≤≤恒成立，且存在正整数n ，使得1n n a k a +=或11n n a a k+=成立，则称数列{}n a 为“紧密数列”，k 称为“紧密数列”{}n a 的“紧密度”．已知数列{}n a 的各项为正数，前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，2n n n S Aa Ba C =++（A ，B ，C为常数）恒成立． （1）当14A =，12B =，14C =时， ①求数列{}n a 的通项公式；②证明数列{}n a 是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当0A =时，已知数列{}n a 和数列{}n S 都为“紧密数列”，“紧密度”分别为1k ，2k ，且1k ，[]21,2k ∈，求实数B 的取值范围．【答案】（1）①21n a n =-②见解析；（2）(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-得到{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，得到通项公式；计算11133n na a +≤≤≤恒成立，得到证明. （2）根据递推公式得到{}n a 是以首项10a >，公比1Bq B =-的等比数列，考虑1q >和01q <<两种情况，计算得到112q ≤<，根据1B q B =-解得答案.【详解】（1）①当14A =，12B =，14C =时，2111424n n n S a a =++，当2n ≥时，2111111424n n n S a a ---=++，相减得：221111114422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得：()()()1111124n n n n n n a a a a a a ---+=+-，因为0n a >，则10n n a a ->+，即有12n n a a --=，当1n =时，21111111424S a a a ==++，则11a =．则{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，则21n a n =-． ②21n a n =-，得121212121n n a n a n n ++==+--随着n 的增大而减小， 则对任意正整数n ，11133n n a a +≤≤≤恒成立，且存在1n =，使得13n na a +=． 则数列{}n a 是“紧密度”3的“紧密数列”．（2）当0A =时，n n S Ba C =+，11n n S Ba C ++=+，相减得：()11n n Ba B a +=-， 若0B =，则上式右端中10n a +=，与0n a >矛盾；若1B =，则上式左端0n a =，与0n a >矛盾，则0B ≠，1B ≠． 则11n n a B a B +=-为常数，即{}n a 是以首项10a >，公比1B q B =-的等比数列．因数列{}n a 为“紧密数列”，则0n a >， 所以01B q B =>-，又11Bq B =≠-． 当1q >时，111n na q q a +≤<≤，对任意正整数n 恒成立， 且存在正整数n ，使得1n na q a +=，所以数列{}n a 的“紧密度”为[]11,2q k =∈， 又1q ≠，即12q <≤，此时()111n n a q S q-=-，111111n n n n n S q q q S q q ++--==+--随n 的增大而减小， 所以11111n nS q q S +≤<≤++，对任意正整数n 恒成立， 且当1n =时，11n nS q S +=+，所以数列{}n S 的“紧密度”为[]211,2k q =+∈， 则01q <<，与12q <≤矛盾，不成立； 当01q <<时，111n n a q a q+≤<≤，对任意正整数n 恒成立， 且存在正整数n ，使得1n na q a +=， 则此时{}n a 的“紧密度”为[]111,2k q =∈，即112q ≤<．而()111111111nn n n n nn q q q S q q q S q q q++-+---===+---随着n 的增大而减小， 则1111111n nn S qq q q S q+-≤<=+≤++-对任意正整数n 恒成立， 且当1n =时，11n nS q S +=+，则{}n S 的“紧密度”[]211,2k q =+∈，即01q <<， 故112q ≤<，即1121BB ≤<-，解得1B ≤-． 综上所述：实数B 的取值范围为(],1-∞-．【点睛】本题考查了数列的新定义问题，求数列的通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，理解数列的新定义是解题的关键.20.已知函数()()xf x e ax a R =-∈，其中e 是自然对数的底数．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果对任意x ∈R ，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）讨论函数()()xg x f x e -=-的零点个数．【答案】（1）()e 1y x =-（2）0a e ≤≤（3）当2a ≤时，函数()g x 有一个零点；当2a >时，()g x 有三个零点． 【解析】 【分析】（1）代入1a =的函数解析式，求得导函数及切点坐标，由导数的几何意义即可得切线方程；（2）求得导函数，并对a 分类讨论，即可确定()y f x =的单调性，进而由不等式恒成立求得a 的取值范围；（3）将()f x 的解析式代入可得()g x 解析式，结合基本不等式可知在2a ≤时，函数()g x 有唯一零点；当2a >时，可知()g x 为奇函数，由()0g x '=可判断()g x 的单调情况，进而构造()2xh x e x =-，可证明当2x >时，2x e x >，进而可知当0x >时，函数()g x 有唯一零点，即可判断2a >时()g x 的零点个数. 【详解】（1）当1a =时，()xf x e x =-，可得()1xf x e '=-，则有()11k f e ='=-，()11f e =-，即切点坐标为()1,1e -， 则切线方程为()()111y e x e =--+-， 化简可得()e 1y x =-.（2）函数()()xf x e ax a R =-∈，则()xf x e a '=-，当0a <时，()0xf x e a '=->恒成立，则函数()f x 在R 上单增，而110xf e a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，与()0f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()0xf x e =>恒成立，则符合题意；当0a >时，由()0x f x e a '=-=得ln x a =，则()f x (),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上为单调递增，则()()min ln ln 0f x f a a a a ==-≥，解得0a e <≤． 综上：0a e ≤≤．（3）因()(), xxxg x f x e e eax x R -=-=--∈，当2a ≤时，因为()20x x g x e e a a a -'=+-≥=-≥恒成立， 则()g x 在R 上为增函数，而()00g =，则此时函数()g x 有唯一零点． 当2a >时，()()xx g x e e ax g x --=-+=-则()g x 为奇函数．只需研究0x ≥情形．由()210x x xxxe ae g x e e a e--+'=+-==，得210xxe ae -+=，则有xe =则1ln 02a x ==<，2ln 02a x =>， 则()g x 在()20,x 上为减函数，在()2,x +∞上为增函数， 则有()()200g x g <=． 下面证明：当2x >时，2x e x >．证明：令()2xh x e x =-，则()e 2x h x x '=-，()2e 2e 20x h x ''=->->，即函数()h x '在()2,+∞上为增函数，故有()()22e 40h x h ''>=->，则()h x 在()2,+∞上为增函数，故有()()2240h x h e >=->，则2x e x >．当2x >时，有1x e -<，则()21xxg x e eax x ax -=-->--，取022a x +=>，则()002000010x x g x e e ax x ax -=-->--=，因为()g t 为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一()20,t x x ∈，使得()0g t =，即当0x >时，函数()g x 有唯一零点，也即此时函数()g x 有三个零点．综上：当2a ≤时，函数()g x 有一个零点；当2a >时，()g x 有三个零点．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，导函数与单调性、极值和最值的应用，由导函数证明不等式成立，构造函数分析函数零点个数的应用，综合性强，属于难题.。

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷(解析版) (1)

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷(解析版) (1)

2020 年江苏省镇江市高考数学仿真试卷 1一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={-1，0，1}，B={x∈N|x＜1}，则 A∪B═（ ）A. {0}B. {-1，0}C. {-1，0，1}D. （-∞，1）2. 下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.B.C.D.3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AD1 与 BD 所成的角为（ ）A. 45°B. 90°C. 60°D. 120°4. 设 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35. 函数的大致图象是（ ）A.B.C.D.6. “2＜m＜6”是“方程为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比 90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（ ）A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 8. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ）A.B.C.D.第 1 页，共 16 页9. 设函数，则 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），则（）A. y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称B. y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称C. y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称D. y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称10. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对 穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问 何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程 序框图，输入的 d 的值为 33，则输出的 i 的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 711. 已知 F 是双曲线 C：的右焦点，P 是 C 左支上一点，A（0， ），当△APF周长最小时，则点 P 的纵坐标为（ ）A.B.C.D.12. 已知函数，点 A，B 是函数 （f x）图象上不同的两点，则∠AOB（O 为坐标原点）的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量，若向量 与 垂直，则 m=______．14. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是______． 15. 春夏季节是流感多发期，某地医院近 30 天每天入院治疗的人数依次构成数列{an}，已知 a1=1，a2=2，且满足 an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则该医院 30 天入院治疗流 感的人数共有______人． 16. 已知三棱锥 P-DEF 的各顶点都在球面上，PD⊥ED，EF⊥平面 PDE，DE=4，EF=3，若该球的体积为 π，则三棱锥 P-DEF 的表面积为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知且 c＜b．（Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）若 b=4，延长 AB 至 D，使 BC=BD，且 AD=5，求△ABC 的面积．第 2 页，共 16 页18. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面 ABCD 外一点 P 在平面 ABCD 内的射影 Q 恰在边 AD 的中点 Q 上，PA＝AD＝2BC＝2，（1）求证：平面 PQB⊥平面 PAD； （2）若 M 在线段 PC 上，且 PA∥平面 BMQ，求点 M 到平面 PAB 的距离．19. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备 推出一款流量包．该通信公司选了人口规模相当的 4 个城市采用不同的定价方案作 为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价：x（单位：元/月）和购买总人 数 y（单位：万人）的关系如表：定价 x（元/月）20305060年轻人（40 岁以下） 101578中老年人（40 岁以及 40岁以上）201532购买总人数 y（万人） 30301010（Ⅰ）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求出 y 关于 x 的回归方程；并估计 10 元/月的流量包将有多少人购买？（Ⅱ）若把 50 元/月以下（不包括 50 元）的流量包称为低价流量包，50 元以上（包括 50 元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？定价 x（元/月）小于 50 元大于或等于 50 元 总计年轻人（40 岁以下）中老年人（40 岁以及 40第 3 页，共 16 页岁以上） 总计参考公式：其中 = x ， ==，=．K2=参考数据：P（K2≥k0） 0.10k02.706，其中 n=a+b+c+d0.05 3.8410.025 5.0240.010 6.6350.005 7.8790.001 10.82820. 已知抛物线 C1：y2=4x 和 C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为 F1，F2，点 P（-1，-1）， 且 F1F2⊥OP（O 为坐标原点）． （I）求抛物线 C2 的方程； （II）过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M，交 C2 的左半部分于点 N，求△PMN 面积的最小值．21. 已知函数（e 为自然对数的底数）．（1）若曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与曲线 y=g（x）在点（0，g（0）） 处的切线互相垂直，求函数在区间[-1，1]上的最大值；（2）设函数，试讨论函数 h（x）零点的个数．22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．第 4 页，共 16 页(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积． 23. 设函数 f（x）=|x+a|（a＞0）． （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）＜x2 的解集 （2）若函数 g（x）=f（2x）+f（1-x），且 g（x）≤11 有解，求 a 的取值范围．第 5 页，共 16 页1.答案：C-------- 答案及其解析 --------解析：解：B={x∈N|x＜1}={0}， A∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选：C． 首先简化集合 B，然后根据并集的定义得结果 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：【分析】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论． 【解答】 解：对于 A：i（1+i）2=i•2i=-2，是实数； 对于 B：i2（1-i）=-1+i，不是纯虚数； 对于 C：（1+i）2=2i 为纯虚数； 对于 D：i（1+i）=i-1 不是纯虚数． 故选 C．3.答案：C解析：解：如图，连结 BC1、BD 和 DC1， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 由 AB=D1C1，AB∥D1C1，可知 AD1∥BC1， 所以∠DBC1 就是异面直线 AD1 与 BD 所成角， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC1、BD 和 DC1 是其三个面 上的对角线，它们相等． 所以△DBC1 是正三角形，∠DBC1=60° 故异面直线 AD1 与 BD 所成角的大小为 60°． 故选：C． 通过平移直线作出异面直线 AD1 与 BD 所成的角，在三角形中即可求得． 本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．4.答案：D解析：解：x，y 满足约束条件的可行域如图：，则 z=x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值，由解得 A（3，0），所以 z=x+y 的最大值为：3． 故选：D． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题 的关键．第 6 页，共 16 页5.答案：D解析：解：函数是偶函数，排除选项 B，当 x=2 时，f（2）= ＜0，对应点在第四象限，排除 A，C； 故选：D． 利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．6.答案：B解析：【分析】 本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．求出方程 + =1 为椭圆方程的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】 解：若方程 + =1 为椭圆方程，则，解得：2＜m＜6，且 m≠4，故“2＜m＜6”是“方程 + =1 为椭圆方程”的必要不充分条件，故选 B．7.答案：B解析：解：根据表中数据知，该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为-0.48， 是亏损的，A 正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同， B 错误； 该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为 95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降 低，D 正确． 故选：B． 根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项． 本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题．8.答案：C解析：【分析】 主要考查对古典概型的定义及计算等考点的理解． 利用古典概型求解即可． 【解答】 解：（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、 乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是： ，故选：C．第 7 页，共 16 页9.答案：D解析：解：因为 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）= sin（2x+ ）= cos2x．由于 y=cos2x的对称轴为 x= kπ（k∈Z），所以 y= cos2x 的对称轴方程是：x= （k∈Z），所以 A，C 错误；y= cos2x 的单调递减区间为 2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数 y=f（x）在（0， ）单调递减，所以 B 错误，D 正确． 故选：D． 利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），然后求出对称轴方程，判断 y=f（x）在（0， ）单调性，即可得到答案．本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能 力，常考题型．10.答案：C解析：【分析】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行 过程，以便得出正确的结论，是基础题． 法一：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构 计算 S 的值并输出相应变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循 环中各变量值的变化情况，可得答案．法二：模拟程序的运行， 可得要解决的问题是数列求和的问题，可得 a1+a2+…+an≥33，进 而解得 n 的值即可． 【解答】 解：法一：i=0，S=0，x=1，y=1， 开始执行，然后可得：i=1，S=1+1，x=2，y= ，…，再执行一行，然后输出 i=6． 法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，a1=1+1，a2=2+可得：a1+a2+…+an≥33， 解得 n 的最小值为 6． 故选 C．11.答案：B（n≥2），解析：解：如图：由双曲线 C 的方程可知：a2=1， b2=8，∴c2=a2+b2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点 E（-3， 0），右焦点 F（3，0），∵|AF|==15，所以当三角形 APF 的周第 8 页，共 16 页长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2， 又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当 A，P，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形 APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32． 此时，直线 AE 的方程为 y=2 x+6 ，将其代入到双曲线方程得：x2+9x+14=0， 解得 x=-7（舍）或 x=-2， 由 x=-2 得 y=2 （负值已舍） 故选：B． △APF 周长最小⇔|PA|+|PF|最小⇔|PA|+|PE|+2 最小⇔P 在线段 AE 上． 本题考查了双曲线的性质，属中档题．12.答案：A解析：解：当 x＜0 时，y=，则 y2=1+x2，即 y2-x2=1，（x＜0，y＞0），为双曲线在第二象限 的一部分， 双曲线的渐近线方程为 y=-x，若 B 在双曲线上，则∠BOy 的范围是 0＜∠BOy＜ ，设当 x≥0 时，过原点的切线与 f（x）= x2+1，相切，设切点为（a， a2+1），则 f′（x）= x，即切线斜率 k= a，则切线方程为 y-（ a2+1）= a（x-a）， ∵切线过原点， ∴-（ a2+1）= a（-a）=- a2，即- a2-1=- a2，得 a2=1，即 a2= ，则 a= = ，则切线斜率 k= a= • = ，即切线倾斜角为 ，则∠AOy 的最大值为 π- = ，即 0≤∠AOy≤ ，则 0＜∠AOy+∠BOy＜ + = ，即 0＜∠AOB＜ ，故选：A． 根据分段函数的表达式，分别求出对应切线和双曲线渐近线的倾斜角，结合位置关系判 断∠AOB 的大小即可． 本题主要考查角的范围的求解，结合分段函数的表达式，利用数形结合，求出对应切线第 9 页，共 16 页的斜率以及双曲线渐近线的倾斜角是解决本题的关键．13.答案：7解析：解：∵向量，∴ =（m-1，3），∵向量 与 垂直，∴（ ）• =-1×（m-1）+2×3=0，解得 m=7． 故答案为：7．利用平面向量坐标运算法则求出 =（m-1，3），再由向量 与 垂直，能求出 m的值． 本题考查实数值的求法，考查平面向量加法法则、向量垂直等基础知识，考查推理论能 力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想是，是基础题．14.答案：（x-1）2+（y-1）2=2解析：解：∵所求圆经过坐标原点，且圆心（1，1）与原点的距离为 r= ， ∴所求圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2． 故答案为：（x-1）2+（y-1）2=2． 由两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，即圆的半径，代入圆的标准方程得答案． 本题考查圆的标准方程，关键是熟记圆的标准方程的形式，是基础题．15.答案：255解析：解：由于 an+2-an=1+（-1）n， 所以得 n 为奇数时，an+2=an，n 为偶数时，an+2-an=2 所以 a1=a3=…=a29，a2，a4，…，a30 构成公差为 2 的等差数列， 因为 a1=1，a2=2，所以 a1+a2+a3+…+a29+a30=15+15×2+×2=255．故答案为：255． 由 an+2-an=1+（-1）n 可得 n 为奇数时，an+2=an，n 为偶数时，an+2-an=2，即所有的奇数 项都相等，所有的偶数项构成一个首项为 2，公差为 2 的等差数列，根据 a1=1，a2=2， 可得 a1=a3=…=a29=1，a2，a4，…，a30 利用等差数列的求和公式求和，即可得到答案． 本题的考点是数列的应用，主要考查的数列的求和，由于已知的数列{an}即不是等差数 列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法．16.答案：27解析：解：如图所示，∵EF⊥平面 PDE，∴EF⊥DE，EF⊥DP， ∵PD⊥ED，EF∩DE=E，∴PD⊥平面 DEF，则 PD⊥DF， 设 PF 的中点为 O，则 PO=OF=OD=DE，∴O 为三棱锥 P-DEF 外 接球的球心，由题知，解得 r= ，∴PF= ，第 10 页，共 16 页在 Rt△DEF 中，DE=4，EF=3，∴DF=，在 Rt△DEF 中，PD=，在 Rt△PDE 中，PE=，∴三棱锥 P-DEF 的表面积为：S△DEF+S△PDE+S△PDF==27．故答案为：27． 设 PF 的中点为 O，则 PO=OF=OD=OE，可得 O 为三棱锥 P-DEF 外接球的球心，解得r= ，求得 PF= ，分别求得 DF=5，PD=3，PE=5，再利用面积公式，即可求解．本题主要考查了三棱锥的表面积的公式，其中解答中根据球的体积求得球的半径，以及正确三棱锥的线面位置关系，利用三角形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）由正弦定理得，，∵sinA≠0，∴，又 c＜b，∴．（Ⅱ）设 BC=x，则 AB=5-x，在△ABC 中，由余弦定理得：，求得 ，即，在△ABC 中，△ABC 的面积=．解析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式即可求出 sinC 的值，从而求出 C； （Ⅱ）根据图形利用余弦定理求出 BC 的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用问题，考查了转化思 想，属于基础题．18.答案：证明：（1）∵P 在平面 ABCD 内的射影 Q 恰在边 AD 上，∴PQ⊥平面 ABCD， ∵AD⊂平面 ABCD，∴PQ⊥AD， ∵Q 为线段 AD 中点，AD∥BC，AD＝2BC＝2， ∴QD=BC=1,四边形 BCDQ 为平行四边形， ∴CD∥BQ，又∠ADC＝90°， ∴BQ⊥AD，且 PQ BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ，AD⊂平面 PAD， ∴平面 PQB⊥平面 PAD． 解：（2）连接 AC 与 BQ 交于点 N，则 N 为 AC 中点，又 PA∥平面 BMQ，∴M 为 PC 的 中点，∴点 M 到平面 PAB 的距离是点 C 到平面 PAB 的距离的 ，第 11 页，共 16 页在三棱锥 P-ABC 中，高 PQ= ，底面积为 ，∴三棱锥 P-ABC 的体积 V==，又△PAB 中，PA=AB=2，PB= ，∴△PAB 的面积为 ，设点 M 到平面 PAB 的距离为 d，由 VC-PAB=VP-ABC，得=，解得 d= ，∴点 M 到平面 PAB 的距离为 ．解析：（1）推导出 PQ⊥平面 ABCD，PQ⊥AD，CD∥BQ，从而 BQ⊥AD，进而 AD⊥平面 PBQ，由此能证明平面 PQB⊥平面 PAD． （2）连接 AC 与 BQ 交于点 N，则 N 为 AC 中点，则点 M 到平面 PAB 的距离是点 C 到平面 PAB 的距离的 ，求出三棱锥 P-ABC 的体积 V== ，PAB 的面积为 ，设点 M 到平面 PAB 的距离为 d，由 VC-PAB=VP-ABC，能求出点 M 到平面 PAB 的距离． 本题主要考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想， 是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，计算===-0.6，==20-（-0.6）×40=44；所以：y 关于 x 的回归方程是： =-0.6x+44，当 x=10 时， =-0.6×10+44=38，所以估计 10 元/月的流量包将有 38 万人购买； （Ⅱ）由题意填写列联表如下；定价 x（元/月）小于 50 元年轻人（40 岁以下）25中老年人（40 岁以及 40 岁以上） 35总计60大于或等于 50 元 总计15405402080由表中数据，计算 K2=≈6.667，且 6.667＞6.635， 所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高 低有关．第 12 页，共 16 页解析：（Ⅰ）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令 x=10 代入即可求出此时 y 的估计值； （Ⅱ）根据流量包的定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，计算 K2 的值， 比较它与 6.635 的大小即可． 本题考查了线性回归方程的求法应用问题，也考查了独立性检验的应用问题和计算能 力，属于基础题．20.答案：解：（Ⅰ）F1（1，0），，∴，，∴p=2， ∴抛物线 C2 的方程为 x2=4y； （Ⅱ）设过点 O 的直线为 y=kx，联立得（kx）2=4x，求得 M（ ， ），联立得 N（4k，4k2）（k＜0），从而，点 P 到直线 MN 的距离，进而=，令，有 S△PMN=2（t-2）（t+1）， 当 t=-2 时 k=-1，取得最小值． 即当过原点直线为 y=-x， △PMN 面积的面积取得最小值 8．解析：（Ⅰ）求得焦点坐标，运用向量垂直的条件：数量积为 0，解得 p=2，进而得到 抛物线的方程； （II）设过点 O 的直线为 y=kx，联立抛物线的方程，求得交点 M，N 的坐标，进而得到 MN 的长，由 P 到直线的距离，运用三角形的面积公式，由二次函数的最值，即可得到 所求最小值． 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，求交点，考查二次 函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，∴f′（0）=a，g′（0）=1， 由题意知，a=-1，f′（x）=-3x2-1≤0，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴；（2）函数 g（x）=ex-e 在 R 上单调递增，仅在 x=1 处有一个零点，且 x＜1 时，g（x） ＜0，第 13 页，共 16 页又 f′（x）=-3x2+a．①当 a≤0 时，f′（x）≤0，f（x）在 R 上单调递减，且过点（0，- ），f（-1）=即 f（x）在 x≤0 时，必有一个零点，此时 y=h（x）有两个零点；②当 a＞0 时，令 f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．＞0．则 是函数 f（x）的一个极小值点， 是函数 f（x）的一个极大值点．而 f（- ）= 现在讨论极大值的情况： f（ ）=＜0， ．当 f（ ）＜0，即 a＜ 时，函数 f（x）在（0，+∞）上恒小于 0，此时 y=h（x）有两个零点；当 f（ ）=0，即 a= 时，函数 f（x）在（0，+∞）上有一个零点，，此时y=h（x）有三个零点；当 f（ ）＞0，即 a＞ 时，函数 f（x）在（0，+∞）上有两个零点，一个零点小于 ，一个零点大于 ．若 f（1）=a- ＜0，即 a＜ 时，y=h（x）有四个零点；f（1）=a- =0，即 a= 时，y=h（x）有三个零点；f（1）=a- ＞0，即 a＞ 时，y=h（x）有两个零点．综上所述，当 a＜ 或 a＞ 时，y=h（x）有两个零点；当 a= 或 a= 时，y=h（x）有三个零点；当 ＜a＜ 时，y=h（x）有四个零点．解析：（1）分别求出 y=f（x）与 y=g（x）在 x=0 处的导数，利用斜率之积等于-1 求得 a，得到 f（x）解析式，再由导数判断 f（x）在区间[-1，1]上单调递减，从而求得最大 值； （2）函数 g（x）=ex-e 在 R 上单调递增，仅在 x=1 处有一个零点，且 x＜1 时，g（x） ＜0，再由导数分类判定 f（x）的零点情况，则答案可求． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，体现了分类 讨论的数学思想方法，属难题．22.答案：解：（1）由于 x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=-2 的极坐标方程为 ρcosθ=-2， 圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1 的极坐标方程为： （ρcosθ-1）2+（ρsinθ-2）2=1， 化简可得 ρ2-（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0． （2）第 14 页，共 16 页把直线 C3 的极坐标方程 θ= （ρ∈R）代入圆 C2 的极坐标极方程：ρ2-（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 可得 ρ2-3 ρ+4=0， 解得 ρ1=2 ，ρ2= ， ∴|MN|=|ρ1-ρ2|= ， 由于圆 C2 的半径为 1，∴C2M⊥C2N，△C2MN 的面积为 |C2M||C2N|= ×1×1= ．解析：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于中档题. （1）由条件根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ 求得 C1，C2 的极坐标方程． （2）把直线 C3 的极坐标方程代入圆 C2 的极坐标极方程可得 ρ2-3 ρ+4=0，求得 ρ1 和 ρ2的值，结合圆的半径可得 C2M⊥C2N，从而求得△C2MN 的面积 |C2M||C2N|的值．23.答案：解：（1）当 a=2 时，不等式化为|x+2|＜x2，所以-x2＜x+2＜x2，所以 x＞2 或 x＜-1， 所以不等式的解集为：{x|x＞2 或 x＜-1}． （2）方法一：g（x）=f（2x）+f（1-x）=|2x+a|+|x-（a+1）|=|x+ |+|x+ |+|x-（a+1）|≥| +a+1|=| +1|，因为 g（x）≤11（a＞0）有解，所以 g（x）min≤11，即，所以 3a≤20，所以 0＜a ，所以 a 的取值范围为（0， ]；方法二：，当 x= 时，，第 15 页，共 16 页因为 g（x）≤11（a＞0）有解，所以 g（x）min≤11，即，所以 3a≤20，所以 0＜a ，所以 a 的取值范围为（0， ]．解析：（1）当 a=2 时，不等式化为|x+2|＜x2，去绝对值，解不等式即可； （2）求出 g（x）的最小值，使得所以 g（x）min≤11 即可． 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，关键是求出最小值，属中档题．第 16 页，共 16 页。

