等差、等比数列的通项及前n项和性质及应用
等差、等比数列及前n项和
第01讲 等差数列及其前n 项和考纲考情本讲为高考命题热点，分值10-12分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻推理能力与运算求解能力。
考点梳理考点一 等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
数学语言表达式 : ()为常数d N n d a a n n ,1*+∈=-()为常数d N n d a a n n ,1*+∈=-。
(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且2ba A +=考点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为()d n a a n 11-+=。
(2)前n 项和公式: ()()n d a n d a a n d n n na S n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=-+=222211211。
考点三 等差数列的性质(1)通项公式的推广:()()*∈-+=N m n d m n a a m n ,。
(2)若{}n a 为等差数列，且()*∈+=+N q p m n q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+。
(3)若{}n a 是等差数列，公差为d,则()*++∈N m k a a a m k m k k ,......,,2是公差为md 的等差数列。
(4)若n S 为等差数列{}n a 小的前n 项和，则数列,......,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列。
(5)若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也为等差数列。
考点四 常用结论1.已知数列{}n a 的通项公式是()为常数其中q p q pn a n ,+=，则数列{}n a 一定是等差数列，且公差为p 。
等差数列和等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式
定义：等比数列的求和公式是指将等比数列中的所有项加起来所得到的和。
公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) 其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
应用：等比数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在解决贷款还款 问题、计算复利、解决几何级数增长问题等方面。
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列， 其相邻两项的差相等
应用：等差数列的求和公式在数学、 物理、工程等领域有广泛的应用
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求和公式：Sn=n/2*(a1+an)
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推导过程：通过倒序相加法、裂项 相消法等技巧推导得到等差数列的 求和公式
求和公式的应用
计算等差数列的和 解决与等差数列相关的数学问题 应用于物理、化学等其他领域 拓展到等比数列的求和公式
统计学：在统计学中， 等差数列和等比数列 常用于描述数据分布、 抽样调查和概率计算 等方面。
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等差数列和等比数列 的求和公式与应用
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汇报
02
等比数列的求 和公式
03
等差数列与等 比数列的应用 实例
01 等差数列的求和公式
等差数列的定义
等差数列：每 一项与它的前 一项的差等于 同一个常数的
02 等比数列的求和公式
等比数列的定义
等比数列：每一项 与它的前一项的比 值都等于同一个常 数的数列
首项：a1
公比：q
通项公式： an=a1*q^(n-1)
等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等 公式：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比 推导：由等比数列的定义和性质推导得出 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
等差等比数列的性质总结
一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.理解等比数列前n 项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征思考 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？答案 当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2n ∈N *是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2n ∈N *不是等比数列.梳理 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 知识点二 等比数列前n 项和的性质思考 若公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？答案 设{a n }的公比为q ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 都不为0， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ， S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n ＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n . 梳理 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列.(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *).(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋… －a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1).1.对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数.(√)2.当{a n }为等差数列，{b n }为公比不是1的等比数列时，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和，适用错位相减法.(√)类型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{a n }为等比数列.考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式， ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ， ∴数列{a n }是等比数列.反思与感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列. 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.类型二 等比数列前n 项和的性质 命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n ).考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ).又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ). ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).反思与感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质.跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q 2n)1－q ＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A.－3B.－13C.3D.13考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 答案 A解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3. 反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ++++…＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 答案 126 解析11111112,n n n n n na a a a a ab b q q b b q+++---⋅===⋅ ∴{n a b }是首项为b 2，公比为2的等比数列.12662(12)126.12a a ab b b b -∴+++==-…类型三 错位相减法求和例4 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.考点 错位相减法求和 题点 错位相减法求和解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.跟踪训练4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0). 考点 错位相减求和 题点 错位相减求和解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得，S n＝⎩⎨⎧n (n ＋1)2，x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.1.已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35D.37考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13B.－13C.12D.－12考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 答案 C解析 方法一 ∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2，∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n －2， 即2x ·3－1＝x －16，解得x ＝12.3.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为( ) A.1 B. 2 C. 3D.无法确定 考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题答案 A解析 由等差数列与等比数列的前n 项和公式知，c ＝0，d ＝－1，所以向量a ＝(c ，d )的模为1. 4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若q ＝2，S 100＝36，则a 1＋a 3＋…＋a 99等于( ) A.24 B.12 C.18 D.22 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 B解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S ，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S .