等差、等比数列前n项和知识梳理
数列前n项和知识点归纳总结
数列前n项和知识点归纳总结数列前n项和【知识点归纳总结】数列是数学中一个重要的概念，通过对数列前n项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质和规律。
本文将对数列前n项和的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地掌握这一概念。
一、数列前n项和的定义数列前n项和，也称为数列的部分和，指的是将数列的前n项相加所得到的值。
对于数列{a1, a2, a3, ...}，数列的前n项和可以表示为Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
二、等差数列前n项和等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的前n项和Sn可以用以下公式表示：Sn = (2a1 + (n-1)d)n/2三、等比数列前n项和等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项和Sn可以用以下公式表示：Sn = a1(1 – rn)/(1 – r)四、斐波那契数列前n项和斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项都是1，后面每一项都等于其前两项之和。
设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的前n项和Sn可以用以下公式表示：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an = a(n+2) - 1五、常见数列前n项和除了等差数列、等比数列和斐波那契数列外，还有其他一些常见数列的前n项和公式可以利用。
例如：1. 平方数列的前n项和：Sn = (2n^3 + 3n^2 + n)/62. 立方数列的前n项和：Sn = (n(n + 1)/2)^2六、应用举例1. 例如，对于等差数列{2, 5, 8, 11, 14, ...}，求前n项和Sn。
首先确定该等差数列的首项a1和公差d分别为2和3，代入公式Sn = (2a1 + (n-1)d)n/2，可以得到Sn = (2*2 + 3(n-1))n/2 = (4 + 3n - 3)n/2 = (3n +1)n/2。
等差数列与等比数列例题和知识点梳理
等差数列及其前n 项和 等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三 易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。
等差求和以及等比数列基础知识点
等差求和以及等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列； 2°.通项公式：;11m n m n n q a q a a --==2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A += 2°等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 若}{n a 是等差数列，则;s r q pa a a a +=+(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅=注：④若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++ 组成公比这2n q 的等比数列. ⑤若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 (4) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (5) ①当1q >时， ②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.（二）学习要点：1、学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2、巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 二、等差等比数列练习题1举例说明：1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A ．360B ．370C ．380D ．390 2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( ) A ．25 B ．26 C ．27 D ．283．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5.一、选择题1、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．62．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．24 B ．27 C ．29 D ．48 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．484．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项6．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12二、填空题7．设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.8．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝__________.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n －2(n ∈N *)． (1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11、设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．二、等差等比数列练习题1（参考答案）举例说明：1、C2、D3、2n 4、 40.一、选择题：1、C.2、C.3、B4、B.5、A.6、B. 二、填空题：7、153 8、12 9、－72三、解答题：10．解：(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.(2)n ＝1时，a 1＝S 1＝－24，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－24，n ＝1，2n －24，n ≥2，由题设得2n －24＝74(n ≥2)，解得n ＝49.∴74在该数列中．11、解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12、解：(1)由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.所以a 1＋a n ＝884＝22.因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，所以n ＝26.(2)因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，所以S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.等比数列练习题2一、选择题1.等比数列{}n a的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++ ＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32B.23C. 32或23D. －32或－233.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a1=2，a5=8，则a3的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 55、在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（ ）A. 32 B. 256 C. 64± D. 646、公差不为0的等差数列{an}中，a a a 632,,依次成等比数列，则公比等于（ ）A.21B.31C.2D.37、已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是（ ）A.08102=++x xB. 064102=+-x xC. 064202=++x xD. 064202=+-x x8、等比数列为a ，2a ＋2，3a ＋3，…，第四项为（ ）A ．－227B ．227C ．－27D ．279、如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C) b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 10、等比数列{an}中，已知29-=a，则此数列前17项之积为 （ ）A ．216B ．－216C ．217D ．－21711、各项都是正数的等比数列｛an ｝的公比q ≠1，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（ ） A.215+ B.215- C.251- D.215+或215-12、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．