【2020年数学高考】江苏省镇江市2020届高三第一次模拟考试 数学.doc

【2020年数学高考】江苏省镇江市2020届高三第一次模拟考试 数学.doc

镇江市2020届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－2，0，1，3}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象两相邻对称轴的距离为________．4. 设复数z 满足3＋4iz＝5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．5. 已知双曲线的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________．8. 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．9. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．10. 函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为________．11. 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．12. 已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图象交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．13. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．14. 已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x|， x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos A＋a cos B＝－2c cos C.(1) 求角C的大小；(2) 若b＝2a，且△ABC的面积为23，求c的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：(1) A1C∥平面ADB1；(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段．其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB ＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD段多长时，S最小？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．已知b>0，且b≠1，函数f(x)＝e x＋b x，其中e为自然对数的底数．(1) 如果函数f(x)为偶函数，求实数b的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2) 对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明：函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；(3) 如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，总存在正数p ，q ，r ，使得a n ＝p n －1，S n ＝q n－r 恒成立；数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意正整数n ，2T n ＝nb n 恒成立．(1) 求常数p ，q ，r 的值；(2) 证明：数列{b n }为等差数列；(3) 若b 2＝2，记P n ＝2n ＋b 1a n ＋2n ＋2b 22a n ＋2n ＋b 34a n ＋…＋2n ＋b n －12n －2a n ＋2n ＋b n2n －1a n，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立？若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．2020届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至点F .求证：AE 是∠DAF 的平分线．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，AC ⊥BC ，O 为AB 的中点，且DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE.已知AC ＝BC ＝DC ＝BE ＝2. (1) 求直线AD 与CE 所成角； (2) 求二面角OCEB 的余弦值．23. (本小题满分10分)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值．(1) 求ξ1的数学期望； (2) 求ξ2的分布列．2020届镇江高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {0，1}2. 充要3.π2 4. 1 5. x ＝836. 837. －328. 3＋229. 4 10. [22－π4，1] 11. (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18 12. y ＝x ＋1213.2＋54 14. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c 3∪(－e ，－1) 15. 解析：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2分) sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ， 所以sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3分)因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以B ＋A ＝π－C ， 所以sin C ＝－2sin C cos C.(4分)因为C ∈(0，π)，所以sin C>0.(5分) 所以cos C ＝－12，(6分)所以C ＝2π3.(7分)(2) 因为△ABC 的面积为23， 所以12ab sin C ＝2 3.(8分)由(1)知C ＝2π3，所以sin C ＝32，所以ab ＝8.(9分)因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，(11分)所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28，(13分) 所以c ＝27.(14分)16. 解析：(1) 设A 1B ∩AB 1＝E. 因为ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1B 1B 为矩形，所以E 为A 1B 的中点．(1分)因为D 为BC 的中点，所以DE 为△BA 1C 的中位线，(2分) 所以DE ∥A 1C ，且DE ＝12A 1C.(3分)因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1，(5分)所以A 1C ∥平面ADB 1.(7分)(2) 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC.(8分)因为ABCA 1B 1C 为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面ABC.因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(9分)因为BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B ，BC ∩BB 1＝B ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(10分)因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥BC 1.(11分)因为BC 1⊥B 1D ，AD ⊂平面ADB 1，B 1D ⊂平面ADB 1，AD ∩B 1D ＝D ， 所以BC 1⊥平面ADB 1.(13分) 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.(14分)17. 解析：(1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3 ＝ADsin⎝⎛⎭⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a[1－(3cos α2sin α＋12)]＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，(6分)由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos αsin 2α＝0，设cos α0＝14.(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分) 18. 解析：(1) 因为e ＝c a ＝22且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2) 设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过M 点， 所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 因为MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)， 所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0. ②(6分) 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍)，所以s 2＝709.(7分)因为圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3) 设M(x 0，y 0)，则l AM 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0·(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2(13分) ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 19. 解析：(1) 由f(1)＝f(－1)得e ＋b ＝1e ＋1b ，解得b ＝－e (舍)，或b ＝1e，(1分)经检验f(x)＝e x ＋1e x 为偶函数，所以b ＝1e .(2分)因为f(x)＝e x ＋1ex ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，(3分)所以f(x)的最小值为2.(4分)(2) 假设y ＝f(x)过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意满足b>0，且b ≠1恒成立．(5分) 令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0，(6分)所以2x 0＝3x 0，即⎝⎛⎭⎫32x 0＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2，(7分)经检验当x ＝0时，f(0)＝2，所以函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(8分)(3) 令g(x)＝f(x)－2＝e x ＋b x －2为R 上的连续函数，且g (0)＝0，则方程g (x )＝0存在一个解．(9分)(i) 当b >0时，g (x )为增函数，此时g (x )＝0只有一解．(10分)(ii) 当0<b <1时，令g ′(x )＝e x ＋b x ln b ＝e x (1＋(be )x ln b )＝0，解得x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )．(11分) 因为e x>0，0<b e <1，ln b <0，令h (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫b e x ln b ，h (x )为单调增函数，所以当x ∈(－∞，x e )时，h (x )<0，所以g ′(x )<0，g (x )为单调减函数；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，所以g ′(x )>0，g (x )为单调增函数，所以g 极小(x )＝g (x 0)．因为g (x )定义域为R ，所以g min (x )＝g (x 0)．(13分)①若x 0>0，g (x )在(－∞，x 0)上为单调减函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (ln2)＝2＋b ln2－2＝b ln2>0， 所以当x ∈(x 0，ln2)时，g (x )至少存在另外一个零点，矛盾．(14分) ②若x 0<0，g (x )在(x 0，＋∞)上为单调增函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (log b 2)＝elog b 2＋2－2＝elog b 2>0，所以g (x )在(log b 2，x 0)上存在另外一个解，矛盾．(15分)③当x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )＝0，则－ln b ＝1，解得b ＝1e ，此时方程为g (x )＝e x＋1e x －2＝0， 由(1)得，只有唯一解x 0＝0，满足条件．综上所述，当b >1或b ＝1e 时，方程f (x )＝2有且只有一个解．(16分)20. 解析：(1) 因为S n ＝q n －r ，①所以S n －1＝q n －1－r ，(n ≥2)②①－②得S n －S n －1＝q n －q n －1，即a n ＝q n －q n －1，(n ≥2)，(1分)因为a n ＝p n －1，所以p n －1＝q n －q n －1，(n ≥2)， 当n ＝2时，p ＝q 2－q ；当n ＝3时，p 2＝q 3－q 2. 因为p ，q 为正数，所以p ＝q ＝2.(3分)因为a 1＝1，S 1＝q －r ，且a 1＝S 1，所以r ＝1.(4分) (2) 因为2T n ＝nb n ，③当n ≥2时，2T n －1＝(n －1)b n －1，④③－④得2b n ＝nb n －(n －1)b n －1，即(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，⑤(6分) 方法一：由(n －1)b n ＋1＝nb n ，⑥⑤＋⑥得(2n －2)b n ＝(n －1)b n －1＋(n －1)b n ＋1，(7分) 即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，所以{b n }为等差数列．(8分) 方法二：由(n －2)b n ＝(n －1)b n －1， 得b nn －1＝b n －1n －2， 当n ≥3时，b n n －1＝b n －1n －2＝…＝b 21，所以b n ＝b 2(n －1)，所以b n －b n －1＝b 2.(6分)因为n ＝1时，由2T n ＝nb n 得2T 1＝b 1， 所以b 1＝0，则b 2－b 1＝b 2，(7分)所以b n －b n －1＝b 2对n ≥2恒成立，所以{b n }为等差数列．(8分)(3) 因为b 1＝0，b 2＝2，由(2)知{b n }为等差数列，所以b n ＝2n －2.(9分)又由(1)知a n ＝2n －1，所以P n ＝2n 2n －1＋2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2，P n ＋1＝2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2＋4n 22n －1＋4n ＋222n ，所以P n ＋1－P n ＝4n22n －1＋4n ＋222n －2n 2n －1＝12n ＋2－4n·2n4n ，(12分)令P n ＋1－P n >0得12n ＋2－4n·2n >0， 所以2n <6n ＋12n ＝3＋12n <4，解得n ＝1，所以当n ＝1时，P n ＋1－P n >0，即P 2>P 1，(13分) 当n ≥2时，因为2n ≥4，3＋12n<4， 所以2n >3＋12n ＝6n ＋12n，即12n ＋2－4n·2n <0，此时P n ＋1<P n ，即P 2>P 3>P 4>…，(14分)所以P n 的最大值为P n ＝2×22＋2×2＋222＝72，(15分)若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，则k ≥P max ＝72，所以正整数k 的最小值为4.(16分)21. A . 解析：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形， 所以∠DAE ＝∠BCD ，∠F AE ＝∠BAC ＝∠BDC .(4分) 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，(6分) 所以∠DAE ＝∠F AE ，(8分)所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线．(10分)B . 解析：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧6－a ＝3，3b －1＝5，(3分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(5分)令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分) 解得λ＝－1或λ＝4，(9分)所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)C . 解析：(1) 将M (2，3)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1.(5分)(2) 曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516.(10分) D . 解析：因为对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，所以f min (x )>a 2－3.(2分)因为|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |， 所以|2a |>a 2－3， ①(4分) 方法一：即|a |2－2|a |－3<0， 解得－1<|a |<3，(8分) 所以－3<a <3.(10分)方法二：①式等价于2a >a 2－3， ② 或2a <－a 2＋3， ③(6分) 由②得－1<a <3；(7分) 由③得－3<a <1，(8分) 所以－3<a <3.(10分)22. 解析：(1) 因为AC ⊥CB ，且DC ⊥平面ABC ，则以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AC ＝BC ＝BE ＝2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，AD →＝(0，－2，2)，CE →＝(2，0，2)．(2分) 所以cos 〈AD →，CE →〉＝422×22＝12.(4分)所以AD 和CM 的夹角为60°.(2) 平面BCE 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，设平面OCE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．(6分)由CO →＝(1，1，0)，CE →＝(2，0，2)，n ⊥CO →，n ⊥CE →， 得⎩⎪⎨⎪⎧n·CE →＝0，n·CO →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2z 0＝0，x 0＋y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 0＝－x 0，y 0＝－x 0，(8分) 令x 0＝－1，则n ＝(－1，1，1)．(9分)因为二面角OCEB 为锐角二面角，记为θ， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝33.(10分) 23. 解析：(1) 记该学生有i 门学科获得A 等级为事件A i ，i ＝1，2，3，4.(1分) ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分) 则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫344－i，(3分) 即P(A 0)＝81256，P(A 1)＝2764，P(A 2)＝27128，P(A 3)＝364，P(A 4)＝1256，则ξ1的分布列为所以E(ξ1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257256.(5分)(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则 P (ξ2＝0)＝P(A 2)＝27128；(7分)P (ξ2＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝2764＋364＝1532；(8分)P (ξ2＝4)＝P(A 0)＋P(A 5)＝81256＋1256＝41128，(9分)则ξ2的分布列为。