∵S 100＝36，∴3S ＝36，∴S ＝12，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12.1.在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列.2.等比数列前n 项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列.(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1).设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解.一、选择题1.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A.2 B.12 C.4D.14考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列前n 项和性质综合 答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2.设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A.1 B.0 C.1或0D.－1考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列前n 项和性质综合 答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1.3.在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A.90 B.70 C.40 D.30 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0，∴q 10＝3， ∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A.－2B.2C.－3D.3 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5.已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1· a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( ) A.数列{b n }为等差数列，公差为q m B.数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C.数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D.数列{c n }为等比数列，公比为qm m 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 C解析 ∵{a n }是等比数列， ∴a mn ＋m a m (n －1)＋m＝q mn ＋m －m (n －1)－m ＝q m ，∴c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2·…·a mn ＋ma m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m＝(q m )m ＝2m q .6.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝8⎝⎛⎭⎫1－125＝314.7.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于()A.3×44B.3×44＋1C.45D.45＋1考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2，n ∈N *.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.8.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A.－3B.5C.－31D.33考点 等比数列前n 项和的性质题点 连续m 项的和成等比数列答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 二、填空题9.等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列奇偶项和的性质答案 2 解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 10.已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 4S 2＝5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 1116 解析 S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝5，q ＝±2.∵{a n }是摆动数列，∴q ＝－2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 首项为1，公比为－12， 前5项和为1·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋13232＝1116. 三、解答题11.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点 错位相减法求和题点 错位相减法求和解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由题意得，b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.12.中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施.问到2036年是否需要调整政策？考点 等比数列前n 项和应用题题点 等比数列前n 项和的应用题解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列.又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n －10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N*50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万. 因为S 2020<49，故到2036年不需要调整政策. 13.已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和.(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列. 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合(1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3).当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列.若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1， 整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列.四、探究与拓展14.数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 2 01723＋13×42 018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n， 即n ＋1a n ＋1－1＝14⎝⎛⎭⎫n a n －1， 又1a 1－1＝－14， 所以n a n ＝1－14n ， 所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018－13＋13×142 018 ＝2 01723＋13×42 018.15.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3(2n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝5n －2.数列{a n }和{b n }的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n }.若数列{c n }的第n 项恰为数列{a n }的第k n 项，则数列{k n }的前32项的和是________.考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 2 016解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3(2n －1)－3(2n －1－1)＝3×2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝3×2n －1.令a t ＝b s ，∴3×2t －1＝5s －2，则s ＝3×2t －1＋25.t ＝1，s ＝1，符合题意；t ＝2，s ＝85，不合题意；t ＝3，s ＝145，不合题意；t ＝4，s ＝265，不合题意；t ＝5，s ＝10，符合题意；…； ∴{k n }是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{k n }的前32项之和为32×1＋32×312×4＝2 016.。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，由于其特殊的规律性质，在各个领域都有广泛的应用。
本文将以等比数列的通项与求和公式为主线，探讨其定义、性质及应用等方面内容。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，公比r≠0。
二、等比数列的通项公式设等比数列的首项是a，公比是r，第n项是an。
根据等比数列的定义，可得等式：an = ar^(n-1)即等比数列的通项公式为an = a × r^(n-1)。
三、等比数列的求和公式对于等比数列的求和，有两种情况要讨论。
1. 当公比r不等于1时，求和公式为：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
2. 当公比r等于1时，求和公式为：Sn = na这是因为当r=1时，等比数列变为等差数列，其求和公式为Sn =(n/2)(a + an) = na。
四、等比数列的性质1. 等比数列的比值恒定：对于等比数列中的任意两项an和an+1，它们的比值都等于公比r，即an+1 / an = r。
2. 等比数列前n项的和与后n项的和的关系：等比数列的前n项和Sn与后n项和Sn'的关系是Sn' = Sn × r^n。
3. 等比数列的性质与对数函数的关系：等比数列与指数函数和对数函数密切相关，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，而求和公式则与对数函数有着密切的联系。
五、等比数列的应用等比数列在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 财务分析：某企业每年的盈利额按等比数列递增或递减，通过求和公式可以计算出多年的总盈利额。
2. 投资计算：等比数列可以用来计算复利的本金增长情况，根据投资年限和年复利率，可以计算出多年后的本金总额。
3. 几何形状分析：等比数列可以用来分析几何形状中的边长、面积、体积等相关问题，如等比缩放、等比放大等。
第七讲 等差、等比数列的通项、性质与前n项和