18913、已知数列{an}为等比数列，且an ＞0, 253426452=++a a a a a a ,那么53a a +的值等于（ ）A.5 B.10 C.15 D.20 二、填空题1.在两数a,b(ab ＞０)之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间一个数 . 2、.已知1, a1, a2, 4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．3.已知等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6= .4．若a ，b ，c 成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为__________5、若数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 .6、已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通n a = . 7.在递减等比数列{an}中,a4+a5=12,a2〃a7=27,则a10=________.8.已知等差数列{an}的公差d ≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则1042931a a a a a a ++++值 .9、若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = 10、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =11、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =三、解答题1、已知{}n a为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等差数列等比数列前n项和公式总结
等差数列等比数列前n项和公式总结等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，在很多数学应用中都有重要的作用。
等差数列和等比数列的前n项和公式是最基础的知识点，同学们要牢记它们的公式，以更好的掌握这一基础数学知识。
等差数列是一种通过加法运算，从第一项开始，逐项增加的数列，其中各项均具有相同的公差（common difference）。
它的前n项和（sum of the first n terms）的公式可以表示为：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an = (n/2)*(a1 + an)其中a1为等差数列的第一项，an为数列的第n项，n为数列的项数。
等比数列是一种通过乘法运算，每一项都是公比（common ratio）的倍数的数列。
它的前n项和（sum of the first n terms）的公式为： Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中a1为等比数列的第一项，q为等比数列的公比， n为数列的项数。
一般来说，要求等差数列前n项和或者等比数列前n项和，可以利用以上公式进行求解，但是在有些情况下，也可以通过求和法进行求解。
求和法就是将前n项的每一项加起来求和，即Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中a1为数列的第一项， an为数列的第n项，n为数列的项数。
同学们应当熟记等差数列和等比数列的公式，最为基础的知识点。
针对以上求前n项和的公式，要非常理解，利用好其中的思路，落实它们到具体的练习中，从而掌握好这一基本的数学知识点，以备将来的学习中用到。
总之，等差数列和等比数列的前n项和分别有专门的公式可以用来求解，同学们要牢记这些公式，落实到实际练习中，从而掌握好这一基本数学数列知识点。
(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即a n a n 1 d （d为常数）（n 2）；2. 等差中项：1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：或2A a b3. 等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通项公式为：a n a1 n 1d推广：a n a m(n m)d ．an a m 从而 d ；nm4．等差数列的前n 项和公式：n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2S n na1 d n （a1 d）n An Bn2 2 2 2（其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ．（3）数列a n 是等差数列a n kn b （其中k,b 是常数）。
（4）数列a n 是等差数列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若a n a n 1 d 或a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列．ab22）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 27. 等差数列的性质：1）当 m n p q 时, 则有 a m a n a p a q ，特别地，当 m n 2p 时，则有（2） 若{ a n } 是等差数列，则 S n ,S 2n S n ,S 3n S 2n ，⋯也成等差数列和， S n 是前 n 项的和1. 当项数为偶数 2n 时，n a 1 a 2n 1a 2n 1 1 2 2n 1 na na n an 12、当项数为奇数 2n 1时，则其中 a n+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）1、等比数列的定义： an q q0 n 2, 且 n N *，q 称为 公比a n 12、通项公式：n1 a n a 1qa 1 n n1q A B a 1q0,A B 0 ，首项： a 1 ；公比：qq推广： a nn m n m amq n m q n ma nq n ma namam3、等比中项：（1）如果 a,A,b 成等比数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A 2ab 或 A ab注意：同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个 等比中项互为相反数）a ma n2a p .3）设数列 a n 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的a 2nn a 2 a 2n2na n 1S偶S奇na n 1 na nn a n 1 a n =ndS 2n 1S 奇S 偶 (2n 1) a n+1S 奇 S 偶 a n+1 S 奇 (n 1)a n+1S 偶 na n+1n1a 1 a 3 a 5a 2 a 4 a 6 na n na n 1S 奇为等比数列6、等比数列的证明方法：7、等比数列的性质：3）若{ a n }为等比数列，则数列 S n ，S 2n S n ， S 3n S 2n , ，成等比数列 4）在等比数列 { a n }中，当项数为 2n （n N *）时， S奇1S 偶 q2）数列 a n 是等比数列2 ana n 1 a n 14、等比数列的前 n 项和 S n 公式：1）当q 1时， S nna 12）当q 1时， S nnq1qa 1 1 a 1 a n q 1qa 1 a 11q1qA AB n A'B n A'( A,B,A',B'为常数）5、等比数列的判定方法：1）用定义：对任意的 n ，都有 a n1qa n 或 an 1q(q 为常数， a n 0) { a n } an 2）等比中项： 2ana n 1a n 1( a n 1a n 10） {a n } 为等比数列3）通项公式： a n A B n A B 0{a n } 为等比数列依据定义：若 a n qa n 1q 0 n 2, 且 nN * 或a n 1 qa n {a n }为等比数列1） 若 m n s t(m,n,s,t N *)，则a n a ma s a t 。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
数列求前n项和方法总结
解析：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}….②（设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
例5求数列 的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。余下的项具有如下的特点：余下的项前后的位置前后是对称的；余下的项前后的正负性是相反的。
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此
例2、求和
[解析]：
例3、已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
解析：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以 .
