概率统计第三章

( X ,Y ) N ( µ1 , µ2 ,σ ,σ 2 , ρ ) ～
2 1 2
X～N(μ1 ,σ12) Y～N(μ2 ,σ22 )
ρ =0
f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y )
X和Y相互独立的充分必要条件为： 和 相互独立的充分必要条件为 相互独立的充分必要条件为：
ρ =0
40 若f (x,y) 在点 （x,y) 连续，则 连续，
例3： ：
(2)
2、边缘密度函数 、
五、二维均匀分布
设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A
如果二维随机变量 ( X， Y )的密度函数为
则称二维随机变量 ( X， Y ) 服从区域 G 上的均匀分布．
练习： 题 练习：10题 所围的区域G里服从均匀分布 所围的区域 里服从均匀分布， 设（X，Y）在曲线 y=x2, y=x所围的区域 里服从均匀分布，求联合概率密 边缘密度函数。 度、边缘密度函数。
3/20
(2,-1) 1 2 -1
5/20
(-1,-1) -2 -1 -1
2/20
(-1,1) 0 1 -1
6/20
(-1,2) 1 2 -1
3/20
(2,1) 3 2 1
1/20
(2,2) 4 2 2
max(X,Y) min(X,Y)
X+Y
-2
0
1
3
4
p
5/20
2/20
6/20+ 3/20
3/20
f (x, y)dxdy = F(∞, ∞) =1; 分布曲面 f(x,y)，与xOy平面所
夹的空间区域的体积等于1
30 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y ) 是平面上的一个区域， 落在 G 内 的概率为： 的概率为：
为底， 的边界曲线为准线、 以xOy 面上的区域 G 为底，侧面是以 G 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面 的曲顶柱体的体积。 ，顶是分布曲面 f(x,y) 的曲顶柱体的体积。
y2 y1 o
(x1 , y2)
(X, Y ) (x1 , y1) x1
(x2 , y2) y
(x2 , y1) (X, Y ) x xo 2
(x, y)
联合分布函数基本性质： 联合分布函数基本性质： 1). 0≤F( x, y ) ≤1 2).F (x , y )是变量 x , y 的不减函数 的不减函数. 是变量 3). F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 也右连续. 即F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续 关于
的概率密度函数， 二维随机变量 ( X,Y )的概率密度函数， X 和 Y 的联合概率密度函数
F( x,y ) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f ( s,t )dsdt
f ( x,y)
1 ( 6 − x − y ) , 0 < x < 2, 2 < y < 4 8 f ( x, y ) = elsewhere 0,
(
)
σ1>0, σ2>0 ,-1<ρ<1 1<ρ
结论（ 结论（一） 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。
(X,Y )～N（µ1, µ,Y的边缘分布的参数与ρ无关。 无关。
例6： ：
解：
1 fX ( x) = 2π
如左图
4 xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1 f ( x, y ) = elsewhere 0,
如右图
1、二维连续型随机变量密度函数的性质及几何意义 、
10
2
0
f (x, y) ≥ 0 ;
分布曲面f(x,y)总位于 总位于xOy平面上方 分布曲面 总位于 平面上方
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
§3－3 二维随机变量函数的分布 － 已 知 随 机 变 量 (X,Y) ， Z=g(X,Y) 是 (X,Y) 的 函 数 ， g(X,Y )是一个连续函数。
ω
X
g ( X ,Y )
Y
本节讨论重点： 本节讨论重点： X和Y相互独立→ 和 相互独立
Z = X +Y
应用实例： 应用实例：
实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合而成。 实际问题中 ， 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合而成 。 即需要 讨论大量独立随机变量和的问题。 讨论大量独立随机变量和的问题。 独立随机变量和的问题 某城市一家保险公司新开一种交通事故险， 例a ：某城市一家保险公司新开一种交通事故险，每一个投保人在一年内一旦发生 交通事故，将获得赔偿；一年内该城市市民遭遇交通事故的概率为 交通事故，将获得赔偿；一年内该城市市民遭遇交通事故的概率为0.001。 。 Xi：每一个投保人在一年内发生交通事故与否
1/20
一、离散型随机变量函数的分布
( X ,Y ) :
离散分布的可加性 －例2
服从 P ( λ1 + λ2 ) . 若X、Y相互独立且依次服从 P ( λ1 ) , P ( λ2 ) , 则X＋Y 若X、Y相互独立且依次服从 B ( n, p ) , B ( m , p ) , 则X＋Y 服从 B ( m + n, p ) .