第七讲 等差、等比数列的通项、性质与前n 项和【命题角度聚焦 】(1)以客观题考查对基本概念、性质、通项及前n 项和公式的掌握情况，主要是低档题，有时也命制有一定深度的中档题，与其他知识交汇命题也是这一部分的一个显著特征． (2)以大题形式考查综合运用数列知识解决问题的能力． 【核心知识整合】 1．等差数列(1)定义式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)； (2)通项公式：an ＝a1＋(n －1)d ；(3)前n 项和公式：Sn ＝n a1＋an 2＝na1＋n n －1 d2； (4)性质：①an ＝am ＋(n －m)d(n 、m ∈N*)；②若m ＋n ＝p ＋q(m 、n 、p 、q ∈N*)，则am ＋an ＝ap ＋aq. 2．等比数列(1)定义式：an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)； (2)通项公式：an ＝a1qn －1；(3)前n 项和公式：Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1 q ＝1，a1 1－qn1－q q≠1. (4)性质：①an ＝amqn －m(n ，m ∈N*)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则aman ＝apaq(p 、q 、m 、n ∈N*)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形． 4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0 【命题热点突破】考点1：等差数列、等比数列的基本运算、判定或证明 例1、(2014·乌鲁木齐地区诊断)已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝18，等差数列{b n }中，b 1＝2，且a 1＋a 2＋a 3＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4>20.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .变式1、(理)(2013·全国大纲理，17)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．变式2、(理)(2013·湖北七市联考)数列{an}是公比为12的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n 项和为Sn ；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n 项和Tn ＝nλ·bn ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{an}的通项公式及λ的值； (2)比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn 与12Sn 的大小．考点2：等差、等比数列的性质例2、(2013·合肥市质检)以Sn 表示等差数列{an}的前n 项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是( )A.2a3>3a4 B ．5a5>a1＋6a6 C.a5＋a4－a3<0D ．a3＋a6＋a12<2a7变式3、(2014·全国大纲理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6 B ．5 C ．4 D ．3[方法规律总结]条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别． 考点3：递推关系与求和例3、已知数列{an}的前n 项和是Sn ，且2Sn ＝2－an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn ＝an ＋n ，求数列{bn}的前n 项和Tn.变式4、(理)(2013·东北三省四市联考)数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝32(an －1)，数列{bn}满足11344n n b b -=- (n ≥2)，且b1＝3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足()2log 1n n n c a b =+，其前n 项和为Tn ，求Tn.变式5、(理)(2014·江西理，17)已知首项都是1的两个数列{a n }、{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .[方法规律总结]1.形如an ＋1＝an ＋f(n)的递推关系用累加法可求出通项；2.形如an ＋1＝anf(n)的递推关系可考虑用累乘法求通项an ；3.形如an ＋1＝kan ＋b(k 、b 为常数)可通过变形，设bn ＝an ＋bk －1构造等比数列求通项an ；4.给出an 与Sn 的关系式时，用an ＝Sn －Sn －1(n ≥2)求解． 【命题角度1】由定理、公式、法则引起的分类讨论例4、已知f(x)＝x 3x ＋1，数列{an}满足a1＝13，an ＋1＝f(an)(n ∈N*)，(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等差数列；(2)记Sn(x)＝x a1＋x2a2＋ (x)an (x>0)，求Sn(x)．【命题角度2】抽象问题具体化、复杂问题简单化例5、已知等差数列{an}的公差d ≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________．变式6、在等比数列{a n}中，a1＝a，前n项和为S n，若数列{a n＋1}成等差数列，则S n等于( ) A．a n＋1－a B．n(a＋1)C．na D．(a＋1)n－1【命题角度3】存在性问题例6、(2014·湖北理，18)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[方法规律总结]存在型探索性问题解答时先假设存在，依据相关知识(概念、定理、公式、法则、性质等)，结合所给条件进行推理或运算，直到得出结果或一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否．变式7、(2014·新课标Ⅰ理，17)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【命题角度4】数列综合问题解题策略(2013·武汉模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.第七讲 等差、等比数列的通项、性质与前n 项和课堂检测一、选择题1． (2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( )A ．21B ．24C ．28D ．72、(理)(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．63．(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．644．(理)(2013·新课标Ⅱ理，3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19D ．－195．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．06．(2014·哈三中二模)等比数列{a n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3，a 21＋a 22＋a 32＋a 24＋a 25＝15，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5的值是( )A ．3 B. 5 C ．－ 5 D ．57．(2013·镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S 3＝－21，a 7是a 1与a 5的等比中项，那么在数列{na n }中，数值最小的项是( )A ．第4项B ．第3项C ．第2项D ．第1项二、填空题8．(2014·中原名校二次联考)若{b n }为等差数列，b 2＝4，b 4＝8.数列{a n }满足a 1＝1，b n ＝ a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 8＝________.9．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－1)n＋1，b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N ＋，且a 1＝2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 63＝________. 三、解答题10．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 2＋S 2＝31，a n ＋1＝3a n －2n (n ∈N *)(1)求证：{a n －2n }为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .一、选择题11．(理)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．60012．(理)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( )A ．1－14n B.23(1－14n ) C ．1－12nD.23(1－12n ) 13．(2014·唐山市一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1二、填空题14．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n 群，…，第n 群恰好n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．三、解答题15．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.16.(理)(2013·天津十二区县联考)已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －20042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .17．(文)(2014·吉林市质检)已知数列{a n }满足首项为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，(n ∈N *)．设b n ＝3log 2a n －2(n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }成等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .18、(理)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n (n ∈N *)．(1)求p 的值及a n ；(2)若b n ＝2(2n －1)a n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >910成立的最小正整数n 的值．。
等差、等比数列性质总结
等差数列性质总结1.等差数列的定义式：d a a n n =--1(d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ，公差：d ，末项：n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1)如果a ，A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2) 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数)。
(4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+，（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7。