小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
教学内容
一、本周错题讲解
二、知识点梳理
求数列前n项和的常用方法总结
（1）公式法：
等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
自然数方幂和公式：
（2）分组化归法：将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题。运用这种方法的关键是将通项变形。
（3）并项转化法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和。利用该法时要注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论。
四、课堂练习
1、在各项均为正数的等比数列中，若 的值.
2、求和：
解：
3、求值：
4、求数列 的前n项和
5、已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
等差、等比数列的前n项和知识梳理
等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。
【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。
【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。
【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-， 即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。
等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.-(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q·q n 可以看成函数y ＝cq x，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．·(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.%(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．]若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4D ．22~解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，~则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． ^[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法].1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法 中项公式法 通项公式法 前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意~(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6. 由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n，即a n ＋1＝2a n ＋2n，|所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n)＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.>∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．}∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2}D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.[答案] (1)B (2)A。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结在数学的广袤领域中，数列是一个重要的概念，而等差数列和等比数列则是其中最为基础且关键的两种类型。
理解和掌握它们的知识点，对于解决各种数学问题以及培养逻辑思维能力都具有至关重要的意义。
一、等差数列（一）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，常用字母\（d\）表示。
例如：数列\（2, 4, 6, 8, 10\cdots\）就是一个公差为\（2\）的等差数列。
（二）通项公式等差数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。
比如，在等差数列\（3, 5, 7, 9, 11\cdots\）中，首项\（a_1 ＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第\（5\）项\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11\）。
（三）等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（b\）为\（a\），＼（c\）的等差中项，且\（b ＝＼frac{a ＋ c}｛2}＼）。
例如：＼（4\）是\（2\）和\（6\）的等差中项，因为\（＼frac{2 ＋6}｛2} ＝ 4\）。
（四）前\（n\）项和公式等差数列的前\（n\）项和公式有两个：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）＼（S_n ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）假如有一个等差数列\（1, 3, 5, 7, 9\cdots\），要求前\（5\）项的和。
首项\（a_1 ＝ 1\），第\（5\）项\（a_5 ＝ 9\），项数\（n ＝ 5\），那么\（S_5 ＝＼frac{5×（1 ＋ 9)｝｛2} ＝ 25\）或者，利用另一个公式，公差\（d ＝ 2\），＼（S_5 ＝ 5×1 ＋＼frac{5×（5 1)×2}｛2} ＝ 25\）（五）性质1、若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。
等差等比数列知识点 归纳总结
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。
它们具有一些特定的性质和规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。
本文将对等差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之差称为等差d。
等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
通项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项和末项的和。
二、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之比称为公比r。
等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。
等差等比数列通项及前N项和公式
等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。
而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。
在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。
1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。
2024年高考复习数学知识点+题型15+等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧
（
）
3 A． 10
B．
1 3
1 C． 8
D．
1 9
【详解】由等差数列的性质可知 S3 、 S6 S3 、 S9 S6 、 S12 S9 成等差数列，
∵
S3 S6
1 3 ，即 S6
3S3 ， S6
S3
S3
S3
，∴
S9
S6
3S3 ， S12
S9
4S3 ，∴
S9
6S3
，
S12 10S3 ，
例 4-2．
（2023·全国·统考高考真题）
记 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 S4 5， S6 21S2 ，则 S8 （ ）．
A．120 B．85 C． 85 D． 120
方法一：设等比数列an的公比为 q，首项为 a1 ，
若 q 1 ，则 S4 0 5 ，与题意不符，所以 q 1 ；
S2 21S2
5 ，解得： S2
1 或 S2
5 4
，
当 S2 1 时， S2，S4 S2，S6 S4，S8 S6 ，即为 1， 4，16，S8 21 ，
易知， S8 21 64 ，即 S8 85 ；
当 S2
5 4
时， S4
a1
a2
a3
a4
a1
a2
1
q2
1 q2
例 1-1．
（江西·高考真题）
已知等差数列an ，若 a1 a2 a3 a12 21 ，则 a2 a5 a8 a11 .