2020年江苏镇江九校高三下学期3月高考模拟数学试卷-学生用卷

2020年江苏镇江九校高三下学期3月高考模拟数学试卷-学生用卷

2020年江苏镇江九校高三下学期3月高考模拟数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第1题5分已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−2,−1,1}，则∁U A=．2、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第2题5分已知复数z=(1−i)⋅(a+i)（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．3、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第3题5分数据1，3，5，7，9的标准差为．4、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第4题5分2018~2019学年江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高一上学期期中第8题3分函数f(x)=√1−2x的定义域是．5、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第5题5分在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是．6、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟九校第6题5分2018~2019学年12月江苏扬州广陵区江苏省扬州中学高二上学期月考第4题5分2018~2019学年11月江苏南通海安市江苏省海安高级中学高三上学期月考第5题5分右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为．7、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第7题5分在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的准线方程为．8、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第8题5分设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，则a2+a5a8=．9、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第9题5分给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）①x=π3时，sin⁡(x+2π3)≠sin⁡x，所以2π3一定不是函数y=sin⁡x的周期；②对于定义在R上的函数f(x)，若f(−2)≠f(2)，则函数f(x)一定不是偶函数；③”M>N”是”log2⁡M>log2⁡N”成立的充分必要条件；④若实数a满足a2<4，则a⩽2．10、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第10题5分如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为．11、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第11题5分2020~2021学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三上学期期末模拟文科第15题5分 在平面直角坐标系xOy 中，若函数f(x)=ln⁡x −ax 在x =1处的切线与圆C ：x 2−2x +y 2+1−a =0存在公共点，则实数a 的取值范围为 ．12、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第12题5分已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx ，若关于x 的不等式f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,2)，则b+c a的值为 ．13、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第13题5分在边长为4的菱形ABCD 中，A =60°．点P 在菱形ABCD 所在的平面上．若PA =3，PC =√21，则PB →⋅PD →= ．14、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第14题5分2020~2021学年10月天津和平区天津市第一中学高三上学期月考第15题设函数f (x )={2−|(k+174)x +2|，x ⩽0x 2，x >0，g (x )=k (x −43)，其中k >0，若存在唯一的整数x ，使得f (x )<g (x )，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第15题14分如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，MA=MC．求证：(1) PB//平面AMC．(2) 平面PBD⊥平面AMC．16、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第16题14分在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan⁡A，tan⁡B，tan⁡C成等差数列，cos⁡A，√cos⁡C，cos⁡B成等比数列．(1) 求A的值．(2) 若△ABC的面积为1，求c的值．17、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第17题14分某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖，如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且AB=300米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为50√2米，开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ，设∠AOP=2θ．(1) 用θ表示线段PQ，并确定sin⁡2θ的范围．(2) 为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．18、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第18题16分在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(−4,0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标．(3) 在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S，T两点，求OS→⋅OT→的取值范围．19、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第19题16分已知函数f(x)=ax 2+12bx，其中a>0，b>0．(1) 请解答下列各题：①求函数f(x)的单调区间．②若x1，x2满足|x i|>√a =1,2)，且x1+x2>0，x2>0．求证：f(x1)+2f(x2)>√ab．(2) 函数g(x)=12ax2−ln⁡x．若对任意x1，x2∈√a)，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)|>|g(x1)−g(x2)|，求b−a的最大值．20、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第20题16分已知{a n}，{b n}，{c n}都是各项不为零的数列，且满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=c n S n，n∈N∗，其中S n是数列{a n}的前n项和，{c n}是公差为d(d≠0)的等差数列．(1) 若数列{a n}是常数列,d=2，c2=3，求数列{b n}的通项公式．(2) 若a n=λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n}是等差数列．(3) 若a1=c1=d=k (k为常数，k∈N∗)，b n=c n+k(n⩾2,n∈N∗)．求证：对任意的n⩾2，n∈N∗，b na n>b n+1a n+1恒成立．附加题三、选做题（本大题共3小题，选做2题，共20分）选修4-2：矩阵与变换21、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第21题10分2017~2018学年10月江苏南通崇川区南通市天星湖中学高三上学期月考第21题10分2018~2019学年江苏南京江宁区高二下学期期末第21题10分2019~2020学年12月江苏南通海安市江苏省海安高级中学高三上学期月考理科第21题10分2017~2018学年10月江苏南通启东市启东中学高三上学期月考第21题10分已知二阶矩阵A=[abcd]，矩阵A属于特征值λ1=−1的一个特征向量为α1→=[1−1]，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2→=[32]．求矩阵A．选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第21题10分在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为{x=2cos⁡αy=sin⁡α，(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos⁡(θ−π4)=2√2．点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第21题10分若正数a、b、c满足a+b+c=1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟九校第22题10分2018~2019学年江苏南通启东市高三上学期期中第23题10分如图，在正四棱锥P−ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O且OP=12AB．(1) 求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．(2) 求锐二面角B−PD−C的大小．25、【来源】 2020年江苏镇江高三下学期高考模拟第23题10分定义：若数列{a n}满足所有的项均由−1 , 1构成且其中−1有m个 , 1有p个(m+p⩾3)，则称{a n}为“(m,p)−数列”．(1) a i，a j，a k(i<j<k)为“(3,4)−数列”{a n}的任意三项，则使得a i a j a k=1的取法有多少种？(2) a i，a j，a k(i<j<k)为“(m,p)−数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对(m,p)使得1⩽m⩽p⩽100，且a i a j a k=1的概率为1？21 、【答案】{0,2};2 、【答案】−1;3 、【答案】2√2;4 、【答案】(−∞,0];;5 、【答案】14π6 、【答案】5;;7 、【答案】x=±√338 、【答案】2;9 、【答案】①;;10 、【答案】4√3311 、【答案】(0,1]∪[2,+∞);12 、【答案】−3;13 、【答案】−1;14 、【答案】173⩽k<6;15 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;16 、【答案】 (1) A=π4．;(2) c=√3．;17 、【答案】 (1) PQ=300sin⁡θ−50√2cosθ>0，sin⁡2θ>√23，且2θ∈(0,π)．;(2) 50√6．;18 、【答案】 (1) 椭圆C的标准方程为x24+y23=1．;(2) 直线NE过x轴上的定点B(−1,0)．;(3) OS→⋅OT→的取值范围是[−4,−54]．;19 、【答案】 (1)①f(x)的单调增区间为(−∞,√a )和(√a+∞)，f(x)的单调减区间为√a 0)和√a)．②证明见解析．;(2) 116．;20 、【答案】 (1) b n=4n−3(n∈N∗)．;(2) 证明见解析．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】A=[23 21 ]．;22 、【答案】2√2+√102．;23 、【答案】1．;24 、【答案】 (1) √63．;(2) 60°．;25 、【答案】 (1) 16．;(2) 115．;。

2020年江苏省丹阳高中、镇江一中、镇江中学高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

2020年江苏省丹阳高中、镇江一中、镇江中学高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

2020年江苏省丹阳高中、镇江一中、镇江中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知命题P：，，则命题为______．2.已知全集，，，则______．3.已知，，则______．4.若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为______ ．5.一枚硬币连续抛掷三次，则两次正面向上的概率为______．6.已知，且，则______．7.已知函数，若有两个零点，则实数m的取值范围为______．8.圆心在抛物线上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为______ ．9.在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为，，平面内两点G、M同时满足下列条件：；；，则的顶点C的轨迹方程为______．10.四面体ABCD中，，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于______．11.已知动点满足，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是______．12.设M是，定义n，，其中m、n、p分别是，，的面积，的最小值是______．13.已知定义在R上的函数和满足，，，令，则使数列的前n项和超过的最小自然数n的值为______．14.设正实数x，则的值域为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知在中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，．求角B的大小；若，求的值．16.在如图的多面体中，平面AEB，，，，，，，G是BC的中点．Ⅰ求证：平面DEG；Ⅱ求证：；Ⅲ求多面体ADBEG的体积．17.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站其中边EF 在GH上，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知，且．求y关于x的函数解析式；如果中转站四周围墙造价为1万元，两条道路造价为3万元，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？18.已知椭圆C：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．求椭圆C的标准方程；设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段其中O为坐标原点；当最小时，求点T的坐标．19.已知函数．当时，求在区间上的最大值和最小值；如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为，的“活动函数”已知函数若在区间上，函数是，的“活动函数”，求a的取值范围．20.设数列满足：，且当时，．求，的值；比较与的大小，并证明你的结论．若，其中，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：，解析：解：命题P：，，则命题为：，．故答案为：，．根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的问题，是基础题．2.答案：或解析：解：或，，则或，则或，故答案为：或．求出集合的等价条件，结合集合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.答案：解析：解：，，．故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．4.答案：16解析：【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．【解答】解：样本数据，，，的标准差为8，，即，数据，，，的方差为，则对应的标准差为，故答案为16．5.答案：解析：解：一枚硬币连续抛掷3次可能出现的结果为正，正，正正，反，正正，正，反反，正，正反，反，正反，正，反正，反，反反，反，反共8种，其中恰好有两次反面向上的有反，反，正反，正，反正，反，反共3种，故所求概率为故答案为：列举可得总的基本事件，找出恰好有两次反面向上的基本事件，由概率公式可得．本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．6.答案：解析：解：，，又，，则．故答案为：．由已知求得，再由，展开两角差的余弦得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，是基础题．7.答案：或解析：解：如图，作出函数的图象：若有两个零点，即直线与函数图象有2个交点，由图象可得：或，解得或，故答案为：或．作出函数的图象，数形结合即可．本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．8.答案：解析：【分析】本题考查了求圆的标准方程，利用圆与直线相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，求出圆心坐标和半径，是基础题．由题意设出圆心坐标，由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知，设为圆心，且准线方程为，圆与抛物线的准线及y轴相切，，解得，圆的标准方程为．故答案为：．9.答案：解析：解：由得，G为重心，由得，M为外心．所以M点在y轴上到AB两点距离相等．又，则．设M为，G为，由重心坐标公式得C为．再由，得整理得：．再设，由，得，．代入得：．所以的顶点C的轨迹方程为．故答案为：．由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程．本题考查了轨迹方程，解答此题的关键是根据题目给出的条件判出G点是三角形ABC的重心，M为外心，考查了三角形的重心坐标公式，训练了代入法求曲线方程，此题属中档题．10.答案：解析：解：取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF由题意知，又面ABE又，其余的棱长均为5，，同理等腰底边AB上的高为的面积三棱锥ABCD的体积又设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R 三棱锥ABCD的体积故答案为：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题11.答案：解析：解：考虑的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x 取到1则y可以取或，图象是，，，为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果就是或如果就是或这样一来，平方的最大值就是：当，或当，或比较它们的大小：当时，；时，；时，．作以上函数图象，再读出y取值范围为时a取值范围是．故答案为：．先考虑的图象，图象是，，，为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，再对a进行分类讨论，如果就是或；如果就是或再分类写出平方的最大值．最后利用分段函数的图象，再读出取值范围为时，a取值范围．本题主要考查了方程的曲线、向量的模及函数图象的应用，考查了数形结合思想、分类讨论思想．属于中档题．12.答案：18解析：解：由，得，所以，，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18由平面向量的数量积运算法则及的度数，求出的值，再由sin A的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即，，的面积之和为1，根据题中定义的，得出，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．此题考查了平面向量的数量积运算，新定义的理解，以及基本不等式的应用，得出的值后，灵活变换所求的式子是求最小值的关键．13.答案：5解析：解：令，得到；令，．代入可得，化简得，即，解得或．，，从而可得是减函数，故．，．再由解得，故n的最小值为5，故答案为5．分别令x等于1和x等于代入得到两个关系式，把两个关系式代入得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据可知是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列的通项公式，进而求得其前n项和，解不等式，即可求得结果．题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．14.答案：解析：解：令，则，，则令，，，，令，解的，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，当时，，的值域为，故答案为：利用换元法，求出原函数的值域其实求出函数的值域，根据导数和函数的最值的关系即可求出．本题考查了导数和函数的最值关系，考查了运算能力和求解能力，转化与化归能力，属于中档题．15.答案：解：，由正弦定理可得，由，可得，即有，由于B为三角形的内角，可得，即；，由正弦定理可得，而．解析：由正弦定理可得，再由两角差的正弦公式，以及特殊角的正弦函数值，即可得到所求角；运用正弦定理和切化弦，以及两角和的正弦公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ证明：，，．又，G是BC的中点，，四边形ADGB是平行四边形，．平面DEG，平面DEG，平面DEG．Ⅱ证明：平面AEB，平面AEB，，又，，EB，平面BCFE，平面BCFE．过D作交EF于H，则平面BCFE．平面BCFE，．，，四边形AEHD平行四边形，，，又，，四边形BGHE为正方形，，又，平面BHD，平面BHD，平面BHD．平面BHD，．Ⅲ平面AEB，，平面AEB，由知四边形BGHE为正方形，．，解析：Ⅰ先证明四边形ADGB是平行四边形，可得，从而证明平面DEG．Ⅱ过D作交EF于H，则平面BCFE，，再证，从而可证平面BHD，故BD．Ⅲ要求多面体ADBEG的体积，利用分割的思想转化为转化为求两个三棱锥的体积即可．本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，求多面体的体积，采取分割的方法是常用的解题方法，属中档题．17.答案：解：，，．在中，，，，可得．由于，得．在中，根据余弦定理，可得，即，解得．且，．可得y关于x的函数解析式为，．由题意，可得总造价．令，则，当且仅当，即时，M的最小值为49．此时，．答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．解析：本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题．根据题意得且，在中，然后在中利用余弦定理的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式；由求出的函数关系式，结合题意得出总造价然后换元：令，化简得到，利用基本不等式算出当时，M的最小值为由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．18.答案：解：依题意有解得所以椭圆C的标准方程为．设，，，PQ的中点为，证明：由，可设直线PQ的方程为，则PQ的斜率．由，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由知，直线TF的斜率，得．从而，即，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．由两点间距离公式得，由弦长公式得，所以，令，则当且仅当时，取“”号，所以当最小时，由，得或，此时点T的坐标为或．解析：第问中，由正三角形底边与高的关系，及焦距建立方程组求得，；第问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．19.答案：解：当时，，；对于，有，在区间上为增函数，，．在区间上，函数是，的“活动函数”，则令，对恒成立，且对恒成立，若，令，得极值点，，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，所以．又因为，在上为减函数，，所以综合可知a的范围是解析：由题意得，，在区间上为增函数，即可求出函数的最值．由题意得：令，对恒成立，且对恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为，在上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．20.答案：解：依题意，由，可解得，则，；解：．证明如下：由得，，；证明：由于，由，则，，而，则，．又于，．，，而，且，故．，从而．解析：由已知首项结合数列递推式直接求得，的值；利用作差配方法证明；由于，且，得，由，得，从而可得；再由，得到利用裂项相消法得，从而得到．本题考查数列递推式，考查数列不等式的证明，训练了数列的裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020届江苏省镇江市高三考前模拟(三模)数学试题Word版含解析