等差、等比数列的前n项和知识梳理
等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。
【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。
【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。
【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-， 即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1－qn1－q，它可以变形为S n ＝－a 11－q·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．思考：在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的取值是什么？[提示] 由题{a n }是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为13，∴k ＝－13.2．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n－A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q . ②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．思考：在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，如何求S 6的值？ [提示] S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80，∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.[基础自测]1．思考辨析(1)等比数列{a n }共2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q ＝2.( )(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1－1，则a ＝1.( )(3)若数列{a n }为等比数列，则a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．( ) (4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S 3，S 6，S 9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×提示：(1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．2．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________. 2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【导学号：91432227】(－2)n －1[当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，所以a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， 所以{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35，即a 5＋b 5＝35.][合 作 探 究·攻 重 难]等比数列前n 项和公式的函数特征应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )【导学号：91432228】A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n＝a ，∴数列{a n }是等比数列．] ）已知）若数列q n－，其中跟踪训练1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.－13 [显然q ≠1， 此时应有S n ＝A (q n－1)， 又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.]等比数列前n 项和性质的应用[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？提示：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m .同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍组成等比数列．2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？ 提示：由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q .(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21 D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________【导学号：91432229】思路探究：(1)由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列求解．(2)利用S 偶S 奇＝q ，及S 2n ＝S 奇＋S 偶求解． (1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21. ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28. (2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2.又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.]母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－x ，－x2＝x －y －，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30.2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q ＝3，S 80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128”求此等比数列的项数．[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶S 奇＝q .则q ＝12， 又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n＝3128，又a 1＝12，q ＝12，∴12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3128⇒12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12. 则此等比数列的项数为12.分组求和法已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n 项和恰为a n ，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{a n }的通项公式求出后，计算其前n 项和S n 就容易多了． [解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.2．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【导学号：91432230】[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝n n ＋2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3A [设S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，∴S 10－S 5＝－k .由S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，∴S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.]2．等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为( )【导学号：91432231】A.a 1－q 2n1－qB.a 1－q 3n1－q 3C.a 3－q 3n 1－q3D.a 2－q 2n1－qC [等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a 3，a 6，…，a 3n 是等比数列，且首项为a 3，公比为a 6a 3＝q 3，再用等比数列的前n 项和公式求解，即S n ＝a 3－q 3n1－q3，故答案为C 项．]3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. －63 [通解 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32.所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.优解 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－－261－2＝－63.]4．数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为________.【导学号：91432232】n －1＋12n [通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12n＝1－12n∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝n －1＋12n .]5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列． 由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2， 故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。
(完整版)等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。
本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。
1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。
二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。
2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。
等差等比数列及求数列的通项和前n项和
15设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.
(1)求首项a1和公比q的值；(2)若Sn＝210－1，求n的值．
16已知数列{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)．(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和
7已知等差数列 满足： ， . 的前n项和为 .
（Ⅰ）求 及 ；（Ⅱ）令 （ ）,求数列 的前n项和 .
8函数 对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.
（1）求 的值；
（2）数列 的通项公式。
9数列{ }是公比为 的等比数列， ，
（1）求公比 ；
（2）令 ，求{ }的前 项和 .