根据等差数列的性质可得 a1
a2
a3
a12
6(a1
a12
)
21
，解得 a1
a12
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等差等比数列基础知识点
一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q aqa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列； （2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b 求证：{n b }是等比数列.[解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当 .,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k 由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当① ②.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP PQbn an S n 222,①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQ P Q ≠++-=-.)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P QP +-=+++=∴+-=++∴≠+[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP Q P a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.①②①，②[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ) A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。
**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。
**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。
**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节:等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义:对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一*n,2个定值，则称这个数列为等差数列，记:(d为公差)(，) nN,a,a,dnn,1 d2、等差数列通项公式: ，为首项，为公差 aaand,，,(1)1n1推导过程:叠加法推广公式: aanmd,，,()nma,anmd, 变形推广: n,m3、等差中项a，bbbA,(1)如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项(即:aaAA22A,a，b 或(2)等差中项:,,a数列是等差数列,2a,a，a(n,2),2a,a，a nnn-1n，1n，1nn，24、等差数列的前n项和公式:naa()，nn(1),1nS,,，nad 1n22d122,，,nadn(),，AnBn 122mnpq，,，a，a,a，a前N相和的推导:当时,则有，特别地，当mnp，,2mnpq aaa，,2aaaaaa，,，,，,,,,时，则有。
(注:，)当然扩充到3项、mnp12132nnn,,4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法,(1) 定义法:若或(常数) 是等差数列( n,N,,aa,a,da,a,d,nn,1n，1nn(2)等差中项:数列是等差数列 ,,an,2a,a，a(n,2),2a,a，an，1nn，2nn-1n，1(3)数列是等差数列(其中是常数)。
,,aa,kn，bk,b,nn2(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
,,aSAnBn,，,nn6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发是等差数列( ,,a,n7、等差数列相关技巧:d(1)等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:、、、ann1da及S，其中a、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便nn1可求出其余2个，即知3求2。
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等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。
【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。
【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。
【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-， 即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。
法二: ∵{}n a 为等差数列， ∴2n S An Bn =+,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=+⋅=BA SB A S 50503030250230 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)2.......(505030)1........(30305022B A B A∴ (2)-(1)有：22(5030)(5030)20A n -+-=- 即20(80)20A B +=-, ∴801A B +=-,∴280808080(80)80S A B A B =+=+=-。
法三:∵{}n a 为等差数列， ∴2)(1n n a a n S +=，3150180a a a a +=+, ∵31a ,32a ,…, 50a 也为等差数列， ∴ )(10)(102)(20801503150315032313050a a a a a a a a a S S +⋅=+⋅=+⋅=+++=- ,∴ 2105030103050801-=-=-=+S S a a ,∴ 80)(402)(8080180180-=+⋅=+⋅=a a a a S .【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A 、B 、1a 、d 来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。
举一反三：【变式】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．27【解析】法一：依据已知有：316132392656362⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩S a d S a d 即1132512+=⎧⎨+=⎩a d a d解得112=⎧⎨=⎩a d ，所以78913151745++=++=a a a 。
