高一数学第2讲-函数的概念1

第2讲函数的概念教学内容一、知识梳理函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作)(x f y =，A x ∈．函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合 {}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则． 区间的概念设a 、b 是两个实数，且a ＜b（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数的x 集合叫做闭区间，表示为［a ，b ］； （2）满足不等式a ＜x ＜b 的实数的x 集合叫做开区间，表示为（a ，b ）； （3）满足不等式a ≤x ＜b 的实数的x 集合叫做半闭半开区间，表示为［a ，b ）； （4）满足不等式a ＜x ≤b 的实数的x 集合也叫做半开半闭区间，表示为（a ，b ］． （5）满足不等式x ≥a 的实数的x 集合表示为［a ，＋∞）； （6）满足不等式x ＞a 的实数的x 集合表示为（a ，＋∞）； （7）满足不等式x ≤a 的实数的x 集合表示为（－∞，a ］；（8）满足不等式x ＜a 的实数的x 集合表示为（－∞，a ）； （9）实数集表示为（－∞，＋∞）； 映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可记为 B A f →: )(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．函数的表示法：列表法，图象法，解析法二、方法归纳求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法求函数的定义域的一般原则：分母不为零；偶次根下不为负；零的零次幂没意义等等求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法．判断某“对应法则”是否为A →B 的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象．三、典型例题精讲［例1］ 设函数f x ()的定义域为[]01，，（1）求函数f x ()2的定义域；（2）求函数f x ()-2的定义域．解析：函数f x ()的定义域为[]01，，应理解为：f 只对[]01，内的数作用．（1） 要使函数f x ()2有意义，必须满足 102≤≤x即 11≤≤-x ∴ 函数f x ()2的定义域为 ]11[，-．（2） 要使函数f x ()-2有意义，必须满足 120≤-≤x即 32≤≤x ， 94≤≤x∴ 函数f x ()-2的定义域为 ]94[，．【技巧提示】 求函数的定义域就是求使函数有意义时x 的取值范围，不是其它什么代数式的取值范围．又例 函数f x ()的定义域是 )1,1[-，则函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域是解析：函数f x ()的定义域是 )1,1[-，即f 只对)1,1[-中的数有意义； 要使 )1()1()(2x f x f x F -+-= 有意义，必须⎩⎨⎧<-≤-<-≤-1111112x x ，即 ⎩⎨⎧≠≤≤-≤<0,2220x x x ∴ 20≤<x ．答案：(［例2］已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2，3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象． 解析：(1) －2＋3＝1， －2×3＝－6 ，∴ (－2，3)在f 作用下的象为(1，－6)． (2) ∵ ⎩⎨⎧-==+32xy y x ，解这个方程组得⎩⎨⎧-==13y x 或 ⎩⎨⎧=-=31y x∴ (2，－3)在f 作用下的原象是(3，－1)和(－1，3)．【技巧提示】本例所给的是点集到点集的映射，运用方程的思想不难求解．［例3］设)(x f ＝2211x x -+，则)21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝ ( )A.3512 B ．－3512C ．1D ．0解析：∵)(x f ＝2211x x -+，∴)21(f ＝35，)2(-f ＝－35，)31(f ＝45， )3(-f ＝－45∴ )21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝0，故选D ．【技巧提示】 函数)(x f ＝2211x x -+的一个重要性质是)1(x f ＝－)(x f ，即)1(xf ＋)(x f ＝0．教材第二章“本章小结·巩固与提高”中第18题：已知函数)(x f ＝2211xx -+，求证：)1(x f ＋)(x f ＝0． ［例4］（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ；（2）已知函数()f x 满足43)()(2+=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式．解析：（1）∵ 1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，11≥+x∴ 1)(2-=x x f ，x ≥1（2）∵ 函数()f x 满足 43)()(2+=-+x x f x f …………①将其x 以x -代之，有43)()(2+-=+-x x f x f …………②① ×2－②，得 )43()43(2)(3+--+⨯=x x x f ＝49+x ∴ 343)(+=x x f ． 【技巧提示】 第（1）小题强调一种配凑技巧，需要将1+x 看成整体；第（2）小题将其x 以x -代之时， x - 正好变成了x ，于是得到了关于)(x f 与)(x f -的方程组，解方程组便得到函数)(x f 的解析式．又例 已知)(x f ＋2)1(x f ＝3x ，求)(x f 的解析式为 ．解析：略 答案x xx f -2)(=．［例5］ 求下列函数的定义域： （1）14)(2--=x x f （2） =)(x f x11111++（3）xx x x f -+=0)1()( （4）373132+++-=x x y解析：（1）要使函数有意义，当且仅当 142≥-x 即： 33≤≤-x∴ 函数14)(2--=x x f 的定义域为 [3,3-] ．（2）要使已知函数有意义，必须 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴ 所求函数的定义域为 }21,1,0|{--≠∈x R x x 且．（3）要使函数有意义，必须 ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴ 函数定义域为：{}011|<<--<x x x 或．（4）要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x ＜37- 或 x ＞37- ∴定义域为：}37|{-≠x x ． 【技巧提示】 要使函数有意义，必须让函数的每一项或每一个因式都有意义，所以往往需要利用解不等式或不等式组确定． ［例6］求下列函数的值域．