等差等比数列及求数列的通项和前n项和
等差数列
（一）定义及其判断
定义： 判定：
（二）基本公式
通项公式 通项公式的变形
前n项和公式
（注意数列求和中的倒序相加及适用类型）
注意：公式得应用主要在于求基本量， 知三求二
（三）性质及其应用
1角标性质：
2等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
3等差中项：
(1)求数列{an}的通项an及数列{bn}的前8项和T8；
(2)求使得>成立的正整数n.
等比数列
（一）定义及其判断
定义： 判定：
（二）基本公式
通项公式 通项公式的变形
前n项和公式 （注意数列求和中的错位相减及适用类型）
等差等比数列通项及前N项和公式
等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。
而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。
在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。
1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。
等比数列前n项和公式和性质
(1).求S30; 35
(2).问S10, S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
性质2： Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
•
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31. 答案：31
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2 等于________．
答案： 13(4n－1) 解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1， ∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
……
50001.12台
第n年产量为 5000 1.1n1台
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( • A．2100－1 • C．299－1
改为数列{2n-1}呢？
) B．1－2100 D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1. 答案：C
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 即2S64
2(1
2 22
2 2223 ຫໍສະໝຸດ 23263是2减错264法6位.3 !)相.
(2)
2S64 S64 (2 2那2如么果这213些00麦02粒粒4麦的粒总重质为量246就03 克是，264 )
等差等比数列及求数列的通项和前n项和
等差等比数列及求数列的通项和前n项和Prepared on 22 November 2020等差数列（一）定义及其判断定义：1(2)n n a a d n --=≥判定： （二）基本公式通项公式1(1)n a a n d =+-通项公式的变形()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=- 前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （注意数列求和中的倒序相加及适用类型）注意：公式得应用主要在于求基本量，1S n n a d n a 、、、、知三求二 （三）性质及其应用1角标性质：,m n p q n m p q a a a a +=++=+若则2等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
3等差中项：2a M b a b M ⇔+=、、成等差数列4等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。
5在等差数列{}n a 中，有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：（1）当1a >0，d<0时，满足的项数m 使得m s 取最大值。
（2）当1a <0，d>0时，满足的项数m 使得m s 取最小值。
巩固练习： 1设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为2设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a =3在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为4等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 5若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于 6设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为7等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7>S 8>S 6，则下列结论：①a 7＝0②a 8<0③S 13>0④S 14<0其中正确结论是8如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=9设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则＝__________.10设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于11已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是12记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S13已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14，(1)求{a n }的通项公式；(2)当{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值．14设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。
数列的等差与等比关系
数列的等差与等比关系数列是数学中一种常见的数学对象，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，有两种常见的关系，即等差关系和等比关系。
这两种关系在数学中有着广泛的应用，不仅在数学本身，还在物理、经济等领域中起着重要的作用。
一、等差关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
也就是说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之差等于一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以表示为An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差。
等差数列的性质非常有趣。
首先，等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (A1 + An) * n / 2来计算。
其次，等差数列的平均值等于它的中项，即平均值等于首项与末项的和除以2。