2020届江苏省镇江市高三考前模拟(三模)数学试题Word版含解析

2020届江苏省镇江市高三考前模拟（三模）数学试题一、填空题1．已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B ⋂=____.【答案】{}|12x x <<【解析】利用交集定义直接求解．【详解】Q 集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______.【答案】34i --【解析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果.【详解】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --本题正确结果：34i --【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题.3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1【解析】 执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=-，此时方程无解；当0x <时，221x -=-，解得1x =-，所以输入x 的值为1-.4．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______． 【答案】 【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为： s 2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】25【解析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设4个白球编号为：1,2,3,4；1个黑球为：A从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A 、23、24、2A 、34、3A 、4A ，共10种所取的两个球不同色的有：1A 、2A 、3A 、4A ，共4种∴所求概率为：42105P == 本题正确结果：25【点睛】 本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.6．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.【答案】83π 【解析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：12442ππ⨯⨯= 42R ππ∴= 即圆锥的底面半径为：2R =圆锥的高为：224223h -=∴圆锥的体积为：2132333V π=⨯⨯⨯= 本题正确结果：833【点睛】 本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222C :1(0)16x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为_______.【答案】221916x y -= 【解析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于a 的方程，解方程求得a ，从而得到双曲线方程.【详解】 双曲线的右顶点为：(),0a ；渐近线为：4y x a=±212516a =+，解得：3a = ∴双曲线C 的方程为：221916x y -= 本题正确结果：221916x y -= 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.8．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______. 【答案】14【解析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果.【详解】14a Q ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：14 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【答案】1【解析】根据图象过(可求得ϕ；利用图象关于()2,0-对称代入23k πωπ-+=，k Z ∈，结合01ω<<求得ω；从而可得()f x ，代入1x =-求得结果.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin 2ϕ= 02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈ 01ω<<Q 6πω∴= ()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， ()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式，利用解析式求值的问题，属于常规题型.10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.【答案】1-【解析】利用CA CB ⊥求得42AB =；根据直线被圆截得的弦长等于222R d -可利用a 表示出弦长AB ，从而得到方程，解方程求得结果.【详解】圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R =CA CB ⊥Q ∴弦长224442AB =+=圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2221a d a -=+∴弦长()22222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭()22421216421a a a -+∴-=+2210a a ++=解得：1a =-本题正确结果：1-【点睛】本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于222R d -11．已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】()2,+∞【解析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12．在等腰中，，，则面积的最大值为__________．【答案】4【解析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，，，，，，，，当且仅当时，即，，面积的最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13．若x，y均为正实数，则221(2)x yx y+++的最小值为_______.25【解析】将所求式子变为()222112x ty t y xy y++-++，利用基本不等式可求得()22122x y x y xy y +++≥++，则可知当12=时，可求得最小值. 【详解】()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时 ()2212x y x y +++5=【点睛】 本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14．设()f x t =，若存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域都是()()f x g x +，则实数t 的取值范围为_______. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】根据()f x 单调性可得()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩p =q =，由m n <可整理出1p q p p =+>+，从而求得102p ≤<，将方程组变为2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩，整理可得21924t p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据p 的范围求得t 的取值范围.【详解】()f x t =在[3,)-+∞是减函数 ()()f m n f n m ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即：33m t nn t m ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩……①设3m p+=，3n q+=23m p=-，23n q=-，1p q+=由m n<，得p q<1p q p p∴=+>+12p∴≤<则①变为：2233p t qq t p⎧-+=-⎨-+=-⎩()2226p q t p q∴-++=+-，即：2212(1)6t p p-+=+--2222(1)5192224p pt p p p+--⎛⎫∴==--=--⎪⎝⎭924t∴-<≤-本题正确结果：9,24⎛⎤--⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若2AB PC=，求证：CG⊥平面PBD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接OE ，根据线面平行的性质定理可知//PD OE ，又O 为BD 中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知PC BD ⊥，正方形可得AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，根据线面垂直性质可知BD CG ⊥，根据等腰三角形三线合一可知CG PO ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论. 【详解】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD Q 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD I 面ACE OE = //PD OE ∴O Q 为BD 中点 E ∴为PB 的中点 （2）在四棱锥P ABCD -中，2AB PC =Q 四边形ABCD 是正方形 2OC AB ∴= PC OC ∴= Q G 为PO 中点 CG PO ∴⊥又PC ⊥Q 底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD PC BD ∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂Q 平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC 又CG ⊂平面PAC BD CG ∴⊥,PO BD ⊂Q 平面PBD ，PO BD O =ICG ∴⊥平面PBD 【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16．已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =u r，(cos ,2)n C c a =-r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B ；（2）若||m =u r ，且24ac =，求边,a c .【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到()cos 2cos 0b C c a B +-=，利用正弦定理可整理为()sin 2sin cos 0B C A B +-=，从而可求得1cos 2B =，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用m =u r 构造方程求得b ，利用余弦定理可构造关于,a c 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）m n ⊥u r r Q 0m n ∴⋅=u r r，又向量(),cos m b B =u r ，()cos ,2n C c a =-r ， 故()cos 2cos 0b C c a B +-= 由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-= sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠Q 1cos 2B ∴= 又()0,B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u rm ∴==u r ∴2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+-又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.17．江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ △，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km 23.其中方案2好.【解析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立 MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当a b ==1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==时等号成立）EOF ∴∆21128>Q∴方案2好 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）:l y =；（2）（i ）直线l 的方程为y x =；（ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立.【解析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k 的方程，解方程求得结果；（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 可得1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆的方程可求解出A 点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii ）将直线AM 方程代入圆的方程可求得A 点坐标；同理将直线BN 方程代入圆的方程可求得B 点坐标；利用OA OB k k =可求得12,k k 的关系，利用12,k k 表示出P 点坐标，整理可得3115k k =，进而可得到123,,k k k 满足1232k k k +=，得到常数a .【详解】（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线l的距离d =Q 直线l 与圆C 相切1d ∴==，解得：k =∴直线l方程为：15y x =（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 得：1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭由()2211221141334122x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：11258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k ∴= ∴直线l的方程为：25y x =（ii ）由题意知：()3,0M ，()5,0N则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦ 3M x =Q 2121351A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭OAOB k k =Q 122212221222122211355311k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=121k k ≠-Q 2135k k ∴=-设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1313141554k k k ∴== 1213225k k k k ∴+==∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.19．已知函数()()xf x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【解析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ，可得()max m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()min max 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围. 【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x Q 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增 （2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立记()1x x e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=-设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个∴()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()min max 2g x g x <()()211xx t x g x e +-+=Q ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭②当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- ③当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ∴()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（） 由（1）知()1t t f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e+⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，20．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】（1）根据21n a n =+可得{}n a 为递增数列，从而可得22n b n =-，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a ≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，即1n n b b +≥，则可知{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，可证得结论；（3）令1,2,3n =猜想可得12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=- 由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Q{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得： 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是： 12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（） 若12k a a a ≤<，则由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.21．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程． 【答案】.【解析】分析：先求出AB ＝，再设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，再求直线的方程．详解：因为A ＝，B ＝，所以AB ＝．设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ，即，得, 即,②将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.22．极坐标中，过点2,4P π⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程.【答案】sin 1ρθ=【解析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点P 在圆上，从而可得过P 点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可. 【详解】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=点2,4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0故过点P 的切线为1y =∴所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型. 23．已知,0x y >，且1x y +=116x y ++≤【答案】详见解析【解析】根据柯西不等式可证得结果. 【详解】()()2221111x y++++≤Q又1x y+=26∴+≤≤【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.24．某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X. （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X=”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望()E X.【答案】（1）1528；（2）详见解析.【解析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C CP XC===；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:()335388kkkP X k C-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k=∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.25．设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对*n N ∀∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明.【答案】（1）11a =，21a =，32a =，44a =；（2）222221n n n a a a ++=，证明详见解析.【解析】（1）根据已知条件，依次取1,2,3,4n =，列出符合的正整数N ，从而得到个数，得到所求结果；（2）由（1）猜想可知：222221n n n a a a ++=，首先证得当4n >时，134n n n n a a a a ---=++，再用数学归纳法证得21221n n n a a a +-=+，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立. 【详解】（1）1n =，则1N = 11a ∴=；2n =，则11N = 21a ∴=；3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N = 44a ∴=；综上：11a =，21a =，32a =，44a =（2）由（1）猜想：222221n n n a a a ++=；记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23k x x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n - 故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时，21221k k k a a a +-=+当1n k =+时，2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈再用数学归纳法证明下式成立：222221n n n a a a ++=①当1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立； ②假设当n k =时，222221k k k a a a ++=当1n k =+时，()2222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++= ()()222232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，222221n n n a a a ++=，*n N ∈【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列中的递推关系的问题，关键是能够明确n a 的定义，通过赋值的方式求解数列中的项；进而采用猜想的方法得到结论，再利用数学归纳法进行证明.。

【附20套高考模拟试题】2020届【市级联考】江苏省镇江市高考数学模拟试卷含答案

【附20套高考模拟试题】2020届【市级联考】江苏省镇江市高考数学模拟试卷含答案

2020届【市级联考】江苏省镇江市高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图正方体1111ABCD A B C D -，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A ．B ．C ．D ．2．已知平面内的两个单位向量OA u u u r ，OB uuu r ，它们的夹角是60°，OC u u u r 与OA u u u r 、OB uuu r向量的夹角都为30°，且||23OC =u u u r ，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+值为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．43．若钝角α满足sin 3cos tan 2cos sin ααααα-=-，则tan α=（ ）A ．226-B ．26-C ．227-D ．27-4．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a =≥是图中阴影部分介于平行线0y =及y a =之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若3 sin(),25παα-=-为第二象限角，则tanα=A ．43-B ．43C．34-D．346．已知1sin,cos11a aa aθθ-==-++，若θ是第二象限角，则tanθ的值为A．12-B．2-C．34-D．43-7．若函数()y f x=的导函数'()y f x=的图象如图所示，则函数()y f x=的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知点P在直线210x y+-=上，点Q在直线230x y++=上，PQ的中点为()00,M x y，且0017y x-剟，则0yx的取值范围为（）A．122,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．51,164⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．22,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，两条渐近线分别与抛物线22y xa c ⎛⎫= ⎪⎝⎭的准线交于A ，B 两点.若AOB △的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2C ．5D ．310．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027 D ．1311．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||4b =r ，()a a b ⊥+r r r ，则向量a r 在b r方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．112．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d >，且8595()()0S S S S --<，则（ ） A ．78a a < B ．78a a > C ．78a a = D ．70a =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷(解析版) (3)

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷(解析版) (3)