(1)216x y -=； (2) ]22[2，，-∈+-=x x x y ；（3）x x y 41332-+-=（4）66522-++-=x x x x y （5）11-++=x x y解析： (1) 161602≤-≤x ， ∴ 41602≤-≤x故所求函数的值域为 []40，∈y ．【技巧提示】这就是直接法，或称分析法． (2) ∵41)21(22+--=+-=x x x y ， 又 ]22[，-∈x ，∴ 416≤≤-y 故所求函数的值域为 ]416[，-∈y ． 【技巧提示】 这就是配方法． 又例，求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域． ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x ， ∴22727x x x x y -=-=＝2)471(2849--x 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,211x ， 有 1625)471(02≤-≤x ∴ ]4273[，∈y 即为所求函数的值域． （3） 设t x =-413，则4132t x -=且0≥t ，所以原函数的值域与t t y +--=32132（0≥t ）相同，故所求函数的值域为]4,(-∞．【技巧提示】 这就是换元法．通过换元，将所给函数转化成我们熟悉的函数，进而求出值域．利用换元法要注意代换的等价性，及新元的取值范围．本小题可作如下变式① 13432-+-=x x y ；变式②x x y 41332---=．（4）函数66522-++-=x x x x y 的定义域为{}3-2≠≠∈x x R x 且 ，去分母得 0)1(6)5()1(2=+-++-y x y x y ①当 1≠y 时 ∵ R x ∈ ∴ △＝0)1(6)1(4)5(2≥+⋅-++y y y ， 由此得 0)15(2≥+y51-=y 时，代入①得 2)56(2551=-⋅+--=x ，∵ 定义域为{}3-2≠≠∈x x R x 且 ∴51-≠y ；当1=y 时， 代入①求得 2=x ， ∴ 1≠y ．综上所述，函数66522-++-=x x x x y 的值域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠∈511y y R y 且．【技巧提示】 此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于能化为关于y 的二次方程的函数．解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.本题可将函数式化为36133)3)(2()3)(2(+-=+-=+---=x x x x x x x y 2≠x 由此可得 1≠y ；∵ 2=x 时 51-=y 于是 51-≠y ；∴ 函数66522-++-=x x x x y 的值域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠∈511y y R y 且．（5）将函数11-++=x x y 表示为分段函数形式，有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-=1,211,21,2x x x x x y ，图像如右图所示，故原函数的值域为[)+∞,2．【技巧提示】 此就是图象法．数形结合是高中数学一个重要的思想方法，需要加强训练，灵活运用，特别是在学完基本初等函数的图形和性质之后，很多问题可以用图象法解决．四、课后训练1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知f 满足)(ab f ＝)(a f ＋)(b f ，且)2(f ＝p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. xxy y ==,1 B. 1,112-=+⨯-=x y x x yC. 33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y ==4．函数①1y x =-；②21y x =-；③21y x =-；④xy 5=，其中定义域和值域相同的函数有（ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ． ②③5．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1- 6．设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ）A ．x x -+11B ． 11-+x xC ．x x +-11D ．12+x x7．函数23212---=x x x y 的定义域为（ ） A ．]1,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 8．求下列函数的定义域：（1）)1)(1(-+=x x y ； （2）xx y 1-=； （3）11-+=x x x y ； （4）1412-+-=x x y 9．已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域． 10．设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2(-x f 的定义域．解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为 {}2460|+≤≤x x ．11．已知函数2(1)4f x x x -=-，分别求函数()f x ，(21)f x +的解析式． 12．求下列函数的值域（1）223y x x =+- ()x R ∈ （2）223y x x =+- [1,2]x ∈（3）311x y x -=+ （4）225941x x y x +=-＋ （5）31y x x =-++ （6）y x =五、参考答案1．C 解析：若n ＝2则n 3＋n ＝10，若n ＝3则n 3＋n ＝30，若n ＝4则n 3＋n ＝68，若n ＝5，则n 3＋n ＝130，故选C2．B 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D8．（1）),1[]1,(+∞--∞ （2）),1[+∞ （3）),1()1,0[+∞ （4）),2()2,1[+∞9．值域为{}3,0,1-．10．解析：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为 {}2460|+≤≤x x ． 11．解析：由函数2(1)4f x x x -=-＝3)1(2)1(2----x x ，∴ 函数()f x ＝322--x x ；(21)f x +＝3)12(2)12(2-+-+x x＝442-x ．12．（1）),4[+∞- （2）]5,0[（3）{}R y y y ∈≠,3 （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≠∈215y y R y 且 （5）),4[+∞ （6）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21y y。