P {Y = j}
13
12 14 14
所以得到(X,Y)的分布律为
二、连续型随机变量的独立性
例4： ：
xe− x − y ,x > 0, y > 0 f ( x, y ) = elsewhere 0 ,
+∞ xe − x − y dy = xe − x ,x > 0 f X ( x ) = ∫0 0 , x≤0
离散型
⇔
随机变量X 随机变量X，Y相互独立。 相互独立。
⇔ X，Y相互独立
连续型
⇔ X，Y相互独立
一、离散型随机变量的独立性
例3：设随机变量 和Y相互独立 ：设随机变量X和 相互独立
√ √ √
√ √
利用独立性求联合分布律-习题 利用独立性求联合分布律 习题3-2 5题 习题 题
解：
P{ X = i} 14 13 112
1 求得区域G的面积为 解：求得区域 的面积为 SG = ∫ ( x − x ) dx = 0 6
1 2
所以
6, f ( x, y ) = 0,
x2 ≤ y ≤ x 其他
边缘分布为
6( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤1 f X ( x) = 其它 0,
6( y − y ), fY ( y ) = 0, 其它
二、二维随机变量的分布函数
记为
F ( x， y ) = P {( X ≤ x ) ∩ (Y ≤ y )} = P { X ≤ x,Y ≤ y}
二维随机变量的 分布函数 二维随机点落入矩形区域的概率 积运算
( x，y ) ∈ R
2
P { x1 < X ≤ x2 ， y1 < Y ≤ y2 } = F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) x1 < x2 , y1 < y2 y
P {Z = k} = P { X + Y = k}
k = 0 ,1, 2 ,⋯
= ∑ P { X = i ,Y = k − i } = ∑ P { X = i } P {Y = k − i }
= ∑ C p (1 − p )
i =0 i n i
k
n−i
⋅C
k −i m
p
k −i
(1 − p )
= p
X i ~ B (1, 0.001)
X = X 1 + X 2 + ⋯ + X 1000
假设1000人投保， 假设1000人投保，在一年内发生交通事故的人数 人投保
计算机进行科学计算， 四舍五入”造成的误差Y 服从[a,b] 例b ：计算机进行科学计算，每进行一次计算 “四舍五入”造成的误差 i 服从 上的均匀分布。若进行了 次计算， 上的均匀分布。若进行了100次计算，则总误差 次计算 Y 分布规律
边缘分布函数
P { X > x,Y > y} = 1 − P
= 1 − P ({ X ≤ x} ∪ {Y ≤ y} )
({ X > x} ∩ {Y > y})
= 1 − P { X ≤ x} − P {Y ≤ y} + P ({ X ≤ x} ∩ {Y ≤ y} )
= 1 − FX ( x ) − FY ( y ) + F ( x, y )
y e − x dx = ye − y , y > 0 ∫0 fY ( y ) = 0 , y≤0
0 < x < y, x < y < +∞
利用独立性求联合概率密度-习题 利用独立性求联合概率密度 习题3-2 6题 习题 题
解：
正态随机变量的独立性） 例7 （正态随机变量的独立性）
上述三条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随 上述三条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质， 机变量的分布函数都必须具有这三条性质； 机变量的分布函数都必须具有这三条性质； 并且，如果某一个二元函数满足这三条性质，那么，它一定是某一个二 并且，如果某一个二元函数满足这三条性质，那么， 维随机变量的分布函数。 维随机变量的分布函数。
e
x2 − 2
+∞ y2 +∞ − y 2 − ∫ e 2 dy + sin x ∫ e 2 sin ydy −∞ −∞