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷3一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U=R，A={x|y=log2018（x-1）}，，则A∩（∁U B）=（）A. [1，2]B. [1，2）C. （1，2]D. （1，2）2.若复数为纯虚数，则|3-ai|=（）A. B. 13 C. 10 D.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 45B. 54C. 57D. 634.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且7S2=4S4，则公比q的值为（）A. 1B. ..或C.D.6.已知，则下列说法中错误的是（）A. 函数f（x）的最小正周期为πB. 函数f（x）在上单调递减C. 函数f（x）的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D. 是函数f（x）图象的一个对称中心7.已知曲线y=x+ln x在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A. 4B. 8C. 2D. 18.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )A. 必在圆外B. 必在圆上C. 必在圆内D. 以上三种情形都有可能9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）A. 6B. 12C. 16D. 1810.设函数，若，c=f（20.2），则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c11.如图所示，F1和F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. +112.在四面体P-ABC中，△ABC为等边三角形，边长为3，PA=3，PB=4，PC=5，则四面体P-ABC的体积为（）A. 3B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，且，则与的夹角为______．14.已知实数x，y满足不等式组且目标函数z=3x-2y的最大值为180，则实数m的值为______．15.如图，点D在△ABC的边AC上，且，则3AB+BC的最大值为______．16.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i（i=1，2），使得，则双曲线离心率的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知对于n∈N*，不等式恒成立，求实数M的最小值；18.如图所示，在棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，CD=2AB=2BC=2AA1=4A1B1，∠ABC=∠BCD=90°．（1）求证：A1D⊥BC1；（2）求二面角C-A1D-D1的大小．19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X服从正态分布N（110，144），从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如下的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．参考公式与临界值表：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820.已知抛物线：y2=4x，过点P（8，-4）的动直线l交抛物线于A，B两点．（1）当P恰为AB的中点时，求直线l的方程；（2）抛物线上是否存一个定点0，使得以弦为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=ln x+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．以质点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为．（1）求曲线E的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线E交于A，B两点，求线段AB的长．23.已知函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y=f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b=，求证：log3（）≥2．-------- 答案及其解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．求出集合的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行计算即可．【解答】解：A={x|y=log2018（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，，={y|y≥2}，则∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={x|1＜x＜2}，故选：D．2.答案：A解析：解：由=．因为复数为纯虚数，所以，解得a=2．所以|3-ai|=|3-2i|=．故选：A．把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体是由一个棱长为3的正方体，切去一个棱长为1的小正方体，故：该几何体的表面积不变，即：S=6×3×3=54．故选：B．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.答案：C解析：解：分析数据，三年总分均为150分，由图可知，①近三年容易题分值逐年增加；从40分，到55分，再到96分，①正确．②近三年中档题分值所占比例年份是2016年为：76÷150≈0.51，2017年为：49÷150≈0.33，2018年为：42÷150=0.28，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；②错误③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的（96+42）÷150=0.92以上．即92%以，③正确．其中正确结论的个数为①③两个．故选：C．利用四种命题及真假判断，图形数据对每一个命题分析可得答案．本题考查四种命题及真假判断，考查图形数据分析，属基础知识的考查．5.答案：C解析：解：q=1时不成立，∴=，q＞0，联立解得q=．故选：C．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查了利用二倍角公式，和差角公式及辅助角公式对三角函数进行化简，还考查了余弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．由已知结合二倍角公式，和差角公式及辅助角公式对f（x）进行化简，然后结合余弦函数的性质即可检验各选项即可判断．解析：解：=4cos x（）=，=1+cos2x-sin2x=1+2cos（2x+），A：由周期公式可知T=π，故A正确；B：令可得，k，当k=0时可得函数的单调递减区间[-]，故B正确；C：函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍可得y=2cos（2x+）+2，故C错误；D：令x=可得，y=1，故D正确；故选：C．7.答案：B解析：【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，设出切线方程,运用两线相切的性质是解题的关键．属于中档题.求出y=x+ln x的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据=0得到a的值．【解答】解：y=x+ln x的导数为y′=1+，曲线y=x+ln x在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+ln x在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x-1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有=a2-8a=0，解得a=8．故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=-、x1x2=-，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=-=-，x1x2==-，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．9.答案：B解析：解：①当a，b，c三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为=6，②当a，b，c三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为=3，③当a，b，c三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为=3，即不同的安排种数为++=12，故选：B．由排列组合及简单的计数问题得：不同的安排种数为++=12，得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题．10.答案：D解析：解：f（x）在（0，π）上单调递增；，且log25＞log23＞1；∴；∴；又1＜20.2＜2；∴；∴b＜a＜c．故选：D．容易看出f（x）在（0，π）上单调递增，且可得出，且1＜20.2＜2，从而得出，这样根据f（x）的单调性即可得出a，b，c的大小关系．考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式．11.答案：D解析：解：连接AF1，则∠F1AF2=90°，∠AF2B=60°，∴|AF1|=c，|AF2|=c，∴c-c=2a，∴e==+1，故选：D．连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B=60°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c-c=2a，从而可求双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用，属基础题．12.答案：C解析：解：将三棱锥翻转一下，如图，由斜线长相等，射影长相等可得B在平面PAC内的射影H为直角三角形PAC的外心，故H为△PAC斜边AP的中点，且BH⊥平面PAC，即HB为三棱锥的高，由勾股定理得BH=，∴该三棱锥P-ABC的体积为：V=×3×4=．故选：C．将三棱锥翻转一下，由斜线长相等，射影长相等可得B在平面PAC内的射影H为直角三角形PAC的外心，故H为△PAC斜边AP的中点，且PH⊥平面PAC，即HP为三棱锥的高，从而可求三棱锥P-ABC的体积．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13.答案：解析：解：∵；∴；∴4k=3；∴；∴，且；设与的夹角为θ，则：；又0≤θ≤π；∴．故答案为：．可根据得出，从而可求得4k=3，从而得出，从而求出，，可设与的夹角为θ，则，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．14.答案：60解析：解：作出不等式组对应的平面区域，如图：由z=3x-2y化简为y=x-z，平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z，经过点A（m，0）时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大，z max=3m=180，解得：m=60．故答案为：60．作出不等式组对应的平面区域，目标函数z=3x-2y的最大值为180，通过直线平移，找到取得最大值的交点，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：解：设AD=t，则CD=3t，由cos B=2cos2-1=2×（）2-1=，由余弦定理得cos B==，∴16t2=c2+a2-，①由cos∠ADB+cos∠BDC=0，得+=0，得12t2=3c2+a2-8，②由①②消去t2得9c2+a2=32-ac≥2=6ac，（3c=a时取等）∴ac，∴（3AB+BC）2=（3c+a）2=9c2+a2+6ac=32-ac+6ac=32+ac≤32+×=，∴3AB+BC≤=．故答案为：．设AD=t，则CD=3t由cos B=2cos2-1=2×（）2-1=，在三角形ADB和BDC中由余弦定理可得122=3c2+a2-8；在三角形ABC中由余弦定理可得：16t2=c2+a2-，两式消去t2，用基本不等式可得ac≤，将3AB+BC平方后求得最大值，再开方．本题考查了三角形中的计算，属中档题．16.答案：＜e＜解析：解：由题意可得F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy-bc=0，∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i（i=1，2），使得，可得△P i A1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，∴＜a，∴e4-3e2+1＜0，∵e＞1，∴1＜e＜，∵在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点P i（i=1，2），使得∠A1P i A2=，可得a＜b，∴a2＜c2-a2，∴e＞，∴＜e＜，故答案为：＜e＜．求出直线BF的方程为bx+cy-bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，主要是离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足．可得2S1+1=2a12+a1=2a1+1，解得a1=1；n≥2时，2S n-1+1=2a n-12+a n-1，又2S n+1=2a n2+a n，相减可得2a n=2a n2+a n-2a n-12-a n-1，化为a n+a n-1=2（a n+a n-1）（a n-a n-1），由a n＞0，可得a n-a n-1=，可得数列{a n}为等差数列，且a n=1+（n-1）=；（Ⅱ）S n=n（1+）=，=（-），可得+++…+=（1-+-+-+-+…+-+-+-）=（1++---）=-（++）＜，对于n∈N*，不等式恒成立，可得M≥．可得M的最小值为．解析：（Ⅰ）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得S n=n（1+）=，=（-），由数列的裂项相消求和和不等式恒成立思想，即可得到所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和和不等式的性质，以及不等式恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．18.答案：证明：（1）连结AD1，设CD=4，∵C1D1∥CD，CD∥AB，∴C1D1∥AB，又AB=C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，在直角梯形ADD1A1中，tan∠A1AD1=，tan∠DA1A=，∴∠A1AD+∠AA1D=90°，∴A1D⊥AD，∴A1D⊥BC1．解：（2）∵AA1⊥平面ABCD，∴以A为原点建立空间直角坐标系，设A1B1=1，则A（0，0，0），A1（0，0，2），D（2，-2，0），C（2，2，0），=（0，0，2），=（2，-2，0），=（0，4，0），=（2，2，-2），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面CA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），cos＜＞==，由题意得二面角C-A1D-D1平面角为钝角，∴二面角C-A1D-D1的大小为120°．解析：（1）连结AD1，推导出四边形ABC1D1为平行四边形，BC1∥AD1，A1D⊥AD，由此能证明A1D⊥BC1．（2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-A1D-D1的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）甲校中位数为：131.5 乙校中位数为：128.5．（2）甲乙两校优秀和非优秀人数统计如下如下表：优秀非优秀合计甲校101020乙校71320合计172340，没有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）从所有参加此次联考的学生中任意抽取1人，数学成绩在134分以上的概率为=0.0684．解析：（1）通过茎叶图真假求解甲校中位数为：131.5 乙校中位数为：128.5．（2）求出，然后判断数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）从所有参加此次联考的学生中任意抽取1人，数学成绩在134分以上的概率为求出概率，得到正态分布，然后求解期望即可．本题考查茎叶图以及独立检验思想的应用，正态分布的应用，求解数学期望，考查计算能力．20.答案：解：（1）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当P恰为AB的中点时，显然x1≠x2，故k AB==，又y1+y2=-8，故k AB=-，则直线l的方程为y=-．（2）假设存在定点Q，设Q（，y0），当直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-8）-1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得ky2-4y-32k-16=0，△＞0，y1+y2=，y1y2=-32-，由以弦AB为直径的圆恒过点Q知•=0，即（x1-）（x2-）+（y1-y0）（y2-y0）=0，即（•+（y1-y0）（y2-y00=（）（y1-y0）（y2-y0）=0，故（y1+y0）（y2+y0）=-16，即y1y2+y0（y1+y2）+y02+16=0，整理得（y02-16）k+4（y0-4）=0，即当y0=4时，恒有=0，故存在定点Q（4，4）满足题意，当直线l斜率不存在时，l：x=8，不妨令A（8，4），B（8，-4），Q（4，4）也满足•=0．综上所述，存在定点Q（4，4），使以弦AB为直径的圆恒过点Q．解析：（1）根据斜率公式和中点公式求得斜率，再根据点斜式可得；（2）按照直线l的斜率是否存在分两种情况讨论，根据韦达定理以及•=0可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．21.答案：解：（I）f′（x）=e x-a，当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，取m=min{0，}，当x0＜m时，g（x0）=-ax0-b＜-ax0+1-b＜0，矛盾．当a=0时，f（x）=e x-b＞-b．只要-b≥0，即b≤0，此时ab=0．当a＞0时，可得f（x）在（-∞，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增．∴f（x）≥f（ln a）=a-a lna-b，由a-a lna-b≥0，即b≤a-a lna，此时ab≤a2-a2ln a．令h（a）=a2-a2ln a．则h′（a）=2a-2a lna-a=a（1-2ln a），令h′（a）=0，解得a=．∴a=时，h（a）取得最大值，h（）=e-e=e．∴ab≤e．综上可得：ab的最大值为e．（II）F（x）=g（x）-f（x）=ln x+1-e x+ax+b，（x＞0）．F′（x）=-e x+a在（0，+∞）上单调递减，设唯一的零点为x0，则F（x0）=0，F′（x0）=0，即ln x0+1-+ax0+b=0，-+a=0．∴a=-，b=（1-x0）-ln x0．由m（a-e+1）≥b恒成立，则m（--e+1）≥（1-x0）-ln x0．得：（x0+m-1）-+ln x0+m（-e+1）≥0，在（0，+∞）上恒成立．令u（x）=（x+m-1）e x-+ln x+m（-e+1），x∈（0，+∞）．u′（x）=（x+m）e x++=（x+m）（e x+）．当m≥0时，u′（x）＞0，函数u（x）在x∈（0，+∞）单调递增．又u（1）=0，当x∈（0，1）时，u（x）＜0，矛盾．当m＜0时，函数u（x）在x∈（0，-m）单调递减，在（-m，+∞）上单调递增．∴u（x）≥u（-m）=-e-m+ln（-m）+m（-e+1）．故-e-m+ln（-m）+m（-e+1）≥0．令v（m）=-e-m+ln（-m）+m（-e+1）．v′（m）=e-m+-e+1．可得v′（m）在（-∞，0）上单调递减，又v′（-1）=0．∴函数v（m）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减．∴v（m）≤v（-1）=0，又v（m）≥0，∴v（m）=0，当且仅当m=-1时成立．综上可得：m∈{-1}．解析：（I）f′（x）=e x-a，对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值，进而得出ab 的最大值．（II）F（x）=g（x）-f（x）=ln x+1-e x+ax+b，（x＞0）．F′（x）=-e x+a在（0，+∞）上单调递减，设唯一的零点为x0，则F（x0）=0，F′（x0）=0，即ln x0+1-+ax0+b=0，-+a=0．可得a=-，b=（1-x0）-ln x0．由m（a-e+1）≥b恒成立，可得m（--e+1）≥（1-x0）-ln x0．得：（x0+m-1）-+ln x0+m（-e+1）≥0，在（0，+∞）上恒成立．令u（x）=（x+m-1）e x-+ln x+m（-e+1），x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性极值，进而得出m的值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）E的方程可化为ρ2+2ρ2sin2θ=3，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入其中，得x2+3y2=3，所以曲线E的直角坐标方程为：+y2=1．（2）直线l过点P（1.0），将直线l的参数方程代入曲线E的直角坐标方程得3t2+2-4=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-，所以|AB|=|t1-t2|==．解析：（1）利用互化公式可得曲线E的直角坐标方程；（2）根据参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|2x-1|-|x+1|=，由f（x）≤4得，或或，∴-2≤x＜-1或-1≤x≤或＜x≤6，∴-2≤x≤6，∴不等式的解集为：{x|-2≤x≤6}．（2）f（x）+3|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-（2x+2）|=3，当且仅当（2x-1）（2x+2）≤0，即-1≤x≤时取等号，∴m=3，a+b=1，∴==5+≥5+2=9当且仅当，即a=时取等号，∴log3≥log39=2．解析：（1）f（x）=|2x-1|-|x+1|=，分段解不等式f（x）≤4即可；（2）利用绝对值三角不等式求出最小值m，然后利用基本不等式证明log3（）≥2即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．。

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-„，{1B =-，1，2}，则A B =I． 2．（5分）设复数21z i=+（其中i 为虚数单位），则||z = ． 3．（5分）如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．4．（5分）顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．5．（5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=，若直线12//l l ，则m = ．6．（5分）从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．7．（5分）若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则32z x y =+的最大值为 ．8．（5分）将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4g π= ．9．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为 ．10．（5分）等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q = ． 11．（5分）记集合[A a =，]b ，当[6πθ∈-，]4π时，函数2()23cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是 ．12．（5分）已知函数331(),0()22,0x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--⎩…，若对任意的[x m ∈，1]m +，不等式(1)()f x f x m -+„恒成立，则实数m 的取值范围是 ．13．（5分）过直线:2l y x =-上任意一点P 作圆22:1C x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点0(B x ，0)y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -= ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点(2,1)A ，(1,2)B -，(3,1)C -，点(,)P x y 满足()()1OP OA OP OB ⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则2||OP OCOP u u u r u u u rg u u u r 的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB BD ⊥，PB PD ⊥，平面PBD ⊥底面ABCD ．（1）求证：//PC 平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．16．（14分）如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD =u u u r u u u r g ．（1）若C B >，且13cos()14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =u uu r u u u r g ，求AC 的长度．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点．①若247AB =，求直线1l 的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为1A ，点5(2G -，0)，求证：1A ，B ，G 三点共线．18．（16分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N 在线段PT 上（不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点)N ，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道¶MA 到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处（设计要求M ，O ，G 三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R ．记MOT ∠为α，轨道总长度为l 米． （1）试将l 表示为α的函数()l α，并写出α的取值范围； （2）求l 最小时cos α的值．19．（16分）已知函数2()()()f x lnx a x x a R =+-∈． （1）当0a =，证明：()1f x x -„；（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当0a <时，求函数()f x 的零点个数．20．（16分）已知*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，(1j c i j <…，i ，*)j N ∈，使i j c c +仍是数列{}n c 中的项？若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-…，{1B =-，1，2}，则A B =I {1，2} ． 【解答】解：{|02}A x x =Q 剟，{1B =-，1，2}， {1A B ∴=I ，2}．故答案为：{1，2}． 2．（5分）设复数21z i=+（其中i 为虚数单位），则||z = 5 ．【解答】解：2112z i i=+=-， 22||1(2)5z ∴=+-=，故答案为：5．3．（5分）如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 25 ．【解答】解：模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=． 故答案为：25．4．（5分）顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是 216y x = ．【解答】解：双曲线221124x y -=的右焦点为(4,0)，抛物线的方程设为2y mx =，0m >， 由题意可得44m=，即16m =， 可得抛物线方程为216y x =． 故答案为：216y x =．5．（5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=，若直线12//l l ，则m = 2- ．【解答】解：根据题意，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=， 若直线12//l l ，必有2(2)0m m -+=， 解可得：1m =或2-，当1m =时，直线1:10l x y --=，2:10l x y --=，两直线重合，不符合题意； 当2m =-时，直线1:240l x y +-=，2:2410l x y ---=，两直线平行，符合题意； 故2m =-； 故答案为：2-6．（5分）从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是25． 【解答】解：从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数， 基本事件总数2510n C ==，剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(3，4，5)，共4个，∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42105p ==． 故答案为：25． 7．（5分）若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则32z x y =+的最大值为 13 ．【解答】解：实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，对应的可行域如下图所示：由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =时，目标函数经过(3,2)A 时，目标函数取得最大值：3213z x y =+=，故32z x y =+的最大值为：13；。

2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷(有解析)

2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷(有解析)