法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列3S 、63-S S 、789++a a a 成等差数列，所以6337892()()-=+++S S S a a a ， 有78913151745++=++=a a a ，故选B例2.（2016 桂林模拟）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453Sn n T n n +=-，则使得a n b n为整数的正整数的n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n 项和的比值的问题。
【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，∴1212n n a a a -+=，1212n n b b b -+=， ∴1212112121()2,()2n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ 又745,3Sn n T n n+=- ∴7(21)45667,(21)324an n b n n n-+==+--- 经验证，当n=1，3，5，13，35时，a nb n 为整数，则使得a nb n为整数的正整数的n 的个数是5．故选C ．【总结升华】由于等差数列{}n a 中1121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-，所以已知等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则(1) 2121n n n n a Sb T --=，(2) 12121212--⋅--=n m n m T S m n b a 。
举一反三：【变式1】等差数列}{n a 中，若513=a , 则9=S _________. 【解析】由12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-，得959913117==⨯=S a .【变式2】已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且2372+=-n n S n T n ，则1010a b = . 【解析】101910192193417192131⨯+===⨯-a S b T . 类型二：等差数列求和公式的应用【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】例3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1()2n n n a a S +=.求证：数列{}n a 为等差数列． 【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。
证明：由1()2n n n a a S +=得111(1)()2n n n a a S ++++=，所以 11111(1)()()22n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=-整理得11(1)n n n a na a +--=-，又得11(2)(1)(1)n n n a n a a n ----=-> 相减并整理得: 112(2)n n n a a a n +-+=≥ 所以数列{}n a 是个等差数列 举一反三：【变式1】设{a n }是等差数列,证明以b n =na a a n +⋅⋅⋅++21(n ∈N *)为通项公式的数列{b n }是等差数列.证法一:设等差数列{a n }的公差是d(常数),当n ≥2时，1n n b b --=na a a n +⋅⋅⋅++21-1121-+⋅⋅⋅++-n a a a n=)1(2))(1(2)(111-+--+-n a a n n a a n n n=22111-+-+n n a a a a =112n n a a --（）=12d (常数) ∴{b n }是等差数列.证法二:等差数列{a n }的前n 项和1(1)2n n n S na d -=+, ∴b n =121111(1)1[]()2222n a a a n n n d d na d a d n a n n ++⋅⋅⋅+--=+=+=⋅+-∴{b n }是等差数列.【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(2)中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(3)通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. 【变式2】已知数列{a n }，a n ∈N *，S n =2)2(81+n a ，求证：{a n }是等差数列；【答案】a n+1 = S n+1–S n 221)2(81)2(81+-+=+n n a a ,∴8a n+1 =221)2()2(+-++n n a a , ∴0)2()2(221=+--+n n a a ,∴11()(4)0n n n n a a a a +++--=， ∵a n ∈N *，∴10n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=， ∴数列{a n }是等差数列.例4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若312a =,120S >,130S <. （1）求公差d 的取值范围；（2）n 为何值时，S n 最大，并说明理由。
【解析】（1）由⎩⎨⎧<+>+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=060112021213130211121211113112a a d a d a S d a S又由31212a a d =+=得1122a d =-代入不等式组∴⎩⎨⎧<+>+030724d d ， 解出.3724-<<-d（2）方法一：由（1）知：30a >且0d <∴数列{}n a 是递减数列，由121300S S >⎧⎨<⎩得111211120213121302a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+0602511d a d d a 即6700a a >⎧⎨<⎩， ∴{}n a 中最后一个正数项是6a ，7a 开始为负数项 ∴当n=6时，n S 最大.方法二：由（1）知：30a >且0d < ∴数列{}n a 是递减数列，若要n S 最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由 1121212()02a a S +=> ∴1120a a +>即670a a +>, ∴67a a >-由 1131313()02a a S +=<， ∴1130a a +<, 即720a <, ∴70a <, ∴60a > ∴{}n a 中最后一个正数项是6a ，7a 开始为负数项∴当n=6时，n S 最大. 方法三：1(1)(1)(122)22n n n n n S na d n d d --=+=-+ 2212424[(5)](5)228d d n d d=----∵ d<0, ∴当2124[(5)]2n d--最小时n S 有最大值， 当2437d -<<-时，1246(5) 6.52d<-<∴当n=6时2124[(5)]2n d--最小，即6S 最大，方法四：{}n a 是等差数列，故设2n S an bn =+，如图所示∵120S >,130S <，∴抛物线与x 轴的另一个交点在n=12与n=13之间。