此外，等差数列还有一个重要的性质，即任意三项成等差数列的充要条件是它们的中项等于它们的平均值。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，等差数列可以用来描述物体匀速运动的位置随时间的变化。
在经济学中，等差数列可以用来描述人口增长、物价上涨等现象。
二、等比关系等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变。
也就是说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之比等于一个常数r，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以表示为An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r 表示公比。
等比数列也有一些有趣的性质。
首先，等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
其次，等比数列的平均值等于它的首项与末项的几何平均数。
此外，等比数列还有一个重要的性质，即任意三项成等比数列的充要条件是它们的中项等于它们的平均值的平方根。
等比数列在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，等比数列可以用来描述细胞的分裂过程。
在金融学中，等比数列可以用来描述复利的计算过程。
等差、等比数列前n项和公式的推广及其应用
等差、等比数列前n 项和公式的推广及其应用吴家华（四川省遂宁中学校 629000）众所周知，等差、等比数列的通项公式分别为d n a a n )1(1-+=, 11-=n n q a a它们的推广式分别为,)(d m n a a m n -+=m n m n q a a -=.受此启发，笔者试着将等差、等比数列前n 项和公式中的1a 换成m S ，也得到它们的各自推广，且推广公式比原公式具有更广泛的应用. 现介绍如下：1. 前n 项和公式及变形式（1）等差数列的前n 项和公式为：d n n na S n 2)1(1-+=， 变形式为：d n n S n S n 2)1(11-+⋅=； （2）等比数列的前n 项和公式为：)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ， 变形式为：)1(1)1(11≠--=q qq S S n n . 2. 公式的推广及其证明由上面前n 项和公式的变形式，通过类比我们不难得到它们的如下推广： 定理1 设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，m , n *N ∈，且n m ≠，则有 d m n n m S n S m n 2)(-+⋅= 定理2 设{}n a 是公比为q )1(±≠q 的等比数列，n S 是其前n 项和，m , n *N ∈，且n m ≠，则有 m n m n qq S S --=1)1( 证明 （1）d n n na S n 2)1(1-+= ∴d n a n S n 211-+=① ∴d m a m S m 211-+=②由 ①－②得：d m d n m S n S m n 2121---=- d m n m S n S m n 2-+= ∴d m n n m S n S m n 2)(-+⋅=. 定理1得证. （2） 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1∴qq a S m m --=1)1(1 两式相除，得：m n m n qq S S --=11， 即)1(1)1(≠--=q q q S S m n m n 又 当m 为偶数且1-=q 时，1=m q ，上式右端无意义，∴1-≠q故 )1(1)1(±≠--=q qq S S m n m n . 定理2得证. 3. 推广公式的应用例1．（06年浙江）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若,105=S 510-=S ，则公差d = . （用数字作答）解 设等差数列{}n a 的公差为d, 则由已知及定理1，得：d d S S 251022)510(105105510+⋅=-+⋅==- 解得：1-=d . 例2．（06年山东）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，144=S ，,30710=-S S 则=9S .解 设等差数列{}n a 的公差为d, 则由已知及定理1，得：]2)47(747[2)410(104103044710d S d S S S -+⋅--+⋅=-=d d S 2391443239434+⋅=+=∴1=d ∴.54245144912)49(94949=+⋅=⋅-+⋅=S S 例3．设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和. 已知77=S ，7515=S ，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T . 解 设等差数列{}n a 的公差为d, 则由已知及定理1，得：d d S S 6077152)715(1571575715+⋅=-+⋅== ∴1=d ∴.2512)7(772)7(727n n n n n d n n S n S n -=⋅-+⋅=-+⋅= 即 )5(21-=n n S n ∴]52)1([21)5321(21n n n n n T n -+=-++++=4n 9n 2-=. 例4．（课本123P 习题3.3第10题）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：6S ，612S S -，1218S S -成等差数列. 设*N k ∈，k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列吗？证明 设等差数列{}n a 的公差为d, 则由定理1，得： d S d S S 3622)612(126126612+=⋅-+⋅= d S d S S 10832)618(186186618+=⋅-+⋅=则 d S S S 366612+=-， d S S S 7261218+=-.∴),(2)36(2)(612612186S S d S S S S -=+=-+故6S ，612S S -，1218S S -成等差数列.同理可证：k S ，k k S S -2，k k S S 23-也成等差数列.例5．（05年湖北）设等比数列{}n a 的公比为q, 前n 项和为n S . 若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为.解 若1=q ，则n n n S S S 221≠+++, ∴1≠q .由定理2，得：,1)1(11n n n n qq S S --=++n n n n q q S S --=++1)1(22 1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列， ∴nn n n n n n n n q q S q q S S S S --+--=+=++++1)1(1)1(22121 ∴)1()1()1(221++-+-=-n n n q q q即 212+++=n n n q q q ， 而0≠q ，∴022=-+q q解之，得：12=-=q q ，或（舍去）故 2-=q .例6．（07年陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2=n S ，143=n S ，则n S 4等于（ ）A. 16B. 26C. 30D. 80解 设等比数列{}n a 的公比为q , 显然1≠q ，则由已知及定理2，得：)1(2)1(1)1(142233n n n n n n n n nq q S q q q q S S ++=++=--== ∴062=-+n n q q解之，得：3,2-==n n q q 或,0>n a ∴2=n q . ∴.3021)21(21)1(444=--=--=n n n n qq S S 例7．