2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 集合A ={a 2,a +1,−1}，B ={2a −1,|a −2|,3a 2+4}，−1∈A ∩B ，则a = ______ ．2. 已知：(1−2i)z =5+10i(i 是虚数单位 )，则z = ______ ．3. 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的______条件．(填充要关系)4. 某学校高一年级500名学生中，血型为O 型的有200人，A 型的有125人，B 型的有125人，AB 型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O 型的学生中应抽取_______人．5. 两条平行线l 1：3x +4y =2与l 2：ax +4y =7的距离为______ ．6. 已知A,B,C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为_________．7. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=−1，S 10=35，则a 20=________． 8. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2恰为抛物线x =14y 2的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的方程为______ ．9. 一个圆锥，母线长为1，高为h ，当高为________时，其体积取最大值．10. 若圆C 1：(x −a)2+y 2=4(a >0)与圆C 2：x 2+(y −√5)2=9相外切，则实数a 的值为______ ． 11. 在△ABC 中，A =120°，AB =4，若点D 在边BC 上，且BD =2DC ，AD =2√73，则AC 的长为______ ．12. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)则∠ABC = ______ ．13. 已知f(x)=e x ，g(x)={√1−(x +2)2,−3≤x ≤−12g(x −2),−1<x ≤1，则在区间[−3,1]上的函数y =f(x)−g(x)的零点个数为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinB =513，且a ，b ，c 成等比数列．则______ ．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF//平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．16.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=3，cosA=√63，B=A+π2．(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求△ABC的面积．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,−√3)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当MF=2FN时，求直线l的方程．18.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100)，中间每个桥墩的平均造价为803√x万元，桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元．(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A、B除外)应建多少个桥墩？19.已知数列{a n}和{b n}满足a1=1318，a n+1=−12a n+n，b n=a n−2n3+49，求数列{b n}的通项公式b n．20.已知函数f(x)=lnx+a2x2−(a2+2)x+2,a∈R，(I)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(II)若x∈[1,+∞)时，函数f(x)的最小值为0，求a的取值范围．21.21(本题10分)已知矩阵M =[−12523] ．(1)求M 的特征值和特征向量； (2)若向量α=[116]，求M 3α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l 1与C 相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作l 1的垂线l 2交C 于P ，Q 两点． (1)写出曲线C 的普通方程与直线l 1的直角坐标方程； (2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23. 已知a >0，b >0，c >0，函数f(x)=|x +a|+|x −b|+c 的最小值为4．(Ⅰ)求a +b +c 的值；(Ⅱ)求a2+b2+c2的最小值．24.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB=√2，CE=1，CE⊥平面ABCD．(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值；(2)求二面角A−DF−B的大小．25.从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出m个不同元素，记所取元素之和为ξ．(1)若m=2，求ξ为偶数的概率；(2)若m=3，η表示ξ被3整除的余数，求η的概率分布及数学期望E(η)．【答案与解析】1.答案：0解析：解：∵−1∈A∩B，∴2a−1=−1，则a=0，此时A={0,1，−1}，B={−1,2，4}．故答案为：0．由−1∈A∩B，2a−1=−1从而得到a的值，验证即可．本题考查了集合的运算，属于基础题．2.答案：−3−4i解析：解：由(1−2i)z=5+10i，得：z=5+10i1−2i =(5+10i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+20i5=−3+4i，∴z=−3−4i．故答案为：−3−4i．把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再求其共轭复数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：充分不必要解析：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断及其应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，由题意知p⇒r，r⇒s，s⇒q，从而得到p⇒q，由此能求出结果．解：∵p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q 是s 的必要条件，∴p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒q，∴p是q成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．4.答案：16解析：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，由题意知，从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用O型血型的人数乘以概率得到这种血型所要抽取的人数，即可求解．解：根据题意知用分层抽样方法抽样，∵40500=450，故O型血抽200×450=16人，故答案为16．5.答案：5解析：解：l2：ax+4y=7为3x+4y=7，由平行线间的距离公式可得：两平行线间的距离d=√9+16=5，故答案为5由平行线间的距离公式可得两平行线间的距离．本题考查平行线间的距离公式，属基础题．6.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．先求出基本事件总数n=A33=6，再求出A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A33−A22=4，由此能求出A与B在相邻两天值班的概率．解：A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，基本事件总数n=A33=6，A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m=A33−A22=4，∴A与B在相邻两天值班的概率P=mn =46=23．故答案为23．7.答案：18解析：设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得a20.本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=−1，S10=35，得10×(−1)+10×(10−1)d2=35，解得d=1．∴a20=a1+19d=−1+19×1=18．故答案为18．8.答案：23−2√222√2−2=1解析：解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以b2a=2c，c2=a2+b2=1，解得a=√2−1，所以b2=2(√2−1)，所以双曲线C的方程为23−2√222√2−2=1．故答案为：23−22222−2=1．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出双曲线的方程．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：√33解析：本题考查圆锥的体积计算公式及函数的最大值，属于基础题． 解：设底面半径为r ，则r 2=1−ℎ2，则体积为V =13πr 2ℎ=π3(1−ℎ2)ℎ=π3(ℎ−ℎ3)， 令t =ℎ−ℎ3，由t′=1−3ℎ2=0得ℎ=√33，所以当ℎ∈(0,√33)时，t 单调递增；当ℎ∈(√33,1)时，t 单调递减，所以当ℎ=√33时，圆锥体积V 取得最大值，故答案为√33．10.答案：2√5解析：解：∵圆C 1：(x −a)2+y 2=4(a >0)与圆C 2：x 2+(y −√5)2=9相外切， ∴(0+a)2+(−√5−0)2=(2+3)2， ∴a =2√5． 故答案为2√5．利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程，即可求得实数a 的值．本题以圆的方程为载体，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程．11.答案：3解析：解：如图所示：△ABC 中，∠BAC =120°，AB =4，点D 在边BC 上，BD =2DC ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得9AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 又AD =2√73， ∴9×(2√73)2=4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4×|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |×4×cos120°+42， 化简得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−3=0， 解得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3或|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1(不合题意舍去)， 故答案为：3．画出图形，结合图形，利用BD =2DC ，得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，再利用平面向量的数量积求出|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |即可． 本题考查了利用平面向量的线性运算与数量积运算求三角形边长的应用问题．12.答案：arccos 3+√66解析：解：∵向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则cos∠ABC =BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12⋅√32+√22⋅12√34⋅√34+14=√3+√22√3，∴∠ABC =arccos√3+√22√3=3+√66，故答案为：arccos 3+√66，利用cos∠ABC =BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，求得∠ABC 的值．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．13.答案：4解析：解：当x ∈(−1,1]时，x −2∈(−3,−1]， ∴g(x)=2g(x −2)=2√1−x 2，x ∈(−1,1]． 做出f(x)与g(x)的函数图象如下：由图象可知两图象共有4个交点，∴y=f(x)−g(x)共有4个零点．故答案为4．求出g(x)的解析式，作出两函数的图象，根据函数图象的交点个数判断．本题考查了函数解析式的求解，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.答案：135解析：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac．∴sinAsinC=sin2B.．．故答案为：135利用等比数列可得b2=ac.再利用正弦定理可得sinAsinC=sin2B.利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式即可得出．本题考查了等比数列、正弦定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.答案：证明：(1)连接A1C与AC1交于点O，连接OF，OE，∵F为AC的中点，C1C，∴OF//C1C且OF=12∵E为BB1的中点，C1C，∴BE//C1C且BE=12∴BE//OF且BE=OF，∴四边形BEOF是平行四边形，∴BF//OE，∵BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，∴BF//平面A1EC．(2)∵AB=CB，F为AC的中点，∴BF⊥AC，由(1)知BF//OE，∴OE⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，∵BF//OE，∴OE⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴OE⊥平面AA1C1C，∵OE⊂面A1EC，∴平面A1EC⊥平面AA1C1C.解析：本小题主要考查线面平行，平面与平面垂直的判定等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．(1)连接A 1C 与AC 1交于点O ，连接OF 、OE ，证明四边形BEOF 是平行四边形，可得BF//OE ，利用线面平行的判定定理，即可证明BF//平面A 1EC ；(2)证明平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1，只需证明OE ⊥平面A 1EC ．16.答案：解：(Ⅰ)∵cosA =√63， ∴sinA =√1−69=√33， ∵B =A +π2．∴sinB =sin(A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知a sinA =bsinB ， ∴b =asinA ⋅sinB =√33×√63=3√2．(Ⅱ)∵sinB =√63，B =A +π2>π2∴cosB =−√1−69=−√33， sinC =sin(π−A −B)=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13，∴S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22．解析：(Ⅰ)利用cos A 求得sin A ，进而利用A 和B 的关系求得sin B ，最后利用正弦定理求得b 的值． (Ⅱ)利用sin B ，求得cos B 的值，进而根两角和公式求得sin C 的值，最后利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．17.答案：解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由椭圆经过点(0 , −√3)得b =√3，①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等， 得a +c =a 2c−c ，②又a 2=b 2+c 2，③由①②③可得a=2，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)当直线l与x轴重合时，M(−2,0)，N(2,0)，此时MF=3FN，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，将直线l与椭圆x24+y23=1联立并消去x得，(3m2+4)y2+6my−9=0．因为，所以y1+y2=−6m3m2+4，④y1y2=−93m2+4，⑤由MF=2FN得y1=−2y2，⑥由④⑥解得y1=−12m3m2+4,y2=6m3m2+4，代入⑤得−72m 2(3m2+4)2=−93m2+4，所以m=±2√55，所以直线方程为√5x±2y−√5=0.解析：本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的综合应用，难度较大．(1)由题意列出关于a，b，c的式子解出即可得到结果；(2)由MF=2FN得y1=−2y2联立方程即可得到关于m的式子，解出即可得到结果．18.答案：解：(1)由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有(640x−1)个桥墩，于是桥的总造价f(x)=640(2+x√x640)+803√x(640x−1)+100，即f(x)=x32+640×803x−12−803x12+1380=x32+512003x−12−803x12+1380(64<x<100)…(7分)(表达式写成f(x)=x√x3√x −803√x+1380同样给分)(2)由(1)可求f′(x)=32x12−640×403x−32−403x−12，整理得f′(x)=16x−32(9x2−80x−640×80)，由f′(x)=0，解得x 1=80，x 2=−6409(舍)，又当x ∈(64,80)时，f′(x)<0； 当x ∈(80,100)时，f′(x)>0，所以当x =80，桥的总造价最低，此时桥墩数为64080−1=7…(14分)解析：(1)设相邻两个桥墩的距离为x 米，推出桥的总造价的函数关系式． (2)求出函数的导数，利用导函数求解函数的极值点，求出最值即可． 本题考查函数的综合应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查计算能力． 19.答案：解：∵a 1=1318，∴b 1=1318−23+49=12，b n+1=a n+1−2(n+1)3+49=(−12a n +n)−2(n+1)3+49=−12a n +n3−29=−12(a n −2n 3+49)=−12b n ，所以{bn}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以b n =12(−12)n−1=−(−12)n ．解析：本题考查数列递推关系，考查数列通项公式求法， 依题意，根据a n+1=−12a n +n ，b n =a n −2n 3+49，得b n+1=−12b n ，从而求得通项公式．20.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−52x +2，f′(x)=1x +x −52，f′(1)=−12，f(1)=0，故f(x)在(1,f(1))处的切线方程是：y −0=−12(x −1)， 即x +2y −1=0；(Ⅱ)f′(x)=1x +ax −(a2+2)=(ax−2)(2x−1)2x，a =0时，f′(x)=−2(2x−1)2x<0，故函数在[1,+∞)递减，而f(1)=0， 故此时不合题意，a <0时，任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)<0，故函数在[1,+∞)递减，而f(1)=0， 故此时不合题意，当0<a <2时，由f′(x)=0解得：x =12或x =2a >1， x ∈(1,2a )时，f′(x)<0， x ∈(2a ,+∞)时，f′(x )>0．故函数在[1,2a )递减，而f(1)=0， 故此时不合题意；a ≥2时，在x ≥1时，f′(x)=(ax−2)(2x−1)2x≥0，此时函数在[1,+∞)递增，故f(x)≥f(1)=0，即函数的最小值是0，符合题意， 综上，a 的范围是[2,+∞)．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而确定a 的具体范围．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)M =[−12523]有两个特征值λ1=4,λ2=−2；属于λ1=4的一个特征向量为α1=[25]；属于λ2=−2的一个特征向量为α2=[−21]．(2)α=[116]=3α1+α2，∴M 3α=3λ13α1+λ23α2=[208952]．解析：本题考查特征值、特征向量的定义，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)考查矩阵特征值和特征向量；(2)考查的矩阵的运算，利用α=[116]=3α1+α2计算即可．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵|x+a|+|x−b|≥|a+b|，∴f(x)≥|a+b|+c，当且仅当(x+a)(x−b)≤0时，等号成立，又a>0，b>0，∴|a+b|=a+b，∴f(x)的最小值为a+b+c，∴a+b+c=4．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+b+c=4，又a>0，b>0，c>0，∴由柯西不等式得，(a2+b2+c2)×(12+12+12)≥(a×1+b×1+c×1)2=(a+b+c)2=42=16，即a2+b2+c2≥163，当且仅当a=b=c=43时取等号，∴a 2+b 2+c 2的最小值为163．解析：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式，属于中档题． (Ⅰ)由|x +a|+|x −b|≥|a +b|，可得f(x)的最小值； (Ⅱ)利用柯西不等式，即可求出结果．24.答案：解：(1)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(√2,0，0)，F(√2,√2,1)，E(0,0，1)，B(0,√2,0)，C(0,0，0)，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,1)， ∴cos <DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3×√3=−13，∴异面直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． (2)平面ADF 的法向量m ⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,0)， 设平面BDF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 由BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，得： {n ⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−√2)， 设二面角A −DF −B 的大小为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√4×√2=12，θ=π3，∴二面角A −DF −B 的大小为π3．解析：(1)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF 与BE 所成角的余弦值．(2)求出平面ADF 的法向量和设平面BDF 的法向量，利用向量法能求出二面角A −DF −B 的大小． 本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：(1)从集合P ={x|1≤x ≤9,x ∈N ∗}中等可能地取出2个不同元素，记所取元素之和为ξ．基本事件总数n =C 92=36，ξ为偶数包含的基本事件个数m=C42+C52=16，∴ξ为偶数的概率p=mn =1636=49．(2)从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出3个不同元素，记所取元素之和为ξ．η表示ξ被3整除的余数，则η的可能取值为0，1，2，设集合A={1,4，7}，B={2,5，8}，C={3,6，9}，则“η=0”表示从A，B，C中各取1个或从A中取3个或从C中取3个，∴P(η=0)=(C31)3+3×C33C93=3084，“η=1”表示从A中取1个，C中取2个或从A中取2个，B中取1个或从B中取2个，C中取1个，∴P(η=1)=C31⋅C32×3C93=2784，“η=2”表示从A中取2个，C中取1个或从B中取1个，C中取2个，或从A中取1个，B中取2个，∴P(η=2)=C31⋅C32×3C93=2784，∴η的分布列为：数学期望E(η)=0×3084+1×2784+2×2784=2728．解析：(1)基本事件总数n=C92=36，ξ为偶数包含的基本事件个数m=C42+C52=16，由此能求出ξ为偶数的概率．(2)η表示ξ被3带队的余数，则η的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和数学期望E(η)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

江苏省镇江市2020届高三数学考前模拟(三模)试题(含解析)

江苏省镇江市2020届高三数学考前模拟(三模)试题(含解析)
【详解】Q会合
A
{x | 0 x 2}，B
x x 1，
A B {x |1
x
2}．
故答案为：{x |1
x
2}．
【点睛】此题考察交集的求法，考察交集定义、不等式性质等基础知识，考察运算求解能力，
考察函数与方程思想，是基础题．
2.设复数z(12i )2（i为虚数单位），则z的共轭复数为_______.
【答案】34i
【详解】
半圆的弧长为：
1
2
4
4
4
2
R
2
即圆锥的底面半径为：
R
2
圆锥的高为：h
42
22
2
3
圆锥的体积为：V
1
22
2 3
8 3
3
3
此题正确结果：
8
3
3
【点睛】此题考察圆锥侧面积、体积的有关问题的求解，属于基础题.
xOy中，双曲线C :x
2
y
2
7.在平面直角坐标系
2
1(a 0)的右极点到双曲线的一条渐近线
ur
(b,cos B)，
m
r
ur
r
n (cosC , c 2a)，且m
n.
（1）求角B；
ur
113，且ac
24，求边a, c.
（2）若| m |
2
【答案】（1）B
；（2）
a
6
a
4
3
c
或
c
.
4
6
【分析】
【剖析】
（1）利用向量垂直可知数目积等于零，
从而获得b cosC
c 2a cosB
0，利用正弦定理

2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷(有答案解析)

2020年江苏省镇江市高考数学三模试卷(有答案解析)
②当 m=n=1 时，设函数 g（x）=xf（x）+tf'（x）+e-x（t∈R），是否存在实数 a，b，c∈[0，1]， 使得 g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，说明理由．
பைடு நூலகம்
第 3 页，共 19 页
20. 对于无穷数列{an}，{bn}，若 bk=max{a1，a2，…，ak}-min{a1，a2，…，ak}，k=1，2，3，…， 则称{bn}是{an}的“收缩数列”．其中 max{a1，a2，…，ak}，min{a1，a2，…，ak}分别表示 a1， a2，…，ak 中的最大数和最小数．已知{an}为无穷数列，其前 n 项和为 Sn，数列{bn}是{an}的“收 缩数列”． （1）若 an=2n+1，求{bn}的前 n 项和； （2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；
（3）若
（n=1，2，3，…）且 a1=1，a2=2，求所有满足该
条件的{an}．
21. 已知矩阵 A=
，B=
求直线 l1 的方程．
，若直线 l：x-y+2=0 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到直线 l1，
22. 在极坐标中，过点 P（ ， ）作曲线 ρ=2cosθ 的切线 l，求直线 l 的极坐标方程．
总分
4. 已知一组数据 4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 5. 一个盒子中放有大小相同的 4 个白球和 1 个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的
概率为______． 6. 用半径为 4 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.
4.答案：0.1
解析：解：数据 4.8，4.9，5.2，5.5，5.6 的平均数为：

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷(解析版) (5)

2020年江苏省镇江市高考数学仿真试卷(解析版) (5)