（07年全国II ）设等比数列{}n a 的公比q<1, 前n 项和为n S ，已知23=a ，245S S =，求{}n a 的通项公式.解 1<q ，∴当1-≠q 时，由已知及定理2，得：2224242)1(1)1(5S q qq S S S +=--== ∴42=q ，即2-=q .∴当1-=q 时，由21213===a q a a 得：21=a ，从而1)1(2--=n n a .当2-=q 时，由241213===a q a a 得：211=a ，从而1)2(21--=n n a . 例8．（课本133P 练习4）已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，求证：7S ，714S S -，1421S S -成等比数列. 设*N k ∈，k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列吗？证明 设等比数列{}n a 的公比为q, 则当1=q 时，7S ，714S S -，1421S S -显然成等比数列.当1≠q 时，由定理2，得：77714714)1(1)1(S q qq S S +=--=, ,)1(1)1(7147721721S q q qq S S ++=--= 又07≠S ，所以 077714≠=-S q S S ，07141421≠=-S q S S .∴271427714217)()()(S S S q S S S -==-.∴7S ，714S S -，1421S S -成等比数列.当k 为偶数且1-=q 时，01)1(1=--=qq a S k k ，所以k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列.当k 为奇数或k 为偶数但1-≠q 时，0≠k S ，由定理2，同前可证：k S ，k k S S -2，k k S S 23 成等比数列.从以上例子我们不难看出，定理1、2在处理有关n m S S 与的关系问题时，比用原公式要简捷得多，并为解决这类问题提供了新的工具和方法，而这类问题在近几年的高考试题中频繁出现，值得引起我们大家的关注.。
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。
本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。
一、等差数列等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。
常见的等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。
以"an"表示等差数列的第n项，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一2.等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn为前n项和。
二、等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。
常见的等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。
以"an"表示等比数列的第n项，其通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一2.等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn为前n项和。
数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。
常见的数列求和方法有以下几种：1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。
适用于项数较少、数值较小的数列。
2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。
适用于项数较多的数列。
3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。
适用于数列中存在规律性的分组。
4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。
差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。
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22
中学数学研究
2018年第8期
4[ (y + z)a - {yb + ^c ) ]2 {x + y + z ) {a + b + c ) *
a 2
b 2
故有
^2
xa + yb + zc za + xb + yc ya + zb xc
^ a + 6+C +4((y +=)a _y6_沈）2 成立.X + y + z (x +y +z ) (a + b + c )
针对335号证解题有如下推广
推广8 已知a ，6，c 为正实数，求证f + ^-+ i
b c a
5 (a 2 + 62 + c 2) - 2(ab + be + ca )
*31a + b + c '推广9
已知a ，6，c 为正实数，求证f + ^ +二
b c a
31 {a 2 + b 2 c 2) - 19(ab + be + ca )
6(a + b + c )推广10 已知a ，6，c 为正实数，求证^ 1 +c 、4(a 2 + 62 + c 2) - (ab + be + ca )
—^ ---------------L ---------------♦a a + b + c
更有一般性的命题结论：
推广i i 已知〇,6，£为正实数，求证^ + ^
b c
c > k (a 2 + b 2 + c 2) - {k - 3) {ab + be + c a )立a ’ a + b + c ' '中 6 < f t < 7.
请有兴趣的读者给出以上不等式的证明.
参考文献
[1 ]安振平.一道巴尔千数学奥林匹克竞赛试题的推广[J ]. 数学通讯,2006,9,44.
等差、等比数列的通项及前n 项和性质及应用
宁夏彭阳县第四中学（756599) 李艳玲
文[1]通过对等差数列前〃项和的研究得出了 一条结构优美、形式简洁的性质，同时用此性质简解 了一些与性质相关的数列习题.读文颇受启发，但遗 憾之处，感觉到形只影单，笔者对等差、等比数列的 通项及前〃项和进行系统研究得到了与文[1]性质 相类似的几个性质.
性质1
已知数列丨丨是等差数列，则有卜-
〇a m = (/71-{)0^-(/71-/〇(11，其中/71，{，广£况*且
t 7^ r .
证明：因为是等差数列，所以〜二A + U -l)d =而+ (a 〗 -c 〇,因而〜是71的一次函数，即-am ~ at
m - t
点
列
E
■/V 。
在同一直线上.故有_
ar ~ at
r - t
，化筒得(> -()二（m - 〇 ar - (7r ) a f，其中 m ，£，r e 且 t # r .
性质2[1]已知火是等差数列|a J
的前《项
和，则有^，其中 m ，t ，7
U l — L 〇
厂
...
~ ~ m r
l
另证:火是等差数列|a …丨的前项和，所以火
=+
"(几9 1)‘变形得二每几+ ((h -去)，
I
n
Z
I
因而&是的一次函数，即点
列e ，）
n
n
m
-，化简整理得
在同一直线上.故有」
m --化二^S ,，其中
e AT 且
m
性质3已知数列i a … 1是正项等比数列，则有
(r ~t ) l 〇gaa m = (m -t ) log …a r - (m - r ) log …a ,, #
中 a > 0，??i ，r，r e /V * 且a # l ,r # r .