2020 年江苏省镇江市高考数学仿真试卷 5一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 已知全集 U=R，集合 A={x|x2≤1}，则∁UA=（ ）A. （-∞，-1）∪（1，+∞）B. （-∞，-1]∪[1，+∞）C. （-1，1）D. [-1，1]2. 已知复数 z=-1+a（1+i）（i 为虚数单位，a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数 z 的虚部可以是（ ）A.B.C.D.3. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的 a 的值是（ ）A. -1B.C. 1D. 24. 若直线 y=2x 上存在点（x，y）满足条件，则实数 m 的最大值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 35. 设 ， 是非零向量，则“存在实数 λ，使得 =λ ”是“| + |=| |+| |”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )第 1 页，共 14 页A. 1B. 2C. 3D. 47. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为 100 公里，远月点与月球表面距离为 400 公里．已知月球的直径为 3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足，若函数 F（x）=f（x）-m 有 6 个零点，则实数 m 的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. 已知幂函数 f(x)的图象经过点，则 f(4)的值为___________10. 在极坐标系中，极点到直线 ρcosθ+ρsinθ=2 的距离为______．11. 在△ABC 中，三边长分别为，其最大角的余弦值为______，△ABC 的面积为______．12. 2019 年 3 月 2 日，昌平“回天”地区开展了 7 种不同类型的“三月雷锋月，回天有我”社会服务活动．其中有 2 种活动既在上午开展、又在下午开展，3 种活动只在上午开展，2 种活动只在下午开展．小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是______．第 2 页，共 14 页13. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且∀n∈N*，an+1＞an，Sn≥S6．请写出一个满足条件的数 列{an}的通项公式 an=______．14. 已知平面内两个定点 M（3，0）和点 N（-3，0），P 是动点，且直线 PM，PN 的 斜率乘积为常数 a（a≠0），设点 P 的轨迹为 C． ①存在常数 a（a≠0），使 C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值； ②存在常数 a（a≠0），使 C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值； ③不存在常数 a（a≠0），使 C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对 值为定值； ④不存在常数 a（a≠0），使 C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对 值为定值． 其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15. 已知函数．（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）当时，不等式 c＜f（x）＜c+2 恒成立，求实数 c 的取值范围．16. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD⊥平面 ABCD，AB=2，BC=1，，E 为 PB 中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面 ACE；（Ⅱ）求二面角 E-AC-D 的余弦值；（Ⅲ）在棱 PD 上是否存在点 M，使得 AM⊥BD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．第 3 页，共 14 页17. 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试．现从男、女生 中各随机抽取 20 人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如 表．规定：数据≥60，体质健康为合格．等级数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分优秀[90，100] 591.3291良好[80，89] 483.9484.1及格[60，79] 8701170.2不及格60 以下 349.6349.1总计-- 2075.02071.9（Ⅰ）从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率； （Ⅱ）从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优 秀的概率；（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都 接近（二者之差的绝对值不大于 1），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均 分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接 近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）18. 已知 f（x）=（x-1）ex- ax2． （Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （Ⅱ）若 f（x）在 x=0 处取得极大值，求 a 的取值范围．19. 已知抛物线 G：y2=2px（p＞0）过点 M（1，-2），A，B 是抛物线 G 上异于点 M 的 不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点 M． （Ⅰ）当点 A 与坐标原点 O 重合时，求直线 MB 的方程； （Ⅱ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标．第 4 页，共 14 页20. 对于集合 A={a1，a2，…，an}，B={b1，b2，…，bm}，n∈N*，m∈N*．A+B={x+y|x∈A， y∈B}．集合 A 中的元素个数记为|A|．规定：若集合 A 满足，则称集合 A 具有性质 T．（Ⅰ）已知集合 A={1，3，5，7}，，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合 A={a1，a2，…，an}，{an}为等比数列，an＞0，且公比为 ，证明：A 具有性质 T； （Ⅲ）已知 A，B 均有性质 T，且 n=m，求|A+B|的最小值．第 5 页，共 14 页1.答案：A-------- 答案及其解析 --------解析：解：∵U=R，集合 A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}， ∴∁UA={x|x＞1 或 x＜-1}， 故选：A． 求出集合的等价条件，结合补集的定义进行计算即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关 键．比较基础．2.答案：D解析：【分析】 本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 化 z 为 a+bi（a，b∈R）的形式，由实部小于 0 且虚部大于 0 求得 a 的范围，则答案可求． 【解答】 解：∵复数 z=-1+a（1+i）=-1+a+ai 在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即 0＜a＜1．故选 D．3.答案：D解析：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 a i循环前21第一圈 是 2第二圈 是-1 3第三圈 是 2 4…第9圈是 2 10第 10 圈 否故最后输出的 a 值为 2．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 a 的值并输出，即可得解．本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．4.答案：B第 6 页，共 14 页解析：解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式 x+y-3≤0，x-2y-3≥0 所表示的平面区域， 求出直线 y=2x 与直线 x-2y-3=0 的交点 A（-1，-2），由图可知，要使直线 y=2x 上存在点（x，y）满足条件，则 m≤-1．即实数 m 的最大值为-1． 故选：B． 作出约束条件中的前两个不等式表示的平面区域，求解直线 y=2x 与直线 x-2y-3=0 的交点，得到交点的横坐标，结合直线 y=2x 上存在点（x，y）满足条件，即可得到实数 m 的最大值． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：B解析：【分析】 根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用进行化简是解决本题 的关键． 【解答】解：若“| + |=| |+| |”，则平方得| |2+2 • +| |2=| |2+| |2+2| |•| |，即 • =| |•| |， 即 • =| || |cos＜ ， ＞=| |•| |，则 cos＜ ， ＞=1，即＜ ， ＞=0，即 ， 同向共线，则存在实数 λ，使得 =λ ， 反之当＜ ， ＞=π 时，满足 =λ ，但＜ ， ＞=0 不成立，即“存在实数 λ，使得 =λ ”是“| + |=| |+| |”的必要不充分条件，第 7 页，共 14 页故选：B．6.答案：C解析：【分析】 本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题． 根据三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形知侧面中有 3 个直角三角形． 【解答】 解：由三视图得四棱锥的直观图如图所示．其中 SD⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD， SD＝AD＝CD＝2，AB＝1. 由 SD⊥底面 ABCD，AD，DC，AB⊂底面 ABCD，得 SD⊥AD，SD⊥DC， SD⊥AB，故△SDC，△SDA 为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD， SD⊂平面 SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面 SAD，又 SA⊂平面 SAD，∴AB⊥SA，即△SAB 也是直角三角形，从而 SB＝＝3，又 BC＝C.7.答案：B＝ .SC＝2 ，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC 不是直角三角形，故选解析：【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 利用椭圆的性质列出方程组，求出 a，c 然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】 解：设椭圆的长半轴长为 a，半焦距为 c，月球半径为 R，则 a+c=400+1738 且 a-c=1738+100，解得 a=1988，c=150，所以 e= ≈ ，故选 B．8.答案：C解析：【分析】 本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当 x＞0 时，函数 F（x）=f （x）-m 有 3 个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键． 根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当 x＞0 时，函数 F（x）=f（x） -m 有 3 个零点，利用数形结合进行求解即可． 【解答】 解：∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，若函数 F（x）=f（x）-m 有 6 个零点， ∴等价为当 x＞0 时，函数 F（x）=f（x）-m 有 3 个零点，且 0 不是函数 F（x）=f（x）-m 的零点， 即当 x＞0 时，f（x）=m 有 3 个根，当 0≤x＜1 时，f（x）=x2- =（x- ）2- ，当 x≥1 时，（f x）= ，则 f′（x）==当 x＞2 时，f′（x）＜0，函数为减函数， 当 1≤x＜2 时，f′（x）＞0，函数为增函数，第 8 页，共 14 页即当 x=2 时，函数 f（x）为极大值，极大值为 f（2）= ，当 x≥1 时，f（x）≥0， 作出 f（x）在 x≥0 时的图象如图， 要使 y=m 与 y=f（x）在 x≥0 时有三个交点，则 0＜m＜ ，即实数 m 的取值范围是（0， ），故选 C．9.答案：2解析：【分析】 本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质 和应用． 设幂函数 f（x）=xa，由 f（x）过点（2， ），知 2a= ，由此能求出 f（4）． 【解答】 解：设幂函数 f（x）=xa， ∵f（x）过点（2， ），∴2a= ，a=∴f（4）= =2.故答案为 2．10.答案：解析：解：直线 ρcosθ+ρsinθ=2 的极坐标方程为： x+y-2=0， ∴极点到直线 ρcosθ+ρsinθ=2 的距离等于：．故答案为： 先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将 直线 ρcosθ+ρsinθ=2 的化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出极点到直线的距离即 可． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会 在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互 化．11.答案： 3解析：解：由题意可知边长 a 所对应的角 A 最大，则由余弦定理可得：cosA===．所以 sinA==，第 9 页，共 14 页所以 S△ABC= bcsinA==3．故答案为： ，3．直接利用余弦定理即可求解 cosA 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，根据 三角形的面积公式即可计算得解． 本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应 用，考查计算能力．属于基础题．12.答案：18解析：解：根据题意，设 2 种既在上午开展、又在下午开展的活动为 a、b，3 种只在上 午开展的活动为 c、d、e，2 种只在下午开展的活动为 f、g， 分 2 种情况讨论： ①，在 a、b 中选 1 种安排在上午，则下午安排的活动有 3 种，此时有 2×3=6 中不同的 安排方案； ②，在 c、d、e 中选 1 种安排在上午，则下午安排的活动有 4 种，此时有 3×4=12 中不 同的安排方案； 则有 6+12=18 种不同安排方案； 故答案为：18． 根据题意，设 2 种既在上午开展、又在下午开展的活动为 a、b，3 种只在上午开展的活 动为 c、d、e，2 种只在下午开展的活动为 f、g，分 2 种情况讨论：①，在 a、b 中选 1 种安排在上午，②，在 c、d、e 中选 1 种安排在上午，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.答案：n-6（n∈N*）（答案不唯一）解析：解：设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且∀n∈N*，an+1＞an，说明数列是递增数列；Sn≥S6． 说明数列的第 6 项可以为 0，第 7 项为正数； 如果数列是等差数列，不妨公差为 1，a6=0，所以 an=n-6（n∈N*）， 也可以公差是正数的其它数值． 故答案为：n-6（n∈N*）（答案不唯一）． 判断数列的特征，从等差数列或等比数列入手考虑解答． 本题考查等差数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查．14.答案：②④解析：解：设 P（x，y）由=a，得 y2=a（x2-9），若 a=-1，则方程为 x2+y2=9，轨迹为圆（除 A B 点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除 A B 点）-9a＜9，c==4，∴a= ，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=- ，符合，∴存在非零常数 a，使 C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若 a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除 A B 点）．c==4，a= ，∴存在非零常数 a，使 C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．第 10 页，共 14 页④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）∵==，∴=．（Ⅱ）∵，∴．∴．由不等式c＜f（x）＜c+2恒成立，得，解得．∴实数c的取值范围为．解析：（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，取x=即可求解；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步得到f（x）的值，再把c＜f（x）＜c+2恒成立转化为关于c的不等式组求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16.答案：（共14分）证明：（I）设BD交AC于点F，连结EF．因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点．又因为E为PB中点，所以EF∥PD．因为PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE．…．（4分）（II）取CD的中点O，连结PO，FO．因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，OF∥BC．所以OF⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PO⊥平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系O-xyz，则设平面ACE的法向量为m=（x，y，z）所以令y=1，则x=2，z=-1，所以m=（2，1，-1）．平面ACD的法向量为，．如图可知二面角E-AC-D为钝角，所以二面角E-AC-D的余弦值为．…．（10分）（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使AM⊥BD．设，则．因为（x，y，z-1）=λ（0，-1，-1），所以M（0，-λ，1-λ）.．因为AM⊥BD，所以．所以1-2（1-λ）=0，解得．所以在棱PD上存在点M，使AM⊥BD，且．…．（14分）解析：（I）设BD交AC于点F，连结EF．推导出EF∥PD．由此能证明PD∥平面ACE．（II）取CD的中点O，连结PO，FO．推导出PO⊥平面ABCD．建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使AM⊥BD．设，则．利用向量法能求出在棱PD上存在点M，使AM⊥BD，且．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：（共13分）解：（I）样本中合格的学生数为：5+2+4+4+8+11=34，样本总数为：20+20=40，这名学生体质健康合格的概率为．…．（5分）（II）设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．因为A，B为独立事件，故所求概率为=．…．（10分）（III）去掉的等级为优秀．…．（13分）解析：（I）由频数统计表能求出样本中合格的学生数、样本总数、这名学生体质健康合格的概率．（II）设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，．A，B为独立事件，由此能求出恰有一人的体质健康等级是优秀的概率．（III）去掉的等级为优秀．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：（共13分）解：（I）因为，f（x）的定义域为（-∞，+∞），所以f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．由题设知f'（x）=0，即e-a=0，解得a=e．此时．所以a的值为e．…．（5分）（II）由（I）得f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．①若a＞1，则当x∈（-∞，0）时，x＜0，e x＜1，e x-a＜0，所以f'（x）＞0；当x∈（0，ln a）时，x＞0，e x-a＜e ln a-a=0，所以f'（x）＜0．所以f（x）在x=0处取得极大值．②若a≤1，则当x∈（0，1）时，x＞0，e x-a≥e x-1＞0，所以f'（x）＞0．所以0不是f（x）的极大值点．综上可知，a的取值范围是（1，+∞）．…．（13分）解析：（I）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=xe x-ax．f'（1）=e-a．利用导数的几何意义能求出a的值．（II）f'（x）=xe x-ax=x（e x-a）．当a＞1，求出f'（x）＜0．f（x）在x=0处取得极大值．当a≤1时，求出f'（x）＞0.0不是f（x）的极大值点．由此能求出a的取值范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：（共13分）解：（I）因为M（1，-2）在抛物线G：y2=2px（p＞0）上，所以（-2）2=2p×1，所以p=2，抛物线G：y2=4x．当点A与点O重合时，易知k AM=-2，因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以AM⊥MB．所以．所以，即直线MB的方程为x-2y-5=0．…．（5分）（II）显然直线AB与x轴不平行，设直线AB方程为x=my+n.，消去x得y2-4my-4n=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线AB与抛物线交于两点，所以△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n①因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以AM⊥MB．因为A，B是抛物线上异于M的不同两点，所以x1，x2≠1，k MA•k MB=-1.，同理得．所以，即（y1-2）（y2-2）+16=0，y1y2-2（y1+y2）+20=0．将①代入得，-4n-8m+20=0，即n=-2m+5．代入直线方程得x=my-2m+5=m（y-2）+5．所以直线AB恒过定点（5，2）．…．（13分）解析：（I）通过M（1，-2）在抛物线G：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，得到抛物线G：y2=4x．求出k AM=-2，推出．然后求解即可．（II）显然直线AB与x轴不平行，设直线AB方程为x=my+n.，消去x得y2-4my-4n=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理转化通过k MA•k MB=-1．推出直线方程：x=my-2m+5=m（y-2）+5．然后得到直线AB恒过定点（5，2）．本题考查直线与抛物线方程的应用，抛物线方程的求法，直线系方程的应用，考查转化首项以及计算能力．20.答案：解：（I）A+A={1，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|=7；B+B={，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|=10．…．（4分）（II）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则．假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．…．（10分）（III）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d-c≠b-a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T．因为集合A，B均有性质T，且n=m，所以|A+B|=n2-|A*∩B*|，当且仅当A=B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．…．（14分）解析：（Ⅰ）根据定义分别计算出集合A+A，B+B即可得到结论．（Ⅱ）根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可（Ⅲ）集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝1＋2i (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．3. 如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是________． Read S ←0For i from 1 to 9 step 2 S ←S ＋i End for Print S End(第3题)4. 顶点在原点且以双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线方程是________．5. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x －my ＋m －2＝0，l 2：mx ＋(m －2)y －1＝0.若直线l 1∥l 2，则m ＝________．6. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是________．7. 若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．8. 将函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(π4)＝________．9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥BECF 的体积为________．10. 已知等比数列{a n }的前三项和S 3＝42.若a 1，a 2＋3，a 3成等差数列，则公比q ＝________．11. 记集合A ＝[a ，b]，当θ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，函数f(θ)＝23sin θcos θ＋2cos 2θ的值域为B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b －a 的最小值是________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（12）x ＋x 3，x ＜0，－2x －x 3，x ≥0.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f(1－x)≤f(x ＋m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．13. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A.若存在定点B(x 0，y 0)，使得PA ＝ PB 恒成立，则x 0－y 0＝________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，点P(x ，y)满足(OP →·OA →)×(OP →·OB →)＝－1，则OP →·OC→|OP →|2的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是AP 的中点，AB ⊥BD ，PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD.求证：(1) PC ∥平面BDE ； (2) PD ⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA →·BD →＝66. (1) 若C ＞B ，且cos(C －B)＝1314，求角C 的大小； (2) 若△ACD 的面积为S ，且S ＝12CA →·CD →，求AC 的长度．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝－4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点． ①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(－52，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．18. (本小题满分16分)某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，点T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N 在线段PT 上(不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N)，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA ︵到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处(设计要求M ，O ，G 三点共线)，最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R.记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．(1) 试将l 表示为α的函数l(α)，并写出α的取值范围； (2) 求l 最小时cos α的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－x)(a∈R)．(1) 当a＝0，求证：f(x)≤x－1；(2) 如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)＋f(x2)≤k恒成立，求实数k的取值范围；(3) 当a<0时，求函数f(x)的零点个数．20. (本小题满分16分)已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n＋1－a1；数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n＋b n＝n＋12n(1＋b n)，且a1＝b2.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 求数列{b n}的通项公式；(3) 设c n＝a nb n，问：数列{c n}中是否存在不同两项c i，c j(1≤i＜j，i，j∈N*)，使c i＋c j仍是数列{c n}中的项？若存在，请求出i，j的值；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234对应的变换下得到点Q(y －2，y)，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .B. (选修43：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标．C. (选修44：不等式选讲)已知函数f(x) ＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为k ，且a ＋b ＋c ＝k ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．(1) 若直线y ＝－x ＋1与抛物线相交于M ，N 两点，且MN ＝26，求抛物线的方程；(2) 直线l 过点Q(0，t)(t ≠0)交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点C ，如图，设QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，求证：m ＋n 为定值．23. 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来推导组合数恒等式．例如由等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n可得：等式左边x k 项系数为C k 2n (0≤k ≤n)，等式右边x k 项系数为C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ，所以我们得到组合数恒等式：C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ＝C k 2n .(1) 化简：(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋(C 21 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2；(2) 若袋中装有n(n ∈N *)个红球和n 个白球，从中一次性取出n 个球．规定取出k(0≤k ≤n)个红球得k 2分，设X 为一次性取球的得分，求X 的数学期望．2020届高三模拟考试试卷(三)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 254. y 2＝16x5. －26. 257. 138. －39. 16 10. 2或12 11. 312. [－1，－13] 13. 2±2 14. 52415. 解：(1) 连结AC 交BD 于一点O ，连结OE ，因为底面ABCD 是平行四边形， 所以点O 是AC 的中点．(1分) 因为点E 是AP 的中点，所以OE 是△PAC 的中位线，(2分) 所以OE ∥PC.(3分)因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE.(7分)(2) 因为平面PBD ⊥底面ABCD ，AB ⊥BD ，平面PBD ∩底面ABCD ＝BD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBD.(9分)因为PD ⊂平面PBD ，所以AB ⊥PD.(11分)因为PB ⊥PD ，PB ∩AB ＝B ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB.(14分)16. 解：(1) 在△ABD 中，AB ＝14，BD ＝6，则BA →·BD →＝BA·BD·cos B ＝14×6·cos B ＝66，得cos B ＝1114.(1分)在△ABC 中，sin B ＞0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（1114）2＝5314.(2分)又C ∈(0，π)，C ＞B ，则B ∈(0，π2)，则C －B ∈(0，π)．又cos(C －B)＞0，则C －B ∈(0，π2)，由cos(C －B)＝1314，则sin(C －B)＝1－cos 2（C －B ）＝1－（1314）2＝3314，(4分)则cos C ＝cos[B ＋(C －B)]＝cos B ·cos(C －B)－sin B ·sin(C －B) ＝1114×1314－5314×3314＝12.(6分) 又C ∈(0，π)，则C ＝π3.(7分)(2) 在△ACD 中，AD 2＝BA 2＋BD 2－2BA·BDcos B ＝142＋62－2×14×6×1114＝102，解得AD ＝10.(9分)由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∠ADB ∈(0，π)，得∠ADB ＝2π3，则∠ADC ＝π3.(10分)因为S ＝12CA →·CD →，即12CA ·CD ·sin C ＝12CA ·CD ·cos C ，得tan C ＝1，又C 为锐角，C ＝π4.(12分)在△ACD 中，因为AD ＝10，C ＝π4，∠ADC ＝π3，则由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝AD sin C ，即AC 32＝1022，解得AC ＝5 6.(14分)17. (1) 解：设椭圆左焦点的坐标为(－c ，0)(c ＞0)，由2a ＝4，a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1.(2分)由b 2＝a 2－c 2＝3，则所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分) (2) ①解：若直线AB 的斜率不存在，则AB ＝3≠247，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k(x＋1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0， 则x 1＝－4k 2－6k 2＋14k 2＋3，x 2＝－4k 2＋6k 2＋14k 2＋3 (Ⅰ)，x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3 (Ⅱ)．(4分)(解法1)由椭圆的第二定义知AF 1AA 1＝12，则AF 1＝12AA 1＝12(x 1＋4)＝12x 1＋2. 同理BF 1＝2＋12x 2，(5分)则AB ＝AF 1＋BF 1＝4＋12(x 1＋x 2)＝4＋12·－8k 24k 2＋3＝247.(6分)解得k ＝±1，则直线l 1的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.(8分)(解法2)AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2（x 2－x 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|，(5分) 代入(Ⅰ)得AB ＝1＋k 2×12k 2＋14k 2＋3＝12（k 2＋1）4k 2＋3＝247.(下同解法1)(6分)②证明：当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A(－1，32)，B(－1，－32)，则A 1(－4，32)．又G(－52，0)，kA 1G ＝32－4＋52＝－1，k BG ＝32－52＋1＝－1.则kA 1G ＝k BG ，所以A 1，B ，G 三点共线(9分)当直线AB 的斜率存在时，A(x 1，y 1)，A 1(－4，y 1)，又G(－52，0)，要证A 1，B ，G 三点共线，因为kA 1G ＝y 1－32，k BG ＝y 2x 2＋52，只要证y 1－32＝y 2x 2＋52.(10分)即证k(x 1＋1)(2x 2＋5)＋3k(x 2＋1)＝0.(12分)即证2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8＝0，代入(Ⅱ)，因为24k 2－124k 2＋3＋5－8k 24k 2＋3＋8＝－32k 2－244k 2＋3＋8＝－8＋8＝0，所以A 1，B ，G 三点共线．综上所述，A 1，B ，G 三点共线．(14分)18. 解：(1) 过点M 作ME ⊥TO ，垂足为E ，过点N 作NF ⊥ME ，垂足为F ，过点G 作GI ⊥OD ，垂足为I.因为圆O 与矩形的三边PS ，SR ，QR 相切， 所以PS ＝130，SR ＝120，圆O 的半径r ＝60， 弧长MA ＝60(π2－α)．(1分)在Rt △MNF 中，MN ＝NF sin α＝OT －OE sin α＝70－60cos αsin α.(2分) 在Rt △OCG 中，OG ＝60sin α，(3分)CG ＝60tan α＝60cos αsin α，GR ＝60－60cos αsin α，(4分)所以l(α)＝70－60cos αsin α＋60(π2－α)＋60＋60sin α＋60－60cos αsin α＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π.(7分)答：将l 表示为α的函数l(α)＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π，α的取值范围是(π4，π2)．(8分)(2) l′(α)＝60cos 2α－130cos α＋60sin 2α＝10·（2cos α－3）（3cos α－2）sin 2α.(10分)令l′(α)＝0，解得cos α＝23或cos α＝32(舍去)．(12分)记cos α0＝23，a 0∈(π4，π2)．α (π4，α0) α0 (α0，π2) l′(α)l (α)递减 极小值递增 (14分)所以当cos α＝23时，l (α)最小．(15分)答：轨道总长度l 最小时，cos α的值为23.(16分)19. (1) 证明：当a ＝0时，f(x)＝ln x ，定义域为(0，＋∞)，记F(x)＝f(x)－(x －1)＝ln x －x ＋1，令F′(x)＝1x －1＝1－x x ＝0，解得x ＝1.(1分)当x ∈(0，1)时，F ′(x)＞0，则F(x)在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x)＜0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递减，(2分) 所以F(x)≤F(1)＝0，则f(x)≤x －1.(3分)(2) 解：由题知f′(x)＝1x ＋2ax －a ＝2ax 2－ax ＋1x ①.(4分)因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，令g(x)＝2ax 2－ax ＋1 ②，则方程g(x)＝0的两正根为x 1，x 2， 即x 1＝a －a 2－8a 4a ＞0，x 2＝a ＋a 2－8a4a＞0，等价于a ≠0，Δ＝a 2－8a ＞0 ③，x 1＋x 2＝12＞0 ④，x 1x 2＝12a ＞0 ⑤，解得a ＞8.(5分)令G(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＝ln x 1＋a(x 21－x 1)＋ln x 2＋a(x 22－x 2) ＝ln(x 1x 2)＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a(x 1＋x 2)， 将④⑤代入得G(a)＝ln12a －14a －1＝－ln(2a)－14a －1.(6分) 因为G(a)在a ∈(8，＋∞)上为减函数，则G(a)＜G(8)＝－ln 16－3.(7分) 由f(x 1)＋f(x 2)≤k 恒成立，则k 的取值范围是[－ln 16－3，＋∞)．(8分) (3) 解：当a ＜0时，显然f(1)＝0，所以f(x)至少有一个零点为1.(9分) 由(2)中②③⑤知，此时Δ>0，x 1＋x 2＝12＞0，x 1x 2＝12a ＜0，则x 1＜0＜x 2.因为f′(x)＝2ax 2－ax ＋1x ＝2a （x －x 1）（x －x 2）x，x －x 1＞0，当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 2)上为增函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＜0，f(x)在(x 2，＋∞)上为减函数，所以f(x)max ＝f(x 2)．(10分) 因g(1)＝2a －a ＋1＝a ＋1，1° 当a ＝－1时，g(1)＝0，则x 2＝1，f(x)max ＝f(x 2)＝f(1)＝0，此时f(x)有且只有一个零点．(11分)2° 当a ＜－1时，g(1)＜0，则0＜x 2＜1，又由f(x)在(x 2，＋∞)上单调递减，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点是1.(12分)又a ＜－1，则0＜－1a ＜1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＜0，则0＜－1a ＜x 2.由(1)知当x ＞0且x ≠1时，f(x)＜x －1＋a(x 2－x)＝(ax ＋1)(x －1)，则f(－1a )＜0 ⑥.因为f(x)为连续函数，且在(0，x 2)上递增，则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点， 所以当a ＜－1时，f(x)共有两个零点．(13分)3° 当－1＜a ＜0时，g(1)＞0，则x 2＞1，又由f(x)在(0，x 2)上为增函数，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点是1.(14分)又－1＜a ＜0，则－1a ＞1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＞0，则－1a ＞x 2.由⑥知，f(－1a )＜0，因为f(x)为连续函数，且在(x 2，＋∞)上为减函数，所以当－1＜a ＜0时，f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点， 此时f(x)共有两个零点．(15分)综上所述，当a ＝－1时，f(x)有且只有一个零点；当a ＜－1或－1＜a ＜0时，f(x)共有两个不同零点．(16分) 20. 解：在T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n )中，令n ＝1，得b 1＝1.令n ＝2，得b 2＝2，则a 1＝b 2＝2，(1分)当n ≥2时，由S n ＝a n ＋1－a 1，则S n －1＝a n －a 1， 两式相减得S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＝a n ＋1－a n ，则a n ＋1a n＝2.(2分) 又由S n ＝a n ＋1－a 1，令n ＝1，得a 2a 1＝2，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＝2n .(3分)(2) 当n ≥2时，由T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n ) ①，则T n －1＋b n －1＝n －1＋12(n －1)(1＋b n －1) ②，①－②得b n ＋b n －b n －1＝32＋12nb n －12(n －1)b n －1，(n －4)b n －(n －3)b n －1＋3＝0 ③.(4分)当n ≥3时，则(n －5)b n －1－(n －3)b n －2＋3＝0 ④， 两式相减得(n －4)b n －(2n －8)b n －1＋(n －4)b n －2＝0，所以当n ≥5时，b n ＋1＋b n －1＝2b n ，b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，(5分)由(1)知b 1＝1，b 2＝2，在①中令n ＝3，4，5，求得b 3＝3，b 4＝4，b 5＝5，b 6＝6，(6分) 所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }为首项为1，公差为1的等差数列，即b n ＝n.(7分) (3) 由(1)(2)得c n ＝a n b n ＝2nn，c n ＋1－c n ＝2n ＋1n ＋1－2n n ＝n2n ＋1－（n ＋1）2n n （n ＋1）＝（n －1）2nn （n ＋1）≥0，则c 2＝c 1，当n ≥2时，且c n －1＞c n .(9分)假设存在不同两项c i ，c j ，使c i ＋c j 仍是{c n }中的第k(1≤i ＜j ＜k ，i ，j ，k ∈N *)项， 即c i ＋c j ＝c k .由c i ＋c j ≤c j －1＋c j ＝2j －1j －1＋2j j ＝j2j －1＋（j －1）2j j （j －1）＝（3j －2）2j －1j （j －1）.(11分)又c k ≥c j ＋1＝2j ＋1j ＋1，(12分)则c k －(c i ＋c j )≥2j ＋1j ＋1－（3j －2）2j －1j （j －1）＝j （j －1）2j ＋1－（j ＋1）（3j －2）2j －1j （j －1）（j ＋1）＝（j 2－5j ＋2）2j －1j （j －1）（j ＋1）. 当j ≥5时，c k －(c i ＋c j )＞0，c i ＋c j ＝c k 无解．(14分) 又c 1＝2，c 2＝2，c 3＝83，c 4＝4，c 5＝325，c 6＝643，当j ＝2，3，4，5时，只存在不同两项c 1，c 2，使得c 1＋c 2＝c 4.综上所述，存在i ＝1，j ＝2，使得c 1＋c 2＝c 4.(16分)2020届高三模拟考试试卷(镇江) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：依题意，[1234][x1]＝[y －2y ]，即{x ＋2＝y －2，3x ＋4＝y ，解得{x ＝0，y ＝4.(4分)设逆矩阵M －1＝[a bcd]，由MM －1＝[1001]得a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，(7分)则逆矩阵M －1＝[－2 132－12]，(8分)所以M －1[xy ]＝[－2 132－12][04]＝[ 4－2]．(10分)B. 解：由θ＝π4，得曲线C 1的直角坐标系的方程为x －y ＝0.(4分)由{x ＝cos α，y ＝sin 2α，得曲线C 2的普通方程为x 2＋y ＝1(－1≤x ≤1)．(8分) 由{x －y ＝0，x 2＋y ＝1，得x 2＋x －1＝0，即x ＝1－52(舍去)或x ＝－1＋52，所以曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(－1＋52，－1＋52)．(10分)C. 解：f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，(2分) 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，则k ＝3.(3分)因为a ＋b ＋c ＝3，则由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c)2，(6分) 所以a 2＋b 2＋c 2≥（a ＋b ＋c ）23＝3，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，(8分) 此时a 2＋b 2＋c 2的最小值为3.(10分)22. (1) 解：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由{y 2＝2px ，y ＝－x ＋1，得x 2－2(1＋p)x ＋1＝0.(1分) 因为p ＞0，所以Δ1＝4(p 2＋2p)＞0，x 1＝p ＋1－p 2＋2p ，x 2＝p ＋1＋p 2＋2p.(2分)由MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|＝22p 2＋2p ＝26，解得p ＝1.(3分) 所以抛物线的方程为y 2＝2x ①.(4分)(2) 证明：设A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由于直线l 过Q(0，t)(t ≠0)，点C(x 0，0)， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ②.②代入①消去x ，得ky 2－2py ＋2pt ＝0，Δ2＝4p 2－8kpt ＞0，y 3＝p －p 2－2kpt k ，y 4＝p ＋p 2－2kpt k ，则y 3＋y 4＝2p k ③，y 3y 4＝2pt k④.(7分)又QA →＝(x 3，y 3－t)，AC →＝(x 0－x 3，－y 3)，OB →＝(x 4，y 4－t)，BC →＝(x 0－x 4，－y 4)，由QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，则{y 3－t ＝－my 3，y 4－t ＝－ny 4，所以⎩⎨⎧m ＝t y 3－1，n ＝t y 4－1，(8分)则m ＋n ＝t y 3＋ty 4－2＝t y 3＋y 4y 3y 4－2，(9分)将③④代入得m ＋n ＝t 2pk2pt k－2＝－1为定值．(10分)23. 解：(1) 因为已知等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n ， 令n ＝1 010，得(1＋x)1 010(1＋x)1 010＝(1＋x)2 020， 等式右边展开式含x 1 010项的系数为C 1 0102 020.而等式左边展开式含x 1 010的系数为(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2，所以(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2＝C 1 0102 020.(3分)(2) X 的可能取值为0，12，22，…，k 2，…，n 2，且X 的分布表如下(5分)因为C k n＝n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！k （k －1）！（n －k ）！＝n k （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n k C k －1n －1.(7分) E(X)＝∑nk ＝0k 2C k n C n －k n C n 2n＝∑n k ＝0k 2C k n C k n C n 2n ＝1C n 2n ∑n k ＝0(kC k n )2＝1C n 2n ∑n k ＝1(n·C k－1n －1)2＝n 2C n 2n ∑n k ＝1(C k －1n －1)2 ＝n 2C n 2n ∑n k ＝1C k －1n －1C n －k n －1＝n 2C n 2nC n －12n －2＝n 2（2n －2）！（n －1）！（n －1）！（2n ）！n ！n ！＝n 34n －2， 所以X 的数学期望E(X)＝n 34n －2.(10分)。

相关文档
最新文档