证明：因为U J 是正项等比数列，所以、= a ，'两边取以a(a > 〇,且a # 1)为底的对数有 b g d + (1〇g〇ai _ k g j )，因而l 〇g 〇a ；•是灯 的一次函数，即点列〇,l 〇gna n) (/I e f )在同一直
线上，故有b g A _1°g A = 1〇认_1吸'化简整
m - t r - t 理得（r -〇 log …a m. = (m -t ) logaa r - (m -r ) logaa t, 其中 a > 0，??i “，r e
且 a # l ，t
r .
性质4已知'是等比数列U J 的前^项和，
2018年第8期中学数学研究• 23 *
分#1为丨〜丨的公比，则有<Y- ^)sm = (f-^)sr --gr)S”其中 E iV* 且 J —r.
证明：因为火是公比为g #1的等比数列U J
的前 7i 项和，所以 S n= ---^~=^l—rqn+
1 —q^ - 1
7^，因而&是g"的一次函数，即点列U"，又）（/i 丄-g
E 在同一直线上，故有%^ = ^4,化简
q - q q - q
^m U q-q)Sm = (qm -q^S.-iq- -qr)St9^
中m，（，r e A^*且
例1在等差数列|a…|中，a m.= n，a…= m,且 m # ",求 a m+….
解：令ni = m + = m,r = re代入性质1得（/i -m)a m.+n = (m + n - m)m - (m + re - re)n,化简得 (re - m)a_= 0,又 所以 a m+;l= 0_
例2设等差数列U J的前/i项和为又，若 5“ =-2，S t=0，S i+1= 3,则A= ()•
A.3
B.4
C.5
D.6
解:令m+ 1= fe,r = ft - 1代入性质2,得
+ 1 _ 〇 _ 1) x〇，解得 f c = 5•故选c.
k
例3 |a j为正项等比数列，设= y，
ar=z,若 a >0,且 a# 1，求证，logc I + r1〇ga—
z %
+ r1〇ga— = 〇•
y
证明：因为U…1为正项等比数列，所以由性质3得（r - i)log，= (m - i)log，- 〇 - r)l o g j,整 理得 m(log…2- log…y) + t(log…a: - log0z) + r(l o g j-l〇g…«0= 〇，即肌 l〇g…I + t l〇ga丄 + r l〇ga1 = 〇•
Z X J 例4 各项为正数的等比数列丨a j的前项和为5…，若 S…=2，S3…= 14,则S4… 等于（)•
A.80
B.30
C.26
D. 16
解：由已知？ >〇,且？ #1，由=2，S3… = 14,得|«1(1-9")=2(1-9)，，两式相除解得，= l a^l - q3n)= 14(1 - q),
2.令 m= 4/i，i= 3re，r= re 代入性质 4，得（9"-?3")S4li= 2(g4*" -，）- 14(?4" - ?")，化简得（1+ m = 1292" + 14<f + 14j<f = 2 代入解得 S4… = 30,故选S.
例5设等比数列的前n项和为S…，g S 3 + S6= 2S9，求数列丨a n1的公比g.
解：由已知g #1，令m = 9，t = 6，r = 3代入性 质 4 得（g3 - g6)S9= (g9 - ,)S3 - (g9 - g3)S6=>S9 =-+(q+ 〇S6^.S9-S6= q\S6 -S3). ( * )又53 +S6= 2S9，即S9= 代入（* )，得326 _S6 = ?3(S6 -S3)，3= -+•故g•
[1]王健发，赵斯.等差数列前n项和的一条性质及应用
[J].数理天地,2017(9) :1 -1.
参考文献
三角形被切分成两个等腰三角形的条件及应用广东省广州市第二中学（510040)郭旭彬
等腰三角形是一类特殊的三角形，具有非常丰 富的几何性质.一般情况下，若所讨论的问题涉及等 腰三角形,并且题目没指明顶角或底角、腰或底边, 则均需要进行讨论.图形的切分是构建几何问题的 一种常见方法，例如根据直角三角形斜边中线的性 质可知，任意直角三角形都可以被斜边中线切分成 两个等腰三角形.但是通过具体的例子不难得出，并不是任何的钝角三角形或锐角三角形都可以被某条 直线切分成两个等腰三角形的.在日常教学中，学生 如果碰到把一个三角形切分成两个等腰三角形的问 题，经常难以下手，或者很难正确地进行分类讨论，给问题解决造成一定困惑.本文想通过一些尝试，主要讨论一个三角形可以被切分成两个等腰三角形所
需要满足的条件及其应用.。